Tugas Analisis Gerak Fluida

1. ASSIGNMENT 4
ANALISIS GERAK FLUIDA
Oleh
RISKO (C551140161)
SOAL
1. Carilah jawaban umum dari persamaan diferensial berikut
𝑦,
+ 3𝑦 = 𝑥 + 𝑒−2𝑥
2. Carilah jawaban khusus dengan menggunakan kondisi awal yang diberikan:
𝑦,
− 𝑦 = 2𝑥𝑒2𝑥
, 𝑦(0) = 1
3. Carilah solusi dari :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (1 + 𝑥)(1 + 𝑦)
4. Tunjukkan persamaann berikut homogen dan carilah solusinya
2𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0
5. Bila Plutonium 241 meluruh dengan mengikuti persamaan differensial
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −0.0525𝑄
Dimana Q dalam mg dan t dalam tahun.
a. Hitunglah half-life (𝜏) dari plutonium 241
b. Bila 50 mg dari zat ini tersedia sekarang, berapa mg tersisa 10 tahun dari sekarang
Pembahasan :
1. 𝑦,
+ 3𝑦 = 𝑥 + 𝑒−2𝑥
Bentuk umum dari persamaan differensial ordo pertama adalah
𝑦′
+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) (1)
Dimana,
𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
(2)
Dan,
𝑦 =
1
𝜇(𝑥)
[∫ 𝜇(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐] (3)

2. Dari soal tesebut diketahui 𝑝(𝑥) = 3 dan 𝑝(𝑥) = 𝑥 + 𝑒−2𝑥
, maka :
𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
= 𝑒∫ 3 𝑑𝑥
= 𝑒3𝑥
𝑦 =
1
𝜇(𝑥)
[∫ 𝜇(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐]
=
1
𝑒3𝑥
[∫ 𝑒3𝑥(𝑥 + 𝑒−2𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐]
=
1
𝑒3𝑥
[∫(𝑥𝑒3𝑥
+ 𝑒3𝑥
𝑒−2𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐]
=
1
𝑒3𝑥
[∫(𝑥𝑒3𝑥
+ 𝑒 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐]
Berdasarkan hasil integral pada (i) dan (ii),
maka :
𝑦 =
1
𝑒3𝑥
[(
1
3
𝑥𝑒3𝑥
−
1
9
𝑒3𝑥
) + 𝑒 𝑥
+ 𝑐]
=
1
3
𝑥 −
1
9
+
𝑒 𝑥
𝑒3𝑥
+
𝑐
𝑒3𝑥
=
1
3
𝑥 −
1
9
+ 𝑒−2𝑥
+ 𝑐𝑒−3𝑥
Jadi solusi umumnya adalah
𝑦 =
1
3
𝑥 −
1
9
+ 𝑒−2𝑥
+ 𝑐𝑒−3𝑥
Adapun solusi atau hasil menggunaka MATLAB adalah
>> y=dsolve('Dy+3*y=x+exp(-2*x)')
y = (exp(-2*x)*(x*exp(2*x) - C9*exp(-3*t) + 1))/3
Mencari nilai integral dari
1. ∫ 𝑥𝑒3𝑥
𝑑𝑥
Diketahui :
𝑢 = 𝑥 − −→ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒3𝑥
𝑑𝑥 −→ 𝑣 = ∫ 𝑒3𝑥
𝑑𝑥 =
1
3
𝑒3𝑥
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Maka :
∫ 𝑥𝑒3𝑥
𝑑𝑥 =
1
3
𝑥𝑒3𝑥
− ∫
1
3
𝑒3𝑥
𝑑𝑥
=
1
3
𝑥𝑒3𝑥 −
1
9
𝑒3𝑥 (i)
2. ∫ 𝑒 𝑥
= 𝑒 𝑥
(𝑖𝑖)

3. 2. 𝑦,
− 𝑦 = 2𝑥𝑒2𝑥
, 𝑦(0) = 1
Diketahui :
𝑝(𝑥) = −1 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥𝑒2𝑥
Maka :
𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
= 𝑒∫ −1 𝑑𝑥
= 𝑒−𝑥
𝑦 =
1
𝜇(𝑥)
[∫ 𝜇(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐]
=
1
𝑒−𝑥
[∫(𝑒−𝑥
2𝑥𝑒2𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐]
=
1
𝑒−𝑥
[∫(2𝑥𝑒 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐]
Berdasarkan hasil integral pada (i), maka :
𝑦 =
1
𝑒−𝑥
[(2𝑥𝑒 𝑥
− 2𝑒 𝑥) + 𝑐]
=
2𝑥𝑒 𝑥
𝑒−𝑥
−
2𝑒 𝑥
𝑒−𝑥
+
𝑐
𝑒−𝑥
= 2𝑥𝑒2𝑥
− 2𝑒2𝑥
+ 𝑐𝑒 𝑥
Jadi solusi umumnya adalah
𝑦 = 2𝑥𝑒2𝑥
− 2𝑒2𝑥
+ 𝑐𝑒 𝑥
Mencari nilai c dengan kondisi awal,
𝑦(0) = 1 = 2(0)𝑒2(0)
− 2𝑒2(0)
+ 𝑐𝑒0
1 = 0 − 2 + 𝑐
𝑐 = 3
Maka solusi khususnya adalah
𝑦 = 2𝑥𝑒2𝑥
− 2𝑒2𝑥
+ 3𝑒 𝑥
Mencari nilai integral dari
∫ 2𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥
Diketahui :
𝑢 = 2𝑥 − −→ 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 −→ 𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Maka :
∫ 2𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒 𝑥
− ∫ 2𝑒 𝑥
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑒 𝑥
− 2𝑒 𝑥
(i)

4. Adapun solusi atau hasil menggunaka MATLAB adalah
>>y=dsolve('Dy-y=2*x*exp(2*x)', 'y(0)=1')
y = exp(t)*(2*x*exp(2*x) + 1) - 2*x*exp(2*x)
3.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (1 + 𝑥)(1 + 𝑦)
1
(1 + 𝑦)
𝑑𝑦 = (1 + 𝑥) 𝑑𝑥
∫
1
(1 + 𝑦)
𝑑𝑦 = ∫(1 + 𝑥) 𝑑𝑥
𝑙𝑛(1 + 𝑦) = 𝑥 +
1
2
𝑥2
+ 𝑐
𝑒 𝑙𝑛(1+𝑦)
= 𝑒 𝑥+
1
2
𝑥2+𝑐
1 + 𝑦 = 𝑒 𝑥+
1
2
𝑥2
∙ 𝑒 𝑐
1 + 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥+
1
2
𝑥2
𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥+
1
2
𝑥2
− 1
Jadi solusi khususnya adalah
𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥+
1
2
𝑥2
− 1
Adapun solusi atau hasil menggunaka MATLAB adalah
>> y=dsolve('Dy=1+y+x+x*y')
y = C11*exp(t*(x + 1)) - 1
4. 2𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0
2𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2
𝑦
𝑥
= 𝐹 (
𝑦
𝑥
) −→ memenuhi syarat homogen
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶
𝑦
𝑥
= 𝑣 −→ 𝑦 = 𝑣𝑥
𝑦 = 𝑣𝑥 (𝑖)
Dari sifat turunan 𝑦 = 𝑢𝑣 −→ 𝑦′
= 𝑢′
𝑣 + 𝑣′
𝑢, sehingga dari persamaan (i) didapatkan :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
2
𝑦
𝑥
= 𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
2𝑣 = 𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥

5. 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑣
Kedua belah ruas masing-masing dikalikan dengan
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑣
, sehingga akan didapatkan :
(𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑣)
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑣
𝑑𝑣
𝑣
=
1
𝑥
𝑑𝑥
ln 𝑣 = ln 𝑥 + 𝑐
𝑒ln 𝑣
= 𝑒ln 𝑥+𝑐
𝑒ln 𝑣
= 𝑒ln 𝑥
∙ 𝑒 𝑐
𝑣 = 𝑐𝑥 (𝑖𝑖)
Dengan memasukkan pada pemisalan awal yaitu :
𝑦
𝑥
= 𝑣
Maka dari hasil (ii) didapatkan :
𝑦
𝑥
= 𝑐𝑥
𝑦 = 𝑐𝑥 2
Jadi solusi umumnya adalah
𝑦 = 𝑐𝑥 2
Adapun solusi atau hasil menggunaka MATLAB adalah
>> y=dsolve('Dy=2*y/x')
y = C13*exp((2*t)/x)
5. Diketahui :
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −0.0525𝑄 (𝑖)
Misalkan 𝑘 = −0.0525, maka persamaan (i) akan menjadi
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑘𝑄
Dimana k adalah konstanta peluruhan.
Jika 𝑄(0) = 50 yaitu pada kondisi awal, maka :
𝑄(𝑡) = 𝑐𝑒 𝑘𝑡
(ii)
Dimana persamaan (ii) merupakan suatu persamaan linear dan jawaban umum dari
persamaan differensial yang diperoleh dengan memisahkan peubah, dengan c adalah
sembarang konstanta.

6. Dari kondisi awal pertama yaitu :
𝑄(0) = 50 = 𝑐𝑒 𝑘(0)
𝑐 = 50
Sehingga persamaan (ii) menjadi :
𝑄(𝑡) = 50𝑒 𝑘𝑡
= 50𝑒−0.0525𝑡
a. Waktu yang diperlukan agar jumlah zat awal menjadi setengah atau disebut dengan half-
life (𝜏) adalah :
𝜏𝑄(𝑡) =
1
2
50
𝜏𝑄(𝑡) = 25
50𝑒−0.0525𝜏
= 25
𝑒−0.0525𝜏
=
1
2
ln 𝑒−0.0525𝜏
= ln
1
2
−0.0525𝜏 = −0.693
𝜏 = 13.203 tahun
Jadi half-life (𝜏) dari plutonium 241 adalah 13.203 tahun.
b. Diketahui 𝑡 = 10 tahun, maka :
𝑄(𝑡) = 50𝑒−0.0525𝑡
𝑄(10) = 50𝑒−0.0525(10)
= 50𝑒−0.525
= 50𝑒−0.525
= 50(2.7182)
−0.525
= 50(0.591565)
= 29.58 mg
Jadi Plutonium 241 yang tersisa 10 tahun dari sekarang adalah 29.58 mg.
Ln ½ = -0.693
e= 2.7182