Matematika Diskrit

1. 1
SOAL DAN PEMBAHASAN
MATEMATIKA DISKRIT
(Disusun dalam rangka memenuhi tugas IV
mata kuliah Matematika Diskrit di Universitas Negeri Makassar)
KELOMPOK VII
M. NURFAJRIN HATTAB (1211040003)
MUH. ALFIANSYAH (1211041019)
LISA RANTE SALONG (1211041021)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
MAKASSAR
2014

2. 2
5. Cari kovolusi dari pasangan barisan berikut!
a. (1, 1, 1, 1, … ) dan (1, 1, 1, 1, … )
b. (1, 1, 1, 1, … ) dan (0, 1, 2, 3, … )
c. (1, 1, 1, 0, 0, … ) dan (0, 1, 2, 3, … )
d. (0, 0, 0, 1, 0, 0, … ) dan (6 7, 8, 9, … )
Solusi:
Dari formula (2.2.4) (dalam buku Matematika Diskrit, I Ketut Budayasa)
(∑ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
) (∑ 𝑏 𝑛 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
) = ∑ (∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
)
∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
Sedemikian sehingga
𝑐 𝑛 = ∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
(𝑐 𝑛) 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 (𝑎 𝑛) 𝑑𝑎𝑛 (𝑏 𝑛)
Perhatikan bahwa:
a. (1, 1, 1, 1, … ) dan (1, 1, 1, 1, … )
𝑎 𝑛 = (1, 1, 1, 1, … )
𝑏 𝑛 = (1, 1, 1, 1, … ) , maka diperoleh
𝑐 𝑛 = ∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
𝑐 𝑛 = ∑ 1
𝑛
𝑘=0
(karena 𝑎𝑖 = 1, untuk setiap 𝑖 dan 𝑎𝑗 = 1, untuk setiap 𝑗
Dengan demikian (𝑐 𝑛) = (1, 2, 3, 4, … ) atau
𝑐 𝑛 = 𝑛 + 1 ; ∀𝑛 ∈ ℕ
b. (1, 1, 1, 1, … ) dan (0, 1, 2, 3, … )
𝑎 𝑛 = (1, 1, 1, 1, … )
𝑏 𝑛 = (0, 1, 2, 3, … ), maka diperoleh
𝑐 𝑛 = ∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0

3. 3
𝑐 𝑛 = ∑ 𝑏 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
(karena 𝑎𝑖 = 1, untuk setiap 𝑖 )
Dengan demikian (𝑐 𝑛) = (0, 1, 3, 6, 10, 15, … ) atau
𝑐 𝑛 = {
0, 𝑛 = 0
𝑛2
+ 𝑛
2
, 𝑛 ≥ 1, ∀𝑛 ∈ ℕ
c. (1, 1, 1, 0, 0, … ) dan (0, 1, 2, 3, … )
𝑎 𝑛 = (1, 1, 1, 0, 0, … )
𝑏 𝑛 = (0, 1, 2, 3, … ), maka diperoleh
𝑐 𝑛 = ∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
Perhatikan:
𝑐0 = 𝑎0 𝑏0 = (1)(0) = 0
𝑐1 = 𝑎0 𝑏1 + 𝑎1 𝑏0 = (1)(1) + (1)(0) = 1
𝑐2 = 𝑎0 𝑏2 + 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏0 = (1)(2) + (1)(1) + (1)(0) = 3
𝑐3 = 𝑎0 𝑏3 + 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 + 𝑎3 𝑏0 = (1)(3) + (1)(2) + (1)(1) + (1)(0) = 6
𝑐4 = 𝑎0 𝑏4 + 𝑎1 𝑏3 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏1 + 𝑎4 𝑏0
= (1)(4) + (1)(3) + (1)(2) + (0)(1) + (0)(0) = 9
𝑐5 = 𝑎0 𝑏5 + 𝑎1 𝑏4 + 𝑎2 𝑏3 + 𝑎3 𝑏2 + 𝑎4 𝑏1 + 𝑎5 𝑏0
= (1)(5) + (1)(4) + (1)(3) + (0)(2) + (0)(1) + (0)(0)
= 12
⋮
Dengan demikian (𝑐 𝑛) = (0, 1, 3, 6, 9, 12, … ) atau
𝑐 𝑛 = {
0, 𝑛 = 0
1, 𝑛 = 1
(𝑛 − 1)3, 𝑛 ≥ 2, ∀𝑛 ∈ ℕ
d. (0, 0, 0, 1, 0, 0, … ) dan (6 7, 8, 9, … )
𝑎 𝑛 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, … )
𝑏 𝑛 = (6 7, 8, 9, … ), maka diperoleh

4. 4
𝑐 𝑛 = ∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
Perhtikan:
𝑐0 = 𝑎0 𝑏0 = (0)(6) = 0
𝑐1 = 𝑎0 𝑏1 + 𝑎1 𝑏0 = (0)(7) + (0)(6) = 0
𝑐2 = 𝑎0 𝑏2 + 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏0 = (0)(8) + (0)(7) + (0)(6) = 0
𝑐3 = 𝑎0 𝑏3 + 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 + 𝑎3 𝑏0 = (0)(9) + (0)(8) + (0)(7) + (1)(6) = 6
𝑐4 = 𝑎0 𝑏4 + 𝑎1 𝑏3 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏1 + 𝑎4 𝑏0
= (0)(10) + (0)(9) + (0)(8) + (1)(7) + (0)(6) = 7
𝑐5 = 𝑎0 𝑏5 + 𝑎1 𝑏4 + 𝑎2 𝑏3 + 𝑎3 𝑏2 + 𝑎4 𝑏1 + 𝑎5 𝑏0
= (0)(11) + (0)(10) + (0)(9) + (1)(8) + (0)(7)
+ (0)(6) = 8
⋮
Dengan demikian (𝑐 𝑛) = (0, 0, 0, 6, 7, 8, … ) atau
𝑓(𝑥) = {
0, 0 ≤ 𝑛 ≤ 2
𝑛 + 3, 𝑛 ≥ 3, ∀𝑛 ∈ ℕ
16. Seorang manager dari suatu perusahaan yang bergerak dibidang transportasi
merencanakan membeli 3 jenis kenadaraan baru, sedan, bus dan truk. Sang
manajer ingin membeli 𝑛 buah kendaraan baru yang terdiri dari paling sedikit
satu sedan, paling banyak 10 bus dan sekurang-kurangnya 2 tapi tak lebih
dari 15 truk.
Ada berapa cara hal ini dapat dilakukan, jika dua kendaraan sejenis tidak
dibedakan?
Solusi:
Diketahui : akan dibeli 𝑛 buah kendaraan baru
Mobil sedan ≥ 1
Mobil Bus ≤ 10
2 ≤ Mobil Truk ≤ 15
Dua kendaraan sejenis tidak dibedakan
Ditanyakan: Ada berapa cara untuk membeli 𝑛 buah kendaraan baru?

5. 5
Perhatikan bahwa:
 Paling sedikit satu mobil sedan, maka mobil sedan tersebut berasosiasi
dengan sebuah faktor (𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯ ) dalam fungsi pembangkit
biasa.
 Paling banyak sepuluh mobil bus, maka mobil bus tersebut berasosiasi
dengan sebuah faktor (1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯ + 𝑥10
) dalam fungsi
pembangkit biasa.
 Sekurang-kurangnya dua tetapi tidak lebih dari 15 mobil truk, maka
mobil truk tersebut berasosiasi dengan sebuah faktor (𝑥2
+ 𝑥3
+ 𝑥4
+
⋯ + 𝑥15
) dalam fungsi pembangkit biasa.
Ekspansi fungsi dari fakor-faktor dalam fungsi pembangkit yang diperoleh
pada bagian sebelumnya adalah:
1
1 − 𝑥
= ∑ 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
= 1 + 𝑥 + 𝑥2
+ ⋯ (𝟏)
Dari (1) diperoleh untuk (𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯ ) = 𝑥(1 + 𝑥 + 𝑥2
+ ⋯ )
(𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯ ) = 𝑥 (
1
1 − 𝑥
)
(𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯ ) =
𝑥
1 − 𝑥
(𝟏. 𝟏)
1 − 𝑥 𝑛+1
1 − 𝑥
= ∑ 𝑥 𝑘
𝑛
𝑘=0
= 1 + 𝑥 + 𝑥2
+ ⋯ + 𝑥 𝑛
(𝟐)
Dari (2) diperoleh untuk (1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯ + 𝑥10) =
1−𝑥10+1
1−𝑥
(1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯ + 𝑥10) =
1 − 𝑥11
1 − 𝑥
(𝟐. 𝟐)
Dari (2) diperoleh untuk:
(𝑥2
+ 𝑥3
+ 𝑥4
+ ⋯ + 𝑥15) = 𝑥2
(1 + 𝑥 + 𝑥2
+ ⋯ + 𝑥13
)
(𝑥2
+ 𝑥3
+ 𝑥4
+ ⋯ + 𝑥15) = 𝑥2
(
1 − 𝑥13+1
1 − 𝑥
)

6. 6
(𝑥2
+ 𝑥3
+ 𝑥4
+ ⋯ + 𝑥15) = 𝑥2
(
1 − 𝑥14
1 − 𝑥
)
(𝑥2
+ 𝑥3
+ 𝑥4
+ ⋯ + 𝑥15) =
𝑥2
− 𝑥16
1 − 𝑥
(𝟐. 𝟑)
Ekspansi fungsi lain yang digunakan:
1
(1 − 𝑥) 𝑛
= ∑ (
𝑛 + 𝑘 − 1
𝑘
) 𝑥 𝑘
∞
𝑘=0
= 1 + (
𝑛
1
) 𝑥 + (
𝑛 + 1
2
) 𝑥2
+ ⋯ (𝟑)
Dengan demikian fungsi pembangkit dari pemecahan ini adalah:
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯ )(1 + 𝑥 + 𝑥2
+ ⋯ + 𝑥10)(𝑥2
+ 𝑥3
+ ⋯ + 𝑥15
)
𝑃(𝑥) = (
𝑥
1 − 𝑥
) (
1 − 𝑥11
1 − 𝑥
) (
𝑥2
− 𝑥16
1 − 𝑥
) 𝑑𝑎𝑟𝑖 (𝟏. 𝟏), (𝟐. 𝟐)& (𝟐. 𝟑)
𝑃(𝑥) = (𝑥)(1 − 𝑥)−1(1 − 𝑥11)(1 − 𝑥)−1(𝑥2
− 𝑥16)(1 − 𝑥)−1
𝑃(𝑥) = (1 − 𝑥)−3(1 − 𝑥11)(𝑥)(𝑥2
− 𝑥16)
𝑃(𝑥) = (1 − 𝑥)−3(1 − 𝑥11)(𝑥3
− 𝑥17)
𝑃(𝑥) = (1 − 𝑥)−3
(𝑥3
− 𝑥17
− 𝑥14
+ 𝑥28
)
𝑃(𝑥) = (1 − 𝑥)−3
(𝑥3
− 𝑥14
− 𝑥17
+ 𝑥28
)
𝑃(𝑥) = (𝑥3
− 𝑥14
− 𝑥17
+ 𝑥28) ∑ (
3 + 𝑟 − 1
𝑟
) 𝑥 𝑟
∞
𝑟=0
𝑑𝑎𝑟𝑖 (𝟑)
𝑃(𝑥) = ∑ (
3 + 𝑟 − 1
𝑟
) 𝑥 𝑟+3
−
∞
𝑟=0
∑ (
3 + 𝑟 − 1
𝑟
) 𝑥 𝑟+14
∞
𝑟=0
− ∑ (
3 + 𝑟 − 1
𝑟
) 𝑥 𝑟+17
+ ∑ (
3 + 𝑟 − 1
𝑟
) 𝑥 𝑟+28
∞
𝑟=0
∞
𝑟=0
𝑃(𝑥) = ∑ (
𝑟 − 1
𝑟 − 3
) 𝑥 𝑟
−
∞
𝑟=3
∑ (
𝑟 − 12
𝑟 − 14
) 𝑥 𝑟
−
∞
𝑟=14
∑ (
𝑟 − 15
𝑟 − 17
) 𝑥 𝑟
∞
𝑟=17
+ ∑ (
𝑟 − 26
𝑟 − 28
) 𝑥 𝑟
∞
𝑟=28

7. 7
Banyak cara yang dimaksud = koefisien 𝑥 𝑛
dalam 𝑃(𝑥)
=
{
0, 𝑛 < 3
(
𝑛 − 1
𝑛 − 3
) , 3 ≤ 𝑛 < 14
(
𝑛 − 1
𝑛 − 3
) − (
𝑛 − 12
𝑛 − 14
) , 14 ≤ 𝑛 < 17
(
𝑛 − 1
𝑛 − 3
) − (
𝑛 − 12
𝑛 − 14
) − (
𝑛 − 15
𝑛 − 17
) , 17 ≤ 𝑛 < 28
(
𝑛 − 1
𝑛 − 3
) − (
𝑛 − 12
𝑛 − 14
) − (
𝑛 − 15
𝑛 − 17
) + (
𝑛 − 26
𝑛 − 28
) , 𝑛 ≥ 28
***
DAFTAR PUSTAKA
Budayasa, I.K. 2008. Matematika Diskrit. Surabaya: Unesa University Press