Dokumen tersebut membahas beberapa topik terkait aplikasi turunan, termasuk nilai maksimum dan minimum, teorema nilai rata-rata, turunan dan bentuk grafik, asimtot, sketsa kurva, serta masalah pengoptimuman.

1. TERAPAN TURUNAN
Departemen Matematika
FMIPA-IPB
Bogor, 2011
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 1 / 57

2. Topik Bahasan
1
2
3
4
5
6
Nilai Maksimum dan Minimum
Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Turunan dan Bentuk Grafik
Asimtot
Sketsa Kurva
Masalah Pengoptimuman
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 2 / 57

3. Nilai Maksimum dan Minimum
Beberapa Terapan Turunan
Ukuran kaleng yang meminimumkan biaya produksi
Formasi, lokasi, dan warna pelangi
Percepatan maksimum pesawat angkasa ulang-alik
Sudut optimal pencabangan pembuluh darah yang meminimumkan
energi dari jantung
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 3 / 57

4. Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai Ekstrim Fungsi
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 4 / 57

5. Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai Maksimum dan Minimum
Definisi (Maksimum Mutlak, Minimum Mutlak)
Misalkan fungsi f terdefinisi pada daerah asal Df .
f memiliki maksimum mutlak (global) di c ∈ Df jika
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ Df
f (c) disebut nilai maksimum f pada Df .
f memiliki minimum mutlak di c ∈ Df jika
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ Df
f (c) disebut nilai minimum f pada Df .
Nilai maksimum/minimum f disebut nilai ekstrim (mutlak) f .
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 5 / 57

6. Nilai Maksimum dan Minimum
Ilustrasi Nilai Ekstrim
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 6 / 57

7. Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh (Ekstrim Mutlak)
1 f (x) = |x| memiliki nilai minimum mutlak f (0) = 0 karena
f (0) = 0 ≤ f (x) , x ∈ Df .
2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum mutlak cos (2nπ) = 1 untuk
bilangan bulat n karena f (2nπ) = 1 ≥ f (x) , x ∈ Df . Nilai
minimum mutlaknya adalah −1.
3 f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim mutlak. D
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 7 / 57

8. Nilai Maksimum dan Minimum
Syarat Cukup Nilai Ekstrim
Teorema (Nilai Ekstrim)
Jika f kontinu pada selang tutup [a, b] , maka f mencapai nilai minimum
mutlak dan nilai maksimum mutlak pada [a, b] .
Jika f kontinu pada [a, b] , maka f memiliki minimum mutlak dan
maksimum mutlak.
Jika f tak kontinu pada [a, b] , maka tidak ada kesimpulan apakah f
memiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 8 / 57

9. Nilai Maksimum dan Minimum
Ilustrasi Nilai Ekstrim pada Fungsi yang Kontinu
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 9 / 57

10. Nilai Maksimum dan Minimum
Maksimum, Minimum Lokal
Definisi (Maksimum Lokal, Minimum Lokal)
Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal (maksimum relatif) di
c ∈ Df jika
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ selang buka yang memuat c
Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal (minimum relatif) di
c ∈ Df jika
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ selang buka yang memuat c
Nilai maksimum/nilai minimum lokal f disebut nilai ekstrim lokal f .
∴ Dengan definisi tsb. ekstrim lokal tidak terjadi pada titik ujung selang.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 10 / 57

11. Nilai Maksimum dan Minimum
Ilustrasi Ekstrim Lokal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 11 / 57

12. Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh (Ekstrim Lokal)
1 f (x) = |x| memiliki nilai minimum lokal f (0) = 0 karena pada
selang buka I yang memuat 0, f (0) ≤ f (x) , x ∈ I.
2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum lokal cos (2nπ) = 1 untuk
bilangan bulat n karena pada selang buka I yang memuat 2nπ,
f (2nπ) ≥ f (x) , x ∈ I. Nilai minimum lokalnya adalah
cos((2n + 1) π) = −1.
3 f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim lokal. D
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 12 / 57

13. Nilai Maksimum dan Minimum
Bilangan Kritis
Definisi (Bilangan Kritis)
Titik-dalam c ∈ Df yang bersifat f ' (c) = 0 ataukah f ' (c) tidak ada
disebut bilangan (titik) kritis fungsi f .
Catatan: titik-dalam (interior point) c ada di dalam selang buka I ⊆ Df .
Klasifikasi bilangan/titik kritis
1 titik stasioner c
f ' (c) = 0: garis singgung datar
2 titik singular c
f ' (c) tidak ada: grafik runcing, tak kontinu, garis singgung tegak
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 13 / 57

14. Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh
Tentukan bilangan kritis fungsi f berikut
1 f (x) =
√
x (1 − x) . SOLUSI
2 f (x) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x2 , −1 ≤ x < 0
x2 − 2x , 0 ≤ x ≤ 2
. SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 14 / 57

15. Nilai Maksimum dan Minimum
Soal (Bilangan Kritis)
Bila ada, tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi-fungsi berikut:
1 f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 1 (jawab: � bil. kritis)
2 g (x) = |2x − 5| (x = 5/2)
3 h (x) = x1/3 − x−2/3
(x = −2)
4 f (x) = 3
√
x2 − x (x = 0, 1/2, 1)
5 g (θ) = θ + sin (θ) (θ = (2n + 1) π, n : bil. bulat)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 15 / 57

16. Nilai Maksimum dan Minimum
Teorema (Teorema Fermat)
Jika f (c) merupakan nilai ekstrim lokal, maka c adalah bilangan kritis f .
Teorema Fermat menyatakan bahwa syarat perlu agar f (c)
merupakan nilai ekstrim lokal adalah c merupakan bilangan kritis dari
fungsi f .
Untuk memperoleh nilai ekstrim lokal f (c), terlebih dahulu tentukan
bilangan kritis c karena jika c bukan bilangan kritis, maka f (c)
bukan nilai ekstrim lokal.
Perhatikan bahwa jika c bilangan kritis, belum tentu f (c) merupakan
nilai ekstrim lokal.
Berdasarkan definisi, ekstrim lokal terjadi pada titik stasioner atau
titik singular (tidal terjadi pada titik ujung).
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 16 / 57

17. Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh
1 f (x) = x2 ⇒ f (0) nilai minimum lokal,
f ' (x) = 2x ⇒ f ' (0) = 0 ⇒ 0 adalah bilangan kritis.
2 f (x) = |x| ⇒ f (0) nilai minimum lokal, f ' (0) tidak ada ⇒ 0 adalah
bilangan kritis.
3 f (x) = x3 ⇒ f ' (0) = 0 ⇒ 0 adalah bilangan kritis, tetapi f (0)
bukanlah ekstrim lokal. D
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 17 / 57

18. Nilai Maksimum dan Minimum
Menentukan Ekstrim Mutlak
Metode Selang Tutup
Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] . Nilai maksimum/minimum
mutlak fungsi f dapat ditentukan dengan cara:
Tetapkan bilangan-bilangan kritis f pada (a, b) (titik stasioner, titik
singular)
Evaluasi f pada setiap bilangan kritis dan titik ujung a dan b. Nilai
terbesar merupakan nilai maksimum mutlak, nilai terkecil merupakan
nilai minimum mutlak fungsi f .
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 18 / 57

19. Nilai Maksimum dan Minimum
Soal (Ekstrim Mutlak)
Tentukan nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak fungsi f pada
selang yang diberikan.
1 f (x) = x3 − 3x + 1, [0, 3]
(jawab: f (1) = −1 min, f (3) = 19 maks)
2 f (x) =
x
x + 1
, [1, 2] (f (1) = 1/2 min, f (2) = 2/3 maks)
3 f (x) =
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
−1 − 2x ; −2 ≤ x < −1
x2 ; −1 ≤ x ≤ 1
x ; 1 < x ≤ 3
(f (−2) = f (3) = 3 maks, f (0) = 0 min)
4 f (x) = sin x + cos x, [0, π/3]f
f (0) = 1 min, f (π/4) =
√
2 maks
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 19 / 57

20. Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Teorema (Teorema Nilai Rata-rata)
Misalkan fungsi f memenuhi hipotesis berikut: i) kontinu pada selang
tutup [a, b] , ii) terturunkan pada selang buka (a, b) , maka ada sedikitnya
satu bilangan c ∈ (a, b) sehingga
f ' (c) =
f (b) − f (a)
b − a
(1)
Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 20 / 57(Departemen Matematika FMIPA-IPB)

21. Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Contoh (TNR)
Periksa apakah TNR dapat diterapkan untuk fungsi f (x) = x3 + x − 1
pada selang [0, 2] . Jika ya, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 21 / 57

22. Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Soal (Teorema Nilai Rata-rata 1)
1 Diberikan f (x) = x1/3. Tunjukkan bahwa fungsi f memenuhi
hipotesis TNR pada selang [0, 1], kemudian tentukan nilai c yang
dimaksud pada (1).
f
jawab: c =
√
3
9
2 Diketahui fungsi f dengan f (x) = |x|. Periksa apakah fungsi f
memenuhi hipotesis TNR pada selang i) [0, 4], ii) [−1, 4]. Jika
memenuhi, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 22 / 57

23. Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Soal (Teorema Nilai Rata-rata 2)
1 Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak
156 km selama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti.
Sampai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan
mobilnya melebihi kecepatan yang diizinkan di jalan tol (maksimum
100 km/jam). Gunakan TNR untuk menunjukkan bahwa kecepatan
mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam.
2 Jika f (0) = 5 dan f ' (x) ≥ 3 untuk x ∈ [0, 2] , seberapa kecilkah nilai
f (2) yang mungkin? (jawab: 11)
3 Perlihatkan bahwa bila f (x) = px2 + qx + r, p = 0, maka ada
bilangan c ∈ [a, b] dari TNR yang selalu merupakan titik tengah dari
selang [a, b].
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 23 / 57

24. Turunan dan Bentuk Grafik
Turunan I dan Fungsi Naik/Turun
Teorema (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)
Jika f ' (x) > 0 pada suatu selang, maka f naik pada selang tersebut.
Jika f ' (x) < 0 pada suatu selang, maka f turun pada selang
tersebut.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 24 / 57

25. Turunan dan Bentuk Grafik
Soal (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)
1 Tentukan selang-selang di mana f naik/turun bagi fungsi:
i) f (x) = 2x3 + x ii) f (x) = x2/3 iii) f (x) = x1/3
(x − 4)
2 Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan teorema
tentang turunan I dan fungsi naik/turun. (Catatan: f naik pada
selang I berarti x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2), f turun pada I berarti
x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) , x1, x2 ∈ I).
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 25 / 57

26. Turunan dan Bentuk Grafik
Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal
Teorema (Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal)
Misalkan c adalah bilangan kritis fungsi kontinu f , dan f terturunkan pada
setiap titik pada selang yang memuat c, kecuali mungkin di c. Bergerak
melewati c dari kiri ke kanan:
1 Jika f ' berubah tanda dari negatif ke positif, maka f (c) merupakan
nilai minimum lokal.
2 Jika f ' berubah tanda dari positif ke negatif, maka f (c) merupakan
nilai maksimum lokal.
3 Jika f ' tidak berubah tanda, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 26 / 57

27. Turunan dan Bentuk Grafik
Ilustrasi Geometris Ekstrim Lokal dgn Uji Turunan I
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 27 / 57

28. Turunan dan Bentuk Grafik
Contoh
Gunakan uji turunan I untuk menentukan ekstrim lokal fungsi f dengan
f (x) = x1/3
(x − 4) .
HINT
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 28 / 57

29. Turunan dan Bentuk Grafik
Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal
Teorema (Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal)
Andaikan fungsi f '' kontinu pada selang buka yang memuat c.
1 Jika f ' (c) = 0 dan f '' (c) > 0, maka f (c) merupakan nilai
minimum lokal.
2 Jika f ' (c) = 0 dan f '' (c) < 0, maka f (c) merupakan nilai
maksimum lokal.
3 Jika f ' (c) = 0 dan f '' (c) = 0, uji turunan II gagal. Fungsi f
mungkin memiliki ekstrim lokal, mungkin tidak.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 29 / 57

30. Turunan dan Bentuk Grafik
Ilustrasi Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 30 / 57

31. Turunan dan Bentuk Grafik
Kecekungan Fungsi
Definisi (Kecekungan)
Fungsi f dikatakan
cekung ke atas pada selang I jika grafik f terletak di atas garis
singgung pada selang I,
cekung ke bawah pada selang I jika grafik f terletak di bawah garis
singgung pada selang I.
Cara lain melihat kecekungan:
cekung ke atas pada selang buka I jika f ' naik pada I,
cekung ke bawah pada selang buka I jika f ' turun pada I.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 31 / 57

32. Turunan dan Bentuk Grafik
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 32 / 57

33. Turunan dan Bentuk Grafik
Uji Turunan II Bagi Kecekungan
Teorema (Uji Turunan II bagi Kecekungan)
Misalkan fungsi f memiliki turunan kedua pada selang buka I.
Jika f '' (x) > 0 ∀x ∈ I, maka f ' naik pada I dan f cekung ke atas
pada I,
Jika f '' (x) < 0 ∀x ∈ I, maka f ' turun pada I dan f cekung ke
bawah pada I.
Definisi (Titik Belok)
Titik P (c, f (c)) disebut titik belok jika f kontinu di x = c, dan f
mengalami perubahan kecekungan di P.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 33 / 57

34. Turunan dan Bentuk Grafik
Teorema (Titik Belok)
Jika titik (c, f (c)) merupakan titik belok, maka
f ''
(c) = 0 ataukah f ''
(c) tidak ada
Menentukan Titik Belok
Untuk menentukan titik belok pada kurva y = f (x),
hitung f '' (x) ,
cari bilangan c sehingga f '' (c) = 0 atau f '' (c) tidak ada,
selidiki perubahan tanda f '' (x) di c. Titik (c, f (c)) merupakan titik
belok jika dan hanya jika terjadi perubahan tanda f '' (x) di c.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 34 / 57

35. Turunan dan Bentuk Grafik
Contoh
Diberikan fungsi f dengan f (x) = x4 − 4x3 + 10. Tentukan: i) selang
fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f .
HINT
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 35 / 57

36. Turunan dan Bentuk Grafik
Soal
Jika ada, tentukan: i) selang fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii)
kecekungan, iv) titik belok fungsi f ,
1 f (x) = (x − 1)3
2 f (x) = x1/3 + 1
3 f (x) = x/ (1 + x)2
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 36 / 57

37. Turunan dan Bentuk Grafik
Pengaruh Turunan terhadap Bentuk Grafik
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 37 / 57

38. Turunan dan Bentuk Grafik
Soal
Berdasarkan grafik f ' berikut, tentukanlah
1 selang f naik/turun dan ekstrim lokal,
2 selang f cekung ke atas/bawah dan titik belok.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 38 / 57

39. Turunan dan Bentuk Grafik
Nilai Ekstrim vs Bilangan Kritis vs Titik Belok
Untuk fungsi f dengan y = f (x) :
Nilai ekstrim (mutlak/lokal) f : f (a) →ordinat y
Bilangan kritis f : x = b → absis x
Titik belok f : (c, f (c)) → koordinat (x, y)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 39 / 57

40. Asimtot
Jenis Asimtot
1
2
3
Asimtot tegak
Asimtot datar
Asimtot miring
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 40 / 57

41. Asimtot
Definisi (Asimtot Tegak)
Garis x = a disebut asimtot tegak bagi kurva y = f (x) jika
lim
x→a±
f (x) = ±∞ (2)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 41 / 57

42. Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 42 / 57
Asimtot
Definisi (Asimtot Datar)
Garis y = L disebut asimtot datar bagi kurva y = f (x) jika
lim
x→±∞
f (x) = L (3)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB)

43. Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 43 / 57
Asimtot
Definisi (Asimtot Miring)
Garis y = mx + b disebut asimtot miring bagi kurva y = f (x) jika
lim
x→±∞
[f (x) − (mx + b)] = 0 (4)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB)

44. Asimtot
Teorema
Misalkan r > 0 adalah bilangan rasional, maka
lim
x→±∞
1
xr
= 0 (5)
asalkan xr terdefinisi.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 44 / 57

45. Asimtot
Penentuan Asimtot Fungsi Rasional
Diberikan fungsi rasional
r (x) =
p1 (x)
p2 (x)
=
cnxn + cn−1xn−1 + · · · + c0
kmxm + km−1xm−1 + · · · + k0
1 Garis x = a dengan p2 (a) = 0 dan p1 (a) = 0 merupakan asimtot
tegak.
2 Kasus n < m ⇒ garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot datar.
3 Kasus n = m ⇒ garis y = cn/km merupakan asimtot datar.
4 Kasus n = m + 1 ⇒ r (x) = (mx + b) + sisa. Garis y = mx + b
merupakan asimtot miring.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 45 / 57

46. Asimtot
Soal (Asimtot)
Tentukan asimtot (tegak, datar, atau miring) bagi fungsi-fungsi berikut:
1 f (x) = (2x + 3) / (x − 1)
2 f (x) = 2x3 − x / x2 − x − 6
3 f (x) =
√
4x2 − 1/ (x − 2)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 46 / 57

47. Sketsa Kurva
Sketsa Kurva
Langkah-langkah sketsa kurva fungsi y = f (x)
1 Identifikasi daerah asal Df , titik potong sumbu, serta kesimetrian
fungsi.
2 Identifikasi asimtot fungsi.
3 Tentukan f ' (x) →
Identifikasi bilangan kritis.
Identifikasi selang fungsi naik/turun, ekstrim lokal.
4 Tentukan f '' (x) →
Identifikasi selang kecekungan fungsi, titik belok.
5 Gambar sketsa grafik f .
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 47 / 57

48. Sketsa Kurva
Contoh
Lakukan analisis sketsa grafik fungsi, lalu gambarkan grafik fungsi f
dengan f (x) =
(x + 1)2
1 + x2
.
HINT
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 48 / 57

49. Sketsa Kurva
Soal (Sketsa Grafik Fungsi 1)
Lakukan tahapan-tahapan membuat sketsa grafik, lalu gambarkan grafik
fungsi-fungsi berikut:
1 f (x) = x3 − 3x2 + 5
2 f (x) = x/ x2 − 4
3 f (x) =
x3 − 1
x3 + 1
4 xy = x2 + x + 1
5 f (x) =
x + 1
√
x2 + 1
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 49 / 57

50. Sketsa Kurva
Soal (Sketsa Grafik Fungsi 2)
Sketsa grafik fungsi g dengan sifat-sifat sebagai berikut:
i) g kontinu pada R − {0}
ii) g'' (x) > 0 untuk x ∈ R − {0}
iii) g (−2) = g (2) = 3
iv) lim
x→∞
g (x) = 2, lim
x→−∞
[g (x) − x] = 0
v) lim
x→0+
g (x) = lim
x→0−
g (x) = ∞
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 50 / 57

51. Masalah Pengoptimuman
Masalah Pengoptimuman
Membahas terapan turunan untuk menentukan solusi pemaksimuman
atau peminimuman suatu permasalahan.
Langkah-langkah pemecahan masalah:
pahami permasalahan,
formulasikan masalah yang yang akan dimaksimumkan/diminimumkan
ke dalam bentuk fungsi,
tentukan lokasi fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum mutlak.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 51 / 57

52. Masalah Pengoptimuman
Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak
Dalam hal fungsi f hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f (c) ,
dengan Uji Turunan I dapat disimpulkan bahwa f (c) juga merupakan
nilai ekstrim mutlak.
Teorema berikut sangat bermanfaat dalam menyelesaikan masalah
pengoptimuman.
Teorema
Andaikan c adalah bilangan kritis dari fungsi kontinu f yang terdefinisi
pada suatu selang.
1 Jika f ' (x) > 0, ∀x < c dan f ' (x) < 0, ∀x > c, maka f (c) adalah
nilai maksimum mutlak f .
2 Jika f ' (x) < 0, ∀x < c dan f ' (x) > 0, ∀x > c, maka f (c) adalah
nilai minimum mutlak f .
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 52 / 57

53. Masalah Pengoptimuman
Ilustrasi Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak/Lokal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 53 / 57

54. Masalah Pengoptimuman
Soal (Disain Kotak Terbuka)
Jawab: x = tinggi = 2 cm, alas 8 × 8 cm2.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 54 / 57

55. Masalah Pengoptimuman
Soal (Disain Kaleng Minuman)
Jawab: h = 2r
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 55 / 57

56. Masalah Pengoptimuman
Soal (Pembangunan Jalan Tol)
Pemerintah propinsi "Suka Makmur" merencanakan membangun jalan tol
yang menghubungkan dua kota A dan B yang dipisahkan oleh daerah
berawa. Jika biaya pembangunan jalan tol 1 milyar/km sepanjang daerah
rawa, dan setengahnya pada lahan kering (OB), tentukan lokasi jalan tol di
antara O-B yang meminimumkan biaya. (satuan jarak: km).
√
Jawab: 5/ 3 km dari O.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 56 / 57

57. Masalah Pengoptimuman
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA
IPB)
Versi: 2011 (sejak 2009)
Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDF LATEX)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 57 / 57