1. Definisi grup, subgrup, koset kanan dan kiri, relasi ekivalensi, dan indeks subgrup. 2. Teori Lagrange menyatakan bahwa orde subgrup membagi habis orde grup. 3. Fungsi phi Euler dan akibatnya terkait bilangan yang relatif prima.

1. KOSET SUATU GRUP
dan
TEORI LAGRANGE
FMIPA-UNS

2. • Definisi 2.7.1
Bila G grup dan H subgrup dari G, untuk setiap
dua unsur a, b dalam G, a dikatakan konkruen
dengan b modulo H, ditulis a  b (mod H),
jika ab-1  H

3. • Lemma 2.7.2
Bila G suatu grup dan H subgrup dari G. Relasi
a  b (mod H) untuk setiap a,b unsur dalam G
merupakan relasi ekivalensi

4. Pengertian Koset
• Definisi 2.7.3
Bila H subgrup dalam grup G, a suatu unsur
sebarang dalam G, maka himpunan
Ha = { ha/ h  H }
disebut Koset kanan dari H dalam G
Koset kiri dinyatakan dengan aH = { ah / h  H}
yaitu unsur h dikalikan dari kiri dengan a

5. Contoh
• Grup Z , dengan subgrup H = 4 Z.
Unsur 1 Z tapi 1 4 Z, sehingga dapat
dibentuk koset kanan 4 Z + 1.
Dalam hal ini digunakan operasi '+' pada
kosetnya, karena Z adl grup terhadap +
Koset-koset lainnya dalam Z: 4Z + 2, 4Z + 3, 4Z

6. Contoh
• Dalam grup Z6,
Jika H = { 0, 3 } subgrup dari Z6 maka koset
dari H dalam Z6 adalah
H + 1 = {1, 4}
H + 2 = {2, 5}

7. Pada grup yang komutatif koset kanan sama
dengan koset kiri, sehingga pada grup
komutatif dinamakan koset saja.
• Lemma 2. 7.4
Bila G grup dan H subgrup didalamnya. Koset
kanan Ha untuk semua a  G adalah sama
dengan himpunan { x  G / a  x . ( mod H ) }

8. Setiap relasi ekivalensi dalam suatu himpunan
akan membentuk partisi yang berupa klas-klas
ekivalen.
Karena klas-klas ekivalen merupakan partisi
berarti saling lepas,
sehingga koset-koset tersebut hanya
mempunyai 2 kemungkinan:
harus saling lepas atau berimpit sepenuhnya.

9. • Lemma 2.7.5
Bila G suatu grup dan H subgrup di dalam G,
maka dua koset yang terbentuk Ha, Hb
untuk sebarang a,b  G adalah
berkorespondensi satu-satu.

10. Teori Lagrange
• Teorema 2.7.6 ( Teori Lagrange )
Apabila G suatu grup berhingga dan H suatu
subgrup dari G, maka orde dari H membagi
habis orde dari G atau H/ G
Kebalikan dari teori Lagrange ini tidak berlaku,
artinya bila bilangan m membagi habis orde
dari grup G, tidak selalu ada subgrup H dari G
yang berorde m.

11. Indeks dari H dalam G
• Definisi 2.7.7
Bila G suatu grup dan H subgrup dari G.
Banyaknya koset kanan dari H yang berbeda
dalam grup G disebut indeks dari H dalam G
dan dinotasikan dengan iG(H).
• Contoh:
Dalam Grup Z6, dengan subgrup H = { 0, 3 } berarti H = 2
sedang Z6 = 6, maka iG (H) = 6 / 2 = 3 dan Koset-kosetnya
adalah: H, H+1 dan H+2

12. • Lemma 2.7.8
Misalkan G suatu grup dan a  G dengan
orde m, maka himpunan
H = { e, a1, a2, . . . ,am-1 }
merupakan subgrup dari G dan H = m = (a)

13. • Akibat 1
Apabila G grup berhingga dan a  G, maka
(a) / G
• Akibat 2
Apabila G suatu grup berhingga, maka
aG = e

14. • Definisi 2.7.9
Misalkan (1) = 1, dan untuk sebarang
bilangan bulat n > 1, dan (n) menyatakan
banyaknya bilangan bulat positif yang kurang
dari n dan relatif prim dengan n, maka fungsi
(n) dengan n  Z disebut fungsi phi Euler

15. • Akibat 3 (Euler)
Bila n bilangan bulat positif dan a bilangan
yang relatif prim dengan n, maka a (n)  1
mod n
• Akibat 4(Fermat)
Apabila p bilangan prima dan a sebarang
bilangan bulat maka a p  a (mod p)

16. • Lemma 2.7.10
Bila G suatu grup, H dan K masing-masing
subgrup dari G maka HK akan merupakan
subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH
• Akibat 5
Apabila G suatu grup abel dengan H dan K
subgrup dari G, maka HK juga merupakan
subgrup dari G

17. • Teorema 2.7.11
Bila G grup berhingga, H dan K dua subgrup
dari G dengan orde masing-masing H dan
K maka banyaknya unsur berbeda dari HK
dinyatakan dengan
H.K
(HK) =
H  K

18. Latihan soal
1. Bila  ab untuk a,b bilangan real adalah
pemetaan dari himpunan bilangan real R ke
dirinya sendiri dengan sifat
ab: x  ax + b.
Selanjutnya G = { ab / a bukan nol } dan H =
{ ab  G / a rasional}, maka
a. Buktikan H subgrup dari G
b. Tulislah semua koset kanan dan koset kiri
dari H dalam G.
Apakah koset kanan = koset kiri ?

19. Latihan soal
2. Bila G grup seperti soal 1, dan N = {  1b  G}
Buktikan:
a. N merupakan subgrup dari G
b. Bila a  G dan n  N, maka ana-1  N
3. Bila G grup dan H subgrup, selanjutnya bila
setiap koset kanan H dalam G juga
merupakan koset kiri dari H dalam G, maka
buktikan aHa-1 = H, untuk setiap a  G