Pemaham tentang kosep Turunan (Differensial)

1. TURUNAN
Di Susun Oleh:
SRIDAYANI
Pendidikan Matematika
Universitas Sultan Ageng Tirtayasa
MATEMATIKA SEKOLAH

2. Turunan Fungsi
Arti Fisis
Secara fisis, turunan fungsi f(x) di x=a
merupakan kecepatan sesaat dari sebuah
benda atau titik yang bergerakmengikuti
kurva y=f(x) pada saat x=a
h
xfhxf
v
h
)()(
lim
0




3. Turunan Fungsi
Contoh:
Sebuah benda jatuh dalam ruang hampa, di mana jarak
bendadari titik asal dirumuskan sebagai
meter. Berapa kecepatan sesaat
benda tersebut saat t=2 detik?
)232( 2
tts 

4. Turunan Fungsi
Penyelesaian :
Dalam hal ini
Jadi, kecepatan benda saat t=2 detik
adalah 130meter/detik.
tttf 232)( 2

h
fhf
v
h
)2()2(
lim
0



h
hh
v
h
)]2(2)2(32[)]2(2)2(32[
lim
22
0



h
hhh
v
h
)4128()2432128128(
lim
2
0



h
hhh
v
h
41282432128128
lim
2
0



h
hhh
v
h
232128
lim
2
0



130)232128(lim
0


hv
h

5. Turunan Fungsi
Arti Geometris
Secara geometris, turunan fungsi f(x) di
x=a merupakan gradien garis singgung
kurva y=f(x) di titik (a,f(a)).

6. Turunan Fungsi
Gradien tali busur adalah:
Jika titik Q semakin mendekati titik P, maka nilai h→0,
dan tali busur tersebut menjadi garis singgung kurva di
titik (a,f(a)), sehingga gradien garis singgung tersebut
adalah:
h
afhaf
aha
afhaf
m
)()()()( 




h
afhaf
m
h
)()(
lim
0




7. Turunan Fungsi
Contoh:
Tentukan gradien garis singgung kurva
di titik yang berabsis x=-2!
Penyelesaian :
xxxf 35)( 2

14)2(3)2(5)2(
35)(
2
2


f
xxxf
14175)2(
)2(3)2(5)2(
2
2


hhhf
hhhf
17)175(lim
14)14175(
lim
)2()2(
lim
0
2
0
0








hm
h
hh
m
h
fhf
m
h
h
h

8. Turunan Fungsi Aljabar
Turunan dari fungsi y = f(x) dinotasikan dengan y’ = f’(x). Notasi lain
dari turunan fungsi y = f(x) adalah :
Rumus-rumus turunan, antara lain:
Turunan Fungsi
0)('maka,)(Jika.1  xfcxf
1)('maka,)(Jika.2  xfxxf
.,,)('maka,)(Jika.3 1
Rnaanxxfaxxf nn
 
dx
df
y
dx
d
dx
dy


9. Turunan Fungsi Aljabar
Contoh:
Tentukan turunan dari fungsi berikut:
Jawab:
Turunan Fungsi
xxf
xxf


)(b.
4)(a. 2
(3)rumus4)(a. 2
 xxf
xxf 8)( 
12
)2(4)( 
 xxf
(3)rumus)(b. 2
1
 xxxf
x
xf
2
1
)( 
2
1
1
.
2
1
)(
x
xf 
)1
2
1
(
2
1
)(

 xxf

10. Turunan Fungsi Aljabar
Contoh:
Tentukan turunan dari fungsi:
→
→
Turunan Fungsi
243)(a. 23
 xxxxf
)(')(')('maka),()()(Jika4. xhxgxfxhxgxf 
0)1(4)2(33)( )12()13(
 
xxxf
463)( 2
 xxxf
x
xxxf
1
2)(b. 
)
2
1
(
2
3
2)(

 xxxf
)
2
3
(
2
1
2
1
3)(

 xxxf
xx
xxf
2
1
3)( 
)1
2
1
()1
2
3
(
)
2
1
()
2
3
(2)(

 xxxf

11. Turunan Fungsi Aljabar
Contoh:
Tentukan y’ jika
Jawab:
Turunan Fungsi
'''maka,.Jika5. uvvuyvuy 
)!12)(23( 23
 xxxy
3'23:Misal  uxu
xxvxxv 43'12 223

''' uvvuy 
)43)(23()12(3' 223
xxxxxy 
xxxxxxy 86129363' 22323

381212' 23
 xxxy

12. Turunan Fungsi Aljabar
Contoh:
Tentukan y’ jika
Jawab:
Turunan Fungsi
2
''
'maka,Jika6.
v
uvvu
y
v
u
y


!
54
32



x
x
y
2'32:Misal  uxu
4'54  vxv
2
''
'
v
uvvu
y


2
)54(
4)32()54(2
'



x
xx
y
2
)54(
128108
'



x
xx
y
2
)54(
22
'


x
y

13. Turunan Fungsi Aljabar
Contoh:
Tentukan f’(x) jika
Jawab:
Turunan Fungsi
'..'maka,Jika7. 1
uunyuy nn 

!)1()( 32
 xxf
1:Misal 2
 xu
'..' 1
uuny n

xxy 2.)1(3' 22

xxy 2.)1.(3' 132 

22
)1(6'  xxy
12
.2' 
 xu
xu 2'

14. Turunan Fungsi Trigonometri
Sama halnya turunan fungsi aljabar, turunan fungsi
trigonometri dapat ditentukan dengan mudah dengan
menggunakan definisi dan rumus turunan fungsi. Berikut
adalah beberapa definisi dan rumus turunan fungsi
trigonometri:
Turunan Fungsi
xxfxxf cos)('maka,sin)(Jika1. 
xxfxxf sin)('maka,cos)(Jika.2 
xxfxxf 2
sec)('maka,tan)(Jika.3 
xxfxxf 2
csc)('maka,cot)(Jika.4 
xxxfxxf tan.sec)('maka,sec)(Jika.5 
xxxfxxf cot.csc)('maka,csc)(Jika.6 

15. Turunan Fungsi Trigonometri
Contoh 1: Buktikan bahwa turunan dari fungsi f(x)=sin x adalah
f’(x)=cos x !
Jawab:
Turunan Fungsi
xxf sin)( 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0



)sin()( hxhxf 
h
h
xxf
h
)
2
1
sin(
lim.cos2)('
0

h
hx
xf
h
)
2
1
sin(.cos2
lim)('
0

h
xhx
xf
h
sin)sin(
lim)('
0



(terbukti)cos
2
1
.cos2)(' xxxf 

16. Turunan Fungsi Trigonometri
Contoh 2: Tentukan turunan dari fungsi
Jawab:
Turunan Fungsi
!sin.)( 2
xxxf 
xuxu 2':Misal 2

xxxxxf cos.sin.2)(' 2

'')(' uvvuxf 
xvxv cos'sin 
Catatan:

 )(sin)( baxxf n
)cos().(sin.)(' 1
baxbaxanxf n
 

17. Jika u = f(x), v = f(u), y = f(v), dimana u, v, dan y
terdiferensialkan, maka berlaku:
Contoh:
dx
du
du
dv
dv
dy
dx
dy

42
)32(jika,Tentukan  xy
dx
dy
x
dx
du
xu 432:Misal 2

3234
)32(44  xu
du
dy
uy
dx
du
du
dy
dx
dy
.
3232
)32.(164.)32(4  xxxx
dx
dy
Aturan Rantai Untuk Mencari Turunan
dari Komposisi Fungsi
a

18. Aturan Rantai Untuk Mencari Turunan
dari Komposisi Fungsi
)(sinjika,Tentukan 23
 xy
dx
dy
x
dx
du
xu 2:Misal 2
 
u
du
dv
uv cossin 
dx
du
du
dv
dv
dy
dx
dy
..
xuv
dx
dy
2.cos.3 2

23
3v
du
dy
vy 
uux
dx
dy
cos.sin.6 2

)cos().(sin.6 222
  xxx
dx
dy
b

19. Fungsi Naik dan Turun
+ - +
-2 2
Diberikan fungsi kontinu dan terdiferensialkan dalam
interval I.
1. Jika f’(x) ˃ 0 untuk tiap x Є I, maka fungsi f(x) naik
dalam interval I.
2. Jika f’(x) ˂ 0 untuk tiap x Є I, maka fungsi f(x) turun
dalam interval I.:Jawab 212)( 3
 xxxf
123)(' 2
 xxf
0)(':naikfungsiSyarat xf
0123 2
x
042
x
:kiriruasnolHarga
042
x
0)2)(2(  xx
2atau2  xx
22intervalpadaturunf(x)dan
2atau2intervalpadanaikf(x)Jadi,


x
xx
!turun)(dannaik)(intervaltentukan
,212)(diketahuiJika
:Contoh
3
xfxf
xxxf 

20. Nilai Stasioner
1. Jenis-Jenis Nilai Stasioner
a. Jika f’(a-) < 0 dan f’(a+) > 0 , maka f(a) merupakan
nilai balik minimum.
b. Jika f’(a-) > 0 dan f’(a+) < 0 , maka f(a) merupakan
nilai balik maksimum.
c. Jika f’(a-) dan f’(a+) bertanda sama, maka f(a)
merupakan nilai belok horizontal.
Apabila fungsi y = f(x) kontinu dan
diferensiabel, maka f(a) dikatakan nilai
stasioner dari f(x) jika dan hanya jika f’(a) = 0,
sedangkan titik (a,f(a)) dinamakan titik
stasioner.
Keterangan:
• f’(a-) artinya nilai f’(x) untuk x yang kurang dari a.
• f’(a+) artinya nilai f’(x) untuk x yang lebih dari a.

21. Nilai Stasioner
Contoh:
Jawab:
!jenisnyabeserta
76
2
5
3
1
)(daristasionernilai-nilaiTentukan 23
 xxxxf
76
2
5
3
1
)( 23
 xxxxf
65)(' 2
 xxxf
0)('jikadiperolehf(x)daristasionerNilai xf
0652
 xx
0)1)(6(  xx
1atau6  xx
maksimum.baliknilai
merupakan
6
61
)1(nyastasionernilai-1,Untuk x  f
minimum.baliknilai
merupakan47)6(nyastasionernilai6,Untuk x  f

22. 2. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum di Suatu Interval Tertentu
Untuk mencari nilai maksimum dan minimum
sebuah fungsi dalam suatu interval tertutup, dapat
digunakan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Tentukan nilai-nilai stasioner untuk nilai-nilai x
yang termasuk dalam interval.
b. Tentukan nilai-nilai fungsi di ujung interval.
c. Dari nilai-nilai tersebut, nilai terkecil adalah nilai
minimum dan nilai terbesar adalah nilai
maksimum.
Nilai Stasioner

23. Titik (a,f(a)) dikatakan titik belok dari f(x), jika:
a. f’(a)=0
b. f”(a)=0, di mana f”(x) adalah turunan
pertama dari f’(x) atau turunan kedua dari
f(x).
Atau
Titik (a,f(a)) dikatakan titik belok dari f(x), jika:
a. f’(a)=0
b. f’(a-) dan f’(a+) sama-sama positif atau sama-
sama negatif
Nilai Stasioner
1

24. Contoh:
Jawab: » Nilai-nilai stasioner diperoleh jika f’(x) = 0
• f(x) mencapai maksimum untuk x = -1, f(-1) = 2
• f(x) mempunyai titik belok untuk x = 0, f(0) =
0, sehingga titik beloknya (0,0)
• f(x) mencapai minimum untuk x = 1, f(1) = -2
» Nilai fungsi di ujung interval
f(-1) = 2
f(2) = 56
Jadi, nilai maksimumnya 56 dan nilai minimumnya 2
!21pada53)(
fungsiminimumnilaidanmaksimumnilaiTentukan
35
 xxxxf
0)(' xf
01515 24
 xx
0)1( 22
xx
0)1)(1(2
 xxx
Nilai Stasioner

28. ......(1)f'maka,
3
)(Jika1.
2



x
xxx
xf
......)('
adalah3sin)(daripertamaTurunan2. 3 2


xf
xxf
......)('maka),24(cos)(Jika3. 5
 xfxxf
Latihan Soal