Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan hasil kali cartesius antara dua himpunan atau lebih. Definisi relasi adalah pernyataan yang mendefinisikan hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Hasil kali cartesius dari dua himpunan adalah himpunan semua pasangan berurutan dengan elemen pertama dari himpunan pertama dan elemen kedua dari himpunan kedua.

1. Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd
Mata Kuliah : Teori Himpunan dan Logika Matematika

2. Sekedar mengingatkan:
Relasi adalah pernyataan yang mendefinisikan hubungan
antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya.
Definisi:
Misal A dan B adalah dua himpunan sembarang, maka suatu
relasi R dari A ke B adalah sembarang subset A x B, termasuk
himpunan kosong yaitu R ⊆ A x B. Relasi ini dinyatakan sebagai
R = {(a, b)|a berelasi dengan b} = {(a, b)|a R b}

3. Contoh:
Misalkan A = {2, 4, 8, 9, 15} dan B = {2, 3, 4}. Jika R
adalah relasi dari A ke B yang didefinisikan sebagai a R b
= jika a habis dibagi b.
Maka :
R = {(2, 2),(4, 2),(8, 2),(9, 3),(15, 3),(4, 4),(8, 4)}
Relasi pada himpunan dilambangkan dengan huruf Kapital
R, dan merupakan Subset dari hasil kali Cartesius.

5. Hasil Kali Cartesius dari dua himpunan A dan B adalah himpunan semua
pasangan berurutan (x, y) dengan x ∈ A dan y ∈ B, dan dinyatakan dengan
A x B.
Hasil Kali Cartesius didefenisikan sebagai:
A x B = { (x, y) | x ∈ A dan y ∈ B}
Contoh:
1. A = {a, b} dan B = {c, d}
A x B = {a, b} x {c, d} = {(a, c), (a, d), (b, c}, (b, d)}
B x A = {c, d} x {a, b} = {(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)}
A B
a
b
c
d
A x B

6. 2. C = {1, 2} dan D = {3, 4}
C x D = {1, 2} x {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3}, (2, 4)}
D x C = {3, 4} x {1, 2} = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}
3. H = {1, 2, p} dan K = {3, q}
H x K = {1, 2, p} x {3, q} = {(1, 3), (1, q), (2, 3), (2, q), (p, 3), (p,q)}
Catatan:
Jika A memiliki k unsur dan B memiliki l unsur maka A x B = k.l unsur.
Atau bisa ditulis n(A x B) = n(A) x n(B) = k x l

7. Konsep hasil kali dapat diperluas untuk tiga himpunan atau lebih.
A x B x C = { (x, y, z) | x ∈ A, y ∈ B dan z ∈ C}
Contoh:
A = {1, 2}, B = {x, y} dan C = {p}
(A x B) = {(1, x), (1, y), (2, x}, (2, y)}
(A x B) x C = {(1, x, p), (1, y, p), {(2, x, p), (2, y, p)}
(B x C) = {(x, p), (y, p)}
A x (B x C) = {{(1, x, p), (1, y, p), {(2, x, p), (2, y, p)}
Jadi, (A x B) x C = A x (B x C)

8. Sifat-sifat perkalian himpunan:
1. Jika A =  atau B =  maka A x B = 
2. A x B  B x A
A x B = B x A jika dan hanya jika A = B
3. (x, y)  A x B  x  A dan y  B
(x, y)  A x B  x  A dan y  B
4. (A x B) x C = A x (B x C)

9. Apabila himpunan banyak, misalkan , , , . . . , maka:
x = {(, ) | ∈ , ∈ }
x x = {(, , ) | ∈ , ∈ , ∈ }
x x . . . x = {(, , . . . , ) | ∈ , ∈ , . . . , ∈ }
Perkalian himpunan dapat dilakukan pada himpunan yang sama
Misalnya: A x A
A x A x A dan sebagainya.

10. Contoh:
1. A = {1, 2, 3}
Maka A x A = {1, 2, 3} x {1, 2, 3}
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
2. G = {a, b}
Maka G x G x G = {a, b} x {a, b} x {a, b}
= {(a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b),
(b, b, a), (b, b, b)}

11. Pada perkalian himpunan berlaku teorema berikut:
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
A x (B − C) = (A x B) − (A x C)
Contoh:
Jika A = {1, 2}, B = {3, 4, 5, 6} dan C = {3, 4, 7}
Tunjukkanlah bahwa:
a. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
b. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
c. A x (B − C) = (A x B) − (A x C)

12. Jawaban:
a. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
B ∪ C = {3, 4, 5, 6} ∪ {3, 4, 7} = {3, 4, 5, 6, 7}
A x (B ∪ C) = {1, 2} x {3, 4, 5, 6, 7}
= {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7)}
A x B = {1, 2} x {3, 4, 5, 6} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}
A x C = {1, 2} x {3, 4, 7} = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 7)}
(A x B) ∪ (A x C) = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(2, 7)}
Jadi, A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)

13. b. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
B ∩ C = {3, 4, 5, 6} ∩ {3, 4, 7} = {3, 4}
A x (B ∩ C) = {1, 2} x {3, 4}
= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
A x B = {1, 2} x {3, 4, 5, 6} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(2, 6)}
A x C = {1, 2} x {3, 4, 7} = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 7)}
(A x B) ∩ (A x C) = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
Jadi, A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

14. c. A x (B − C) = (A x B) − (A x C)
B − C = {3, 4, 5, 6} − {3, 4, 7} = {5, 6}
A x (B − C) = {1, 2} x {5, 6}
= {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
A x B = {1, 2} x {3, 4, 5, 6} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(2, 6)}
A x C = {1, 2} x {3, 4, 7} = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 7)}
(A x B) − (A x C) = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
Jadi, A x (B − C) = (A x B) − (A x C)

15. Latihan:
1. Diketahui P = {FPB dari 24 dan 56} dan Q = {KPK dari 32 dan 40}.
Tentukan hasil kali cartesius dari himpunan P dan Q.
2. Jika ditentukan A = {x | -3 ≤ x 1}, B = {y | -1 ≤ y ≤ 2}
dan C = {z | 1 z 4}
Tunjukkanlah:
a. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
b. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
c. A x (B − C) = (A x B) − (A x C)

16. Jawaban:
1.
12
3
6
24
2
2
2
Faktorisasi prima 24 = 2 × 3 Faktorisasi prima 56 = 2 × 7
FPB dari 24 dan 56 = 2 = 2 × 2 × 2 = 8
Jadi, P = {8}
28
7
14
56
2
2
2

17. 16
4
8
32
2
2
2
Faktorisasi prima 32 = 2 Faktorisasi prima 40 = 2 × 5
KPK dari 32 dan 40 = 2 × 5 = 32 × 5 = 160
Jadi, Q = {160}
20
5
10
40
2
2
2
2 2

18. Hasil kali cartesius dari himpunan P dan Q
P x Q = {8} x {160}
= {8, 160}

19. 2. Diketahui: A = {-3, -2, -1, 0}, B = {-1, 0, 1, 2} dan C = {2, 3}
a. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
B ∪ C = {-1, 0, 1, 2} ∪ {2, 3} = {-1, 0, 1, 2, 3}
A x (B ∪ C) = {-3, -2, -1, 0} x {-1, 0, 1, 2, 3}
= {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-3, 3), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-2, 3), (-1, -1), (-1, 0),
(-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)}
A x B = {-3, -2, -1, 0} x {-1, 0, 1, 2} = {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-1, -1),
(-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2)}
A x C = {-3, -2, -1, 0} x {2, 3} = {(-3, 2), (-3, 3), (-2, 2), (-2, 3), (-1, 2), (-1, 3), (0, 2), (0, 3)}
(A x B) ∪ (A x C) = {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-3, 3), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-2, 3), (-1, -1),
(-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)}

20. b. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
B ∩ C = {-1, 0, 1, 2} ∪ {2, 3} = {2}
A x (B ∩ C) = {-3, -2, -1, 0} x {2}
= {(-3, 2), (-2, 2), (-1, 2), (0, 2)}
A x B = {-3, -2, -1, 0} x {-1, 0, 1, 2} = {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-1, -1),
(-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2)}
A x C = {-3, -2, -1, 0} x {2, 3} = {(-3, 2), (-3, 3), (-2, 2), (-2, 3), (-1, 2), (-1, 3), (0, 2), (0, 3)}
(A x B) ∩ (A x C) = {(-3, 2), (-2, 2), (-1, 2), (0, 2)}

21. c. A x (B − C) = (A x B) − (A x C)
B − C = {-1, 0, 1, 2} ∪ {2, 3} = {-1, 0, 1}
A x (B − C) = {-3, -2, -1, 0} x {-1, 0, 1}
= {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1)}
A x B = {-3, -2, -1, 0} x {-1, 0, 1, 2} = {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-1, -1),
(-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2)}
A x C = {-3, -2, -1, 0} x {2, 3} = {(-3, 2), (-3, 3), (-2, 2), (-2, 3), (-1, 2), (-1, 3), (0, 2), (0, 3)}
(A x B) − (A x C) = {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0),
(0, 1)}

22. Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd
Mata Kuliah : Teori Himpunan dan Logika Matematika

23. Relasi Identitas
Relasi identitas pada himpunan (ditulis IA atau ΔA)
adalah himpunan pasangan-pasangan (a, a) dengan a ∈
A, ditulis IA = {(a, a) | a ∈ A). Relasi identitas disebut juga
relasi diagonal, sebab anggota-anggota dari relasinya
merupakan diagonal dari diagram koordinatnya.

24. Contoh:
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}
A x A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1),
(3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}
Maka IA = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
1
2
1
2
3
3 4
4

25. Relasi Kosong
Relasi kosong dari himpunan A (ditulis Ø) adalah
himpunan kosong dari A x A. Yang dimaksud relasi Ø disini
adalah himpunan kosong dari A x A.
Contoh:
A = Ø maka A x A = Ø
R suatu relasi dari A ke A adalah R ⊆ A x A
R = Ø

26. Relasi Invers
Misalkan R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B.
Invers dari R (ditulis ) adalah suatu relasi dari
himpunan B ke himpunan A, sedemikian hingga tiap
pasangan terurut pada jika urutan anggota-anggotanya
dibalik merupakan anggota dari R.
Jadi, = {(b,a) | (a,b) ∈ R}

27. Contoh:
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika relasi R
adalah “jika dan hanya jika p habis membagi q” dan relasi
invers dari R adalah “jika q adalah kelipatan dari p”.
Tentukanlah R dan invers R.
Karena definisi relasi R dari P ke Q yaitu: , ∈ jika
dan hanya jika p habis membagi q. Maka:
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)}

28. merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P
yang berbentuk: , ∈ jika q adalah kelipatan dari
p, maka diperoleh:
= {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)}
Perbandingan R dan :
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)}
= {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)}

29. Sebuah relasi A x A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri,
dapat memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1. Refleksif
2. Irefleksif
3. Simetrik
4. Anti-simetrik
5. Transitif

30. Refleksif (reflexive)
⊂ × , disebut relasi refleksif jika dan hanya jika
untuk setiap ∈ maka , ∈ (setiap anggota A
berelasi dengan dirinya sendiri).
1

31. Contoh1:
Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R adalah relasi “≤” yang
didefenisikan pada himpunan A.
Maka diperoleh:
R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4),
(4,4)}
Terlihat bahwa (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) merupakan unsur
dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.

32. Contoh2:
Diketahui bilangan asli N = {1, 2, 3, 4, 5}
Maka relasi “habis bagi” pada himpunan bilangan asli
bersifat refleksif karena ∀ (dibaca “setiap” atau “semua”)
bilangan asli habis dibagi dengan dirinya sendiri.
Jadi, R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)}

33. Non-Refleksif
⊂ × , disebut relasi non-refleksif jika dan hanya
jika ∃ ∈ maka , ∉ (ada anggota A yang tidak
berelasi dengan dirinya sendiri).
∃ (dibaca “ada” atau “beberapa”)

34. Contoh:
Diketahui A = {2, 3, 4, 8, 9, 15} dan relasi R pada himpunan
A adalah “faktor prima dari”
Maka R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9), (3,15)}
Jadi, R bersifat nonrefleksif karena ada anggota R yang
tidak berelasi dengan dirinya sendiri yaitu (4,4), (8,8),
(9,9), (15,15)

35. Irefleksif
⊂ × , disebut relasi irefleksif jika dan hanya jika
untuk setiap ∈ maka , ∉ (setiap anggota A
tidak berelasi dengan dirinya sendiri).
2

36. Contoh:
Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R adalah relasi “” yang
didefenisikan pada himpunan A, maka:
R = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}
Terlihat bahwa unsur dari R tidak berelasi dengan dirinya
sendiri.

37. Simetrik (symmetric)
⊂ × , disebut relasi simetrik jika dan hanya jika
setiap dua anggota , ∈ , , ∈ maka , ∈
(untuk setiap dua anggota a, b dari A, jika a berelasi
dengan b maka b juga berelasi dengan a). Jadi, terdapat
hubungan timbal balik.
3

38. Contoh1 (pendekatan):
Fadli adalah seorang pria tampan dan Nita adalah
seorang wanita elok dan manis. Keduanya memiliki
hubungan yaitu berpacaran. berarti, Fadli berpacaran
dengan dan Nita dan Nita berpacaran dengan Fadli.
Perisitiwa ini disebut dengan relasi bersifat simetrik.

39. Contoh2:
Misalkan R merupakan relasi pada himpunan R={bilangan
Real} yang dinyatakan oleh: a R b jika dan hanya jika a – b
∈ Z dan b – a ∈ Z (Z = bilangan bulat) . Periksalah apakah
relasi R bersifat simetrik!
Misalkan ambil sembarang nilai a = 5 dan b = 10 pada
himpunan A, maka:
a – b = 5 – 10 = -5 (-5 ∈ Z)
b – a = 10 – 5 = 5 (5 ∈ Z)
Jadi, relasi R bersifat simetrik

40. Anti-simetrik (antisymmetric)
⊂ × , disebut relasi antisimetrik jika dan hanya jika
setiap dua anggota , ∈ , , ∈ dan , ∈
maka berlaku jika = (setiap dua anggota a, b dari A,
jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan a maka
berlaku jika a sama dengan b).
4

41. Contoh:
Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5}. dan relasi R adalah relasi “≤”
yang didefenisikan pada himpunan A. Tunjukkanlah
bahwa relasi R bersifat anti simetrik.
R dengan relasi “≤” diperoleh:
R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4),
(4,4)}
Karena anti simetrik maka berlaku a = b, berarti:
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}

42. Transitif (transitive)
⊂ × , disebut relasi transitif jika dan hanya jika
setiap tiga anggota , , ∈ , , ∈ dan , ∈
maka , ∈ (jika setiap tiga anggota a, b, c dari A,
jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a
berelasi dengan c).
5

43. Contoh1 (pendekatan):
Pak Ahmad memiliki seorang anak bernama Pak Tino.
Pak Tino memiliki seorang anak bernama Fahrel.
Berarti Pak Ahmad memiliki hubungan dengan Fahrel
yaitu cucu.
Jadi, Pak Ahmad memiliki cucu yaitu Fahrel.

44. Contoh2:
Misalkan A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R
didefinisikan oleh: a R b jika dan hanya jika a habis
membagi b, dimana , ∈ .
Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan
A, maka:
R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4,8)}
Ketika (2,4) ∈ dan (4,8) ∈ maka (2,8) ∈
Dengan demikian R bersifat transitif.