kapita selekta IV - materi Limit dan Turunan Fungsi #vhannyfebian@yahoo.co.id semoga bermanfaat :) semoga dapat membantu tugas dan pekerjaan kalian, sobat :D amiinn...

1. 06/05/2015
1
LIMIT FUNGSI
&
TURUNAN FUNGSI
Vanny Febian
LIMIT FUNGSI

2. 06/05/2015
2
1. Definisi Limit Fungsi
Limit fungsi merupakan konsep dasar untuk materi kalkulus diferensial dan
integral. Limit bersama-sama dengan kalkulus, fungsi, dan sebagainya masuk
dalam satu cabang matematika yang disebut matematika analisis.
Limit fungsi (nilai batas) 𝑦 = 𝑓 𝑥 adalah nilai yang didekati fungsi itu,
apabila 𝑥 mendekati nilai tertentu. Ini berarti nilai limit bukanlah nilai yang
sebenarnya, melainkan nilai pendekatan saja.
Limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 mendekati 𝑎, ditulis
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 .
Limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 ,mendekati ∞, ditulis
lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 .
∞ adalah lambang yang menyatakan bilangan yang
lebih besar dari bilangan mana saja.
Contoh :
1. lim
𝑥→2
𝑥 + 1 = 3
Ini berarti jika 𝑥 mendekati 2, maka
𝑥 + 1 mendekati 3.
2. lim
𝑥→∞
1
2𝑥2+3
= 0
Hal ini karena jika 𝑥 mendekati ∞,
maka
1
2𝑥2+3
semakin kecil dan
mendekati 0.

3. 06/05/2015
3
2. Limit Fungsi Aljabar
1. Jika 𝑓 𝑎 = 𝑐, maka lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑎
2. Jika 𝑓 𝑎 =
𝑐
0
, maka lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ∞
3. Jika 𝑓 𝑎 =
0
𝑐
, maka lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 0
4. Jika 𝑓 𝑎 =
0
0
, maka proses penyelesaian
bentuk ini bisa dengan beberapa cara, yaitu :
A. Limit mendekati 𝑎, dengan a ∈ 𝑅.
Limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 mendekati 𝑎 biasa ditulis lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥).
Untuk menentukan nilai lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)dapat digunakan cara :
A. Pemfaktoran
Metode ini umumnya digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar pada fungsi pecahan.
Langkah-langkanya adalah menyederhanakan bentuk pecahan dengan memfaktorkannya.
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑥−𝑎 𝐻(𝑥)
𝑥−𝑎 𝑃(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝐻(𝑥)
𝑃(𝑥)
=
𝐻(𝑎)
𝑃(𝑎)
B. Merasionalkan bentuk akar
Bentuk akar pada umumnya tidak mudah untuk
difaktorkan, maka agar pecahan dapat disederhanakan,
pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar
sekawannya.
Contoh :
Tentukan nilai dari lim
𝑥→1
𝑥−1
𝑥−1
Jawab : lim
𝑥→1
𝑥−1
𝑥−1
= lim
𝑥→1
𝑥−1
𝑥−1
∙
𝑥+1
𝑥+1
= lim
𝑥→1
(𝑥−1)( 𝑥+1)
𝑥−1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1
= 1 + 1 = 2

4. 06/05/2015
4
3. Limit Mendekati Tak Hingga
1. Membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi
Untuk jenis fungsi pecahan dengan 𝑥 mendekati ∞, maka digunakan
suatu metode dengan membagi pembilang (𝑓 𝑥 ) dan penyebut (𝑔 𝑥 )
dengan 𝑥 pangkat tertinggi.
2. Mengubah bentuk 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 menjadi bentuk pembagian sehingga
diperoleh bentuk limit :
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ∙
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
Dengan :
𝑢 𝑥 = 𝑓2 𝑥
− 𝑔2 𝑥
𝑣 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
4. Limit Suku Banyak (Polinomial)
Jika 𝑃(𝑥) dan 𝑄(𝑥) adalah suku banyak, maka :
1. lim
𝑥→𝑎
𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑎 , 𝑎 ∈ 𝑹
2. lim
𝑥→𝑎
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑃(𝑎)
𝑄(𝑎)

5. 06/05/2015
5
3. Teorema Limit
Jika 𝑘 suatu konstanta, 𝑓
dan 𝑔 fungsi-fungsi yang
mempunyai limit untuk
𝑥 → 𝑎 dengan 𝑎 ∈ 𝑹 ,
maka berlaku :
a. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑘, maka lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑘
b. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥, maka lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑎
c. lim
𝑥→𝑎
𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
d. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
e. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
f. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
untuk lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0
g. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑛
= lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑛
untuk 𝑛 ∈ 𝑩
h. lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑓 𝑥 = 𝑛
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
i. lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 ]
𝑚
𝑛 =
𝑛
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑚
= 𝑛
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑚
a
4. Limit Fungsi Trigonometri
b. Limit Fungsi Sinus :
1) lim
𝑥→0
𝑎𝑥
sin 𝑏𝑥
=
𝑎
𝑏
2) lim
𝑥→0
sin 𝑎𝑥
𝑏𝑥
=
𝑎
𝑏
3) lim
𝑥→0
sin 𝑥 = 0
4) lim
𝑥→𝑐
sin 𝑥 = sin 𝑐
a. Limit Fungsi Tangen :
1) lim
𝑥→0
𝑎𝑥
tan 𝑏𝑥
=
𝑎
𝑏
2) lim
𝑥→0
tan 𝑎𝑥
𝑏𝑥
=
𝑎
𝑏
3) lim
𝑥→𝑐
tan 𝑥 = tan 𝑐

6. 06/05/2015
6
TURUNAN FUNGSI
1. Definisi Turunan
Diferensial sering juga disebut turunan. Turunan dapat ditemukan dalam
bidang matematika, sains, ekonomi, dan sebagainya. Contoh permasalahan yang
dapat diselesaikan dengan diferensial adalah cara menentukan percepatan suatu
kendaraan bermotor yang sudah diketahui rata-ratanya
Turunan fungsi 𝑓(𝑥) dinotasikan dengan 𝑓′(𝑥). Jika
𝑓′(𝑥) ada, maka :
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ

7. 06/05/2015
7
2. Arti Fisis dan Arti Geometri Turunan di Suatu Titik
a. Arti Fisis
Secara fisis, turunan fungsi 𝑓(𝑥) di 𝑥 = 𝑎 merupakan
kecepatan sesaat dari sebuah benda atau titik yang bergerak
mengikuti kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada saat 𝑥 = 𝑎.
𝑣 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎)
ℎ
Secara geometris, turunan fungsi 𝑓(𝑥) di 𝑥 = 𝑎 merupakan gradien garis
singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik yang berabsis 𝑥 = 𝑎. Gradien tali busur
tersebut adalah :
𝑚 =
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
𝑎 + ℎ − 𝑎
=
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
ℎ
b. Arti Geometris
Sehingga gradien garis singgung tersebut adalah:
𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
ℎ

8. 06/05/2015
8
3. Turunan Fungsi Aljabar
Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak mengenal kata laju perubahan,
seperti pada tanaman, pertumbuhan anak, pertumbuhan penduduk, laju inflasi
dan masih banyak lagi.
Secara matematis, rumus laju laju perubahan nilai suatu fungsi di 𝑥 = 𝑎
dinotasikan dengan 𝑓′
𝑥 yang didefinisikan sebagai :
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Bentuk limit di atas disebut dengan 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑓 atau
turunan pertama fungsi 𝑓(𝑥) dan ditulis 𝑓′(𝑥). Proses
mencari derivatif disebut 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙.
Rumus-rumus turunan, antara lain :
a. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑐, maka 𝑓′
𝑥 = 0
b.Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥, maka 𝑓′
𝑥 = 1
c. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛
, maka 𝑓′
𝑥 = 𝑎𝑛𝑥 𝑛−1
, a, n ∈ 𝑹
d.Jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) ± ℎ(𝑥), maka 𝑓′
𝑥 = 𝑔′(𝑥) ± ℎ′(𝑥).
e. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑥), maka 𝑓′
𝑥 = 𝑔 𝑥 ∙ ℎ′
𝑥 + ℎ(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
f. 𝑓 𝑥 =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
, ℎ 𝑥 ≠ 0 𝑥 ∈ 𝑹. Maka 𝑓′
𝑥 =
ℎ 𝑥 ∙𝑔′ 𝑥 −𝑔 𝑥 ∙ℎ′ 𝑥
[ℎ 𝑥 ]2
g. 𝑓 𝑥 = [𝑔 𝑥 ] 𝑛
, maka 𝑓′
𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑔 𝑥 𝑛−1
∙ 𝑔′(𝑥)
Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) , maka turunannya dinotasikan
dengan 𝑦′
= 𝑓′(𝑥). Leibniz memberikan notasi
lain untuk turunan, yaitu :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥).

9. 06/05/2015
9
4. Turunan Fungsi Trigonometri
Dengan menggunakan definisi fungsi turunan,
a. Jika 𝑓 𝑥 = sin 𝑥, maka 𝑓′
𝑥 = cos 𝑥
b. Jika 𝑓 𝑥 = cos 𝑥, maka 𝑓′
𝑥 = − sin 𝑥
c. Jika 𝑓 𝑥 = tan 𝑥, maka 𝑓′
𝑥 = sec2
𝑥
d. Jika 𝑓 𝑥 = cot 𝑥, maka 𝑓′
𝑥 = − csc2
𝑥
e. Jika 𝑓 𝑥 = sec 𝑥, maka 𝑓′
𝑥 = sec 𝑥 ∙ tan 𝑥
f. Jika 𝑓 𝑥 = csc 𝑥, maka 𝑓′
𝑥 = − csc 𝑥 ∙ cot 𝑥
5. Aturan Rantai untuk Mencari Turunan dari
Komposisi Fungsi
Jika 𝑢 adalah fungsi dalam 𝑥, 𝑣 adalah fungsi dalam 𝑢,
dan 𝑦 adalah fungsi dalam 𝑣, dimana 𝑢, 𝑣, dan 𝑦
terdiferensialkan, maka berlaku :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑣
∙
𝑑𝑣
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥

10. 06/05/2015
10
6. Persamaan Garis Singgung Kurva
Secara geometris turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) di 𝑥 = 𝑎 merupakan
gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang berabsis 𝑥 = 𝑎.
Ini berarti terdapat kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan titik 𝐴(𝑎, 𝑏) terletak pada
kurva tersebut, sehingga persamaan garis singgung kurva
𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝐴 adalah :
Dengan : 𝑚 = 𝑓′
𝑎 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)
7. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Jika fungsi 𝑓 kontinu dan terdiferensialkan dalam interval 𝐼, maka :
a. 𝑓(𝑥) naik dalam interval 𝐼 jika
𝑓′
𝑥 > 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼
b. 𝑓 𝑥 turun dalam interval 𝐼 jika
𝑓′
𝑥 < 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼

11. 06/05/2015
11
8. Nilai Stasioner
Apabila fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) kontinu dan diferensiabel, maka 𝑓(𝑎)
dikatakan nilai stasioner dari 𝑓(𝑥) jika dan hanya jika 𝑓′
𝑎 = 0,
sedangkan titik (𝑎, 𝑓 𝑎 ) dinamakan titik stasioner.
𝒙 < 𝒂 𝒙 = 𝒂 𝒙 > 𝒂
+ 0 −
maksimum
a. Jenis-jenis nilai stasioner
1. Nilai 𝑓′(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑎
Nilai 𝑓′(𝑥) bertanda positif, kemudian bernilai
nol di 𝑥 = 𝑎 , dan berganti tanda menjadi
negatif. Dikatakan bahwa 𝑓 mempunyai
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑓(𝑎).
2. Nilai 𝑓′(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑐
Nilai 𝑓′(𝑥) bertanda negatif, kemudian bernilai nol di 𝑥 = 𝑐, dan
berganti tanda menjadi positif. Dikatakan bahwa 𝑓 mempunyai
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑓(𝑐).
𝒙 < 𝒄 𝒙 = 𝒄 𝒙 > 𝒄
− 0 +
Minimum
𝒙 < 𝒃 𝒙 = 𝟎 𝒙 > 𝒃
− 0 −
Belok
3. Nilai 𝑓′(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑏
Nilai 𝑓′(𝑥) bertanda negatif, kemudian
bernilai nol di 𝑥 = 𝑏, dan tandanya
menjadi negatif kembali. Dikatakan
fungsi 𝑓 mempunyai titik belok 𝑓(𝑏).

12. 06/05/2015
12
4. Nilai 𝑓′(𝑥) di sekitar 𝑥 = 𝑑
Nilai 𝑓′(𝑥) bertanda positif, kemudian bernilai nol do 𝑥 = 𝑑, dan
tandanya kembali menjadi positif. Dikatakan bahwa fungsi
mempunyai titik belok horizontal di titik (𝑏, 𝑓 𝑏 ) dan (𝑑, 𝑓 𝑑 ).
𝒙 < 𝒅 𝒙 = 𝒅 𝒙 > 𝒅
+ 0 +
Belok
b. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum di Suatu Interval Tertutup
Untuk mencari nilai maksimum dan minimum sebuah fungsi
dalam suatu interval tertutup, dapat digunakan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Tentukan nilai-nilai stasioner untuk nilai-
nilai 𝑥 yang termasuk dalam interval.
2. Tentukan nilai-nilai fungsi di ujung
interval.
3. Dari nilai-nilai tersebut, nilai terkecil
adalah nilai minimum dan nilai terbesar
adalah nilai maksimum.

13. 06/05/2015
13
c. Titik belok
Titik (𝑎, 𝑓 𝑎 ) dikatakan titik belok dari 𝑓(𝑥),
jika :
1. 𝑓′
𝑎 = 0
2. 𝑓′′
𝑎 = 0, dimana 𝑓′′(𝑥) adalah turunan
pertama dari 𝑓′(𝑥) atau turunan kedua dari
𝑓(𝑥)
Terima kasih
vhannyfebian@yahoo.co.id