Aturan L'Hospital II digunakan untuk menentukan limit fungsi rasio ketika penyebut mendekati tak hingga. Aturan ini menyatakan bahwa jika limit turunan fungsi pembilang terhadap turunan fungsi penyebut ada dan terbatas, maka limit fungsi rasio akan sama dengan limit tersebut. Jika limit turunan tersebut tak hingga, maka limit fungsi rasio juga akan tak hingga dengan nilai yang sama. Aturan ini membutuhkan syarat bahwa turunan

1. Aturan L’Hospital II
Aturanini serupadenganaturanL’hospital yangpertamanamunatursn ini brlakupadakasusdimana
penyebutmenjadi takhinggaseperti 𝑎 → 𝑎 +.Anggapkitahanyamenentukanlimitdari kanan
namunhal tersebutmungkinjika 𝑎 = −∞.Limitkiri danlimitdari keduasisi diselesaikandengan
cara yangsama.
6.3.5 Aturan L’Hospital II
Misal −∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ ∞ dan 𝑓, 𝑔 dapatditurunkanpada(𝑎, 𝑏) sedemikianhingga
𝑔′( 𝑥) ≠ 0, ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Anggap
(5) lim
𝑥→𝑎+
𝑔( 𝑥) = ±∞
(a) jika lim
𝑥→𝑎+
𝑓′( 𝑥)
𝑔′( 𝑥)
= 𝐿 ∈ ℝ, 𝑚𝑎𝑘𝑎 lim
𝑥→𝑎+
𝑓 ( 𝑥)
𝑔 ( 𝑥)
= 𝐿
(b) jika lim
𝑥→𝑎+
𝑓′( 𝑥)
𝑔′( 𝑥)
= 𝐿 ∈ {−∞,∞},𝑚𝑎𝑘𝑎 lim
𝑥→𝑎+
𝑓 ( 𝑥)
𝑔 ( 𝑥)
= 𝐿
Bukti :
Anggap(5) mempunyai limit ∞
Karena 𝑔′( 𝑥) ≠ 0 maka 𝑔′( 𝛽) ≠ 𝑔′( 𝛼), ∀𝛼, 𝛽 ∈ ( 𝑎, 𝑏), 𝛼 < 𝛽.
Sehingga(
𝑓( 𝛽)−𝑓( 𝛼))
𝑔( 𝛽)−𝑔( 𝛼)
=
𝑓′( 𝑢)
𝑔′( 𝑢)
, ∀ 𝑢 ∈ (𝛼, 𝛽)
 Kasus(a) : jikadiberikan 𝐿 ∈ ℝdengan 𝐿 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝜀 > 0 makaada 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sedemikian
hingga
𝐿 − 𝜀 <
𝑓( 𝛽) − 𝑓(𝛼)
𝑔( 𝛽) − 𝑓(𝑎)
< 𝐿 + 𝜀 𝑎 < 𝛼 < 𝛽 ≤ 𝑐
ketika 𝑎 < 𝛼 < 𝛽 ≤ 𝑐.Karena 𝑔(𝑥) → ∞, asumsikanbahwa 𝑔( 𝑐) > 0.
Ambil 𝛽 = 𝑐 di (3) makaa
(6) 𝐿 − 𝜀 <
𝑓( 𝑐)−𝑓(𝛼)
𝑔( 𝑐)−𝑓(𝑎)
< 𝐿 + 𝜀 , ,∀ 𝑎 ∈ (𝑎, 𝑐)
Karena
𝑔( 𝑐)
𝑔( 𝑎)
→ 0 pada 𝑎 → 𝑎 + , asumsikan 0 <
𝑔( 𝑐)
𝑔( 𝑎)
< 1 ∀ 𝑎 ∈ (𝑎, 𝑐)
Hal ini berarti
𝑔( 𝑐) − 𝑔( 𝛼)
𝑔( 𝑎)
= 1 −
𝑔( 𝑐)
𝑔( 𝑎)
> 0, ∀𝑎 ∈ (𝑎, 𝑐)
Jikadikalikan(6) dengan
𝑔( 𝛼)−𝑔( 𝑐)
𝑔( 𝑎)
> 0 maka