Dokumen tersebut membahas tentang definisi metrik pada ruang riil satu dan dua dimensi, contoh himpunan terbuka dan tertutup, konvergensi barisan Cauchy, dan kontinuitas peta kontraksi.

1. 2.1
Contoh.
Di ℝ dapat didefinisikan suatu ruang Metrik d dengan 𝑑( 𝑥, 𝑦) = | 𝑥 − 𝑦| sedangkan pada ruang
Real berdimensi dua ℝ2
dapat didefinisikan Metrik
𝑑( 𝑥, 𝑦) = {( 𝑥1 − 𝑦1)2
+ ( 𝑥2 − 𝑦2)2}2
Untuk setiap 𝑥 = ( 𝑥1, 𝑥2), dan 𝑏 = ( 𝑦1, 𝑦2) di ℝ2
Selain itu di ℝ2
juga dapat didefinisikan Metrik lain, yakni
𝑑( 𝑥, 𝑦) = | 𝑥1 − 𝑦1| + | 𝑥2 − 𝑦2|
Metrik lain yang juga mungkin didefinisikan di ℝ2
adalah Metrik
𝑑( 𝑥, 𝑦) = maks{| 𝑥1 − 𝑦1|, | 𝑥2 − 𝑦2|}.
2.2.3
Contoh :
𝐶 = (−∞, 𝑎) himpunan terbuka.
2.2.5
Contoh :
𝐶 = [ 𝑎, ∞) himpunan tertutup.
2.3.2
Contoh :

2. 𝑑( 𝑥, 𝑦) = | 𝑥 − 𝑦|
Penyelesian :
Misalkan 𝑑( 𝑥, 𝑦) memiliki limit yaitu 0lim 

yx
n
maka    0yx . Diambil 0 berarti
𝑦 adalah limit dari   yxyxd , , dengan yx
n


lim . Terlihat , yx 0 . Jadi, terbukti
 yxd , konvergen.
2.5.1
Contoh.
Ruang banach serta normnya ℝ 𝑛
= { 𝑓 = 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛|𝑎𝑖 ∈ ℝ dengan ‖ 𝑓‖ = ∑ 𝑎𝑖
2𝑛
𝑖=1 }
Teorema 2.3.5 Setiap barisan yang konvergen dalam suatu metrik  dX, merupakan barisan
Cauchy
Bukti
Jika xxn  maka untuk setiap 0 terdapat  NN  sehingga  
2
,

xxd n untuk setiap
Nn  . Berdasarkan pertidaksamaan segitiga untuk
      


22
,,,, mnnmn xxdxxdxxdNmn .
Hal ini menunjukkan bahwa  nx merupakan barisan Cauchy.
Teorema 2.6.2 Jika T adalah pemetaan kontraksi di ruang metrik X maka T kontinu di X .
Bukti :
Misalkan T adalah pemetaan kontraksi maka terdapat 1 sehingga untuk setiap Xyx ,
berlaku

3. ),(),( yxdTTd yx  .
Syarat pemetaan T kontinu pada Xx bila untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga
),( yxd maka ),( yx TTd untuk Xyx ,
pilih


  maka untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga ),( yxd maka ),( yx TTd
untuk setiap Xyx , . Sehingga terbukti bahwa T kontinu di X