berikut pembahasan tentang koordinat kutub dan koordinat kartesius

1. 1
SISTEM KOORDINAT
Pierre Fermat dan Rene Decartes telah memperkenalkan sistem koordinat
yang sekarang kita kenal dengan sistem koordinat kartesius atau siku-siku. Dasar
pemikiran kedua orang Prancis ini ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P
pada bidang dengan dua bilangan (x,y). Setiap bilangan itu menggambarkan jarak
dari dua sumber yang tegak lurus sesamanya.
Y
P(x,y)
0 X
Memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah jalan
satu-satunya untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lainnya
ialah menggunakan koordinat kutub.
Koordinat Kutub
Dengan menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik O dan P
sebagai perpotongan antara sebuah lingkaran, r adalah jari-jari lingkaran dari 𝜃
adalah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub maka (r, 𝜃) dinamakan sepasang
koordinat kutup dari titik P.
P(r, 𝜃)
r
O

2. 2
Hubungan dengan Koordinat Kartesius
Y
P(x,y)
r P(r,𝜃)
y
0 x X
Cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
x = r Cos 𝜃
Sin 𝜃 =
𝑦
𝑟
y = r Sin 𝜃
r = √𝑥2 + 𝑦2 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
Tg 𝜃 =
𝑦
𝑥
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑦
𝑥

3. 3
Contoh
Tentukan koordinat kartesius dari titik (4,
3
4
𝜋) !
Peny :
Jika (r,𝜃) = (4,
3
4
𝜋)
Maka 𝑥 = r Cos 𝜃 y = r Sin 𝜃
= 4 𝑐𝑜𝑠
3
4
𝜋 = 4 𝑠𝑖𝑛
3
4
𝜋
= 4 cos
540°
4
= 4 sin
540°
4
= 4 cos 135° = 4 sin 135°
= 4 . ( −
1
2
√2) = 4 .
1
2
√2
= -2√2 = 2√2
Jadi (x,y) = (-2√2 , 2√2)
Tentukan koordinat kutub dari titik (-3, -√3)
Peny :
Jika (x,y) = (-3, -√3)
maka
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
= (−3)2
+ (−√3)2

4. 4
r
d
o
o
d
d
o
= 9 + 3
= 12
r = 2√3
tg 𝜃 =
𝑦
𝑥
=
−√3
−3
...........................kuadran III
=
1
3
√3
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
1
3
√3)
𝜃 = 180°+30°
𝜃 = 210°
Jadi (r, 𝜃) = (2√3 , 2100
)
PERSAMAAN KUTUB
a. Persamaan kutub untuk garis
𝜃° = 0 𝜃° =
1
2
𝜋
(𝜃 − 𝜃°)
𝜃°
𝑟 =
𝑑
𝑐𝑜𝑠(𝜃−𝜃° )
𝑟 =
𝑑
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟 =
𝑑
sin 𝜃

5. 5
a
o
a
o a
o
d
d
d
b. Persamaan kutub untuk lingkaran
𝜃°
𝑟 = 2𝑎 𝐶𝑜𝑠(𝜃 − 𝜃° ) 𝑟 = 2𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑟 = 2𝑎 𝑆𝑖𝑛 𝜃
c. Persamaan kutub sebuah Konik (elips, parabola, atau hiperbola)
𝜃°
𝑟 =
𝑒𝑑
1+𝑒𝐶𝑜𝑠(𝜃−𝜃° )
𝑟 =
𝑒𝑑
1+𝑒𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑟 =
𝑒𝑑
1+𝑒𝑆𝑖𝑛 𝜃
Elips (e < 1)
Parabola (e = 1)
Hiperbola (e > 1)
GRAFIK PERSAMAAN KUTUB
Selain grafik persamaan kutub yang berupa garis lingkaran dari konik
terdapat juga grafik persamaan kutub yaitu kardioid, limason, lemniskart, dan
mawar. Walaupun bentuk grafiknya rumit namun persamaannya tetap sederhana
kalau digunakan persamaan kutub.
Sifat simetris dapat membantu menggambarkan sebuah grafik. Berikut
ini ada beberapa pengujian kesimetrisan yang berguna dalam koordinat kutub.
a. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x, yaitu sumbu kutub dari
perpanjangannya kekiri. Apabila 𝜃 diganti dengan – 𝜃 akan menghasilkan
persamaan yang sama.

6. 6
a > b a = b a < b
b. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y, maka tetap akan
menghasilkan persamaan yang sama (apabila 𝜃 diganti dengan 𝜋 − 𝜃)
c. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal apabila r diganti dengan
–r menghasilkan persamaan yang sama.
KARDIOID
Persamaannya 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 𝑆𝑖𝑛 𝜃
a , b konstanta yang positif. Grafik dikatakan limason khusus atau kardioid
apabila a = b.
LEMNISKART
Persamaannya𝑟2 = ±𝑎 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃
𝑟2 = ±𝑎 𝑆𝑖𝑛 2 𝜃
MAWAR
Persamaannya 𝑟 = 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝜃
𝑟 = 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝜃

7. 7
Grafik persamaan kutub merupakan kurva-kurva berbentuk bunga
mawar. Banyaknya daun mawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n
apabila n genap.
Contoh Soal
Limason :
r = 1 – 2 cos 𝜃
misal
𝜃 = 0 → 𝑟 = 1 − 2 cos0° = 1 − 2(1) = −1
𝜃 =
𝜋
2
→ 𝑟 = 1 − 2 cos90° = 1 − 2(0) = 1
𝜃 =
2𝜋
3
→ 𝑟 = 1 − 2cos120° = 1 − 2(−1/2) = 2
𝜃 =
3𝜋
4
→ 𝑟 = 1 − 2cos135° = 1 − 2(−
1
2
√2) = 2,4
𝜃 =
5𝜋
6
→ 𝑟 = 1 − 2cos150° = 1 − 2(−
1
2
√3) = 2,7
𝜃 = 𝜋 → 𝑟 = 1 − 2 cos180° = 1 − 2 (−1) = 3
𝜃 =
7𝜋
6
→ 𝑟 = 1 − 2cos210° = 1 − 2(−
1
2
√3) = 2,7
𝜃 =
5𝜋
4
→ 𝑟 = 1 − 2cos225° = 1 − 2(−
1
2
√2) = 2,4
𝜃 =
4𝜋
3
→ 𝑟 = 1 − 2cos240° = 1 − 2(−1/2) = 2
𝜃 =
3𝜋
2
→ 𝑟 = 1 − 2cos270° = 1 − 2(0) = 1

8. 8
Lemniskart :
𝑟2
= 8 cos2𝜃
Penyelesaian :
Misal :
𝜃 = 0 → 𝑟2
= 8cos2(0) = 8 cos0° = 8(1) = 8 → 𝑟 = √8 = ±2,8
𝜃 =
𝜋
12
→ 𝑟2
= 8 cos2(
𝜋
12
) = 8cos 30° = 8 (
1
2
√3) = 4√3 → 𝑟 = ±2,6
𝜃 =
𝜋
6
→ 𝑟2
= 8cos2 (
𝜋
6
) = 8 cos60° = 8 (
1
2
) = 4 → 𝑟 = ±2
𝜃 =
𝜋
4
→ 𝑟2
= 8cos2 (
𝜋
4
) = 8 cos90° = 8(0) = 0 → 𝑟 = 0

9. 9
Mawar
𝑟 = 4cos2𝜃
Penyelesaian :
Misal :
𝜃 = 0 → 𝑟 = 4 cos0° = 4(1) = 4
𝜃 =
𝜋
12
→ 𝑟 = 4cos2 (
𝜋
12
) = 4 cos30° = 4 (
1
2
√3) = 2√3
𝜃 =
𝜋
6
→ 𝑟 = 4 cos2(
𝜋
6
) = 4cos60° = 4(
1
2
) = 2
𝜃 =
𝜋
4
→ 𝑟 = 4 cos2(
𝜋
4
) = 4cos90° = 4(0) = 0
Dst ...

10. 10
Soal:
1. Tentukan koordinat kartesius dari titik (16 ,
3
4
𝜋 ) !
2. Tentukan koordinat kutub dari titik (6 , 6) !
3. Tentukan koordinat kutub dari titik (0 , 25) !
4. Tentukan koordinat kartesius dari titik (8,
3
4
𝜋 ) !
5. Tentukan koordinat kutub dari titik (-5 , 5) !
Kunci Jawaban:
1. Jika ( 𝑟, 𝜃) =(16 ,
3
4
𝜋 )
Maka :
x= r Cos 𝜃 y = r Sin 𝜃
= 16 𝑐𝑜𝑠
3
4
𝜋 = 16 𝑠𝑖𝑛
3
4
𝜋
= 16 cos
540°
4
= 16 sin
540°
4
= 16 cos 135° = 16 sin 135°
= 16 .( −
1
2
√2) = 16 .
1
2
√2
= -8√2 = 8√2
Jadi (x,y) = (-8√2 , 8√2)

11. 11
2. Jika (x,y) = (6 , 6)
maka
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
= (6)2
+ (6)2
= 36 + 36
= 72
r = √72
= 6√2
tg 𝜃 =
𝑦
𝑥
=
6
6
.......................kuadran I
= 1
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (1)
𝜃 = 45°
Jadi (r, 𝜃) = (6√2 , 45° )
3. Jika (x,y) = (0 , 25)
maka
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
= (0)2
+ (25)2
= 0 + 625
= 625
r = √625
= 25
tg 𝜃 =
𝑦
𝑥
=
25
0
= ∞

12. 12
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (∞)
𝜃 = 90°
Jadi (r, 𝜃) = (25 , 90° )
4. Jika ( 𝑟, 𝜃) =(8 ,
3
4
𝜋 )
Maka :
x= r Cos 𝜃 y = r Sin 𝜃
= 8 𝑐𝑜𝑠
3
4
𝜋 = 8 𝑠𝑖𝑛
3
4
𝜋
= 8 cos
540°
4
= 8 sin
540°
4
= 8 cos 135° = 8 sin 135°
= 8 .( −
1
2
√2) = 8 .
1
2
√2
= -4√2 = 4√2
Jadi (x,y) = (-4√2 , 4√2)
5. Jika (x,y) = (-5 , 5)
maka
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
= (−5)2
+ (5)2
= 25 + 25
= 50
r = √50
= 5√2

13. 13
tg 𝜃 =
𝑦
𝑥
=
5
−5
= −1 ..................kuadran IV
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (−1)
𝜃 = 180° − 45°
= 135°
Jadi (r, 𝜃) = (5√2, 135° )

14. 14
Daftar Pustaka
1. Panggabean, A.B. 2008. Kalkulus. Yogyakarta:Graha Ilmu.
2. Dra.Lusiana, M.Pd dan Dra. Hj. Farahdiba, M.Pd.2009. Diktat Kalkulus
Lanjutan. Palembang:Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas PGRI Palembang.