Persamaan eksponen adalah persamaan yang memuat variabel pada bilangan pokok atau pangkatnya. Terdapat beberapa sifat yang berlaku pada persamaan eksponen seperti penjumlahan dan pengurangan pangkat, perkalian dan pembagian bilangan berpangkat, serta penentuan himpunan penyelesaian berdasarkan bentuk persamaan eksponen tertentu.

2. Pengertian
Persamaan eksponen adalah persamaan yang bilangan pokok atau
pangkatnya memuat variabel x.
Contoh:
a. 9 𝑥−5
=
1
27
3
b. (𝑥 + 5)3𝑥
= (𝑥 + 5) 𝑥+1
𝑎 𝑚 pangkat
basis

3. Sifat-sifat Bilangan Berpangkat Rasional
Berikut adalah sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat, yaitu:
1. Jika a > 0 dan m, n bilangan rasional, maka:
a. 𝑎 𝑚
× 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
Perkalian dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok (basis) sama,
pangkat dijumlahkan.
b. 𝑎 𝑚
: 𝑎 𝑛
=
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛
Pembagian dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok (basis)
sama, pangkat dikurangkan.

4. c. 𝑎 𝑚 𝑛
= 𝑎 𝑚×𝑛
Perpangkatan bilangan berpangkat, pangkat dikalikan.
2. Jika a > 0, b > 0 dan m bilangan rasional, maka:
a. 𝑎 × 𝑏 𝑚
= 𝑎 𝑚
× 𝑏 𝑚
Pangkat dari perkalian bilangan adalah hasil kali pangkat masing-masing
bilangan.
b.
𝑎
𝑏
𝑚
=
𝑎 𝑚
𝑏 𝑚
Pangkat dari pembagian bilangan adalah hasil bagi pangkat masing-
masing bilangan.

5. 3. Jika a  0, maka 𝑎0
= 1
Bukti: dari sifat 𝑎 𝑚
: 𝑎 𝑛
=
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛
24
: 22
=
24
22
=
16
4
= 4
24
: 24
=
24
24
=
16
16
= 1
24
: 24
=
24
24
= 24−4
= 20
= 1
4. Jika a > 0 dan m bilangan rasional, maka 𝑎−𝑚
=
1
𝑎 𝑚
5. Jika m, n bilangan bulat, n > 1 serta
𝑚
𝑛
bilangan rasional, maka 𝑎
𝑚
𝑛 =
𝑛
𝑎 𝑚

6. Menentukan Penyelesaian Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen berbentuk 𝒂 𝒇(𝒙)
= 𝟏
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 𝑎 𝑓(𝑥)
= 1 , dapat
ditentukan dengan sifat berikut.
Jika a > 0, a  1 dan 𝒂 𝒇(𝒙)
= 𝟏, maka 𝒇 𝒙 = 𝟎

7. contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan eksponen berikut.
a. 32𝑥−1
= 1
b. 5 𝑥2+3𝑥−10
= 1
Jawab:
a. 32𝑥−1 = 1 ⟺ 32𝑥−1 = 30
2𝑥 − 1 = 0
2𝑥 = 1
𝑥 =
1
2
Jadi, himpunan penyelesaiannya:
1
2
b. 5 𝑥2+3𝑥−10 = 1 ⟺ 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0
𝑥 + 5 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = −5 atau 𝑥 = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya: 2, −5

8. Persamaan eksponen berbentuk 𝒂 𝒇(𝒙)
= 𝒂 𝒑
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 𝑎 𝑓(𝑥)
= 𝑎 𝑝
, dapat
ditentukan dengan sifat berikut.
Jika a > 0, a  1 dan 𝒂 𝒇(𝒙)
= 𝒂 𝒑
, maka 𝒇 𝒙 = 𝒑

9. contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari
tiap persamaan eksponen berikut.
a. 2 𝑥2−5𝑥
= 26
b. 9 𝑥−6
=
1
27
3
Jawab:
a. 2 𝑥2−5𝑥
= 26
⟺ 𝑥2
− 5𝑥 = 6
𝑥2
− 5𝑥 − 6 = 0
𝑥 − 6 𝑥 + 1 = 0
𝑥 = 6 atau 𝑥 = −1
Jadi, himpunan penyelesaiannya: −1,6
b. 9 𝑥−6
=
1
27
3 ⟺ 32 𝑥−6
=
1
33 . 3
1
2
32𝑥−12
= 3−3
. 3
1
2
32𝑥−12 = 3−
5
2
2𝑥 − 12 = −
5
2
4𝑥 − 24 = −5
4𝑥 = 19
𝑥 =
19
4
Jadi, himpunan penyelesaiannya:
19
4

10. Persamaan eksponen berbentuk 𝒂 𝒇(𝒙)
= 𝒂 𝒈(𝒙)
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 𝑎 𝑓(𝑥)
= 𝑎 𝑔(𝑥)
, dapat
ditentukan dengan sifat berikut.
Jika a > 0, a  1 dan 𝒂 𝒇(𝒙)
= 𝒂 𝒈(𝒙)
, maka 𝒇 𝒙 = 𝒈 𝒙

11. contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari
tiap persamaan eksponen berikut.
a. 272𝑥−5
= 243 𝑥−4
b. 25 𝑥2+2
= 1252𝑥2−𝑥+1
Jawab:
a. 272𝑥−5 = 243 𝑥−4
⟺ 33 2𝑥−5 = 35 𝑥−4
⟺ 36𝑥−15
= 35𝑥−20
⟺ 6𝑥 − 15 = 5𝑥 − 20
⟺ 𝑥 = −5
Jadi, himpunan penyelesaiannya: −5
b. 25 𝑥2+2
= 1252𝑥2−𝑥+1
⟺ 52 𝑥2+2
= 53 2𝑥2−𝑥+1
⟺ 52𝑥2+4
= 56𝑥2−3𝑥+3
⟺ 2𝑥2
+ 4 = 6𝑥2
− 3𝑥 + 3
⟺ 2𝑥2
+ 4 = 6𝑥2
− 3𝑥 + 3
⟺ 4𝑥2
− 3𝑥 − 1 = 0
⟺ 4𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 0
⟺ 𝑥 = −
1
4
atau 𝑥 = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya: −
1
4
, 1

12. Persamaan eksponen berbentuk 𝒉 𝒙 𝒇(𝒙)
= 𝒉 𝒙 𝒈(𝒙)
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen ℎ 𝑥 𝑓(𝑥)
= ℎ 𝑥 𝑔(𝑥)
, dimana
𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) suatu fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan memperhatikan
beberapa kemungkinan, yaitu:
a. Persamaan berlaku jika pangkatnya sama 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
b. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok ℎ 𝑥 = 1, karena 1 𝑓(𝑥)
= 1 𝑔(𝑥)
c. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok ℎ 𝑥 = −1, dengan syarat 𝑓(𝑥)
dan 𝑔(𝑥) keduanya bernilai genap atau 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya bernilai
ganjil
d. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok ℎ 𝑥 = 0, dengan syarat 𝑓(𝑥) dan
𝑔(𝑥) keduanya bernilai positif

13. contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen
𝑥2
− 9𝑥 + 19 2𝑥+3
= 𝑥2
− 9𝑥 + 19 𝑥−1
Jawab:
Himpunan penyelesaian dari persamaan
eksponen itu ditentukan dengan
memperhatikan kemungkinan berikut.
a. 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) ⟺ 2𝑥 + 3 = 𝑥 − 1
𝒙 = −𝟒
b. ℎ 𝑥 = 1
⟺ 𝑥2 − 9𝑥 + 19 = 1
⟺ 𝑥2 − 9𝑥 + 18 = 0
⟺ 𝑥 − 6 𝑥 − 3 = 0
⟺ 𝒙 = 𝟔 atau 𝒙 = 𝟑

14. c. ℎ 𝑥 = −1
⟺ 𝑥2 − 9𝑥 + 19 = −1
⟺ 𝑥2
− 9𝑥 + 20 = 0
⟺ 𝑥 − 5 𝑥 − 4 = 0
⟺ 𝑥 = 5 atau 𝑥 = 4
Kedua nilai 𝑥 ini harus diuji dengan mensubstitusikan ke dalam 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥).
• Untuk 𝑥 = 5 didapat:
𝑓 𝑥 = 𝑓 5 = 2 5 + 3 = 13 (ganjil)
𝑔 𝑥 = 𝑔 5 = 5 − 1 = 4 (genap)
Jadi, 𝑥 = 5 bukan penyelesaian karena −1 13 ≠ −1 4
• Untuk 𝑥 = 4 didapat:
𝑓 𝑥 = 𝑓 4 = 2 4 + 3 = 11 (ganjil)
𝑔 𝑥 = 𝑔 4 = 4 − 1 = 3 (ganjil)
Jadi, 𝒙 = 𝟒 merupakan penyelesaian karena −1 11
= −1 3

15. d. ℎ 𝑥 = 0
⟺ 𝑥2 − 9𝑥 + 19 = 0
⟺ 𝑥 =
9+ 5
2
atau 𝑥 =
9− 5
2
(gunakan rumus abc)
Kedua nilai 𝑥 ini juga harus diuji dengan mensubstitusikan ke dalam 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥).
• Untuk 𝑥 =
9+ 5
2
didapat:
𝑓 𝑥 = 𝑓
9+ 5
2
= 2
9+ 5
2
+ 3 (positif)
𝑔 𝑥 = 𝑔
9+ 5
2
=
9+ 5
2
− 1 (positif)
Jadi, 𝒙 =
𝟗+ 𝟓
𝟐
merupakan penyelesaian

16. • Untuk 𝑥 =
9− 5
2
didapat:
𝑓 𝑥 = 𝑓
9− 5
2
= 2
9− 5
2
+ 3 (positif)
𝑔 𝑥 = 𝑔
9− 5
2
=
9− 5
2
− 1 (positif)
Jadi, 𝒙 =
𝟗− 𝟓
𝟐
merupakan penyelesaian
Dari a, b, c, dan d, maka himpunan penyelesaiannya adalah
−4, 3, 4, 6,
9+ 5
2
,
9− 5
2
.

17. Persamaan eksponen berbentuk 𝑨 𝒂 𝒇(𝒙) 𝟐
+ 𝑩 𝒂 𝒇(𝒙)
+ 𝑪 = 𝟎
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 𝐴 𝑎 𝑓(𝑥) 2
+
𝐵 𝑎 𝑓(𝑥)
+ 𝐶 = 0, dimana a > 0 dan a  1, dapat ditentukan dengan
mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk persamaan kuadrat.

18. contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen
54𝑥−3
+ 253−2𝑥
= 30
Jawab:
54𝑥−3
+ 253−2𝑥
= 30
⟺ 54𝑥−3
+ 52 3−2𝑥
− 30 = 0
⟺ 54𝑥−3
+ 56−4𝑥
− 30 = 0
⟺ 54𝑥−3
+ 53+3−4𝑥
− 30 = 0
⟺ 54𝑥−3
+ 53
. 53−4𝑥
− 30 = 0
⟺ 54𝑥−3
+ 53
. 5−(4𝑥−3)
− 30 = 0

19. Misalkan 54𝑥−3
= 𝑝, maka persamaan tersebut menjadi:
⟺ 𝑝 + 53
. 𝑝−1
− 30 = 0
⟺ 𝑝 + 125
1
𝑝
− 30 = 0
⟺ 𝑝 +
125
𝑝
− 30 = 0
⟺ 𝑝2
+ 125 − 30𝑝 = 0
⟺ 𝑝2
− 30𝑝 + 125 = 0
⟺ 𝑝 − 25 𝑝 − 5 = 0
⟺ 𝑝 = 25 atau 𝑝 = 5

20. • Untuk 𝑝 = 25 didapat:
54𝑥−3
= 25
54𝑥−3 = 52
4𝑥 − 3 = 2
4𝑥 = 5
𝑥 =
5
4
• Untuk 𝑝 = 5 didapat:
54𝑥−3
= 5
4𝑥 − 3 = 1
4𝑥 = 4
𝑥 = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 1,
5
4

21. Tugas:
Sederhanakanlah bentuk eksponen berikut:
𝑎2
𝑏−1
1
2 𝑎6 𝑏
5
3 𝑐−2
𝑎3 𝑏−5 𝑐−3
1
3

23. Pengertian
Fungsi eksponen 𝑓 dengan bilangan pokok 𝑎 adalah fungsi yang
didefinisikan 𝑓: 𝑥 ⟶ 𝑎 𝑥
, dengan 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 dan 𝑥 ∈ 𝑅 (himpunan
bilangan real). Fungsi ini memetakan setiap bilangan real 𝑥 dengan tunggal ke
bilangan real positif 𝑎 𝑥
.
Fungsi eksponen 𝑓: 𝑥 ⟶ 𝑎 𝑥
dinyatakan dalam bentuk 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
.
Sedangkan persamaan fungsi eksponen dinyatakan dalam 𝑦 = 𝑎 𝑥
, dengan
daerah asal (domain) dari 𝑓 adalah 𝐷𝑓 = 𝑥 | − ∞ < 𝑥 < +∞, 𝑥 ∈ 𝑹
dan daerah hasil (range) dari f adalah 𝑅𝑓 = 𝑦 | 𝑦 > 0, 𝑦 ∈ 𝑹 .

24. Grafik Fungsi Eksponen
Sifat-sifat fungsi eksponen 𝑓: 𝑥 ⟶ 𝑎 𝑥
dapat ditentukan melalui grafik fungsi
eksponen. Berikut ini akan digambarkan grafik fungsi eksponen.
Grafik fungsi 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙
atau 𝒚 = 𝒂 𝒙
, dengan basis 𝒂 > 𝟏
Cara menggambar grafik fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
, 𝑎 > 1 akan diperlihatkan pada
contoh berikut.

25. Contoh:
Gambarkanlah grafik fungsi 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
,
𝑥 ∈ 𝑹.
Jawab:
Untuk mengambarkan grafik fungsi 𝑓 𝑥 =
2 𝑥
, dapat diambil beberapa titik penting,
yaitu nilai 𝑥 , sehingga nilai 𝑦 mudah
ditentukan seperti tabel di samping.
𝑥 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
. . . . . .
−3
1
8
−2
1
4
−1
1
2
0 1
1 2
2 4
3 8
. . . . . .

26. Tampak pada grafik bahwa fungsi
𝑓 𝑥 = 2 𝑥
, 𝑥 ∈ 𝑹 merupakan
fungsi naik monoton, karena
untuk 𝑥2 > 𝑥1, maka 𝑎 𝑥2 > 𝑎 𝑥1.
Sehingga fungsi eksponen 𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑥
, 𝑎 > 1 akan semakin besar
nilainya jika nilai peubah 𝑥 makin
besar (naik monoton).
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y

27. Grafik fungsi 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙
atau 𝒚 = 𝒂 𝒙
, dengan basis 𝟎 < 𝒂 < 𝟏
Cara menggambar grafik fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
, 0 < 𝑎 < 1 akan diperlihatkan
pada contoh berikut.
Contoh:
Gambarkanlah grafik fungsi 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
, 𝑥 ∈ 𝑹.
Jawab:
Untuk mengambarkan grafik fungsi 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
,dapat diambil beberapa titik
yang menunjukkan hubungan 𝑥 dengan 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
.

28. 𝑥 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
. . . . . .
−3 8
−2 4
−1 2
0 1
1
1
2
2
1
4
3
1
8
. . . . . .
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y

29. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
Tampak pada grafik bahwa fungsi
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
, 𝑥 ∈ 𝑹 merupakan
fungsi turun monoton, karena
untuk 𝑥2 > 𝑥1, maka 𝑎 𝑥2 < 𝑎 𝑥1.
Sehingga fungsi eksponen 𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑥
, 0 < 𝑎 < 1 akan semakin kecil
nilainya jika nilai variabel 𝑥 makin
besar (turun monoton).

31. Dari pembahasan grafik fungsi eksponen 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
, diperoleh sifat yang
dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen sebagai
berikut.
1. Untuk 𝑎 > 1, jika 𝑥2 > 𝑥1 maka 𝑎 𝑥2 > 𝑎 𝑥1 atau sebaliknya jika 𝑎 𝑥2 >
𝑎 𝑥1 maka 𝑥2 > 𝑥1.
2. Untuk 0 < 𝑎 < 1, jika 𝑥2 > 𝑥1 maka 𝑎 𝑥2 < 𝑎 𝑥1 atau sebaliknya jika
𝑎 𝑥2 < 𝑎 𝑥1 maka 𝑥2 > 𝑥1.

32. Dalam pertidaksamaan eksponen sifat tersebut dapat dinyatakan sebagai
berikut.
1. Jika 𝑎 > 1, maka:
• 𝑎 𝑔(𝑥)
≥ 𝑎ℎ(𝑥)
jika dan hanya jika 𝑔(𝑥) ≥ ℎ(𝑥)
• 𝑎 𝑔(𝑥)
≤ 𝑎ℎ(𝑥)
jika dan hanya jika 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)
2. Jika 0 < 𝑎 < 1, maka:
• 𝑎 𝑔(𝑥)
≥ 𝑎ℎ(𝑥)
jika dan hanya jika 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)
• 𝑎 𝑔(𝑥)
≤ 𝑎ℎ(𝑥)
jika dan hanya jika 𝑔(𝑥) ≥ ℎ(𝑥)

33. Contoh1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen berikut ini.
a. 4 𝑥2+4𝑥−3 < 16
b. 2 𝑥 > 32 𝑥−1
c. 32𝑥+1
+ 5 . 3 𝑥
> 2
Jawab:
a. 4 𝑥2+4𝑥−3 < 16
⟺ 4 𝑥2+4𝑥−3
< 42
⟺ 𝑥2
+ 4𝑥 − 3 < 2
⟺ 𝑥2 + 4𝑥 − 5 < 0
⟺ 𝑥 + 5 𝑥 − 1 < 0
−5 < 𝑥 < 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 𝑥 −5 < 𝑥 < 1, 𝑥 ∈ 𝑹

34. b. 2 𝑥
> 32 𝑥−1
⟺ 2 𝑥 > 25 𝑥−1
⟺ 2 𝑥
> 25𝑥−5
⟺ 𝑥 > 5𝑥 − 5
⟺ −4𝑥 > −5
𝑥 <
5
4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
𝑥 | 𝑥 <
5
4
, 𝑥 ∈ 𝑹
c. 32𝑥+1 + 5 . 3 𝑥 > 2
⟺ 32𝑥 . 3 + 5 . 3 𝑥 > 2
⟺ 32𝑥
. 3 + 5 . 3 𝑥
− 2 > 0
⟺ 3𝑝2
+ 5𝑝 − 2 > 0
⟺ 3𝑝 − 1 𝑝 + 2 > 0
⟺ 𝑝 < −2 atau 𝑝 >
1
3
• 𝒑 < −𝟐 (tidak memenuhi, sebab 3 𝑥 > 0)
• 𝒑 >
𝟏
𝟑
⇒ 3 𝑥
>
1
3
⟺ 3 𝑥 > 3−1
⟺ 𝑥 > −1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
𝑥 | 𝑥 > −1, 𝑥 ∈ 𝑹

35. Contoh2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen berikut ini.
a.
1
25
𝑥+2
<
1
125
𝑥−3
b.
1
3
9𝑥−𝑥2
>
1
9
𝑥
c.
1
4
𝑥
−
1
2
𝑥−1
> 8

36. Jawab:
a.
1
25
𝑥+2
<
1
125
𝑥−3
⟺
1
5
2 𝑥+2
<
1
5
3 𝑥−3
⟺ 2𝑥 + 4 > 3𝑥 − 9
⟺ −𝑥 > −13
⟺ 𝑥 < 13
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah 𝑥 𝑥 < 13, 𝑥 ∈ 𝑹
b.
1
3
9𝑥−𝑥2
>
1
9
𝑥
⟺
1
3
9𝑥−𝑥2
>
1
3
2𝑥
⟺ 9𝑥 − 𝑥2 < 2𝑥
⟺ −𝑥2 + 7𝑥 < 0
⟺ 𝑥2 − 7𝑥 > 0
⟺ 𝑥 𝑥 − 7 > 0
⟺ 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 7
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah
𝑥 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 7, 𝑥 ∈ 𝑹

37. • 𝒑 < −𝟐 (tidak memenuhi, sebab
1
2
𝑥
> 0)
• 𝒑 > 𝟒 ⇒
1
2
𝑥
> 4
⟺
1
2
𝑥
>
1
2
−2
⟺ 𝑥 < −2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
𝑥 | 𝑥 < −2, 𝑥 ∈ 𝑹
c.
1
4
𝑥
−
1
2
𝑥−1
> 8
⟺
1
2
2𝑥
−
1
2
𝑥−1
− 8 > 0
⟺
1
2
2𝑥
−
1
2
𝑥
.
1
2
−1
− 8 > 0
⟺
1
2
2𝑥
−
1
2
𝑥
. 2 − 8 > 0
⟺ 𝑝2
− 2𝑝 − 8 > 0
⟺ 𝑝 − 4 𝑝 + 2 > 0
⟺ 𝑝 < −2 atau 𝑝 > 4