Dokumen tersebut membahas tentang konsep pemetaan dalam matematika. Pemetaan adalah cara menghubungkan unsur-unsur dari satu himpunan ke himpunan lainnya. Ada beberapa jenis pemetaan seperti pemetaan injektif, surjektif, dan bijektif yang dijelaskan beserta contoh-contohnya.

1. PEMETAAN
Pemetaan adalah konsep yang dikenal hampir di semua cabang matematika, walaupun
terminology dan notasi yang digunakan berbeda-beda. Disini akan digunakan notasi dan
terminology.
DEFINISI. 1
Bila 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑏 ∈ 𝐵 dan a dipasangkan dengan b, maka dikatakn bahwa a dipetakan ke
b, Pemetaan 𝛽 dari himpunan A ke himpunan B dilambangkan dengan 𝛽: 𝐴 → 𝐵.
Secara matematik definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∃ 𝑏! ∈ 𝐵 ∋ 𝑦 = 𝛽( 𝑎)
Definisi diatas ekuivalen dengan: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 dengan 𝑎 = 𝑏 maka 𝛽( 𝑎) = 𝛽( 𝑏).
Kontraposisi jika 𝛽( 𝑎) ≠ 𝛽( 𝑏) maka 𝑎 ≠ 𝑏.
Himpunan 𝐴 disebut daerah asal (domain) dari 𝛽 dan himpunan 𝐵 disebut daerah hasil
(codomain) dari 𝛽. Jika 𝛽: 𝐴 → 𝐵 suatu pemataan, dengan 𝛽( 𝑥) = 𝑦 maka 𝑦 dinamakan
bayangan (image) dari 𝑥 dan 𝑥 dinamakan prabayangan atau prapeta dari 𝑦. Himpunan
yang berisi semua nilai pemetaan 𝛽 disebut jelajah (range) dari 𝛽. Perhatikan bahwa
jelajah dari 𝛽 adalah himpunan bagian dari B.
 a adalah prapeta dari 1
 b adalah prapeta dari 3
 c adalah prapeta dari 5
 d adalah prapeta dari 2
SUATU PEMETAAN DARI HIMPUNAN A KE HIMPUNAN B (MASING-
MASING TIDAK KOSONG) ADALAH SALAH SATU CARA ATURAN YANG
DAPAT DIPAKAI UNTUK MENGAITKAN SETIAP UNSUR DI A DENGAN
TEPAT SATU UNSUR DI B.
a
A
b
c
d
1
B
2
3
4
5
a
A
b
B
β
β

2. DEFINISI. 2
Dari definisi diatas terlihat bahwa setiap unsur yang memepunyai prapeta, prapetanya
merupakan himpunan tunggal. Dapat di pertegas bahwa suatu pemetaan injektif setiap
unsur yang berbeda, berbeda juga petanya. Dengan demikian kita dapat menggunakan
kesamaan peta, berikut ini pernyataan yang ekuivalen dengan definisi diatas:
1. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 dengan 𝑥 ≠ 𝑦. maka 𝛽( 𝑥) ≠ 𝛽( 𝑦)
2. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 dengan 𝛽( 𝑥) = 𝛽( 𝑦) maka 𝑥 = 𝑦
Bukti: Misalkan 𝛽 memetakan S ke dalam T, maka 𝛽 diebut pemetaan satu-satu jika
elemen-elemen yang berbeda dalam T ditetapkan dengan elemen-elemen yang
berbeda dalam S, yaitu jika tak ada dua buah elemen dalam S yang mempunyai
bayangan yang sama. Secara lebih singkat, 𝛽 = 𝑆 → 𝑇 adalah satu-satu jika 𝛽( 𝑥) =
𝛽( 𝑦) maka 𝑥 = 𝑦 atau yang ekuivalen dengannya yaitu jika 𝑥 ≠ 𝑦 maka 𝛽( 𝑥) ≠
𝛽( 𝑦)
Contoh:
Pemetaan injektif karena relasi “akar dari” dari himpunan A ke himpunan B
memiliki masing-masing 1 bayangan yaitu:
 Prapeta 1 adalah 1
 Prapeta 4 adalah 2
 Prapeta 9 adalah 3
 Prapeta 16 adalah 4
SUATU PEMETAAN 𝜷 = 𝑺 → 𝑻 DIKATAKAN INJEKTIF ATAU SATU-
SATUNYA JIKA DAN HANYA JIKA: ∀𝒚 ∈ 𝜷( 𝑺) → 𝜷∗( 𝒚) BERUPA
HIMPUNAN TUNGGAL.
1
2
3
4
1
4
9
16
A Bβ

3. Contoh:
Bukan injektif karena Ada unsur di domain yang tidak sama tetapi memiliki
bayangan yang sama di kodomaian maka petanya sama. Yaitu prapeta Taurus
tidak tunggal yaitu Joko dan Johan.
DEFINISI. 3
Dengan kalimat, derah ini sama dengan daerah kawan. Pernyataan berikut ekuivalen
dengan definisi distas:
1. ∀𝑡 ∈ 𝑇,∃𝑠 ∈ 𝑆, ∋ 𝛽( 𝑠) = 𝑡 (baca untuk setiap 𝑡 ∈ 𝑇 terdapat 𝑠 ∈ 𝑆 sedemikian
hingga 𝛽( 𝑠) = 𝑡
2. ∀𝑡 ∈ 𝑇 → 𝛽∗( 𝑡) ≠ ∅
Bukti: Misalkan 𝛽 memetakan S ke dalam T. Maka jangkauan 𝛽( 𝑆) dari pemetaan 𝛽
adalah subhimpunan T, yaitu 𝛽( 𝑆) ⊂ 𝑇. Jika 𝛽( 𝑆) = 𝑇, yaitu, jika setiap anggota T
muncul sebagai bayangan dari sekurang-kurangnya satu elemen S, maka kita katakana “𝛽
memetakan S pada T”.
Suatu Pemetaan 𝜷: 𝑺 → 𝑻 dikatakan surjektif jika dan hanya jika 𝜷( 𝑺) = 𝑻
Jaky
Joko
Jaka
Johan
Gemini
Taurus
Pisces
A B
β

4. Contoh:
Pemetaan surjektif karena 𝑇 = {1,2,3} merupakan jelejah dari 𝛽.
Contoh:
Bukan pemetaan surjektif karena Ada unsure di T yaitu 4 yang prapetanya ∅, atau
4 tidak termasuk jelajah 𝛽 = {1,2,3,5}
a
b
c
d
1
2
3
S T
𝛽
a
S
b
c
d
1
T
2
3
4
5
β

5. DEFINISI. 4
Contoh:
Relasi 𝛽 = {(1, 𝑢)(2, 𝑤)(3, 𝑣)} dari 𝐴 = {1,2,3} ke 𝐵 = { 𝑢, 𝑣, 𝑤} dikatakan
Bijektif karena 𝛽 adalah pemetaan injektif dan pemetaan surjektif.
Contoh:
Bukan pemetaan bijektif karena pemetaan injektif tidak dipenuhi yaitu 2 memiliki
2 buah prapeta yaitu a dan d. Serta pemetaan surjektif juga tidak di penuhi karena
B bukan merupakan jelejah dari 𝛽.
1
2
3
u
v
w
A B
β
SUATU PEMETAAN YANG SURJEKTIF DAN INJEKTIF DINAMAKAN
PEMETAAN BIJEKTIF.
a
b
c
d
1
2
3
4
A B
Bukan bijektif
β

6. DEFINISI. 5
Contoh:
1. 𝛽: 𝑁 → 𝑁 dengan 𝛽( 𝑥) = 2𝑥 adalah pemetaan injektif bukan pemetaan surjektif.
Bukti:
Ambil sembarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁 dengan 𝛽( 𝑥) = 𝛽( 𝑦), akan ditunjukkan 𝑥 = 𝑦. Dari
𝛽( 𝑥) = 𝛽( 𝑦) menurut definisi pemetaan 𝛽 maka 2𝑥 = 2𝑦 akibatnya 𝑥 = 𝑦 (terbukti
𝛽 injektif ).
𝛽 bukan pemetaan surjektif karena ∃1 ∈ 𝑁 (kodomain) tidak memiliki prapeta.
2. Bangun pemetaan 𝛿: 𝑁 → 𝑁, dengan aturan sebagai berikut:
𝛿( 𝑥) = banyaknya angka dari bilangan x
𝛿 merupakan pemetaan surjektif tetapi bukan injektif.
Bukti:
𝛿( 𝑥) = banyaknya angka dari bilangan x
Misalnya x = 1,2,…,9 memiliki 𝛿( 𝑥) = 1
x = 10,11,…,99 memiliki 𝛿( 𝑥) = 2
Jadi ∀𝑦 ∈ 𝑁 (kodomain) ∃𝑥 ∈ 𝑁 (domain) ∋ 𝛿( 𝑥) = 𝑦. Berarti pemetaan 𝛿 surjektif.
𝛿 bukan pemetaan injektif karena:
Ambil x=2 dan y=5, 𝑥 ≠ 𝑦 akan tetapi 𝛿( 𝑥) = 1 dan 𝛿( 𝑦) = 1
atau 𝛿( 𝑥) = 𝛿( 𝑦) ini berarti sifat injektif tidak dipenuhi.
3. 𝜆: 𝑁 → 𝑁 dengan 𝜆( 𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑁
Pemetaan 𝜆 merupakan pemetaan bijektif.
PEMETAAN KOMPOSISI
DEFENISI G-1
Jika 𝛽: 𝑆 → 𝑇 dan 𝛿: 𝑇 → 𝑈 maka komposisi dari 𝛽 dan 𝛿 (disebut product) adalah
pemetaan 𝛼 = 𝛿° 𝛽: 𝑆 → 𝑈 yang didefenisikan sebagai 𝛼( 𝑥) = ( 𝛿 ∘ 𝛽)( 𝑥) =
𝛿( 𝛽( 𝑥)),∀𝑥 ∈ 𝑆 dan ditulis sebagai 𝛼 = 𝛿° 𝛽.
Bukti:
Misalkan 𝛽 suatu pemetaan dari S ke dalam T dan 𝛿 dari T ke dalam U di mana T adalah
kodomain dari 𝛽. di ilustrasikan dengan diagram venn sebagai berikut:
s t u
𝛽 𝛿
Dua pemetaan 𝛽: 𝐴 → 𝐵 dan 𝛿: 𝐶 → 𝐷 dikatakan sama (ditulis 𝛽 = 𝛿) jika
dan hanya jika:
1. A=C 2. B=D 3. 𝛽( 𝑥) = 𝛿( 𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐴

7. Misalkan ; maka bayangannya yaitu berada dalam T di mana T adalah ranah
dari . Oleh sebab itu, kita dapat memperoleh bayangan dari di bawah peta ,
yaitu 𝛿( 𝛽( 𝑠)). Jadi kita memepunyai aturan yang menetapkan tiap-tiap elemen 𝑠 ∈ 𝑆
dengan suatu elemen yang terangkaikan dengannya yaitu 𝛿( 𝛽( 𝑠)).∈ 𝑈. Dengan
perkataan lain, kita mempunyai pemetaan dari S ke dalam U. Pemetaan baru ini disebut
pemetaan komposisi yang dinyatakan oleh ( 𝛿° 𝛽) 𝑎𝑡𝑎𝑢 ( 𝛿𝛽)
Secara lebih singkat, jika 𝛽: 𝑆 → 𝑇 dan 𝛿: 𝑇 → 𝑈 maka kita definisikan suatu fungsi
( 𝛿° 𝛽): 𝑆 → 𝑈 dengan ( 𝛿° 𝛽)( 𝑠) ≡ 𝛿( 𝛽( 𝑠)).
Disini ≡ digunakan untuk mengartikan sama menurut definisi. Kita dapat lengkapi
diagram di atas
Contoh: 𝐴:{1,2,3}
𝐵:{ 𝑢, 𝑣, 𝑤}
𝐶: { 𝑥, 𝑦, 𝑧}
Tentukan fungsi komposisi A ke C, jika diketahui  (a) = (1,u), (2,u), (3,v) dan  (a) =
(u,y), (v,x), (w,z).
(.) = (1,y) (2,y) (3,x)
s t u
𝛿 𝛽
( 𝛿° 𝛽)
A B
1
2
3
u
v
w
β
x
y
z
(.) (a)
C


8. Teorema G-1
Diberikan tiga pemetaan 𝛽: 𝑆 → 𝑇; 𝛿: 𝑇 → 𝑈 𝑑𝑎𝑛 𝛼: 𝑈 → 𝑉 maka berlaku sifat Assosiatif
atau 𝛼( 𝛿𝛽) = ( 𝛼𝛿) 𝛽
Bukti: Dari definisi kesamaan pemetaan jelas bahwa daerah domain dari kedua pemetaan
tersebut sama yaitu S, demikian juga dengan daerah kodomainnya sama yaitu V, jadi
tinggal dibuktikan : [ 𝛼( 𝛿𝛽)]( 𝑥) = [( 𝛼𝛿) 𝛽]( 𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑆
Ambil sembarang 𝑥 ∈ 𝑆, berdasarkan definisi komposisi fungsi:
[ 𝛼( 𝛿𝛽)]( 𝑥) = 𝛼[( 𝛿𝛽)( 𝑥)] = 𝛼[ 𝛿{ 𝛽( 𝑥)}] = [ 𝛼𝛿]{ 𝛽( 𝑥)} = [( 𝛼𝛿) 𝛽]( 𝑥)
[ 𝛼( 𝛿𝛽)]( 𝑥) = [( 𝛼𝛿) 𝛽]( 𝑥) terbukti sifat Assosiatif dipenuhi.
Untuk lebih memahami akan diilustrasikan dalam diagram dibawah ini:
Misalkan 𝛽: 𝑆 → 𝑇; 𝛿: 𝑇 → 𝑈 𝑑𝑎𝑛 𝛼: 𝑈 → 𝑉, kita dapat membentuk hasil kali fungsi
𝛿° 𝛽: 𝑆 → 𝑈 dan kemudian fungsi 𝛼( 𝛿° 𝛽): 𝑆 → 𝑉.
Teorema G-2
Misalkan pemetaan 𝛼: 𝑆 → 𝑇 dan 𝛿: 𝑇 → 𝑈 maka:
1. 𝛿° 𝛼 adalah injektif jika 𝛿 dan 𝛼 masing-masing injektif.
2. 𝛿° 𝛼 adalah surjektif jika 𝛿 dan 𝛼 masing-masing surjektif.
Bukti:
𝛿° 𝛼 adalah injektif jika 𝛿 dan 𝛼 masing-masing injektif.
 Akan ditunjukkan 𝛿° 𝛼 adalah injektif, Artinya ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 dan 𝑥 ≠ 𝑦 maka
( 𝛿𝛼)( 𝑥) ≠ ( 𝛿𝛼)( 𝑦).
Ambil sembarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 dengan 𝑥 ≠ 𝑦 karena 𝛼 pemetaan injektif dan
𝛼( 𝑥) ≠ 𝛼( 𝑦) ∈ 𝐷𝛿( 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑒𝑡𝑎𝑎𝑛 𝛿) maka menurut definisi
𝛿( 𝛼( 𝑥)) ≠ 𝛿( 𝛼( 𝑦)) atau 𝛿𝛼( 𝑥) ≠ 𝛿𝛼( 𝑦) artinya 𝛿° 𝛼 adalah injektif (terbukti)
S T U U
𝛽 𝛿 𝛼
𝛿° 𝛼
𝛼( 𝛿° 𝛽)

9.  Akan ditunjukkan 𝛿° 𝛼 adalah injektif, Artinya ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 dan 𝑥 = 𝑦 maka
( 𝛿𝛼)( 𝑥) = ( 𝛿𝛼)( 𝑦).
Andaikan ( 𝛿° 𝛼)( 𝑥) = ( 𝛿° 𝛼)( 𝑦). Maka 𝛿( 𝛼( 𝑥)) = 𝛿( 𝛼( 𝑦)). Karena 𝛼 pemetaan
injektif, maka 𝛼( 𝑥) = 𝛼( 𝑦). Selanjutnya karena 𝛿 adalah pemetaan injektif,
maka 𝑥 = 𝑦. Sehingga menurut definisi 𝛿( 𝛼( 𝑥)) = 𝛿( 𝛼( 𝑦)) atau 𝛿𝛼( 𝑥) =
𝛿𝛼( 𝑦) artinya 𝛿° 𝛼 adalah injektif (terbukti)
𝛿° 𝛼 adalah surjektif jika 𝛿 dan 𝛼 masing-masing surjektif.
 Kita akan memperlihatkan bahwa untuk setiap 𝑢 ∈ 𝑈, terdapat 𝑠 ∈ 𝑆 sehingga
( 𝛿° 𝛼)( 𝑠) = 𝑢. Misalkan 𝑢 ∈ 𝑈, karena 𝛼 adalah pemetaan pada terdapat 𝑡 ∈ 𝑇
sehingga ( 𝑡) 𝛼 = 𝑢. Tetapi 𝛿 adalah pemetaan pada terdapat 𝑡 ∈ 𝑇 terdapat 𝑢 ∈
𝑈, sehingga 𝑡 = ( 𝑠) 𝛿. Hal ini berakibat
𝑢 = 𝛼( 𝑡) = 𝛼( 𝑠( 𝛿)) = ( 𝛿° 𝛼)( 𝑠)
Jadi 𝛿° 𝛼 adalah surjektif
PEMETAAN IDENTITAS
DEFINISI H-1
Bukti: Misalkan 𝐼: 𝑆 → 𝑇. Maka 1 𝑇° 𝐼 = 𝐼 dan 𝐼°1 𝑇 = 𝐼, yaitu hasil kali dari sembarang
fungsi dan fungsi satuan adalah fungsi itu sendiri.
S DAN T MASING-MASINGHIMPUNAN TAK HAMPA, PEMETAAN 𝐼: 𝑆 → 𝑇
DIKATAKAN PEMETAAN IDENTITAS JIKA DAN HANYA JIKA BERLAKU:
𝐼( 𝑠) = 𝑠, ∀𝑠 ∈ 𝑆
x
S
y
α(x)
T
α (y)
δ(α(x))
U
δ (α (y))
α δ

10. PEMETAAN INVERS
S dan T masing-masing himpunan tak hampa, bangun pemetaan 𝜌: 𝑆 → 𝑇
Pemetaan 𝛿: 𝑇 → 𝑆 dikatakan pemetaan invers dari 𝜌 jika dan hanya jika ( 𝜌° 𝛿)( 𝑥) =
( 𝛿° 𝜌)( 𝑥) = 𝐼( 𝑥),∀𝑥 ∈ 𝑆 selanjutnya fungsi tersebut dinotasikan sebagai 𝜌−1.
Bukti:
Misalkan 𝜌 suatu fungsi dari S ke dalam T, dan misalkan 𝑡 ∈ 𝑇. Maka invers dari 𝑡,
dinyatakan oleh 𝜌−1( 𝑡). Yang terdiri dari elemen-elemen S yang dipetakan pada 𝑡, yaitu
elemen-elemen dalam A yang memiliki 𝑡 sebagai bayangannya. Secara lebih singkat, jika
𝜌: 𝑆 → 𝑇 maka 𝜌−1( 𝑡) = { 𝑥 𝑥𝜀𝐴,𝜌( 𝑥) = 𝑡}
Perhatikan bahwa 𝜌−1( 𝑡) adalah sebuah himpunan dari S.
Contoh :
1. Relasi  = (1,u), (2,w), (3,v) dari  = 1,2,3 ke T = u,v,w adalah fungsi yang
berkorespondensi satu ke satu.
Invers  = (u,1), (w,2), (v,3)
 t
T
 ()
𝜌−1(t)
S
 ()
𝜌−1 (t)
S

T
1
2
3
u
v
w