Dokumen ini membahas aturan rantai dalam kalkulus multivariat, dengan fokus pada diferensiasi fungsi yang melibatkan dua variabel dan pembuktian beberapa teorema terkait. Berbagai contoh diberikan untuk menggambarkan penerapan aturan rantai, termasuk fungsi komposit dan kasus penggunaan dalam menghitung laju perubahan area permukaan silinder. Penjelasan mengenai turunan parsial dan konstruksi bukti juga disertakan untuk memberikan pemahaman mendalam tentang konsep-konsep ini.

1. ATURAN RANTAI
Aturan rantai dua variabel
Misalkan u adalah fungsi dua peubah dari x dan y yang terdiferensial,
didefinisikan melalui persamaan u= f(x,y) , x= F(r,s) dan y= G(r,s) serta
turunan – turunan parsial dx/dr, dx/ds, dy/dr, dy/dr semuanya ada,
Aturanrantai pada fungsi komposit (composite function) dengan satu
peubah, sejauh ini telah kita kenal dengan baik. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝑡 ), di mana baik 𝑓
maupun 𝑡 adalah fungsi-fungsi yang dapat dideferensialkan, maka
𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑡
Di sini, tujuannya adalah menghasilkan penerapan-penerapan untuk
fungsi-fungsi dengan beberapa peubah.
Versi Pertama jika 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , di mana 𝑥dan 𝑦 adalah fungsi-fungsi dari
𝑡, maka masuk akal apabila kita menyatakan
𝑑𝑧
𝑑𝑡
, yang tentunya terdapat sebuah
rumus untuk itu.
Teorema A
Aturan Rantai
Misalkan 𝑥 = 𝑥(𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑡) dapat dideferensialkan di 𝑡, dan misalkan
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 dapat dideferensialkan di
𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , maka 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑦(𝑡) dapat
dideferensialkan di 𝑡 da
𝑑𝑧
𝜕𝑧 𝑑𝑥
𝜕𝑧 𝑑𝑦
=
+
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝑑𝑡
𝜕𝑦 𝑑𝑡
Bukti kita meniru pembuktian satu peubah pada Lampiran L.2, Teorema
B. Untuk meyederhanakan notasi, misalkan
𝒑 = 𝑥, 𝑦 , ∆𝒑 = ∆𝑥, ∆𝑦 , ∆𝑧 =
𝑓 𝒑 + ∆𝒑 − 𝑓 𝒑 . Maka karena 𝑓 dapat dideferensialkan,
∆𝑧 = 𝑓 𝒑 + ∆𝒑 − 𝑓 𝒑 = ∇ 𝑓 𝐩 ∙ ∇𝐩 + ε(∆𝐩) ∙ ∆𝐩
= 𝑓𝑥 𝒑 ∆𝑥 + 𝑓𝑦 𝒑 ∆𝑦 + 𝜀(∆𝒑) ∙ ∆𝒑
Dengan 𝜀 ∆𝒑 → 0 ketika ∆𝒑 → 0.
Ketika kita membagi kedua ruas dengan ∆𝑡, maka kita akan memperoleh

2. (1)
∆𝑧
∆𝑡
= 𝑓𝑥 𝒑
Aelanjutnya,
∆𝑥
∆𝑡
+ 𝑓𝒚 𝒑
∆𝑦
∆𝑡
+ 𝜀 ∆𝒑 ∙
∆𝑥 ∆𝒚
𝑑𝑥
∆𝑡
𝑑𝑡
, ∆𝒕 mendekati
,
∆𝑥 ∆𝒚
∆𝑡
𝑑𝑦
, ∆𝒕
ketika ∆𝑡 → 0. Demikian pula, ketika
𝑑𝑡
∆𝑡 → 0, ∆𝑥 dan ∆𝑦 mendekati 0 (ingatlah bahwa 𝑥(𝑡) dan 𝑦(𝑡) kontinu, dapat
dideferensialkan). Hasilnya adalah ∆𝒑 → 0, sehingga ε(∆𝐩) → 0 ketika ∆𝑡 → 0.
Konsekuensinya, ketika kita menetapkan ∆𝑡 → 0 pada (1), kita memperoleh
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑓𝑥 𝒑
+ 𝑓𝑦 𝒑
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Yang merupakan hasil yang ekuivalen dengan Teorema A.
Penjelasan yang menarik atas Analogi Umum
Apakah analogi umum atas turan rantai dengan satu peubah (Teorema A, Subbab
3.5) juga berlaku disini? Jawabannya adalah ya, dan terdapat penjelasan yang
sangat menarik tentang hal ini. Misalkan Ʀ" melambangkan ruang berdimensi −𝑛
Euclidean. g melambangkan fungsi dari Ʀ ke Ʀ", dan 𝑓 melambangkan sebuah
fungsi dari Ʀ" ke Ʀ. Jika g dapat dideferensialkan di 𝑡 dan
𝑓 dapat
dideferensialkan di g(𝑡), maka fungsi komposit 𝑓°g dapat dideferensialkan di g(𝑡)
dan (𝑓°g)′ 𝑡 = ∇𝑓 g 𝑡
∙ g′(𝑡) seluruh perangkat yang diperlukan utuk
mendemonstrasikan fungsi ini telah bersedia. Anda diharapkan dapat melakukan
pembuktiannya.
Aturan Rantai : Kasus Dua Peubah
Berikut ini adalah konsep yang dapat memebantu anda untuk mengingat aturan
rantai.
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑦
gg
𝑥
Peubah
tak bebas
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑡
Peubah bebas
Peubah
pertengahan

3. 𝑑𝑧
𝜕𝑧 𝑑𝑥
𝜕𝑧 𝑑𝑦
=
+
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝑑𝑡
𝜕𝑦 𝑑𝑡
CONTOH 1 andaikan 𝑧 = 𝑥 3 𝑦, di mana 𝑥 = 2𝑡 dan 𝑦 = 𝑡 2 . Tentukan
𝑑𝑧
𝑑𝑡
Penyelesaian
𝑑𝑧
𝜕𝑧 𝑑𝑥
𝜕𝑧 𝑑𝑦
=
+
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝑑𝑡
𝜕𝑦 𝑑𝑡
= 3𝑥 2 𝑦 2 + (𝑥 2 )(2𝑡)
= 6 2𝑡
Sehingga
𝑑𝑧
𝑑𝑡
2
𝑡 2 + 2(2𝑡)3 𝑟 2 = 8𝑡 5
= 40𝑡 2 . meskipun demiian, metode substitusi lagsung seringkali
tidak bersedia atau tidak sesuai. Perhatikan contoh berikutnya.
CONTOH 2 Ketika sebuah silinder lingkaran tegak padat dipanaskan , jari-jari 𝑟
dan tingginya ℎ akan meningkat, sehingga luas permukaannya 𝑆 juga meningkat.
Andaikan pada waktu sesaat ketika 𝑟 = 10 𝑐𝑚 dan ℎ = 100 𝑐𝑚, 𝑟 meningkat 0,2
cm per jam dan ℎ meningkat 0,5 cm per jam. Seberapa cepatkah peningkatan 𝑆
pada waktu tersebut?
Penyelesaian rumus untuk luas permukaan total
dari sebuah silinder (Gambar 1) adalah
𝑆 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟 2
h
Jadi,
𝑑𝑆
r
𝑑𝑡
=
𝜕𝑆 𝑑𝑟
𝜕𝑟 𝑑𝑡
+
𝜕𝑆 𝑑ℎ
𝜕ℎ 𝑑𝑡
= 2𝜋ℎ + 4𝜋𝑟 0,2 + (2𝜋𝑟)(0,5)
Di 𝑟 =10 dan ℎ = 100,
𝑑𝑆
= 2𝜋 ∙ 100 + 4𝜋 ∙ 10 0,2 + (2𝜋 ∙ 10)(0,5)
𝑑𝑡
= 58 𝜋 cm2/jam

4. Hasil yang diperoleh pada Teorema A dapat diperluas untuk dengan tiga
peubah sebagaimana ilustrasi berikut ini.
CONTOH 3 Andaikan𝑊 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 + 𝑥𝑧
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑦 =
dimana
𝑑𝑤
𝑠𝑖𝑛 𝜃, 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝜃 2. Tentukan
dan hitunglah nilai tersebut di 𝜃 =
𝑑𝜃
𝜋
3
Penyelesaian
𝑑𝑤
𝜕𝑤 𝑑𝑥
𝜕𝑤 𝑑𝑦
𝜕𝑤 𝑑𝑧
=
+
+
𝑑𝜃
𝜕𝑥 𝑑𝜃
𝜕𝑦 𝑑𝜃
𝜕𝑧 𝑑𝜃
= 2𝑥𝑦 + 𝑧 −𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑥 2 + 1 cos 𝜃 + (𝑥)(2 𝜃)
= −2 cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝜃 2 sin 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 + cos 𝜃 + 2 𝜃 cos 𝜃
Di 𝜃 = 𝜋/3
𝑑𝑤
1 3 𝜋2 3
1
1 2𝜋 1
= −2 ∙ ∙ −
∙
+ +1 +
∙
𝑑𝜃
2 4 9 2
4
2 3 2
1
𝜋2 3 𝜋
=− −
+
8
18
3
Versi Kedua
Andaikan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), dimana 𝑥 = 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑠, 𝑡). Maka, masuk akal
untuk menanyakan 𝜕𝑧/𝜕𝑠 dan 𝜕𝑧/𝜕𝑡.
Teorema B Aturan Rantai
Misalkan𝑥 = 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑠, 𝑡) mempunyai turunan parsial pertama di (𝑠, 𝑡),
dan misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dapat dideferesialkan di
𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑠, 𝑡 , 𝑦 𝑠, 𝑡
𝑥 𝑠, 𝑡 , 𝑦 𝑠, 𝑡 . Maka
mempunyai turunan parsial pertama yang dinyatakan
dengan
(i)
𝜕𝑧
𝜕𝑠
=
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑠
+
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑠
;
(ii)
𝜕𝑧
𝜕𝑡
=
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑡
+
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑡
.
Bukti
Jika 𝑠 dipertahankan bernilai tetap, maka 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦(𝑠, 𝑡) menjadi fungsi-fungsi
dari 𝑡 itu sendiri, yang berarti bahwa teorema A berlaku. Ketika kita

5. menggunakan teorema ini dengan 𝜕 menggantikan 𝑑 untuk menyatakan bahwa
𝑠tetap, maka kita akan memperoleh rumus di dalam (ii) dan 𝜕𝑧/𝜕𝑡. Rumus untuk
𝜕𝑧/𝜕𝑠 diperoleh dengan cara yang serupa dengan mempertahankan nilai 𝑡.
Contoh 4
Jika 𝑧 = 3𝑥 2 − 𝑦 2 , dimana 𝑥 = 2𝑠 + 7𝑡 dan 𝑦 = 5𝑠𝑡, tentukan 𝜕𝑧/𝜕𝑡 dan
nyatakan dalam 𝑠 dan 𝑡.
Penyelesaian
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦
=
+
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑡
𝜕𝑦 𝜕𝑡
= (6𝑥)(7) + (−2𝑦)(5𝑠)
= 42 2𝑠 + 7𝑡 − 10𝑠𝑡 5𝑠
= 84𝑠 + 294𝑡 − 50𝑠 2 𝑡