Dokumen tersebut membahas tentang transformasi pada bidang Euclides. Transformasi didefinisikan sebagai fungsi bijektif dengan daerah asal dan nilai sama. Contoh transformasi yang dibahas adalah perpetaan dan translasi. Transformasi tersebut dibuktikan memenuhi sifat injektif dan surjektif sehingga merupakan transformasi.

1. 0
MAKALAH
TRANSFORMASI
Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen Pengampu : Ishaq Nuriadin M.Pd
Disusun oleh :
Niamatus Saadah 1201125122
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA
2015

2. 1
TRANSFORMASI
A. PENGANTAR
Suatu fungsi pada V adalah suatu padanan yang mengaitkan setiap anggota V dengan
satu anggota V.
Jika f adalah fungsi dari V ke V yang mengaitkan setiap x ∈ V dengan y∈ V maka
ditulis y = f(x) , x dinamakan prap
eta dari y oleh f, dan y dinamakan peta dari x oleh f. Daerah asal fungsi tersebut
adalah V dan daerah nilainya juga V. Fungsi yang demikian dinamakan fungsi pada f.
B. TRANSFORMASI
Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan
daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi
yang bersifat :
1. Surjektif, artinya : Jika T suatu transformasi, maka tiap titik B∈ V ada prapeta A ∈ V
sehingga B = T(A). B dinamakan peta dari A dan A dinamakan prapeta dari B.
2. Injektif, artinya : Jika 𝐴1 ≠ 𝐴2 dan T(𝐴1) = 𝐵1, T(𝐴2) = 𝐵2 maka 𝐵1 ≠ 𝐵2, atau
jika T(𝑃1) = 𝑄1 dan T(𝑃2) = 𝑄2 sedangkan 𝑄1 = 𝑄2 maka 𝑃1 = 𝑃2.
Pada contoh di bawah ini, anggaplah V adalah bidang Euclides, artinya pada
himpunan titik-titik V diberlakukan sistem axioma Euclides.
Contoh 1 :
Andaikan A ∈ 𝑉. Ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai
juga V.
Jadi T : V V yang didefinisikan sebagai berikut :
1) T(A) = A
2) Apabila P A, maka T(P) = Q dengan Q titik tengah garis 𝐴𝑃̅̅̅̅. Selidiki apakah
padanan T tersebut suatu transformasi ?

3. 2
Penyelesaian : A S = T(R) R
Q=T(P)
P
Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiri.
Ambil sebarang titik R≠ 𝐴 pada V. Oleh karena V bidang Euclides, maka ada satu garis
yang melalui A dan R, jadi ada satu ruas garis 𝐴𝑅̅̅̅̅ sehingga ada tepat satu titik S dengan
S antara A dan R, sehingga AS = SR.
Ini berarti untuk setiap X ∈ V terdapat satu Y ∈ V dengan Y = T(X) yang memenuhi
persyaratan (2). Jadi daerah asal T adalah V.
1) Akan dibuktikan T surjektif.
Untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V memiliki
prapeta. Jadi apabila Y∈ 𝑉 apakah ada X ∈ 𝑉 yang bersifat T(X) = Y ?
Menurut ketentuan pertama, jika Y = A prapetanya adalah A sendiri, sebab T(A) = A.
Y = T(X)
A X
Apabila Y A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X tunggal dengan X ∈
𝐴𝑌⃡ sehingga AY = YX.
Jadi Y adalah titik tengah 𝐴𝑋̅̅̅̅ yang merupakan satu-satunya titik tengah. Jadi Y =
T(X).
Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. Dengan demikian dapat dikatakan
bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang
surjektif.
2) Akan dibuktikan T injektif.
Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik 𝑃 ≠ 𝐴, 𝑄 ≠ 𝐴𝑑𝑎𝑛𝑃 ≠ 𝑄. P,Q,A tidak segaris
(kolinear). Kita akan menyelidiki kedudukan T(P) dan T(Q).

4. 3
A
T(P) T(Q)
P Q
Andaikan T(P) = T(Q)
Oleh karena T(P) ∈ 𝐴𝑃⃡ 𝑑𝑎𝑛𝑇(𝑄) ∈ 𝐴𝑄⃡ maka dalam hal ini 𝐴𝑃⃡ 𝑑𝑎𝑛𝐴𝑄⃡ memilki dua
titik sekutu yaitu A dan T(P) = T(Q). ini berarti bahwa garis 𝐴𝑃⃡ 𝑑𝑎𝑛𝐴𝑄⃡ berimpit,
sehingga mengakibatkan bahwa 𝑄 ∈ 𝐴𝑃⃡ .
Ini berlawanan dengan pemisalan bahwa A, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian
bahwa T(P) = T(Q) tidak benar sehingga haruslah T(P) T(Q). Jadi, T injektif.
Dari uraian di atas tampak bahwa padanan T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah
padanan yang bijektif.
Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V. Ditulis T : V V.
Contoh 2 :
Pilihlah pada bidang Euclides V suatu sistem koordinat ortogonal. T adalah padanan yang
mengkaitkan setiap titik P dengan P’ yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu
X yang positif. Selidiki apakah T suatu transformasi ?
Penyelesaian :
Y
P P’
O X
Jika P = (x,y) maka T(P) = P’ dan P’=(x+1,Y).
Jelas daerah asal T adalah seluruh bidang V.
Adb T surjektif dan T injektif.
Misalkan A = (x,y).

5. 4
Andaikan B= (x’, Y’).
(i) Jika B prapeta titik A(x,y) maka haruslah berlaku T(B) = (x’ +1, y’).
Jadi x’+1 = x, y’=y.
x’ = x - 1
atau
y’=y
Jelas T (x-1,y)=((x-1)+1,y)=(x,y).
Oleh karena x’, y’ selalu ada, untuk semua nilai x,y maka B selalu ada sehingga
T(B)=A.
Karena A sebarang maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T
surjektif.
(ii) Andaikan P(x1,y1) dan Q (x2,y2) dengan P≠Q.
Dipunyai T(P)= (x1+1,y1) dan T(Q)= (x2+1,y2).
Jika T(P)= T(Q), maka (x1+1,y1)= (x2+1,y2).
Jadi x1+1=x2+1, dan y1= y2. Ini berarti x1=x2 dan y1= y2.
Jadi P=Q.
Terjadi kontradiksi, sehingga pengandaian salah. Jadi haruslah T(P)≠T(Q).
Jadi T injektif.
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T adalah padanan yang bijektif.
Jadi T merupakan suatu transformasi dari V ke V.

6. 5
PEMBAHASAN SOAL LATIHAN
1. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. A sebuah titik yang
terletakdi tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang
didefinisikan sebagai berikut:
Apabila gP  maka hPAPTP  )('
a) Apakah daerah nilai T ?
b) Apabila EDgEgD  ,, , buktikan bahwa DEED '' ; )('),(' ETEDTD 
c) Apakah T injektif
Penyelesaian :
a) Daerah nilai T adalah h
b) EDgEgD  ,,
)('),(' ETEDTD 
Lihat ∆ ADE dan segitiga ∆ AD’E’
𝑚(∠𝐷𝐴𝐸) = 𝑚(∠𝐷′𝐴𝐸′) (Bertolak belakang)
𝐷𝐴 = 𝐴𝐷′ (Karena A tengah-tengah 𝑔 dan ℎ)
𝐸𝐴 = 𝐴𝐸′ (Karena A tengah-tengah 𝑔 dan ℎ)
Diperoleh ∆𝐴𝐷𝐸 ≅ ∆𝐴𝐷′𝐸′ menurut definisi sisi sudut sisi.
Akibatnya 𝐷′
𝐸 = 𝐷𝐸.
P’=T(P)
A
P
g
h
D’
A
E
g
h
D
E’

7. 6
c) Akan dibuktikan T injektif
Ambil dua titik 𝑋 dan 𝑌 pada g, YX 
Akan dibuktikan )()( YTXT 
Andaikan 𝑇(𝑋) = 𝑇(𝑌)
Oleh karena hXAXT )( dan hYAYT )(
Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan 𝑇(𝑋) = 𝑇(𝑌).
Berarti garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat 𝑋 = 𝑌.
Ini suatu kontradiksi.
Jadi pengandaian salah, maka haruslah )()( YTXT 
Jadi T injektif.
2. Diketahui sebuah titik K dan ruas garis AB , ABK  dan sebuah garis g sehingga g //
AB dan jarak K dan AB , adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antara K dan
g. Ada padanan T dengan daerah asal AB dan daerah nilai g sehingga apabila
ABP maka gKPPPT  ')( .
a) Apakah bentuk himpunan peta-peta P’ kalau P bergerak pada AB
b) Buktikan bahwa T injektif.
c) Apabila E dan F dua titik pada AB , apakah dapat dikatakan tentang jarak E’F’
jika E’ = T(E) dan F’=T(F)?
x’=T(x)
A
y
g
h
x
y’=T(y)

8. 7
Penyelesaian :
P’ g
K
A P B
a) ABK  , g // AB , T: gAB 
ABP maka gKPPPT  ')(
gKPP '
sehingga gP '
Jadi bentuk himpunan peta-peta P’ adalah ruas garis pada g.
b) Akan dibuktikan T injektif
Ambil dua titik 𝑋 dan 𝑌 pada AB , YX 
Akan dibuktikan )()( YTXT 
Andaikan 𝑇(𝑋) = 𝑇(𝑌)
Oleh karena gKXXT )( dan gKYYT )(
Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan 𝑇(𝑋) = 𝑇(𝑌).
Ini berarti bahwa garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat 𝑋 = 𝑌.
Hal ini suatu kontradiksi.
Jadi pengandaian salah,maka haruslah )()( YTXT 
Jadi T injektif
c) g
A B
E F
F’=T(F) E’=T(E)
K

9. 8
Dipunyai 𝐸, 𝐹 ∈ 𝐴𝐵⃡ , maka 𝐸′
, 𝐹′ ∈ 𝑔 sehingga 𝐸𝐹 ∕∕ 𝐸′𝐹′
Lihat∆𝐾𝐸′𝐹′ dan ∆𝐾𝐸𝐹
𝐹′𝐾
𝐹𝐾
=
𝐸′𝐾
𝐸𝐾
=
1
2
𝑚(∠𝐸𝐾𝐹) = 𝑚(∠𝐸′𝐾𝐹) (sudut − sudut bertolak belakang)
Diperoleh∆𝐾𝐸′𝐹′~∆𝐾𝐸𝐹 (S Sd).
Akibatnya :
𝐸′𝐹′
𝐸𝐹
=
𝐸′𝐾
𝐸𝐾
=
𝐹′𝐾
𝐹𝐾
=
1
2
⇔ 𝐸′
𝐹′
=
1
2
𝐸𝐹.
Jadi jarak E’F’ adalah
1
2
kali jarak EF.
3. Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang
didefinisikan sebagai berikut:
T(A) = A, T(P) = P’ sehingga P titik tengah 'AP
a) Lukislah R’ = T(R)
b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S
c) Apakah T suatu transformasi?
Penyelesaian :
(a) dan (b)
c) Bukti :
(i) Akan dibuktikan T surjektif.
T surjektif jika ∀ 𝑌 ∈ 𝑉 terdapat prapeta 𝑋 sehingga 𝑌 = 𝑇(𝑋).
Jika 𝑌 = 𝐴 maka prapetanya adalah 𝐴 sendiri sebab 𝑇(𝐴) = 𝐴.
Apabila 𝑌 ≠ 𝐴 maka terdapat 𝑋 tunggal dengan 𝑋 ∈ 𝐴𝑌⃡ sehingga 𝐴𝑋 = 𝐴𝑌.
Diperoleh𝑋 adalah titik tengah 𝐴𝑌̅̅̅̅. Artinya 𝑌 = 𝑇(𝑋).
Z
S = T(Z)
P
P’ =T(P)
R
R’ =T(R)
A

10. 9
Maka∀𝑌 ∈ 𝑉 terdapat prapeta 𝑋 sehingga 𝑌 = 𝑇(𝑋).
Jadi T Surjektif.
(ii) Akan diselidiki T injektif
Ambil titik 𝑃 ≠ 𝐴, 𝑄 ≠ 𝐴 dan 𝑃 ≠ 𝑄, 𝑃, 𝑄, 𝐴 tidak segaris.
Andaikan 𝑇(𝑃) = 𝑇(𝑄).
Oleh karena 𝑇(𝑃) ∈ 𝐴𝑃⃡ dan 𝑇(𝑄) ∈ 𝐴𝑄⃡ maka dalam hal ini 𝐴𝑃⃡ dan 𝐴𝑄⃡
memiliki dua titik sekutu yaitu 𝐴 dan 𝑇(𝑃) = 𝑇(𝑄).
Ini berarti bahwa garis 𝐴𝑃⃡ dan 𝐴𝑄⃡ berimpit, sehingga mengakibatkan 𝑄 ∈
𝐴𝑃⃡ . Dengan kata lain 𝑃, 𝑄, 𝐴 segaris.
Ini suatu kontradiksi dengan pernyataan 𝑃, 𝑄, 𝐴 tidak segaris.
Pengandaian salah, sehingga 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄).
Jadi T injektif.
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T surjektif dan T injektif.
Jadi T merupakan suatu transformasi.
4. Diketahui P = (0,0), C1
 1|),( 22
 yxyx
C2  25|),( 22
 yxyx
T : C1  C2 adalah suatu padanan yang definisikan sebagai berikut : Apabila 1CX 
maka 2')( CPXXXT 
a) Apabila A = (0,1) tentukan T(A)
b) Tentukan prapeta dari B(4,3)
c) Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ’, dengan Z’ =
T(Z).
d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T , apakah dapat dikatakan tentang
jarak E’F’?
Penyelesaian : Y
P
A
B(4,3)
E’
F’
X
F
E

11. 10
a) A = (0,1) maka T(A) = (0,5)
b) Perhatikan gambar di atas.
Lihat ∆ APC dan ∆𝑃𝑄𝐵.
𝑃𝐶
𝑃𝑄
=
𝑃𝐴
𝑃𝐵
=
𝐴𝐶
𝐵𝑄
𝑃𝐶
𝑃𝑄
=
𝑃𝐴
𝑃𝐵
⇔
𝑃𝐶
4
=
1
5
⇔ 𝑃𝐶 =
4
5
𝐴𝐶
𝐵𝑄
=
𝑃𝐴
𝑃𝐵
⇔
𝐴𝐶
3
=
1
5
⇔ 𝐴𝐶 =
3
5
Jadi prapeta B adalah A = (
4
5
,
3
5
).
c) Dipunyai 𝑍 ∈ daerah asal 𝑇.
Maka 𝑍 ∈ 𝐶1.
Berarti 𝑍 = (𝑥1, 𝑦1) dimana 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
= 1.
Jelas 𝑍𝑃 = √(𝑥1 − 0)2 + (𝑦1 − 0)2 = √𝑥1
2
+ 𝑦1
2
= √1 = 1.
Selanjutnya 𝑍′
= 𝑇(𝑍).
Maka 𝑍′
∈ 𝐶2.
Berarti 𝑍′ = (𝑥2, 𝑦2) dimana 𝑥2
2
+ 𝑦2
2
= 25.
Jelas 𝑍′𝑃 = √(𝑥2 − 0)2 + (𝑦2 − 0)2 = √𝑥2
2
+ 𝑦2
2
= √25 = 5.
Jelas 𝑃, 𝑍, 𝑍′ segaris.
𝑍′
𝑃 = 𝑍′
𝑍 + 𝑍𝑃
⟺ 5 = 𝑍′
𝑍 + 1
⟺ 𝑍′
𝑍 = 5 − 1
⟺ 5 = 𝑍′
𝑍 + 1
P
A = prapeta B
C
Q
B

12. 11
⟺ 𝑍𝑍′
= 𝑍′
𝑍 = 4
Jadi jarak 𝑍𝑍′
= 4.
d) Dipunyai 𝐸, 𝐹 ∈ 𝐶1, 𝐸 ≠ 𝐹
Maka panjang busur 𝐸𝐹
=
𝑚(∠𝐸𝑃𝐹)
2𝜋
. 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔𝐶1
=
𝑚(∠𝐸𝑃𝐹)
2𝜋
. 2𝜋. 1
= 𝑚(∠𝐸𝑃𝐹)
Selanjutnya 𝐸′
= 𝑇(𝐸) dan 𝐹′
= 𝑇(𝐹).
Maka panjang busur 𝐸′𝐹′
=
𝑚(∠𝐸′𝑃𝐹′)
2𝜋
. 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔𝐶2
=
𝑚(∠𝐸′𝑃𝐹′)
2𝜋
. 2𝜋. 5
= 5. 𝑚(∠𝐸′𝑃𝐹′).
Karena 𝑃, 𝐸, 𝐸′ segaris dan 𝑃, 𝐹, 𝐹′ segarismaka 𝑚(∠𝐸′𝑃𝐹′) = 𝑚(∠𝐸𝑃𝐹).
Sehingga,
𝐸′
𝐹′
= 5. 𝑚(∠𝐸′
𝑃𝐹′)
= 5. 𝑚(∠𝐸𝑃𝐹)
= 5. 𝐸𝐹
Jadi 𝐸′
𝐹′
= 5𝐸𝐹
5. Diketahui f : V  V. Jika P(x,y) maka f(P) =(|x|,|y|)
a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6)
b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2)
c) Apakah bentuk daerah nilai f?
d) Apakah f suatu transformasi?
Jawab :
a) A = (-3,6) maka f(A) = (|-3|,|6|) = (3,6)
b) Prapeta dari B(4,2) adalah (4,2),(4,-2),(-4,2),(-4,-2).
c) Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di Kuadran I.
d) Pilih𝐴1 = (4,2) ∈ 𝑉, 𝐴2 = (4, −2) ∈ 𝑉

13. 12
Jelas 𝐴1 ≠ 𝐴2.
Maka𝑓(𝐴1) = (4,2) dan 𝑓(𝐴2) = (4,2).
Diperoleh 𝑓(𝐴1) = 𝑓(𝐴2).
Jadi terdapat 𝐴1 ≠ 𝐴2 dan 𝑓(𝐴1) = 𝑓(𝐴2).
Artinya f tidak injektif.
Karena f tidak injektif maka f bukan transformasi.
6. Diketahui fungsi g : sumbu X  V yang didefinisikan sebagai berikut :
Apabila P(x,0) maka g(P) = (x,x2
).
a) Tentukan peta A(3,0) oleh g.
b) Apakah R(-14, 196)  daerah nilai g?
c) Apakah g surjektif?
d) Gambarlah daerah nilai g.
Jawab :
a) Peta A(3,0) oleh g.
A(3,0) maka g(A) = (3,(3)2
) =(3,9).
b) Diketahui R(-14,196).
196 = (-14)2
+ y
⇔ 196 = 196 + y
⇔ y = 0
Jelas VR , dan 𝑅 mempunyai prapeta yaitu 𝑃(−14,0) pada sumbu 𝑋.
Jadi 𝑅 ∈ daerah nilai 𝑔.
c) Ambil titik 𝐴′
∈ 𝑉, maka 𝐴′(𝑎, 𝑏) dengan 𝑏 = 𝑎2
.
Jelas terdapat 𝐴(𝑎, 0) sehingga𝑔(𝐴) = 𝐴′.
Jadi, g surjektif.
d)
(0,0)
P(x,0)
g(P)=(x,x2
)

14. 13
7. T : V  V, didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,y) maka
i) T(P) = (x + 1, y), untuk x > 0
ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x < 0
a) Apakah T injektif?
b) Apakah T suatu transformasi?
Jawab :
a) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) sehingga QP 
Akan dibuktikan )()( QTPT 
Karena QP  maka 21 xx  atau 21 yy 
(i) Untuk x > 0
T(P) = (x1+1, y1)
T(Q) = (x2+1, y2)
Jelas 11 2121  xxxx atau 21 yy 
Jadi )()( QTPT 
(ii) Untuk x < 0
T(P) = (x1-1, y1)
T(Q) = (x2-1, y2)
Jelas 11 2121  xxxx atau 21 yy 
Jadi )()( QTPT 
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T injektif.
b) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) dengan P≠Q.
Akan dibuktikan T(P)≠T(Q).
Karena P ≠ Q maka x1 ≠ x2 atu y1 ≠ y2.
(i) Kasus x≥0
T(P) = (x1 + 1,y1)
T(Q) = (x2 + 1,y2)
Karena x1≠x2 maka x1+1 ≠ x2+1 dan y1≠y2.
Jadi T(P) ≠T(Q).

15. 14
(ii) Kasus x<0
T(P) = (x1 - 1,y1)
T(Q) = (x2 - 1,y2)
Karena x1≠x2 maka x1 - 1 ≠x2 -1 dan y1≠y2.
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T tidak surjektif.
Karena T tidak surjektif maka T bukan suatu transformasi.
8. Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C seperti dapat dilihat pada gambar di
bawah ini
A
B
C
S
T : V  V didefinisikan sebagai berikut :
i. Jika P  S maka T(P) = P
ii. Jika P  S maka T(P) = P’, sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas 'PP
a) Lukislah A’ = T(A), B’ = T(B)
b) Lukislah prapeta titik C
c) Apakah T suatu transformasi ?
d) Buktikan bahwa A’B’ = AB
Penyelesaian :
a) dan b)
A B
A’
C
B’ C’

16. 15
c) Akan ditunjukkan T surjektif dan T injektif.
Jelas setiap P pada V, ada prapeta P’, sehingga T(P) = P’.
Jika P ∈ S, maka P’ = P dan jika P ∉S maka P’ adalah cermin dari P terhadap
sumbu S.
Jadi T surjektif.
Untuk P ∈ S, Q ∈ S dan P≠Q, jelas P’ ≠Q’.
Untuk P ∉ S, ambil dua titik, A ,B ∉S, A ≠ B.
Kita akan menyelidiki kedudukan A’ dan B’.
Andaikan A’ = B’.
Karena S adalah sumbu ruas garis AA’ maka S tegak lurus AA’ dan karena S
adalah sumbu dari ruas garis BB’ maka S tegak lurus BB’.
Maka karena A’ = B’ dan kedua garis tegak lurus S, AA’ dan BB’ berimpit.
Akibatnya A =B.
Ini suatu kontradiksi, harusnya A’≠ B’.
Jadi T injektif.
Dengan demikian karena T injektif dan T surjektif, maka T suatu transformasi.
d) Akan dibuktikan A’B’=AB.
A
B
A’
S
B’
Misal 𝐷 titik potong garis 𝑆 dengan ruas garis 𝐴′𝐴̅̅̅̅̅ dan 𝐸 titik potong garis 𝑠
dengan ruas garis 𝐵′𝐵̅̅̅̅̅.
Lihat∆𝐴′𝐷𝐸 dan ∆𝐴𝐷𝐸.
𝐴′
𝐷 = 𝐴𝐷 (menurut definisi 𝑠 adalah sumbu 𝐴′𝐴̅̅̅̅̅ sehingga 𝐷 tengah-tengah 𝐴′𝐴̅̅̅̅̅)
𝑚(∠𝐴′
𝐷𝐸) = 𝑚(∠𝐴𝐷𝐸) = 900
(karena 𝑠 sumbu 𝐴′𝐴̅̅̅̅̅ maka 𝑠 ⊥ 𝐴′𝐴̅̅̅̅̅)
𝐷𝐸 = 𝐷𝐸 (berimpit)
D
E

17. 16
Maka menurut teorema sisi-sudut-sisi ∆𝐴′𝐷𝐸 ≅ ∆𝐴𝐷𝐸.
Akibatnya 𝐴′
𝐸 = 𝐴𝐸 dan 𝑚(∠𝐴′
𝐸𝐷) = 𝑚(∠𝐴𝐸𝐷).
Lihat∆𝐴′𝐵′𝐸 dan ∆𝐴𝐵𝐸.
𝐴′
𝐸 = 𝐴𝐸 (diketahui) …(i)
𝐵′
𝐸 = 𝐵𝐸 (menurut definisi 𝑠 adalah sumbu 𝐵′𝐵̅̅̅̅̅ sehingga 𝐸
tengah-tengah 𝐵′𝐵̅̅̅̅̅) …(ii)
𝑚(∠𝐵′
𝐸𝐷) = 𝑚(∠𝐵𝐸𝐷) = 900
(karena 𝑠 sumbu 𝐵′𝐵̅̅̅̅̅ maka 𝑠 ⊥ 𝐵′𝐵̅̅̅̅̅)
𝑚(∠𝐵′
𝐸𝐴) = 𝑚(∠𝐵′𝐸𝐷) − 𝑚(∠𝐴′𝐸𝐷)
𝑚(∠𝐵𝐸𝐴) = 𝑚(∠𝐵𝐸𝐷) − 𝑚(∠𝐴𝐸𝐷) = 𝑚(∠𝐵′𝐸𝐷) − 𝑚(∠𝐴′𝐸𝐷)
Berakibat 𝑚(∠𝐵′
𝐸𝐴) = 𝑚(∠𝐵𝐸𝐴) …(iii)
Dari (i),(ii) dan (iii) maka menurut teorema sudut-sisi-sudut ∆𝐴′𝐵′𝐸 ≅ ∆𝐴𝐵𝐸
Akibatnya 𝐴′
𝐵′
= 𝐴𝐵