Dokumen ini membahas tentang atribut grup dan subgrup dalam matematika, khususnya pada himpunan bilangan bulat modulus seperti Z6, Z8, dan Z12. Terdapat contoh-contoh konkret untuk menentukan subgrup, termasuk subgrup siklik dan cara membangun subgrup, serta diagram lattice untuk menggambarkan struktur subgrup. Kesimpulan formulasi teorema dan pembuktian tentang subgrup dan irisan subgrup juga dijelaskan dalam konteks grup yang lebih besar.

1. CONTOH SOAL DAN
PEMBAHASAN SUBGRUP
Posted on Maret 27, 2011
1. Tentukan subgrup dari Z6 dan gambar diagram latticenya!
penyelesaiannya:
Pada Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Ambil sembarang H = {0, 2, 4} kelipatan dari dua dan {0, 3}.
Maka operasinya,
H = {0, 2, 4} H = {0, 3}
0+2=2 0+3=0
2+0=2 3+0=3
0+4=4 3+3=0
4+0=4
4+2=0
2+2=4
4+4=2
Dari hasil operasi Z6 yang merupakan subgrup non trivial sejati adalah {0, 2, 4} dan {0, 3}.
diagram lattice dari Z6,

2. Z6 merupakan puncak atau grup terbesar dimana
subgrupnya adalah {0, 2, 4} dan {0, 3} dengan identitas {0}.
2. (G, o) suatu grup, a € G dan H = {an / n € Z}. Tunjukkan bahwa H subgrup dari G.
Penyelesaiannya:
Ambil p, q € H akan ditunjukkan bahwa poq-1 Î H.
p € H berarti p = an, n € Z, demikian pula q € H berarti q = am, m € Z dan q-1 = (am)-1 = a-m, -m
€ Z. sehingga poq-1 = an o a-m = an-m, (n-m) € Z. jadi, poq-1 € Z. Terbukti H subgrup G.
3. Misalkan A dan B masing-masing subgrup dari G. Apakah A Ç B juga merupakan subgrup
dari G?
Jawab:
Ambil sebarang p, q € A Ç B. p, q € A Maka dan p, q € B .
Karena H subgrup, maka pq € A dan karena B subgrup, maka pq € B.
Akibatnya, p, q € A Ç B.
Jadi, sifat tertutup terpenuhi.
Selanjutnya karena p € A dan A subgrup maka p-1 € A. karena dan K subgrup maka p € B.
Dengan demikian, p-1 € A Ç B. Jadi sifat invers dipenuhi.
Kesimpulannya, A Ç B adalah subgrup dari G.
contohsoalsubgrup siklik
Posted on March 22, 2011 by itha89
Contoh 1:
Tentukan subgrup dari Z8 dan Z12 atas penjumlahan kemudian gambarlah diagram latticenya !
JAWAB:

3. 1. Z8={0,1,2,3,4,5,6,7,}
Ambil a= 2 dimana <2> = {0,2,4,6}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:
21=2
22=4
23=6
24=0
25=2
Apabila 2 selanjutnya dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulang.
Sehingga <2> tertutup terhadap operasi di Z8 akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z8.
Selanjutnya ambil a=4, dimana <4>={0,4}. Dengan cara serupa kita dapatkan:
41=4
42=0
43=4
44=0
45=4
Apabila 4 dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulang pada order dari
<4> sehingga <4> tertutup terhadap operasi di Z8 akibatnya <4> merupakan subgrup dari Z8.
Ternyata subgrup dari Z8 adalah <2> dan <4> dimana <2>={0,2,4,6} dan <4>={0,4}. <2>
dan <4> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z8.
Sehingga diagram latticenya adalah:

4. 2. Z12={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
Ambil a= 2 dimana <2>={0,2,4,6,8,10}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:
21=2 24=8
22=4 25=10
23=6 26=0
Apabila 2 dipangkatkan sampai n dimana n є Z hasilnya tetap berada pada <2> sehingga
tertutup terhadap operasi pada Z12. Akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z12.
Dengan cara serupa ambil a=3 dimana <3>={0,3,6,9} sehingga diperoleh:
31=3 35=3
32=6 36=6
33=9 37=9
34=0 38=0
Dari hasil di atas <3> merupakan subgrup dari Z12.
Selanjutnya ambil a=4 dimana <4>={0,4,8}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:
41=4 44=4
42=8 45=8
43=0 46=0

5. Apabila 4 dipangkatkan sampai pangkat ke-n, dimana n є Z hasilnya akan sama dengan order
dari <4> yaitu <4>={0,4,8} sehingga tertutup terhadap operasi di Z12 akibatnya <4>
merupakan subgrup dari Z12.
Ambil a=6 dimana <6>={0,6} dengan cara yang sama diperoleh:
61=6 63=6
62=0 64=0
Dengan memangkatkan a sampai pangkat ke-n hasilnya akan sama dengan <6> sehingga <6>
tertutup terhadap operasi di Z12 akibatnya <6> merupakan subgrup dari Z12.
Dari hasil diatas dapat disimpulkan <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup dari Z12.
<2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z12 dan <0> merupakan
subgrup trivial dari Z12.
Diagram lattice dari Z12 adalah sebagai berikut:
Contoh 2:
Pada contoh sebelumnya, yaitu pada Z8<2> dan <4> adalah subgrup siklik dari Z8.
Contoh 3:
Carilah pembangun dari Z5 !!!
Jawab:
Order dari Z6 adalah Z6={0,1,2,3,4,5}. Misal kita ambil a=1 maka:
11, 12, 13, 14, 15, 16,….,={1,2,3,4,5,0,….,}= Z6.

6. Sehingga <1> merupakan pembangun dari Z6.
Selanjutnya dicari pembangun yang lain dari Z6. Kita ambil a=2
21, 22, 23, 24, 25, 26,….,={2,4,0,2,4,0,….}≠ Z6.
Sehingga 2 bukan pembangun dari Z6.
untuk a=3 hasilnya:
31, 32, 33, 34, 35, 36,….,={3,0,3,0,3,0,….}≠ Z6
Sehingga 3 bukan pembangun dari Z6.
Kemudian untuk a=4 didapatkan:
41, 42, 43, 44, 45, 46,….,={4,2,0,4,2,0,….}≠ Z6
Sehingga 4 bukan pembangun dari Z6.
Selanjutnya untuk a=5 diperoleh:
51, 52, 53, 54, 55, 56,….,={5,4,3,2,1,0,….,}= Z6.
Sehingga <5> merupakan pembangun dari Z6.
Kesimpulan :
Berdasarkan hasil di atas dapat kita simpulkan bahwa pembangun dari Z6 adalah 1 dan 5
karena <1>=<5>= Z6. Dari definisi di atas ternyata Z6 merupakan subgrup siklik dengan
pembangun 1 dan 5.
CONTOH SOAL SUBGRUP
24032011
1. SebuahgrupH memilikiduabuahsubgrup, yaituGdanJ. Tunjukkanirisankeduasubgrup (Gdan
J )tersebutmembentuksubgrup!
2. Perhatikanbahwa
dan
kemudian berdasarkan teorema 3.2 persamaan
pasti mempunyai solusi tunggal, yakni identitas H. Apakah persamaan
tersebut bisa dipandang sebagai persamaan di G juga?
Jawab

7. 1. Iya, karena jika G dan J subgrup dari H, maka identitas dari H
terdapat juga di G dan
J, jadii irisan keduanya paling mungkin membentuk subgrup dengan anggota {e}(subgrup
trivial).
2. Persamaantersebutbisadipandangsebagaipersamaan di G juga,
tapikitabisalihatbahwapersamaaninijugamemilikisolusiidentitas di G.
Argumenserupabisadiaplikasikan di persamaan
dilihat sebagai persamaan di H dan di G, dimana balikan a-1 dari a di G juga
merupakan balikan a di H.
Subgrup; Soaldan Pembahasan
Posted by ratnarianthi on March 24, 2011
1. Misalkan H dan K masing-masing subgrup dari G. Apakah juga merupakan subgrup
dari G?
Jawab:
Ambil sebarang . Maka dan .
Karena H subgrup, maka dan karena K subgrup, maka .
Akibatnya, .
Jadi, sifat tertutup terpenuhi.
Selanjutnya karena dan H subgrup maka . karena dan K subgrup maka
. Dengan demikian, . Jadi sifat invers dipenuhi.
Kesimpulannya, adalah subgrup dari G.
2. Z merupakan himpunan bilangan bulat dan (Z, +) merupakan grup. H = 3Z adalah
himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukkan bahwa H ≤ B.
Jawab:
Kita ketahui bahwa dan . Untuk membuktikan H subgrup dari Z,
Ambil akan dibuktikan bahwa (a+b) ϵ H dan .
berarti a = 3k dengan k ϵ Z. b ϵ H berarti b = 3h dengan h ϵ Z. Oleh karena itu,

8. a + b = 3k +3h = 3(k + h) dengan (k + h) ϵ Z, karena (Z, +) suatu grup . sehingga (a + b) ϵ
H.
Jadi, . Terbukti bahwa H subgrup dari Z.