Dokumen tersebut membahas tentang residu dan kutub, termasuk definisi, contoh, dan teorema terkait. Pembahasan mencakup ekspansi Laurent, definisi residu dan kutub, serta contoh penggunaan teorema residu Cauchy.

1. Compiled By: Pramudjono

2. Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Sebelum sampai pada Residu kita lihat titik singular
terasing
Definisi Titik Singular Terasing
Titik singular terasing z0 dari fungsi f(z) adalah
merupakan titik singular terasing jika terdapat r > 0
sehingga f(z) analitik di 0 < 𝑧 − 𝑧𝑜 < r.
Dengan kata lain titik singular z0 merupakan titik
singular terasing bila terdapat sekitar N(z0, r)
sehingga pada sekitar tersebut tidak terdapat titik
singular lain.
N(z0, r)
Z0 satu-satunya
titik singular f di N(Z0, r)
r
z0
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

3. Contoh-contoh Titik Singular Terasing;
(1). z = 0 titik singular terasing dari f(z) =
z
1
(2). z = + kπ, k k = 0, 1, 2, ... titik singular
terasing dari f(z) = sec z.
2

Contoh-contoh titik singular tak terasing;
(1). Fungsi f(z) = cosec
z
 mempunyai tak hingga banyak titik
singular yaitu z = 0, z = k = 1, 2, ...
k
1
Titik z = 0 merupakan titik singular tak terasing
f(z),
z = merupakan titik singular tak terasing f(z).
k
1
(2). Titik z = 0 bukan titik singular terasing
fungsi ln z, bila z0 titik singular fungsi f(z) = ln z
maka ada r > 0 sehingga f(z) analitik di 0
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

4. jadi f(z) dapat diekspansikan dalam deret Laurent
sebagai berikut:
 

0
0 )()(
n
n
n zzazf 

 1 0 )(n
n
n
zz
b
untuk 0 < < r0zz 
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

5. DEFINISI RESIDU
Bila z0 titik singular fungsi f(z) dan ekspansi Laurent
fungsi
 

0
0 )()(
n
n
n zzazf 

 1 0 )(n
n
n
zz
b
maka koefisien dari yaitu b1 disebut
residu f dititik singular terasing z0. Notasi residu f
titik singular terasing z0 adalah Res (f, z0 ).
  1
0

 zz
Karena dalam deret Laurent b1 =
dengan C lintasan tertutup tunggal arah positif
yang mengelilingi z0 dan berada di daerah
C
dzzf
i
)(
.2
1

0 < < r0zz  maka residu f dititik singular z0
bernilai sama dengan Res (f, z0 ) 
C
dzzf
i
)(
.2
1

Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

6. Contoh Residu dan Penggunaannya:
1. Misalkan f(z) = maka residu f dititik singular 0
yaitu Res (f, 0) = 1.
z
1
 00 zz
sehingga Res (f,0) = C
dzzf
i
)(
.2
1
 
C
dz
zi
1
.2
1

Jadi  
C
idz
z
.2
1

Bila C : arah positif maka C lintasan
tertutup tunggal yang mengelilingi 0 dan berada
1z
2. Misalkan g(z) = , maka Res (g, 0) = 0.2
1
z
Bila C : arah positif maka
Res (g,0) =
3z
C
dzzg
i
)(
.2
1
 
C
dz
zi
1
.2
1

Jadi 00..2
1
2
C
idz
z

Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

7. 3. Misalkan h(z) = maka untuk mencari
residu f dititik singular z = 2 adalah sebagai berikut;
 3
2

z
e z
Ekspansikan e-z dalam pangkat (z – 2), yaitu
e-z = e-2 .e-(z-2) = e-2 sehingga
   




0 !
21
n
nn
n
z
 3
2

z
e z
   




 

0
3
2
!
21
n
nn
n
z
e
Jadi koefisien adalah  1
2

z
   
!2
21
32 

n
z
Sehingga Res(h,2) =
 
!2
1
2

2
1

Latihan :
Carilah Res (f, 0), bila f(z) = sin dan hitunglah2
1
z
C
dzzf )( bila C : arah positif.1z
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

8. Teorema:
Bila di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C,
fungsi f analitik kecuali pada titik-titik singular di
dalam C yang banyaknya berhingga maka titik-titik
singular tersebut merupakan titik-titik singular
terasing f.
Bukti:
.zo
.z1
.z3
z2
z4.zn
.zi
Teorema Residu Cauchy:
Jika f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
tunggal C, kecuali di titik-titik singular yang
banyaknya berhingga di dalam C maka   sidzzf
C
Re2)( 
dimana  sRe jumlah semua residu di dalam C.
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

9. Bukti:
Menurut teorema titik singular hingga, untuk setiap
singular zk kita dapat membuat lingkaran Гk dengan
pusat zk dengan arah positif, terletak di dalam C
dan tidak saling berpotongan.
Menurut Teorema perluasan Cauchy-Goursat
C
dzzf )( 0
)( dzzf 1
)( dzzf 2
)( dzzf 3
)( dzzf
= 2πi Res (f, z0) +2πi Res (f, z1) +2πi Res (f, z2) +2πi
Res (f, z3)
= 2πi 
3
0
),(Re kzfs
 si Re.2
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

10. Contoh Penggunaan Teorema Residu Cauchy
1. Bila C: | z | = 2 arah positif, hitunglah  

C
dz
zz
z
)1(
23
Jawab:
Titik-titik singular dari f(z) = adalah z1 = 0
dan z2 = -1 keduanya terletak di dalam C, Jadi:
)1(
23


zz
z
C
dzzf )(  si Re.2
Untuk titik singular z1 = 0
)1(
23
)(



zz
z
zf )
1
1
)(
2
3(


zz
= (1 –z + z2 – z3 + ...))
2
3(
z

z
2
 + 1 –z + z2 – z3 + ...
Jadi Res (f,0) = 2
Untuk titik singular z2 = -1
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

11. 
z
2
)1(1
1
z
2( 1 + (1+z) + (1+z)2 + ...)
Sehingga f(z) =
)1(
23


zz
z
)
1
1
)(
2
3(


zz
= (3 -2(1 + (1+z) + (1+z)2 + ...))
1
1
z
1
1


z
- 2 – 2(z+1) - …
Jadi Res (f,-1) = 1
C
dzzf )(  si Re.2  12.2  i
 
C
idzzf .6)( 
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

12. KUTUB
Misalkan z0 titik singular terasing dari fungsi f(z),
Ekspansi Laurent dapat disajikan,


0
0 )(
n
n
n zza 



1 0 )(n
n
n
zz
b


0
0 )(
n
n
n zza 




1
0 ).(
n
n
n zzb
0 < < r, dimana disebut bagian
utama fungsi pada kitar titik singular terasing
z0. Bagian utama fungsi f ini biasa berupa deret tak
hingga, bisa juga berupa deret hingga.
0zz  




1
0 ).(
n
n
n zzb
0 < < r dengan bm ≠ 0. Jika m = 1 maka z0
dinamakan kutub tingkat satu atau kutub tunggal
0zz 
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

13. Definisi Kutub:
Jika bagian utama fungsi f pada kitar titik singular
terasing z0 hanya berupa satu suku saja, maka z0
dinamakan kutub fungsi f. Jadi kalau z0 kutub
fungsi f maka ekspansi Laurent fungsi f pada kitar
z0, terdapat m bulat positif sehingga koefisien
Laurent bm ≠ 0 dan bj =0 untuk semua j > m. Dalam
hal ini z0 dinamakan kutub tingkat m fungsi f.
Dengan demikian kalau z0 kutub tingkat m fungsi f,
maka terdapat r > 0 sehingga f(z) =
 


 m
m
zz
b
zf
0
)(
 

 

1
0
1
m
m
zz
b
 



0
1
...
zz
b




0
0 )(
n
n
n zza
0 < < r dengan bm ≠ 0. Jika m = 1 maka z0
dinamakan kutub tingkat satu atau kutub tunggal.
0zz 
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

14. Contoh-contoh kutub:
1. Bila f(z) = maka ekspansi Laurent f(z)
adalah f(z) =
3
cos1
z
z
...
!8!6!42
1 53

zzz
z
Jadi titik singular z = 0 merupakan kutub
tunggal fungsi f(z) = 3
cos1
z
z
2. Fungsi g(z) = mempunyai dua titik
singular yaitu, z = 1 dan z = 0
2
)1(
1
zz
Ekspansi g di sekitar z = 1, 0 < < 1
adalah ekspansi Laurent f(z) adalah:
0zz 





p
n
nn
zn
z
zg
1
1
)1(.)1(
1
1)( ...)1(3
1
1 

 zz
z
Ekspansi g di sekitar z = 1, 0 < < 1
adalah ekspansi Laurent f(z) adalah:
0zz 
 
p
n
n
z
z
zg
0
2
1
)( ...1
11 2
2
 zz
zz
Jadi z = 0 merupakan kutub tingkat dua fungsi g(z).
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

15. Catatan:
Titik-titik singular terasing f(z) yang buka merupakan
titik kutub disebut titik singular terasing esensial.
0zz 
Teorema Residu Kutub tingkat m
Jika z0 kutub tingkat m fungsi f maka terdapat
sekitar 0 < < r, r > 0 sehingga fungsi f
dapat dituliskan sebagai f(z) dengan
ψ(z) analitik di 0 < < r, ψ(z) ≠ 0 dan
Res (f, z0 ) =
0zz 
m
zz
z
)(
)(
0

)!1(
)( 0
)1(


m
zm

Kebalikan Teorema Residu Kutub tingkat m
Jika fungsi f(z) dapat dituliskan sebagai dengan
ψ(z) analitik di z0 dan ψ(z) ≠ 0 maka z0 merupakan
kutub tingkat m dari f dan Res (f, z0 ) =
m
zz
z
)(
)(
0

)!1(
)( 0
)1(


m
zm

Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

16. Penggunaan teorema residu-kutub dan kebalikan:
1. f(z) = dapat ditulis sebagai f(z)=
dengan ψ(z) = analitik di z = 0 dan
ψ(0) = maka menurut kebalikan
teorema residu kutub z = 0 merupakan kutub
tingkat 1 atau kutub tunggal fungsi f(z).
2
)3(
cos
zz
z
z
z)(
2
)3(
cos
z
z
2
)3(
1

0
9
1

2. fungsi f(z) dapat juga dituliskan sebagai
dengan analitik di z = 3 dan
maka menurut kebalikan teorema residu kutub
z = 3 merupakan kutub tingkat 2 dan
Res (f, 3 ) =
2
)3(
)(
z
z
z
z
z
cos
)(  0
3
3cos
)3( 
9
3cos3sin3
!1
)3(1



Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

17. Teorema Residu Kutub Tunggal
Jika z0 kutub tunggal fungsi f , maka
Res (f, z0 ) =
0
lim
zz (z –z0) f(z)
Contoh Penggunaan Teorema Residu Kutub Tunggal;
1. Pada contoh kutub telah ditunjukkan bahwa z = 1
merupakan kutub tunggal dari g(z) 2
)1(
1
zz
=
1
1
maka Res (g, 1) = 1
lim
z 2
)1(
1
zz
(z –1) = = -1
2. Pada contoh penggunaan teorema residu-kutub telah
ditunjukkan bawa z = 0 merupakan kutub tunggal dari
= 2
)3(
cos
zz
z
f(z) maka Res (f, 0)
0
lim
z 2
)3(
cos
z
z
2
)3(
1
 9
1
=
= =
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

18. Teorema Titik Singular Fungsi Hasil Bagi
 0 maka z0
Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 )
g
f
jika dan hanya jikamerupakan titik singular terasing
g(z0 ) = 0
Teorema Kutub Tunggal Fungsi Hasil Bagi
Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 ) 0, g(z0 ) = 0
dan g’(z0 )  0, maka z0 adalah kutub tunggal dari
g
f
(dan Res
)('
)z(
0
0
zg
f
, z0 ) =
g
f
Teorema Kutub Tingkat m Fungsi Hasil Bagi
Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 )  0, g(z0 ) = g’(z0 )= ...
=g(m-1)(z0 )= 0,
g(m)(z0 ) 0, maka z0 adalah kutub tingkat m fungsi
g
f
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

19. Khusus untuk m = 2 teorema di atas mudah dirumuskan
residunya. Seperti teorema berikut
Teorema
Jika f dan g analitik di z0 dan f(z0 ) 0, g(z0 ) = g’(z0 ) = 0,
tetapi g’’(z0 ) 0, maka z0 adalah kutub tingkat 2 fungsi
g
f
dan Res (
g
f
, z0 ) =
)(''
)z('2
0
0
zg
f
- 2
0
0
)3(
0
))(''(3
)z()z(2
zg
gf
3. RESIDU di Tak Hingga
z titik singulat di z =, jika dipenuhi bahwa,
=

1

1
0
lim

(- f( )
z
lim (-zf(z) ada, selanjutnya
0
lim
 (- f(

1

1
)
=
z
lim (-zf(z) = Res(f, ).
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

20. Definisi:
Jika fungsi f analitik atau mempunyai titik singular
terasing di z =, dan jika C lingkaran besar berpusat
di 0 yang mengelilingi semua titik singular f yang terletak
pada bagian hingga bidang kompleks dan yang
mempunyai arah negatif, maka residu fungsi f di z = 
didefinisikan sebagai;
Res(f(z), z =) = C
dzzf
i
)(
.2
1

Dalam definisi ini lingkaran C berarah negatif.
Teorema
Jika suatu fungsi hanya mempunyai berhingga banyak
titik singular, maka jumlah residu di titik-titik singular itu,
termasuk residu di tak hingga adalah nol.
Contoh:
Hitunglah Res(f,), jika f(z) =
)3)(2)(1(
3
 zzz
z
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

21. Penyelesaian:
Titik-titik singular f pada bagian berhingga bidang
kompleks hanyalah kutub tunggal di z = 1, z = 2, dan z =
3. Jika z0 kutub tunggal menurut teorema di atas maka
0
lim
zz (z–z0)f(z) didapatRes(f,z0 ) =
Res(f ,1) =
2
1
Res(f,2) = -8
Res(f,3) = 13
2
1
Dari teorema terakhir didapat
Res (f,) = (Res(f ,1) + Res(f,2) + Res(f,3)) = -6
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

22. Tugas Minggu Depan (KELOMPOK)
1 (satu) Kelompok Maksimum 3 orang, dikumpulkan
pada saat kuis
1. Tentukan Res(f, 
4
1
) dan Res(h, 1) untuk
f(z) =

4
1
cos
z
z
dan h(z) = 2
3
)2)(1(  zz
z
0
lim
zz
2. Jika z0 kutub tunggal f, buktikan
Res(f,z0 ) = (z–z0)f(z)
Buktikan bahwa titik singular masing-masing fungsi di
bawah ini adalah kutub. Tentukan tingkat masing-
masing kutub dan residu fungsi di kutubnya.
3.
a.
zz
z


2
3
b. 4
sin
z
zz 
c. 3
2
1
z
e z

d. 2
3
)2( z
e z
e.
4
cos
z
z
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

23. 4. Tentukan residu sec za dan cotg z disetiap kutubnya.
5. Hitunglah  

C
zz
dzz
)3()1(
)1(
2
2
Jika C lingkaran berarah positif
a. 2z b. 22 z
6. Untuk C lingkaran (a) 2z , (b)
2
1
iz dan
(c)
2
1
z dengan arah positif tentukan nilai
 C zz
dz
)1( 33
7. Hitunglah Res(f,), jika
a). f(z) =
)3)(2)(1( 2
2
izzz
z

b). f(z) = 22
2
)3)(2)((
sin
 zzz
zz

Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
a. Definisi
b. Contoh
c. Teorema
d. Contoh
Residu di Tak hingga
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End

24. Terima Kasih, Atas Perhatian Anda
Page:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 End