Dokumen tersebut membahas tentang persamaan trigonometri dasar. Terdapat contoh soal penyelesaian persamaan sin, cos, dan tan beserta penjelasan umum cara penyelesaiannya. Juga dijelaskan cara pemfaktoran persamaan trigonometri untuk menentukan selesaiannya.

1. PERSAMAAN
TRIGONOMETRI DASAR
Universitas Sanata Dharma
Aljabar & Trigonometri

2. Integrating academic excellence and humanistic value
Fase-FaseBulan
Bagaimana kita bisa menjelaskan
fase-base bulan?
Mengapa bentuk bulan yang
terlihat dari bumi berubah-ubah?
Kapan kita melihat bulan baru,
bulan sabit, dan bulan purnama?

3. Integrating academic excellence and humanistic value
PersamaanTrigonometriSederhana
Ketika menyelesaikan sembarang persamaan
trigonometri, maka yang harus kita lakukan adalah
mengubah persamaan tersebut ke dalam
persamaan trigonometri sederhana
𝑇𝑇 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐
dimana 𝑇𝑇 adalah fungsi trigonometri dan 𝑐𝑐 adalah
konstanta.

4. Integrating academic excellence and humanistic value
ContohSoal
Selesaikan persamaan sin 𝑥𝑥 =
3
2
.
PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu
Periode. Nilai sin 𝑥𝑥 bernilai positif ketika 𝑥𝑥 di
Kuadran I dan II. Padahal
sin 60° =
3
2
Sehingga,
𝑥𝑥 = 60°
𝑥𝑥 = 180° − 60° = 120°
Kuadran I
Kuadran II

5. Integrating academic excellence and humanistic value
Cari Semua Selesaian. Karena fungsi sinus
berulang setiap 360°, maka semua selesaiannya
adalah
𝑥𝑥 = 60° + 𝑘𝑘 � 360°
𝑥𝑥 = 120° + 𝑘𝑘 � 360°
dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.

6. Integrating academic excellence and humanistic value
KALKULATOR
GRAFIK

7. Integrating academic excellence and humanistic value
PersamaanFungsiSinus
Selesaian Umum Persamaan Fungsi Sinus
Jika sin 𝑥𝑥 = sin 𝜃𝜃, maka
𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°, atau
𝑥𝑥 = 180° − 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°
dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.
CATATAN Jika 𝜃𝜃 dalam radian, maka kita ganti
360° dengan 2π.

8. Integrating academic excellence and humanistic value
LatihanSoal
Tentukan semua selesaian persamaan berikut.
sin 𝑥𝑥 = −
1
2

9. Integrating academic excellence and humanistic value
ContohSoal
Selesaikan persamaan cos 𝑥𝑥 =
1
2
2 dan daftarlah
beberapa selesaiannya.
PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu
Periode. Nilai cos 𝑥𝑥 bernilai positif ketika 𝑥𝑥 di
Kuadran I dan IV. Padahal
cos 45° =
1
2
2
Sehingga,
𝜃𝜃 = 45°
𝜃𝜃 = −45°
Kuadran I
Kuadran IV

10. Integrating academic excellence and humanistic value
Cari Semua Selesaian. Karena fungsi cosinus
berulang setiap 360°, maka semua selesaian
persamaan yang diberikan adalah
𝑥𝑥 = 45° + 𝑘𝑘 � 360°
𝑥𝑥 = −45° + 𝑘𝑘 � 360°
dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.
Jika kita substitusi 𝑘𝑘 = −1, 0, 1, 2 maka kita
dapatkan beberapa selesaian berikut.
𝑥𝑥 = −405°, −315°, −45°, 45°, 315°, 405°, 675°, 765°
𝑘𝑘 = −1 𝑘𝑘 = 0 𝑘𝑘 = 1 𝑘𝑘 = 2

11. Integrating academic excellence and humanistic value
KALKULATOR
GRAFIK

12. Integrating academic excellence and humanistic value
PersamaanFungsiCosinus
Selesaian Umum Persamaan Fungsi Cosinus
Jika cos 𝑥𝑥 = cos 𝜃𝜃, maka
𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°, atau
𝑥𝑥 = −𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°
dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.
CATATAN Jika 𝜃𝜃 dalam radian, maka ganti 360°
dengan 2π.

13. Integrating academic excellence and humanistic value
LatihanSoal
Selesaikan persamaan berikut, kemudian tuliskan
beberapa selesaiannya.
cos 𝑥𝑥 = −
1
2

14. Integrating academic excellence and humanistic value
ContohSoal
Tentukan selesaian persamaan tan 𝑥𝑥 = 2.
PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu
Periode.
tan 𝑥𝑥 = 2
𝑥𝑥 = tan−1 2
𝑥𝑥 ≈ 63,4°
Selesaian tersebut merupakan satu-satunya
selesaian dalam satu periode.

15. Integrating academic excellence and humanistic value
Cari Semua Selesaian. Karena periode tangen
adalah 180°, maka semua selesaian persamaan
yang diberikan adalah
𝑥𝑥 = 63,4° + 𝑘𝑘 � 180°

16. Integrating academic excellence and humanistic value
KALKULATOR
GRAFIK

17. Integrating academic excellence and humanistic value
PersamaanFungsiTangen
Selesaian Umum Persamaan Fungsi Tangen
Jika tan 𝑥𝑥 = tan 𝜃𝜃, maka
𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 180°
dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.

18. Integrating academic excellence and humanistic value
LatihanSoal
Carilah selesasian umum persamaan berikut.
tan 𝑥𝑥 = 2 + 3

19. Integrating academic excellence and humanistic value
CaraPemfaktoran
Selesaikan persamaan 2 sin2 𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥 − 1 = 0.
PEMBAHASAN Kita faktorkan bentuk pada ruas
kiri.
2 sin2 𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥 − 1 = 0
2 sin 𝑥𝑥 − 1 sin 𝑥𝑥 + 1 = 0
2 sin 𝑥𝑥 − 1 = 0 atau sin 𝑥𝑥 + 1 = 0
sin 𝑥𝑥 =
1
2
atau sin 𝑥𝑥 = −1

20. Integrating academic excellence and humanistic value
Periode fungsi sinus adalah 360°. Sehingga kita
tentukan selesaiannya untuk 0 ≤ 𝑥𝑥 < 360°.
sin 𝑥𝑥 =
1
2
𝑥𝑥 = 30° atau 𝑥𝑥 = 150°
sin 𝑥𝑥 = −1
𝑥𝑥 = 270°
Jadi, selesaian persamaan yang diberikan adalah
𝑥𝑥 = 30° + 𝑘𝑘 � 360°
𝑥𝑥 = 150° + 𝑘𝑘 � 360°
𝑥𝑥 = 270° + 𝑘𝑘 � 360°

21. Integrating academic excellence and humanistic value
LatihanSoal
Selesaikan persamaan berikut.
cos2 𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥 = 0

22. Integrating academic excellence and humanistic value
PertanyaanReflektif
• Apa yang membedakan antara membuktikan
identitas trigonometri dan menyelesaikan
persamaan trigonometri?
• Bagaimana kalian melihat selesaian persamaan
2 sin2
𝑥𝑥 − 1 = 0
dalam selang 0, 2𝜋𝜋
dengan menggunakan
kalkulator grafik?

23. Integrating academic excellence and humanistic value
Fase-FaseBulan
Jika sudut yang dibentuk oleh matahari, bumi, dan
bulan adalah 𝜃𝜃, maka nilai
𝐹𝐹 =
1
2
1 − cos 𝜃𝜃
akan menentukan bentuk bulan.
Bulan baru : 𝐹𝐹 = 0
Bulan sabit : 𝐹𝐹 = 0,25
Kuartal awal/akhir : 𝐹𝐹 = 0,5
Bulan purnama : 𝐹𝐹 = 1

24. Integrating academic excellence and humanistic value
𝜃𝜃 = 60°
F = 0,25 (bulan sabit)
𝜃𝜃 = 300°
F = 0,25 (bulan sabit)

25. Integrating academic excellence and humanistic value
#HaveANiceDay