materi metnum

1. 1
Turunan Numerik dengan Metode Newton-Gregory Backward (NGB)
A. Pendahuluan
Aplikasi matematika pada bidang-bidang fisika, biologi, kimia ataupun sosial
seringkali memerlukan perhitungan diferensial atau derivatif dari suatu fungsi. Kita dapat
menentukan derivatif atau turunan dari suatu fungsi dengan rumus-rumus derivative yang
telah baku atau diketahui.
Dua situasi mendasar apabila suatu proses memerlukan turunan numerik:
1. Apabila fungsi f dinyatakan hanya dengan sekumpulan titik-titik data (x0, f0 ), (x1,
f1 ), (x3, f3 ), …, (xn, fn ) dan nilai-nilai fungsi tersebut tidak diketahui.
2. Apabila fungsi f terlalu rumit dan diferensiasi secara analitik sukar dilakukan
meskipun nilai fungsi f mudah ditentukan.
Oleh karena itu, kita dapat menggunakan metode numerik untuk memperoleh
penyelesaiannya.
B. Turunan Numerik Newton-Gregory Backward (NGB)
Rumus-rumus turunan numerik untuk pendekatan NGB dapat diturunkan melalui dua
cara, yaitu:
1. Dengan hampiran polinom interpolasi
2. Dengan bantuan deret Taylor
Kedua cara tersebut menghasilkan rumus yang sama.
1. Penurunan Rumus Turunan Numerik dengan Polinom Interpolasi
Misalkan diberikan titik-titik data berjarak sama, xi= x0 + ih, i = 0, 1, 2, ..., n,
dan
x = xo + sh, s∈R adalah titik yang akan dicari nilai interpolasinya. Polinom Newton-
Gregory yang menginterpolasi seluruh titik data tersebut adalah:
𝑓 𝑥 ≈ 𝑝 𝑛 𝑥

2. 2
Andaikan fungsi f teraproksimasi secara baik dengan suatu interpolasi polinom,
maka kita dapat berharap bahwa derivatif dari f; yaitu 𝑓(𝑥), teraproksimasi juga dengan
derivatif dari polinom tersebut, misalkan
𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑛 𝑥 + 𝑒
Dengan: e = galat aproksimasi
𝑃𝑛 𝑥 = Polinom derajat n dengan variabel 𝑥.
𝑃𝑛 𝑥 diperoleh dari Newton-Gregory mundur, maka
𝑝 𝑛 𝑥 = 𝑓0 + 𝑠∇𝑓0 + ⋯ +
𝑠 + 1
2
∇2
𝑓0 +
𝑠 + 2
3
∇3
𝑓0 … +
𝑠 + 𝑛 − 1
𝑛
∇ 𝑛
𝑓0
Diperoleh
𝑓 𝑥 𝑠 = 𝑝 𝑛 𝑥𝑠 + 𝑒
= 𝑓0 + 𝑠∇𝑓0 + ⋯ +
𝑠 + 1
2
∇2
𝑓0 +
𝑠 + 2
3
∇3
𝑓0 … +
𝑠 + 𝑛 − 1
𝑛
∇ 𝑛
𝑓0 + 𝑒
Sehingga
𝑓′
𝑥 𝑠 ≅ 𝑃𝑛
′
𝑥 𝑠 =
𝑑
𝑑𝑠
𝑃𝑛 (𝑥 𝑠)
𝑑𝑠
𝑑𝑥
=
1
ℎ
𝑑
𝑑𝑠
𝑃𝑛 (𝑥 𝑠)
Dengan demikian
𝑓′
𝑥 𝑠 ≅
1
ℎ
∇𝑓𝑜 +
1
2
𝑠 + 𝑠 + 1 ∇2
𝑓𝑜 +
1
6
𝑠 + 2 𝑠 + 1 + 𝑠 𝑠 + 2 + 𝑠 𝑠 + 1 ∆3
𝑓𝑜
+ ⋯
Kita mengetahui bahwa jika 𝑛semakin besar, maka derivatif dari fungsi
𝑠 + 𝑛 − 1
𝑛
akan semakin rumit ditemukan sehingga kita perlu menyederhanakan,
dengan memisalkan bahwa
𝑠 = 0
Sehingga 𝑓′
𝑥 𝑠 = 𝑓′
𝑥 𝑜 maka diperoleh
𝑠 =
𝑥 − 𝑥 𝑜
ℎ
→
𝑑𝑠
𝑑𝑥
=
1
ℎ
Catatan:

3. 3
Perkiraan Galat
Dapat ditunjukkan bahwa galat dari perhitungan 𝑓′
𝑥 𝑜 diatas adalah
𝜀 𝑃𝑛
′
𝑥 𝑜 = ℎ 𝑛+1
𝑓 𝑛+1
(𝜉)
𝑛!
(𝑛 + 1)
1
ℎ
=
1
𝑛 + 1
ℎ 𝑛
𝑓 𝑛+1
𝜉
dengan
𝑥 𝑜 < 𝜀 < 𝑥 𝑛
Contoh1:
Dengan menggunakan data pada tabel di bawah ini, hitung nilai pendekatan dari 𝑦’ di
𝑥 = 2,1 dengan h = 0,2.
𝑥 𝑦 ∆𝑦 ∆2
𝑦 ∆3
𝑦 ∆4
𝑦
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
3,669
4,482
5,474
6,686
8,166
9,974
12,182
0,813
0,992
1,212
1,480
1,808
2,208
0,179
0,220
0,268
0,326
0,400
0,041
0,048
0,060
0,072
0,007
0,012
0,012
Penyelesaian:
a. 𝑦′
2,1 ≃ 𝑃1 2,1 =
1
0,2
1,480 = 7,4
b. 𝑦′
2,1 ≃ 𝑃2 2,1 =
1
0,2
1,480 +
1
2
0,268 = 8,07
c. 𝑦′
2,1 ≃ 𝑃3 2,1 =
1
0,2
1,480 +
1
2
0,268 +
1
3
0,048 = 8,15

4. 4
d. 𝑦′
2,1 ≃ 𝑃4 2,1 =
1
0,2
1,480 +
1
2
0,268 +
1
3
0,048 +
1
4
0,007 = 8,15879
(Jawaban benar: 𝑦 = 𝑒 𝑥
𝑦′
= 𝑒 𝑥
𝑦 2,1 = 𝑒 2,1
= 8,166169)
Derivatif yang lebih tinggi
Dengan memperhatikan cara kerja pada proses mendapatkan derivatif dari
fungsi f yang telah dibahas dimuka, kita dapat menurunkan rumus untuk
memeperoleh derivatif ke-n dari fungsi f dengan mendeferensialkan lebih lanjut apa
yang telah kita peroleh.
Kita mempunyai:
𝑓′
𝑥 𝑠 ≃ 𝑃′
𝑛 𝑥𝑠 =
1
ℎ
𝑑
𝑑𝑠
(𝑃𝑛 (𝑥𝑠))
𝑓′′
𝑥 𝑠 ≃ 𝑃′′
𝑛 𝑥 𝑠 =
1
ℎ2
𝑑2
𝑑𝑠2
𝑃𝑛 (𝑥 𝑠)
Sehingga
𝑓′′
𝑥 𝑠 ≃
1
ℎ2
1
2
. 2∇2
𝑓𝑜 +
1
6
𝑠 + 1 + 𝑠 + 2 + 𝑠 + 𝑠 + 2 + 𝑠 + (𝑠 + 1) ∇3
𝑓𝑜
+ ⋯
Apabila s = 0, maka
𝑓′′(𝑥 𝑜 ) ≃
1
ℎ2
∇2
𝑓𝑜 + ∇3
𝑓𝑜 + ⋯
Kita mengetahui bahwa akan cukup sulit untuk memperoleh koefisien-
koefisisen dari suku-suku yang berada didalam kurung pada ruas kanan. Untuk itu
kita pergunakan hubungan:
𝐸−1
= 1 − ∇
Dan 𝑓 𝑥 𝑠 = 𝐸 𝑠
𝑓 𝑥 𝑜 𝑓𝑠 = 𝐸 𝑠
𝑓𝑜
Sehingga 𝑓′
𝑠
=
𝑑
𝑑𝑥
𝐸 𝑠
𝑓𝑜

5. 5
=
1
ℎ
(ln 𝐸)𝐸 𝑠
𝑓𝑜
=
1
ℎ
ln(1 − ∇)𝐸 𝑠
𝑓𝑜
=
1
ℎ
∇ +
1
2
∇2
+
1
3
∇3
+
1
4
∇4
+ ⋯ 𝐸 𝑠
𝑓𝑜
Dan jika𝑠 = 0maka
𝑓′ 𝑜 =
1
ℎ
∇ +
1
2
∇2
+
1
3
∇3
+
1
4
∇4
+ ⋯ 𝑓𝑜
Didefinisikan: 𝐷 =
1
ℎ
ln(1 − ∇)
Maka: 𝐷𝑓𝑜 =
1
ℎ
ln 1 − ∇ 𝑓𝑜
Dengan demikian:
𝐷2
=
1
ℎ2
𝑙𝑛2
(1 − ∇)
𝐷3
=
1
ℎ3 𝑙𝑛3
(1 − ∇)
𝐷 𝑛
=
1
ℎ 𝑛
𝑙𝑛 𝑛
(1 − ∇)
Sehingga
𝑓 ′ ′ 𝑥0 ≃ 𝐷2
𝑓0
𝑓 ′ ′ 𝑥0 ≃
1
ℎ2
∇ +
1
2
∇2
+
1
3
∇3
+
1
4
∇4
+ ⋯
2
𝑓0
𝑓 ′ ′ 𝑥0 ≃
1
ℎ2
∇2
+ ∇3
+
11
12
∇4
+
5
6
∇5
+ ⋯ 𝑓0
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa
Contoh 2:
Dengan menggunakan Tabel pada contoh 1, hitung nilai pendekatan dari y’’ (2,1)
Penyelesaian:
𝒇 ′ ′ 𝒙 𝟎 ≃
𝟏
𝒉 𝟐
𝛁 𝟐
𝒇 𝟎 + 𝛁 𝟑
𝒇 𝟎 +
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝛁 𝟒
𝒇 𝟎 +
𝟓
𝟔
𝛁 𝟓
𝒇 𝟎 + ⋯
𝒇(𝒏)
𝒙 𝟎 = 𝒇 𝟎
(𝒏)
≃ 𝑫 𝒏
𝒇 𝟎

6. 6
𝑦 ′ ′
2,1 ≃
1
0,2 2
0,268 + 0,048 +
11
12
(0,007)
= 8,06
(Jawaban benar: 𝑦 = 𝑒 𝑥
𝑦 ′ ′ = 𝑒 𝑥
𝑦 ′ ′(2,1) = 8,166169)
2. Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor
Misalkan diberikan titik-titik (xi, fi) , i = 0, 1, 2, ..., n, yang dalam hal ini xi=
x0+ih dan fi= f(xi). Kita ingin menghitung f '(x), yang dalam hal ini x = x0 + sh, s ∈R .
Kurva Pendekatan Penghitungan Turunan Numerik
 Pendekatan selisih mundur
 Pendekatan Turunan Pertama Selisih – Mundur
Uraikan f(xi-1) disekitar xi:
f0
f-1
y = f(x)
x-1 x0
h
h
ff
h
hxfxf
xf 1000
0
)()(
)(' 



)('
''
2
'
...''
2
'
...''
2
'
...)(''
!2
)(
)('
!1
)(
)()(
1
1
2
1
2
1
2
11
1
hO
h
ff
f
f
h
h
ff
f
f
h
ffhfi
f
h
hfff
xf
xx
xf
xx
xfxf
ii
i
i
ii
i
iii
iiii
i
ii
i
ii
ii




















7. 7
Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaan rumusnya:
 Pendekatan Turunan Kedua Selisih – Mundur
Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh
Untuk nilai-nilai f di x-2, x0 dan x1 persamaan rumusnya:
Contoh:
1. Backward difference (dua titik)
𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 ∶ 𝒇′
𝒙 =
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙 − 𝒉)
𝒉
Diketahui data sebagai berikut
𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥
𝑆𝑖𝑛 (𝑥)
0.4 0.261035
0.6 0.309882
0.8 0.322329
1 0.309560
1.2 0.280725
1.4 0.243009
1.6 0.201810
𝑓′
1 = −0.110794 (𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘)
Hitung nilai pendekatan f’(1) dan galat dengan selisih h = 0.2 !
yang dalam hal ini galat berupaO(h) = -h/2 f’’(t), xi-1<t<xi
)(' 10
0 hO
h
ff
f 

  dalam hal ini, O(h) = -h/2 f’’(t), xi-1<t<xi
)(
2
'' 2
12
hO
h
fff
f iii
i 

 
dalam hal ini, O(h) = h f’’(t), xi-2<t<xi
)(
2
'' 2
012
0 hO
h
fff
f i


 
dalam hal ini, O(h) = hf’’(t), xi-2<t<xi

8. 8
Penyelesaian:
𝑓′
𝑥 ≈
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 − ℎ)
ℎ
𝑓′
1 ≈
𝑓 1 − 𝑓 1 − 0.2
0.2
≈
0.309560 − 0.322329
0.2
≈ −0.063845
Error = Selisih nilai pertama dan kedua
=|−0.063845 − −0.110794 | = 0.046948797
2. Backward difference (tiga titik)
𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 ∶ 𝒇′
(𝒙) ≈
𝟑 𝒇 𝒙 − 𝟒𝒇 𝒙 − 𝒉 + 𝒇(𝒙 − 𝟐𝒉)
𝟐𝒉
Diketahui data sebagai berikut
𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥
𝑆𝑖𝑛 (𝑥)
0.4 0.261035
0.6 0.309882
0.8 0.322329
1 0.309560
1.2 0.280725
1.4 0.243009
1.6 0.201810
𝑓′
1 = −0.110794 (𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘)
Hitung nilai pendekatan f’(1) dan galat dengan selisih h = 0.2 !
Penyelesaian:
𝑓′
(𝑥) ≈
3 × 0.309560 − 4𝑓 𝑥 − ℎ + 𝑓(𝑥 − 2ℎ)
2ℎ
𝑓′
(1) ≈
3 𝑓 𝑥 − 4 × 0.322329 + 0.309882
0.4
≈ −0.1268837
Error = Selisih nilai pertama dan kedua
=|−0.1268837 − −0.110794 | =0.0160897

9. 9
3. Backward difference (turunan kedua)
𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 ∶ 𝒇"(𝒙) ≈
𝒇 𝒙 − 𝟐𝒇 𝒙 − 𝒉 + 𝒇(𝒙 − 𝟐𝒉)
𝒉 𝟐
Diketahui data sebagai berikut
𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥
𝑆𝑖𝑛 (𝑥)
0.4 0.261035
0.6 0.309882
0.8 0.322329
1 0.309560
1.2 0.280725
1.4 0.243009
1.6 0.201810
𝑓"
1 = −0.397532 (𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘)
Hitung nilai pendekatan f”(1) dan galat dengan selisih h = 0.2 adalah
𝑓"
𝑥 ≈
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 − ℎ + 𝑓(𝑥 − 2ℎ)
ℎ2
𝑓"
1 ≈
𝑓 1 − 𝑓 1 − 0.2 + 𝑓(1 − 0.4)
0.4
≈
0.309560 − 0.322329 + 0.309882
0.4
≈ −0.6303876 (tiga titik)
𝑓"
𝑥 ≈
2𝑓 𝑥 − 5𝑓 𝑥 − ℎ + 4𝑓 𝑥 − 2ℎ − 𝑓(𝑥 − 3ℎ)
ℎ2
≈
2𝑓 1 − 5𝑓 1 − 0.2 + 4𝑓 1 − 0.4 − 𝑓(1 − 0.6)
0.4
≈
2 × 0.309560 − 5 × 0.322329 + 4 × 0.309882 − 0.261035)
0.4
≈ −0.3507519
Error = Selisih nilai pertama dan kedua
=|−0.3507519 − −0.110794 | = 0.2399579
Contoh soal pemilihan rumus NGB:
Diberikan data dalam bentuk tabel sebagai berikut:

10. 10
Rumus apa yang digunakan untuk menghitung f '(2.5)?
Penyelesaian:
untuk menghitung nilai f '(2.5) digunakan rumus hampiran selisih-mundur,
sebab x = 2.5 hanya mempunyai titik-titik sebelumnya (mundur).
Hampiran selisih-mundur:
𝑓′
0
=
𝑓0 − 𝑓−1
ℎ
+ 𝑂 ℎ
𝑓′
2,5 =
12,182 − 9,974
0,2
= 11,04
C. Ringkasan Rumus-Rumus Turunan dengan metode Newton Gregory Mundur
a) Rumus untuk data tanpa diketahui fungsi
 Rumus untuk turunan pertama selisih mundur
𝑓′
𝑥 𝑜 ≅
1
ℎ
∇𝑓𝑜 +
1
2
∇2
𝑓𝑜 +
1
3
∇3
𝑓𝑜 +
1
4
∇4
𝑓𝑜 + ⋯ +
1
𝑛
∇ 𝑛
𝑓𝑜
 Rumus untuk turunan kedua selisih mundur
𝑓 ′ ′ 𝑥0 ≃
1
ℎ2
∇2
𝑓0 + ∇3
𝑓0 +
11
12
∇4
𝑓0 +
5
6
∇5
𝑓0 + ⋯
b) Rumus untuk data dengan diketahui fungsi
 Rumus untuk turunan pertama selisih mundur (dengan dua titik)
𝑓0
′
=
𝑓0 − 𝑓−1
ℎ
+ 𝑂(ℎ)
 Rumus untuk turunan pertama selisih mundur (dengan tiga titik)
𝑓′(𝑥𝑖) =
3𝑓 𝑥𝑖 − 4𝑓 𝑥𝑖−1 + 𝑓(𝑥𝑖−2)
2ℎ
 Rumus untuk turunan kedua selisih mundur (dengan tiga titik)

11. 11
𝑓0
′′
=
𝑓−2 − 2𝑓−1 + 𝑓0
ℎ2
+ 𝑂(ℎ)
 Rumus untuk turunan kedua selisih mundur (dengan empat titik)
𝑓′′(𝑥𝑖) =
2𝑓 𝑥𝑖 − 5𝑓 𝑥𝑖−1 + 4𝑓 𝑥𝑖−2 − 𝑓 𝑥𝑖−3
ℎ2
Daftar Pustaka
Fuad, Yusuf. 1994. Metode Numerik I. Surabaya: Unesa Press
Munir, Rinaldi.2010. Metode Numerik. Bandung: informatika
Salusu, A. 2008. Metode Numerik Dilengkapi dengan Animasi Matematika dan
Panduan Singkat Maple. Yogyakarta: Graha Ilmu
Sangadji. 2008. Metode Numerik. Yogyakarta: Graha Ilmu