Makalah ini membahas topik subgrup dan subgrup siklik dalam struktur aljabar, dengan fokus pada pembuktian dan teorema yang relevan. Tujuan penulisan adalah untuk memahami cara membuktikan suatu himpunan bagian merupakan subgrup menggunakan definisi dan teorema yang ada. Beberapa teorema penting yang dibahas termasuk definisi subgrup, teorema mengenai karakteristik grup siklik, dan sifat-sifat yang harus dipenuhi agar suatu himpunan bagian menjadi subgrup.

1. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Struktur aljabar merupakan salah satu cabang matematika abstrak, yang
umumnya akan lebih sulit dibandingkan dengan cabang lain yang lebih
konkrit. Di dalam makalah ini, kita akan mempelajari mengenai subgrup dan
subgrup siklik. Pada pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari grup
sebagai dasar dari subgrup dan subgrup siklik begitu pula dengan contohnya
dengan menggunakan elemen dan operasi yang bermacam-macam. Semua itu
di tujukan untuk memberikan ilustrasi yang cukup lengkap perihal defenisi
grup dan kaitannya dengan himpunan dan operasi yang sudah kita kenal
sebelumnya.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam makalah ini adalah sebagai berikut: 1)
Bagaimana cara untuk membuktikan suatu himpunan bagian dengan operasi
yang sama merupakan subgrup menggunakan definisi subgrup, 2) Bagaimana
cara untuk membuktikan suatu himpunan bagian dengan operasi yang sama
merupakan subgrup menggunakan teorema subgrup, 3) Bagaimana
membuktikan himpunan dengan operasi biner merupakan grup siklik, 4)
Bagaimana membuktikan teorema subgrup siklik, dan 5) Bagaimana
membuktikan sifat klasifikasi grup siklik dari suatu grup finit.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan makalah ini,kami hanya membahas masalah tentang
subgrup dan grup siklik.
1

2. 1.4 Tujuan
Adapun tujuan dari makalah ini adalah untuk memahami cara
membuktikan suatu himpunan bagian merupakan subgrup
2

3. BAB II
KAJIAN TEORITIS
2.1 Subgrup
Definisi 2.1.1:
Suatu subset H tidak kosong dari G disebut subgrup dari grup G jika
terhadap operasi di G, H sendiri membentuk grup. Dari definisi tersebut,
pertama harus ditunjukkan bahwa H tidak kosong, H subset dari G, dan
berikutnya setiap elemen dari H terhadap operasi di G memenuhi
aksioma grup.
Contoh 1.
a. Misalkan H Apakah H merupakan subgrup dari
G?
Penyelesaian :
Jelas bahwa H bukan merupakan himpunan kosong, Karena (0,0) H.
Akan di tunjukkan bahwa H memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang
dan dengan menggunakan sifat bilangan
bulat di perhatikan bahwa :
Jadi terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.
Jika di pilih elemen (0,0) H maka untuk setiap akan
berlaku :
3

4. Jadi, (0,0) H merupakan identitas pada H. Untuk sebarang
dipilih elemen , sehingga akan berlaku :
Jadi, setiap elemen memiliki elemen invers terhadap
operasi yaitu . Karena keempat aksioma berlaku maka H
merupakan grup terhadap operasi , akibatnya H merupakan subgrup
atas G.
b. Tentukan subgrup dari Z6 ={0,1,2,3,4,5} dan gambar diagram cayley
dan selidiki himpunan-himpunan bagian H1 = {0,3} dah H2 = {0,2,4}
dari operasi dengan operasi penjumlahan modulu 6!
Penyelesaian :
Pada Z6 ={0,1,2,3,4,5}
+6 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
4

5. Perhatikan himpunan bagian dari Z6 yaitu H1 = {0,3} dah H2 = {0,2,4}.
Akan dibentuk tabel cayley dari H1 dah H2 terhadap operasi yang sama
pada Z6 yaitu dengan penjumlahan modulo 6,lihat tabel berikut :
Tabel Cayley dari grup H1
+6 0 3
0 0 3
3 3 0
Tabel cayley dari grup H2
+6 0 2 4
0 0 2 4
2 2 4 0
4 4 2 0
Untuk memperlihatkan bahwa H1 dan H2 dengan operasi
penjumlahan modulo 6 adalah suatu grup .
Dengan melihat tabel di atas di peroleh :
1. Aksioma pertama (sifat tertutup) dipenuhi karena seluruh hasil
operasi ada pada himpunan H1 dan H2.
2. Aksioma kedua (sifat assosiatif) penjumlahan modulo 6 dipenuhi
pada Z6, karena pada H1 dan H2 juga dipenuhi.
5

6. 3. Aksioma ketiga (Unsur identitas) dipenuhi :
H1 dan H2 sebagai unsur identitas karena H1 dan H2
dipenuhi a +6 0 = 0 +6 a = a
4. Aksima keempat (unsur invers) dipenuhi yaitu :
H1 0 inversnya 0, 3 inversnya 3.
H2 inversnya 0, 2 inversnya 4 dan 4 inversnya 4.
Teorema 2.1.1:
Suatu subset H yang tidak kosong dari grup <G,*> merupakan
subgrup dari G jika dan hanya jika :
maka (Aksioma pertama dari defenisi grup)
maka (Aksioma keempat dari defenisi grup)
Bukti teorema di atas dapat diperjelas sebagai berikut :
H G
Akan di tunjukkan :
a. Jika H subgrup dari G maka dipenuhi 1 dan 2.
b. Jika dipenuhi 1 dan 2 maka H subgrup dari G.
Bukti a :
Karena H merupakan subgrup dari G maka menurut defenisi subgrup H
memenuhi keempat aksioma grup. Dengan demikian maka H memenuhi
sifat 1 dan 2.
Bukti b :
Untuk menunjukkan bahwa H subgrup dari G, berikut akan di buktikan
aksioma ke 2 dan ke 3
6

7. Aksioma ke 2 :
G merupakan grup berarti setiap unsur di G memenuhi sifat assosiatif,
sedangkan H G, maka setiap unsur di H juga unsur di G, sehingga
setiap unsur di H juga memenuhi sifat Assosiatif.
Aksioma ke 3 :
Ambil sembarang a H, karena sifat 1 di penuhi pada H maka
atau (Terbukti aksioma ketiga dipenuhi).
Dengan demikian keempat aksioma grup di penuhi dan H G maka H
merupakan subgrup dari G.
Teorema 2.1.2:
Suatu subset H yang tidak kosong dari grup <G,*> merupakan subgrup
dari G jika dan hanya jika : H maka H.
Bukti teorema di atas juga terdiri dari dua bagian :
H G
a. Jika H subgrup dari G maka berlaku H H
b. Jika H berlaku H maka H subgrup dari G
Bukti a :
H subgrup dari G maka H grup berarti memenuhi keempat aksioma grup.
Ambil sembarang H menurut aksioma keempat b-1 H,selanjutnya
dengan aksioma pertama dipenuhi H.
Bukti b :
Ambil sembarang H diperoleh H atau e H memenuhi
aksioma ketiga.
7

8. Ambil sembarang e, H diperoleh H atau H
memenuhi aksioma keempat.
Ambil sembarang H diperoleh H atau H
memenuhi aksioma pertama
Dengan di penuhi aksioma pertama dan keempat menurut teorema
2.1.1 maka H merupakan subgrup dari G.
Teorema 2.1.3:
Suatu himpunan bagian H tidak kosong dari G dikatakan subgrup
dari <G,*> jika dan hanya jika :
a. H tertutup terhadap operasi biner *
b. Unsur identitas e g ada dalam H (e G maka e H)
-1
c. H maka a H
Bukti teorema di atas juga juga terdiri dari dua bagian :
H G
1. Jika H subgrup dari <G,*> maka berlaku a,b, dan c
2. Jika a,b,dan c berlaku maka H subgrup dari <G,*>
Bukti 1 :
Jika H subgrup dari <G,*> maka berlaku a,b, dan c
Jika H subgrup dari <G,*> berarti memenuhi keempat aksioma dari
grup
H tertutup terhadap operasi biner * (aksioma pertama grup)
Unsur identitas e g ada dalam H (e G maka e H ) (aksioma ketiga
identitas dari grup)
H maka a-1 H (aksioma keempat dari grup)
8

9. Dari pernyataan di atas dimana terdapat aksioma 1, aksioma 3, dan
aksioma 4 dapat kita simpulkan bahwa terbukti Jika H subgrup dari
<G,*> maka berlaku a,b, dan c.
Bukti 2 :
Jika a,b,dan c berlaku maka H subgrup dari <G,*>
Ambil sembarang a,b G
a*b = a+b G ( sifat tertutup terpenuhi atau aksioma pertama di
penuhi)
Unsur identitas e G ada dalam H (e G maka e H)
Pilih e = 0 e G , ambil sembarang a G maka a*e = a + 0 = adan
e*a = 0 + a = a
Sehingga dipenuhi a*e = e*a = a , Artinya e = 0 elemen identitas
( aksioma ketiga dipenuhi)
H maka a-1 H
Ambil sembarang a H ,pilih a-1 = -a H sehingga a * a-1 = a + (-
a) = 0 = e dan a-1 * a = -a + a = 0 = e. Berarti H maka a-1
H = -a H a * a-1 = a-1 * a = e (aksioma keempat dipenuhi)
Dengan dipenuhi aksioma pertama,ketiga dan keempat dari grup
maka menurut defenisi A-1 H merupakan subgrup dari <G,*>.
Dari bukti 1 dan 2 maka dapat di simpulkan bahwa Suatu
himpunan bagian H tidak kosong dari G dikatakan subgrup dari
<G,*> jika dan hanya jika :
a. H tertutup terhadap operasi biner *
b. Unsur identitas e g ada dalam H (e G maka e H)
c. H maka a-1 H
9

10. Teorema 2.1.4:
H himpunan bagian yang berhingga dan tak kosong dari grup G. H
subgrup dari G jika H memenuhi sifat tertutup.
Bukti :
Dengan menggunakan Teorema A-1, yaitu:
Suatu subset H yang tidak kosong dari grup merupakan subgrup
dari G, jika dan hanya jika:
1. maka (Aksioma pertama dari defenisi grup)
2. maka (Aksioma keempat dari defenisi grup)
Maka tinggal dibuktikan bahwa a-1 H jika a H.
Jika a = e maka a-1= a. Lalu jika a e maka ada beberapa
kemungkinan yaitu, a, a2,a3,….
Karena H terbatas dan tertutup di bawah operasi terhadap G untuk
setiap a bilangan positip dalam H, tidak semua anggotanya berbeda.
Kemudian, ai = aj dan i> j maka ai-j = e, dan karena a e , i-j > 1.
ai-j = a . ai-j-1 = e
ai-j-1 = a-1. Tetapi i-j-1 1 mengakibatkan ai-j-1 H. (Terbukti)
Teorema 2.1.5 :
Jika S dan T masing-masing subgrup dari G maka S T subgrup
dari G.
Bukti :
S T karena ada e S dan e T jadi e S T
Ambil sembarang x S T maka x S dan x T sehingga x G jadi
S T G
Ambil sembarang x,y S T maka x,y S dan x,y T karena S dan T
subgrup dari G maka xy-1 S dan xy-1 T .Jadi xy-1 S T.
10

11. Menurut teorema 2.1.2 S T subgrup dari G (terbukti).
Jadi Jika S dan T masing-masing subgrup dari G maka S T
subgrup dari G.(Terbukti)
Teorema 2.1.6 :
Jika { } suatu koleksi subgrup dari G maka S = merupakan
subgrup dari G.
Bukti :
Diketahui suatu koleksi subgrup dari G berarti S1 , S2 , S3 , S4... , Sα
merupakan subgrup-subgrup dari G.
Dengan menggunakan Teorema A-5, jika dua buah subgrup diiriskan
maka irisannya adalah subgrup, dengan demikian untuk S =
= S 1 S2 S3 S4 ... Sα
Karena S1 S2 merupakan subgrup, demikian juga S3 S4 merupakan
subgrup, hingga
Sα-1 Sα juga merupakan grup, maka jika diteruskan irisannya adalah
subgrup dari G.
Contoh 2:
Z = himpunan semua bilangan bulat, operasi * didefenisikan sebagai
penjumlahan biasa. Dari contoh 1 diketahui bahwa merupakan
grup. H adalah himpunan semua bilangan genap. Tunjukkan bahwa H
merupakan subgrup dari Z.
Penyelesaian :
Dari soal di atas H Z dan H karena 4 adalah bilangan genap
maka 4 H.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa merupakan grup.
11

12. Untuk membuktikan soal di atas dapat digunakan defenisi subgrup dan
teorema yang berkaitan yaitu Teorema A-1 ataupun A-2 .
Dengan defenisi grup dapat dilakukan seperti contoh sebelumnya.
Dengan Teorema A-1:
Ambil sebarang a, b H dari defenisi dapat ditulis a = 2m dan b = 2n;
m,n Z.
a+b = 2m + 2n
= 2 (m + n); k = (m + n) Z
= 2k H (sifat pertama dari Teorema A-1 dipenuhi)
Ambil sebarang a H dari defenisi dapat ditulis a = 2m dengan m Z.
a-1 = -a = -2m
= 2 (-m) , karena m Z maka k = -m Z
= 2k H (sifat kedua dari Teorema A-1 dipenuhi)
Maka terbukti H merupakan subgrup dari Z.
Defenisi 2.2 :
Center dari grup ditulis Z (G) = {a G | a x = x a, x G}
Teorema 2.1.7:
Z(G) merupakan subgrup dari G
Bukti :
Dengan menggunaka teorema 2.1.1 :
Z(G) karena ada e G yang memenuhi e x = x e , x G, jadi e
Z (G)
Z(G) G (Defenisi )
12

13. Ambil sembarang a,b Z (G) menurut defenisi a x = x a dan b x = x b,
x G
Akan di tunjukkan ab Z(G) artinya akan di tunjukkan ab x = x ab dan
ab G
Perhatikan : abx = a xb + x ab dan ab G (berlaku sifat tertutup pada
G). Jadi ab Z(G) (Terbukti )
Ambil a Z(G) menurut defenisi a x = x a , x G , karena G grup
maka a-1 G
Perhatikan a x = x a
a-1 (a x) a-1= a-1 (x a) a-1
(a-1 a) x a-1= a-1x (a a-1)
ex a-1 = a-1 xe
x a-1 = a-1 x
Terbukti a-1 Z (G)
Karena kedua sifat dari teorema 2.1 dipenuhi maka terbukti bahwa Z
(G) merupakan subgrup dari G.
Defenisi 2.1.3 :
Centralizer dari a dalam grup G ditulis C(a) = { g G |ag = ga}
Teorema 2.1.8 :
C(a) merupakan subgrup dari G.
Bukti :
13

14. Dengan menggunaka teorema 2.1.1
C(a) karena ada e G yang memenuhi e g = g e, g G, jadi e
C(a)
C(a) G (Defenisi )
Ambil sembarang g,b C(a) menurut defenisi e g = g e dan b g = g b
g G
Akan di tunjukkan a,b G artinya akan di tunjukkan ab g = g ab dan
a,b G
Perhatikan : ab g = a gb + g ab dan a,b G (berlaku sifat tertutup pada
G ). Jadi a,b C(a) (Terbukti )
Ambil a C(a) menurut defenisi a g = g a , g G , kaena G grup
maka a-1 G
Perhatikan a g = g a
a-1 (a g) a-1= a-1 (g a) a-1
(a-1 a) g a-1= a-1g (a a-1)
eg a-1 = a-1 ge
g a-1 = a-1 g
Terbukti a-1 C(a)
Karena kedua sifat dari teorema 2.1.1 dipenuhi maka terbukti
bahwaC(a) merupakan subgrup dari G.
Contoh 5 :
Perhatikan grup G yang didefenisikan dengan tabel Cayley seperti pada tabel 1.1
14

15. Akan ditentukan center dari G atauZ(G) dan centralizer dari tiap-tiap anggota G
atau C(G).
Bila diperhatikan bagian isi dari tabel 1,1 maka urutan unsur pada baris pertama
sama dengan urutan unsur pada kolom pertama dan urutan unsur pada baris
kelima sama dengan urutan unsur pada kolom kelima. Hal ini berakibat 1*x = x*1
dan 5*x = x*5 untuk semua x G. Sehingga Center dari G atau Z(G) = {1,5}.
* 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 1 8 7 6 5 4 3
3 3 4 5 6 7 8 1 2
4 4 3 2 1 8 7 6 5
5 5 6 7 8 1 2 3 4
6 6 5 4 3 2 1 8 7
7 7 8 1 2 3 4 5 6
8 8 7 6 5 4 3 2 1
Tabel 1
Sedangkan Centralizer dari Tabel 1 untuk tiap anggota G adalah sebagai
berikut :
C(1) = G = {1,2,3,4,5,6,7,8}
C(2) = {1,2,5,6}
C(3) = {1,3,5,7}
C(4) = {1,4,5,8}
C(5) =G
C(7) = {1,3,5,7}
C(8) = {1,4,5,8}
15

16. 2.2 Subgrup Siklik
Definisi 2.2.1:
Misalkan G grup dengan operasi *,
maka :
Teorema 2.2.1:
Misalkan grup dan maka merupakan sub
grup terkecil dari G yang memuat a.
Bukti:
Kita gunakan teorema C-3 tentang sub grup
1)
2)
3 ) Sifat tertutup
Ambil sembarang p,q maka menurut syarat keanggotaan
dari H maka
Akan ditunjukkan p*q
4 ) Sifat Identitas (
16

17. 5 ) Sifat Invers
Ambil sembarang
Defenisi 2.2.2 :
Grup H pada Teorema 2.2.1 di atas disebut subgrup siklik dengan
generator a dan dinotasikan < a >.
Defenisi 2.2.3 :
Suatu grup G dikatakan grup siklik jika terdapat sehingga
< a >=G.
Contoh 1:
Z5 = ;*=operasi penjumlahan modulo 5
Apakah < Z5,*> merupakan grup siklik dan jika ya tentukan
generatornya.
Penyelesaian:
≠ (Dari defenisi)
17

18. Karena anggota dari berhingga maka hasil operasi dapat dilihat pada
tabel Cayley berikut ini:
+5 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
Dengan melihat tabel diatas,diperoleh:
1) Aksioma pertama (sifat tertutup) di penuhi karena semua hasil
operasi ada pada himpunan .
2) Aksioma kedua (sifat Asosiatif) pada penjumlahan modulo 5
dipenuhi pada bilangan bulat ,karenanya pada juga dipenuhi.
3) Aksioma ketiga (unsur Identitas) dipenuhi:
sebagai unsur identitas karena dipenuhi
a*0=0*a=a.
4) Aksioma keempat (unsur invers) dipenuhi yaitu 0 inversnya 0 ; 1
inversnya 4; 2 inversnya 3;dan 3 inversnya 2; 4 inversnya 1
5) Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa terhadap operasi
penjumlahan modulo 5 membentuk grup.
Kita selidiki unsur-unsur yang merupakan generator:
Unsur 0
01=0
02= 0+0 =0
03 = 0+0+0 =0
18

19. ........................
........................
........................
0-1=(0-1 )1=(0)1=0
0-1=(0-1 )2=(0)2=0+0=0
0-1=(0-1 )3=(0)3=0+0+0=0
............................
............................
............................
Dengan demikian 0 bukan generator
Unsur 1
11 = 1
12 = 1+1 =2
13 = 1+1+1 =3
14 = 1+1+1+1 = 4
15 = 1+1+1+1+1=0
................................
................................
................................
19

20. 1-1=(1-1 )1=(4)1=4
1-2=(1-1 )2=(4)2=4+4=3
1-3=(1-1 )3=(4)3=8+4=2
1-4=(1-1 )4=(4)4=4+4+4+4=1
1-5=(1-1)5=(4)5=4+4+4+4+4=0
............................
............................
............................
Dengan demikian 1 merupakan generator.
Unsur 2
21 = 2
22 = 2+2 = 4
23 = 2+2+2 =1
24=2+2+2+2=3
25=2+2+2+2+2=0
.........................
.........................
........................
2-1=(2-1 )1=(3)1=3
2-2=(2-1 )2=(3)2=3+3=1
20

21. 2-3=(2-1 )3=(3)3=3+3+3=4
2-4=(2-1 )4=(3)4=3+3+3+3=2
2-5 = (2-1)5=(3)5=3+3+3+3+3=0
..........................
.........................
.........................
Dengan demikian 2 merupakan generator
Unsur 3
31 = 3
32 = 3+3 = 1
33 = 3+3+3 = 4
34 = 3+3+3+3 = 2
35=3+3+3+3+3=0
..............................
..............................
.............................
3-1=(3-1 )1=(2)1=2
3-2=(3-1 )2=(2)2=2+2=4
3-3=(3-1 )3=(2)3=2+2+2=1
3-4=(3-1 )4=(2)4=2+2+2+2=3
21

22. 3-5=(3-1)5=(2)5=2+2+2+2+2=0
..........................
..........................
Dengan demikian 3 merupakan generator
Unsur 4
41 = 4
42 = 4+4 = 3
43 = 4+4+4 = 2
44 = 4+4+4+4 = 1
45=4+4+4+4+4=0
..............................
..............................
.............................
4-1=(4-1 )1=(1)1=1
4-2=(4-1 )2=(`1)2=1+1=2
4-3=(4-1 )3=(1)3=1+1+1=3
4-4=(4-1 )4=(1)4=1+1+1+1=4
4-5=(4-1)5=(1)5=1+1+1+1+1=0
..........................
..........................
22

23. Dengan demikian 4 merupakan generator
Sehingga merupakan grup siklik
Defenisi 2.2.4 :
Algoritma pembagian :
Jika
Contoh 2:
Misalkan m = 5
untuk n=19 dapat dinyatakan sebagai 19=3.5+4
maka q = 3 dan r = 4
untuk n = -3 dapat dinyatakan sebagai -3 = (-1).5+2
maka q = -1 dan r=2
Teorema 2.2.2: (Klasifikasi Subgrup dari Grup Siklik)
Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik.
Bukti:
Subgrup dari grup siklik merupakan siklik.
Misalnya G= < a > merupakan grup siklik, dan H G (baca H subgrup
dari G).
Akan ditunjukkan bahwa H merupakan grup siklik.
G= < a >, karena H G maka elemen-elemen dalam H pasti berbentuk
dengan
23

24. Jika H maka H (Ingat H subgrup dari G)
Kasus I: Jika H={e} maka H = < e > grup siklik
Kasus II: Jika H maka H pasti memuat unsur-unsur yang berbentuk
dengan p > 0
Andaikan m = bilangan bulat positif terkecil ϶
H.......................................(A)
Ambil sembarang b H maka b= untuk suatu n Z dengan algoritma
pembagian maka dengan sehingga
b= dengan atau
b=
ar=a n – qm
= H
Jadi, H dengan
Andaikan r maka berarti ada bilangan bulat positif r < m
sehingga H atau m bukan bilangan positif terkecil sehingga
H........................(B)
Timbul kontradiksi yaitu antara (A) dan (B)
Jadi,pengandaian salah, yang benar r = 0.
Jika r = 0 ini berarti n=qm sehingga b
atau
Terbukti H subgrup siklik.
Contoh 3:
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian
24

25. (G, .).Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.
Penyelesaian:
Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1
<-1> = {(-1)n| n ϵ Z}
={ (-1)0 , (-1)1 , (-1)2 ,...}
={-1,1}
<1> ={(1)n| n ϵ Z}
={ (1)0 , (1)1 , (1)2 ,...}
={1}
Generator -1 adalah membangun suatu grup siklik:
<-1> ={-1,1}
Generator 1 adalah membangun subgrup siklik:
<1> ={1}
Terlihat bahwa G merupakan grup siklik dengan generator -1, dapat
dipilih {1} merupakan subgrup dari G dan {1} merupakan subgrup siklik
dengan generator -1.
Klasifikasi dari grup siklik
1. G grup siklik dengan banyaknya unsur tak terhingga maka pada G
berlaku sifat:
2. G grup siklik dengan banyaknya unsur berhingga ( n unsur) maka
pada G berlaku sifat: membagi ( k-h).
Bukti 1:
Pernyataan di atas dapat diartikan sebagai:
G =< a> dan = tak hingga
Bukti:
Dalam logika kita memiliki equivalensi:
25

26. Andaikan: berarti
Misalkan k > h maka dengan k – h> 0
Misalkan m = bilangan bulat positip terkecil sehingga
Ambil sembarang b maka b= , untuk semua n
Menurut algoritma pembagian maka dengan
0 sehingga diperoleh
b=
Jadi, dengan
Sehingga unsur-unsur di G dapat ditulis:
Timbul kontradiksi bahwa G memiliki unsur-unsur tak berhingga.
Jadi, pengandaian salah, yang benar
Contoh 4:
, dengan operasi penjumlahan modulo 4. Buktikanlah
bahwa dengan menggunakan tabel Cayley dapat ditunjukkan bahwa
merupakan grup siklik dengan generator 1.
Penyelesaian:
(dari definisi)
Karena anggota dari Z6 berhingga maka hasil operasi dapat dilihat pada
tabel Cayley berikut:
Tabel. Menunjukkan Tabel Cyley dari grup Z4
+4 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
26

27. 3 3 0 1 2
Dengan melihat tabel diatas diperoleh :
1. Aksioma pertama (sifat tertutup) dipenuhi karena semua hasil
operasi ada pada himpunan Z4
2. Aksioma kedua (sifat assosiatif) pada penjumlahan modulo 4
dipenuhi pada bilangan bulat , karenanya pada Z4 juga dipenuhi
3. Aksioma ketiga (unsur identitas) dipenuhi : sebagai
unsur identitas karena dipenuhi
4. Aksioma keempat (unsur invers) dipenuhi yaitu :
0 inversnya 0; 1 inversnya 3; 2 inversnya 2; 3 inversnya 1
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa Z4 terhadap operasi
penjumlahan bilangan modulo 4 membentuk grup.
Akan diselidiki bahwa unsur 1 merupakan generator Z4
Unsur 1
11 = 1 1-1 = ( 1-1 ) 1 = (3)1 = 3
12 = 1 + 1 = 2 1-2 = ( 1-1 ) 2 = (3)2 = 3 + 3 = 6 = 2
13 = 1 + 1 + 1 = 3 1-3 = ( 1-1 ) 3 = (3)3 = 3 + 3 + 3 = 9 =
1
14 = 1 + 1 + 1 + 1 = 0 1-4 = ( 1-1 ) 4 = (3)4 = 3 + 3 + 3 + 3 =
12 = 0
...........................................
...........................................
............................................
Dengan demikian terbukti bahwa 1 merupakan generator
Jadi terbukti bahwa Z4 merupakan grup siklik dengan generator 1.
Selanjutnya berdasarkan Klasifikasi dari grup siklik bagian 2 dapat
dilihat bahwa
Maka hal ini dikarenakan 4|(8-4) juga 4|(12-8)
27

28. Akibat Teorema 2.2.2:
Misalkan G grup, dengan Jika maka n membagi
habis k.
Contoh 5:
pada contoh 4 merupakan grup siklik dengan generator 1
atau dan
Dengan menggunakan akibat teorema 2.2.2 diperoleh maka
4|8.
Teorema 2.2.3:
Misalkan G = <a> sebuah grup siklik berorder n, maka G = jika
dan hanya jika gcd (k,n) = 1.
Bukti:
Akan dibuktikan:
1. G= <a> sebuah grup siklik berorder n, jika gcd (k,n) = 1 maka G =
2. G = < a > sebuah grup siklik berorder n, jika G = < mak gcd
(k,n)=1.
Bukti 1:
Gcd (k,n) = 1 dengan menggunakan konsep kombinasi linier dengan
ditulis bahwa ada u,v
Ambil sembarang a maka a=
Ini menunjukkan bahwa G = <
Bukti 2:
28

29. Andaikan gcd (k,n) atau gcd (k,n)=d > 1 ini berarti k=td dan n =sd
Perhatikan dengan
Ini menunjukkan bahwa bukan generator dari G atau G
Akibat Teorema 2.2.3
Suatu bilangan bulat k merupak generator dari jika dan hanya jika
gcd (k,n)=1.
Teorema 2.2.4
Jika maka order sembarang subgrup dari merupan
faktor dari n dan untuk setiap pembagi positif k dari n, grup < a >
mempunyai tepat satu subgrup yang berorder k dinamakan
Contoh 6:
Misalkan | <a> |=20
Pembagi positif dari 20 adalah 1, 2,4,5,10,20 sehingga menurut teorema
2.2.4 , <a > memiliki subgrup yaitu:
< 1 > ={0,1,2,...,19} order 20
< 2 > ={0,2,4,...,18} order 10
< 4 > = {0,4,8,...,16} order 5
< 5 > ={0,5,10,15} order 4
<10 >={0,10 } order 2
< 20 >={0} order 1
Secara umum, jika < a > memiliki order n dan k pembagi n maka
adalah subgrup tunggal yang berorder n.
29

30. Akibat Teorema 2.2.4
Untuk tiap-tiap pembagi postif k dari n, himpunan <n/k> adalah subgrup
tunggal dari yang berorder k.
Contoh 6:
Tentukan subgrup dari Z8 atas penjumlahan kemudian gambarlah
diagram latticenya !
JAWAB:
Z8={0,1,2,3,4,5,6,7}
Ambil a= 2 dimana <2> = {0,2,4,6}. Berdasarkan teorema 2.2.1 maka:
21=2, 22=4, 23=6, 24=0,25=2
Apabila 2 selanjutnya dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka
hasilnya akan berulang. Sehingga <2> tertutup terhadap operasi di
Z8 akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z8.
Selanjutnya ambil a=4, dimana <4>={0,4}. Dengan cara serupa kita
dapatkan:
41=4, 42=0, 43=4, 44=0, 45=4
Apabila 4 dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan
berulang pada order dari <4> sehingga <4> tertutup terhadap operasi di
Z8 akibatnya <4> merupakan subgrup dari Z8.
Ternyata subgrup dari Z8 adalah <2> dan <4> dimana <2>={0,2,4,6} dan
<4>={0,4}. <2> dan <4> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z8.
Sehingga diagram latticenya adalah:
30

31. BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
1. Untuk membuktikan suatu himpunan bagian merupakan subgrup dengan
operasi yang sama dapat digunakan definisi subgrup dan teorema subgrup.
2. Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik.
3. Himpunan bagian dari suatu grup dapat dikatakan grup jika memenuhi 4
aksioma grup.
31

32. DAFTAR PUSTAKA
Galian,J.A.1998.Contemporary Abstract Algebra.Ed.4.University of
Minnesota, New York.Boston
Saragih,Prof.Dr.Sahat.2012.Struktur Aljabar I.Medan:Larispa Indonesia
http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/subgrup.html
[ diakses 17 Febuari 2013]
32