adap penggunaan media sosial dalam kehidupan sehari-hari.pptx
Â
Setengah Putaran Bab VII
1. 1
RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB VII
SETENGAH PUTARAN
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015
2. 2
BAB VII
SETENGAH PUTARAN
Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu
setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu
sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik.
Definisi
Sebuah setengah putaran pada suatu titik ðŽ adalah suatu padanan ððŽ yang
didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut :
1. Apabila ð â ðŽ maka ð1(ð) = ðâ² sehingga ðŽ titik tengah ruas garis ððâ²Ì Ì Ì Ì Ì .
2. ððŽ = ðŽ
Setengah putaran adalah suatu transformasi
Bukti:
Akan dibuktikan ððŽ Bijektif.
Untuk membuktikan ððŽ Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu ððŽ
Surjektif dan Injektif.
(1) Akan dibuktikan ððŽ Surjektif
Untuk menunjukkan ððŽ Surjektif, akan ditunjukkan âðâ²
â ð â ððŽ(ð) = ðâ²
Ambil sebarang ðâ²
â ð
ðâ²
â ð â ðâ²
= ððŽ(ð)
ðððð ð = ðŽ, ðððð ððŽ(ðŽ) = ðŽâ²
= ðŽ
Jadi, â ðâ²
â ð â ðâ²
= ð = ððŽ(ð)
Jika ð â ðŽ maka A menjadi sumbu ruas garis â² , berarti ððŽ(ð) = ðâ²
Jadi, ððŽ Surjektif
(2) Akan dibuktikan ððŽ Injektif
Missal ðµ1 â ðµ2
Kasus I
ðµ1 = ðµ2 = ðŽ
Untuk ðµ1 = ðŽ maka ððŽ(ðµ1) = ðµ1 = ðµ1â²âŠâŠâŠâŠâŠâŠ..1*)
3. 3
Untuk ðµ2 = ðŽ maka ððŽ(ðµ2) = ðµ2 = ðµ2â²âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ2*)
Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh ððŽ(ðµ1) â ððŽ(ðµ2)
Kasus II
ðµ1 â ðµ2 â ðŽ
Ambil sebarang ðµ1, ðµ2 â ð ðððððð ðµ1 â ðµ2
ðµ1 â ðŽ, ðµ2 â ðŽ, ðµ2, ðµ2, ðŽ ð¡ðððð ð ðððððð
Sehingga ððŽ(ðµ1) = ðµ1
â²
dan ððŽ(ðµ2) = ðµ2â²
Andaikan ððŽ(ðµ1) = ð ðŽ(ðµ2)
Karena ððŽ(ðµ1) = ð ðŽ(ðµ2)
Maka ðµ1
â²
= ððŽ(ðµ1) = ððŽ(ðµ2) = ðµ2â²
Sehingga diperoleh ðµ1
â²
= ðµ2â² dan á1 = ðµ2
Menurut teorama, âMelalui dua titik hanya dapat dibuat satu garisâ
Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa ðµ1 â ðµ2
Pengandaian ðµ1 â ðµ2 ðððð ððŽ(ðµ1) = ð ðŽ(ðµ2) harus dibatalkan.
Jadi, ððŽ(ðµ1) â ððŽ(ðµ2)
Jadi ððŽ Injektif
Dari (1) dan (2) maka diperoleh ððŽ Surjektif dan ððŽ Injektif
Karena ððŽ Surjektif dan ððŽ Injektif, maka ððŽ Bijektif
Karena ððŽ Bijektif, maka ððŽadalah suatu transformasi.
Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.
Teorema 7.1
Andaikan ðš sebuah titik, ð dan ð dua garis tegak lurus yang berpotongan di
ðš. Maka ðº ðš = ðŽ ð ðŽ ð.
Bukti :
Diketahui ðŽ sebuah titik, ð dan â dua garis tegak lurus yang berpotongan di ðŽ.
a) Kasus I : ð â ðŽ
Karena ð ⥠â maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan ð
sebagai sumbu X dan â sebagai sumbu Y. ðŽ sebagai titik asal.
Ambil titik ð â ð
Perhatikan Gambar 7.2
4. 4
Ditunjukkan bahwa untuk setiap ð berlaku ððŽ(ð) = ðð ðâ(ð)
Andaikan ð(ð¥, ðŠ) â ðŽ dan ððŽ(ð) = ðâ²â²(ð¥1, ðŠ1)
Karena ððŽ(ð) = ðâ²â² maka ðŽ titik tengah ððâ² sehingga
(0,0) = (
ð¥1 + ð¥
2
,
ðŠ1 + ðŠ
2
)
Diperoleh ð¥1 + ð¥ = 0 ⺠ð¥1 = âð¥ dan ã±1 + ðŠ = 0 ⺠ðŠ1 = âðŠ
Artinya ã± ðŽ(ð) = (âð¥, âðŠ) âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ(1)
Komposisi pencerminan
ðð ðâ(ð) = ðð[ðâ(ð)]
= ðð(âð¥, ðŠ)
= (âð¥, âðŠ)
Artinya ðð ðâ(ð) = (âð¥, âðŠ) âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _ ðŽ(ð) = ðð ðâ(ð).
Jadi, ððŽ = ðð ðâ
b) Kasus II : ð = ðŽ
Menurut Definisi, ððŽ(ðŽ) = ðŽ âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ(1*)
ðð ðâ(ðŽ) = ðð(ðŽ) = ðŽ âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.(2*)
Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh ððŽ(ðŽ) = ðð ðâ(ðŽ).
Jadi, ððŽ = ðð ðâ.
Teorema 7.2
Jika ð dan ð dua garis yang tegak lurus maka ðŽ ð ðŽ ð = ðŽ ð ðŽ ð
Bukti
ðŽ
ðâ²
â²(âð¥, âðŠ)
ðâ²
(âð¥, ðŠ) P(x,y)
â
ð ð
5. 5
a) Kasus I : ð â ðŽ
Karena ð â ðŽ, maka ðð ðâ(ð) = ððŽ(ð).
ðâ ðð(ð) = ðâ (ðð(ð)) = áâ((ð¥, âðŠ)) = (âð·, âðŠ) = ã° ðŽ(ð).
diperoleh ðð ðâ(ð) = ððŽ(ð) = ðâ ðð(ð)
Jadi, ðð ðâ = ðâ ðð
b) Kasus II : ð = ðŽ
Karena ð = ðŽ, maka ðð ðâ(ðŽ) = ðð(ðŽ) = ðŽ
ðâ ðð(ðŽ) = ðâ(ðŽ) = ðŽ
Sehingga diperoleh ðð ðâ(ðŽ) = ðâ ðð(ðŽ).
Jadi, ðð ðâ = ðâ ðð.
Teorema 7.3
Jika ðº ðš setengah putaran, maka ðºâð
ðš = ðº ðš.
Bukti
Andaikan ð dan â dua garis yang tegak lurus maka ðð ðâ = ððŽ dengan ðŽ
titik potong antara ð dan â.
(ðð ðâ)â1
= ðâ1
â ðâ1
ð = ðâ1
ðŽ.
Karena ðâ1
â = ðâ dan ðâ1
ð = ðð maka ðâ ðð = ðâ1
ðŽ.
Karena ð ⥠â, maka menurut teorema 7.2, ðð ðâ = ðâ ðð.
Sedangkan menurut teorema 7.1, ððŽ = ㊠ð ðâ.
Sehingga diperoleh ðâ1
ðŽ = ðâ ðð = ðð ðâ = ððŽ.
Jadi, ðâ1
ðŽ = ððŽ.
Teorema 7.4
Jika ðš = (ð, ð) dan ð· = (ð, ð) maka ðº ðš(ð·) = (ðð â ð, ðð â ð).
Bukti
a) Kasus I : ð â ðŽ
Misalkan ð" = (ð¥1, ðŠ1) dan ððŽ(ð) = ð" maka ðŽ titik tengah ðð" sehingga
diperoleh
(ð, ð) = ((
ð¥1+ð¥
2
) , (
ðŠ1+ðŠ
2
))
7. 7
Definisi
Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis
dinamakan kolineasi
Karena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran
adalah suatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasi
Definisi
Suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi ï jika untuk setiap garis g berlaku
sifat â(ð)//ð.
Teorema 7.5
Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila ðš â
ð, ðððð ððŽ(ð)//ð
Diketahui : SA sebuah garis g, gAï
Buktikan bahwa ððŽ(ð)//ð
Bukti :
Misal ð â ð, ððð ð â ð
karena P â g maka A titik tengah PPâ²
dengan Pâ²
= SA(P)
karena Q â g maka A titik tengah QQâ²
dengan Qâ²
= SA(Q)
Perhatikan âAPQâ² dan âAQPâ²
Untuk membuktikan bahwa gâ² ââ g maka harus ditunjukkan
âAPQâ² dan âAQPâ² adalah kongruen.
m(< ððŽQâ²) = m(< ððŽPâ²
) (sudut bertolak belakang)
PA = APâ² ( karena A titik tengah PPâ²
)
PQ
ððŽ(ð) = ðâ²
ðâ²
= ððŽ(ð)
A
ððŽ(ð) = ðâ²
ð
15. 15
c. ððŽ ð ðµ(ð)
d. ð ðµ ððŽ(ð)
e. ððŽ
2
(ð)
2. Diket : garis ð dan titik ðŽ, ðŽ â ð
Ditanya :
a) Lukisan garis ð1 = ððŽ(ð) dan mengapa ð sebuah garis?
b) Buktikan bahwa ðâ²
//ð.
Jawab :
== ððŽ
2
(ð)
ð ðµ ððŽ(ð)
B
P
A
R
B
P
A
R
ððŽ ð ðµ(ð)
B
P
A
ððŽ(ð)
B
P
A
ððŽ(ð)
16. 16
a. ðâ²
= ððŽ(ð)
Karena ð sebuah garis, maka ððŽ(ð) juga merupakan sebuah garis
(isometri).
b. ðâ² ââ ð
Bukti :
ð â ð, ð â ð
karena ð â ð maka A titik tengah ððâ²
dengan ðâ²
= ððŽ(ð)
karena ð â ð maka A titik tengah ððâ²
dengan ðâ²
= ð ðŽ(ð)
Perhatikan âðŽððâ² ððð âðŽððâ²
Untuk membuktikan bahwa ðâ² ââ ð maka harus ditunjukkan
âðŽððâ² ððð âðŽððâ² adalah kongruen.
ð(< ððŽðâ²) = ð(< ððŽðâ²
) (sudut bertolak belakang)
ððŽ = ðŽðâ² ( karena A titik tengah ððâ²
)
ðâ²
ðŽ = ðŽð ( karena A titik tengah ððâ²
)
Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)
sehingga âðŽððâ² â âðŽððâ²
Karena âðŽððâ²
â âðŽððâ²
maka ððâ²
= ððâ²
Karena ððâ²
= ððâ²
maka ðâ² ââ ð
3. Diket : âðŽðµð¶ dan jajargenjang ðððð, K terletak diluar daerah âðŽðµð¶
dan diluar jajargenjang ðððð.
Ditanya :
a) Lukisan ð ðŸ(âðŽðµð¶)
b) Titik J â ððœ(ðððð) = ðððð
Jawab :
a) Lukisan ð ðŸ(âðŽðµð¶)
PQ
ððŽ(ð) = ðâ² ðâ²
= ððŽ(ð)
A
ððŽ(ð) = ðâ²
ð
17. 17
b) ð (ðððð) = ðððð
4. Diket : titik-titik A, B, C tak segaris
Lukis :
a) Garis ð dan â sehingga ðð(ðµ) = ðµ dan ððŽ = ðð ðâ
b) Garis ð dan ð sehingga ðâ1
ð(ð¶) = ð¶ dan ððŽ = ð ð ð ð
Lukisan :
a) ðð(ðµ) = ðµ dan ððŽ = ㊠ð ðâ
b) ðâ1
ð(ð¶) = ð¶ dan ð@ = ð ð ð ð
5. Diket : A = (2,3)
Ditanya:
a. SA( C ) apabila C = (2,3)
b. SA( D ) apabila D = (-2,7)
c. SA( E ) apabila E= (4,-1)
d. SA( P ) apabila P = (x,y)
Jawab:
W X
YZ
Câ Aâ
Bâ
K
B
CA
ð
ðŽ
â
ðµ
18. 18
a. C = (2,3)
SA( C ) = (2.2 - 2, 2.3 - 3)
= (2,3)
b. D = (-2,7)
SA( D ) = (2.2-(-2), 2.3-7)
= (6,-1)
c. E= (4,-1)
SA( E ) = (2.2-4, 2.3-(-1))
= (0,7)
d. P = (x,y)
SA( P ) = (2.2-x, 2.3-y)
= (4-x, 6-y)
6. Diket : B = (1, -3)
Tentukan :
a. SB(D) apabila D (-3, 4)
b. E apabila SB(E) = (-2, 5)
c. SB(P) apabila P = (x, y)
Jawab :
a. D (-3, 4)
SB(D) = (2.1-(-3), 2.(-3)-4)
= (5, -10)
b. SB(E) = (-2, 5)
Misal E = (x, y)
Maka, 2.1 - x = -2 2.(-3) - y = 5
â2 â x = -2 â -6 - y = 5
â x = 4 â y = -11
jadi, E = (4, -11)
c. P= (x, y)
SB(P) = (2.1- x, 2.(-3) - y)
= (2 - x, - 6 - y)
7. Diket : D = (0, -3) dan B = (2, 6)
a. SB(B) = (2.2 - 2, 2.6 - 6)
20. 20
ð = {(ð¥, ðŠ)|ðŠ = âð¥}
Tentukan :
a. ðð ðð(2, â1)
b. ðð ð ð¶(ð) jika ð(ð¥, ðŠ)
c. (ð ð ð ð¶)â1(ð), apakah ðð ðð = ðð = á ð ðð?
Jawab :
a. ðð ðð(2, â1) = ðð(2. (â4) â 2,2.3â 1)
= ðð(â10,7)
= (â7,10)
b. ð(ð¥, ðŠ)
ðð ð ð¶(ð) = ðð(2. (â4) â ð¥, 2.3 â ðŠ)
= ðð(â8 â ð¥, 6 â ðŠ)
= (ðŠ â 6, ð¥ + 8)
c. (ð ð ð ð¶)â1(ð) = (ð ð¶
â1
ðð
â1
)(ð)
Berdasarkan teorema 7.3 dan 6.3 diperoleh ððŽ
â1
= ððŽ dan
ðð
â1
= ðð, sehingga diperoleh
(ð ð ð ð¶)â1(ð) = (ð ð¶
â1
ðð
â1
)(ð)
= (ð ð¶ ðð)(ð)
= ð ð¶ ð ðº(階, ð)
= ð ð¶(âðŠ, âð¥)
= (2. (â4)â ðŠ), 2.3â ð¥
= (ðŠ â 8, 6 + ð¥)
9. a. SA(K) = SA(J)
Misal K = (x, y), A = (a, b), J = (u, v)
SA(K) = (2a â x, 2b â y)
SA(K) = (2a â u, 2b â v)
Karena SA(K) = SA(J) sehingga
2a â x = 2a â u
â âx = âu
21. 21
â x = u
dan
2b â y = 2b â v
â ây = âv
â y = v
Sehingga K(x, y) = J(u, v)
Jadi K = J
b. SA(D) = SB(D)
Misal ðŽ = (ð, ð)
ðµ = (ð, ð)
ð· = (ð¥, ðŠ)
Karena SA(D) = SB(D)
maka (2ð â ð¥, 2ð â ðŠ) = (2ð â ð¥, 2ð â ðŠ)
diperoleh 2ð â ð¥ = 2ð â ð¥
â 2ð = 2ð
â ð = ð
dan 2ð â ðŠ = 2ð â ðŠ
⺠2ð = 2ð
⺠ð = ð
Karena ð = ð dan ð = ð
Maka (ð, ð) = (ð, æ¡) sehingga ðŽ = ðµ
Jadi dapat ditarik suatu akibat yaitu ðŽ = ðµ
c. SA(E) = E â¹ Misal A(a, b), E(x, y)
SA(E) = (2a â x, 2b â y)
Karena SA(E) = E maka
(2a â x, 2b â y) = (x, y)
diperoleh
2a â x = x
⺠2a = 2x
⺠a = x
dan
2b â y = y
30. 30
Jadi, ð ð(ð) = ðâ²
= {(ð¥, ðŠ)|ðŠ = 5ð¥ + 27)
Tugas halaman 74
1. Diketahui : titik A dan B, garis ð â ðŽ â ð, ðµ â ð
Lukis :
a. ðâ²
= ððŽ ð ðµ(ð)
b. Garis ð â ì ðŽ ð ðµ(ð) = ð
c. Garis â â ððŽ ð ðµ(â) = â
Lukisan :
a. ðâ²
= ððŽ ð ðµ(é)
b. Garis ð â ððŽ ð ðµ(ð) = ð
ð = ððŽ ð ðµ(ð)
ð ðµ(ð)
ðŽ ð
ðâ² = ð ðŽã¹ ðµ
(ð)
ð ð ðµ(ð)
ðµ
ðŽ
棚
31. 31
c. Garis â â ððŽ ð ðµ(â) = â
2. Diketahui : garis g dan h berpotongan. Titik A dan B tidak terletak pada garis
g dan h.
Lukis :
a. ðð ððŽ ð ðµ(â)
b. æ° â ððŽ ð ðµ ðâ(â) = ð
Lukisan :
a. ðð ððŽ ð ðµ(â)
b. ð â ððŽ ð ðµ ðâ(â) = ð
3. Diketahui : ð = {(ð¥, ðŠ)â2ð¥ â 5ðŠ = 4} dan ðŽ = (1,4)
Ditanya :
a. apakah ð¶(â1,6) â ðâ²
= ððŽ(ð)
b. persamaan ðâ²
Jawab :
a. ð ⶠ2ð¥ â 5ðŠ = 4
Karena ðâ²
= ððŽ(ð) dan ðŽ = (1,4) â ð maka menurut teorema 7.5, ð//ðâ².
ð
â
ðµ
ðŽ
32. 32
Untuk mengetahui apakah ð¶(â1,6) â ðâ²
= ððŽ(ð) maka harus dicari
ððŽ(ð¶) = (ð¥, ðŠ) lalu diselidiki apakah (ð¥, ðŠ) â ð
Menurut teorema 7.4 maka
ððŽ(ð¶) = (2.1â 1,2.4 â 6)
â (ð¥, ðŠ) = (2 â 1,8 â 6)
â (ð¥, ðŠ) = (1,2)
Maka diperoleh ð¥ = 1, ðŠ = 2
Substitusikan nilai ð¥ dan ðŠ ke persamaan ð
Diperoleh 2.1 â 5.2 = 2 â 10 = â8
Karena (ð¥, ðŠ) tidak memenuhi persamaan ð maka (ð¥, ðŠ) = ððŽ(ð¶) â ð
maka ð¶ â ðâ²
= ððŽ(ð)
b. Untuk menentukan persamaan ðâ² maka dihitung gradien ðâ² dan diambil
salah satu titik ð â ð, misalnya ð = (7,2)
Maka ððŽ(ð) = (2.1 â 7,2.4 â 2)
â ððŽ(ð) = (2 â 7,8 â 2)
â ððŽ(ð) = (â5,6)
Karena ð â ð dan ðâ²
= ððŽ(ð) maka ððŽ(ð) â ðâ².
ð ⶠ2ð¥ â 5ðŠ = 4 maka gradient ð adalah
2
5
ðâ²
= ððŽ(ð) sehingga ð//ðâ² maka gradien ð = gradien ðâ²
=
2
5
ðŠ â 7 =
2
5
(ð¥ â 2)
â ðŠ = 7 +
2
5
ð¥ â
2
5
. 2
â ðŠ = 7 +
2
5
ð¥ â
4
5
â ðŠ =
2
5
ð¥ +
31
5
â 5ðŠ = 2ð¥ + 31
â â2ð¥ + 5ðŠ = 31
Jadi, persamaan garis ðâ² adalah â2ð¥ + 5ðŠ = 31.
4. Diketahui :ð = {(ð¥, ðŠ)â3ð¥ + 2ðŠ = 4} dan ðŽ = (â2,1)
33. 33
Ditanya :
a. ð â ð· = (3, ð) â ðâ²
= ððŽ(ð)
b. Persamaan ðâ²
c. Persamaan â â ððŽ(â) = ð
Jawab :
a. Untuk menentukan ð maka diambil titik ð = (ð¥, ðŠ) â ð sehingga
2. â2 â ð¥ = 3
â â4 â ð¥ = 3
â ð¥ = â7
Substitusikan ð¥ = â70 pada persamaan ð maka 3ð¥ + 2ðŠ = 4
â 3. â7 + 2ðŠ = 4
â â21 + 2ðŠ = 4
â 2ðŠ = 25
â ðŠ =
25
2
Maka ð = (ð¥, ðŠ) = (â7,
25
2
)
Karena ð = (â7,
25
2
) dan ðŽ = (â2,1) maka menurut teorema 7.4 maka
ððŽ(ð) = (2. â2â 7), 2.1 â
25
2
â (3, ð) = (â4 + 7,2 â
25
2
)
â (3, ð) = (3, â
21
5
)
Sehingga diperoleh ð = â
21
5
b. Untuk menentukan persamaan ðâ² maka harus ditentukan gradien ðâ²
Karena ðâ²
= ððŽ(ð) maka menurut teorema 7.5 ð//ðâ² sehingga gradien
ð = gradien ðâ²
ð ⶠ3ð¥ + 2ðŠ = 4 maka gradien ð adalah â
3
2
sehingga gradien ã±
â²
= â
3
2
Berdasarkan jawaban soal a, maka ð· = (3, â
21
5
) â ðâ²
Sehingga persamaan áâ² adalah
ðŠ â 3 = â
3
2
(ð¥â
21
5
)
34. 34
â ðŠ = â
3
2
(ð¥ +
21
5
) + 3
â ðŠ = â
3
2
ð¥ â
3
2
.
21
5
â ðŠ = â
3
2
ð¥ â
63
10
â 10ðŠ = â15ã â 63
â 15ð¥ + 10ðŠ = 63
Jadi, persamaan ðâ² adalah 15ð¥ + 10ðŠ = 63.
c. ð_(â) = ð maka ðâ1
ðŽ(ð) = â
Menurut teorema 7.3 áâ1
ðŽ = ððŽ sehingga ðâ1
ðŽ(ð) = ððŽ(ð) = â
Dari jawaban soal b, ðâ²
= ððŽ(ð) artinya ðâ²
= ððŽ(ð) = â sehingga
diperoleh ðâ²
= â
maka persamaan â = persamaan ðâ² yaitu 15ð¥ + 10ðŠ = 63
Jadi, persamaan â adalah 15ð¥ + 10ðŠ = 63.
5. Diketahui : kurva ð = {(ð¥, ðŠ)â@ = ð¥2
} dan titik ðŽ = (3,1)
Ditanya :
a. Apakah ðµ = (3, â7) â ðâ²
= ððŽ(ð)
b. Persamaan kurva ðâ²
Jawab :
a. Untuk menyelidiki apakah ðµ = (3, â7) â ðâ²
= ððŽ(ð) maka harus dihitung
ððŽ(ðµ)
Misalkan ððŽ(ðµ) = (ð¥â²
, ðŠâ²
) sehingga menurut teorema 7.4 diperoleh
ððŽ(ðµ) = (2.3 â 3,2.1â 7)
â (ð¥â²
, ðŠâ²) = (6 â 3,2 + 7)
â (ð¥â²
, ðŠâ²) = (3,9)
Maka ð¥â²
= 3, ðŠâ²
= 9
Substitusikan (ð¥â²
, ðŠâ²) = (3,9) ke persamaan ð
diperoleh 9 = 32
memenuhi persamaan ð maka (ð¥â²
, ðŠâ²
) â ð
Karena ððŽ(ðµ) = (ð¥â²
, ðŠâ²
) â ð dan ðâ²
= ððŽ(ð) maka ðµ â ðâ²
Jadi, ðµ = (3, â7) â ðâ²
= ððŽ(ð)
40. 40
12. Diketahui: titik ðŽ dan garis ð, ðŽ â ð
Ditanya :
a. Buktikan bahwa transformasi ððŽ ð·ð adalah sebuah refleksi pada suatu garis
dan garis mana yang menjadi sumbu refleksi ini?
b. Jika ð tegak lurus â di titik ðŽ dan ð tegak lurus ð di titik B, buktikan
bahwa ððŽ ð ð = ðâ ð ðµ?
Jawab :
a. Ambil sebarang titik ð â ð
Diperoleh à ðŽ ðð(ð) = ðâ²
Tarik garis â ⥠ð yang melalui A
Tarik garis ððâ²â² yang memotong garis â dititik B,
sehingga ð¶ðŽ = ððµ ððð ðð¶ = ðµðŽ
Lihat âð¶ðŽðâ²
ððð âð¶ðŽð
ð¶ðŽ = ð¶ðŽ (berhimpit)
ð¶ð = ð¶ðâ² (Refleksi)
< ðð¶ðŽ =< ã±â²ð¶ðŽ (Siku-Siku)
Berdasarkan teorema kekongruenan (S, Sd, S)
Sehingga dapat disimpulkan âð¶ðŽðâ²
â âð¶ðŽð
Salah satu akibatnya ðŽðâ²
= ðŽð
Lihat âðŽððµ ððð âðŽðâ²â²ðµ
ðŽã° = ðŽðµ (berhimpit)
ðŽðâ² = ðŽðâ²â² (setengah putaran)
ð ðâððððð ðŽð = ã° ðâ²
= ðŽðâ²â²
ððµ2
= ðŽð2
â ðŽðµ2
= ðŽðâ²â²2
â ðŽðµ2
= ðâ²â²ðµ2
Karena ðŽð = ðŽðâ²
= ðŽðâ²â²
, maka ððµ = ðâ²â²
ðµ
Berdasarkan teorema kekongruenan (S, S, S)
Maka dapat disimpulkan âðŽððµ â âðŽðâ²â²ðµ
ðâ²â²
ðµ
ððŽ
ðâ²
ð
ð¶
â
ð
41. 41
Akibatnya ððµ = ðâ²â²
ðµ
Karena O merupakan titik tengah ððâ²â², maka ððŽ ðð(ð) = ðâ²â² merupakan
refleksi dari P dengan sumbu refleksi adalah garis yang melalui titik ðµ ⥠ð.
Jadi, ððŽ ðð merupakan sebuah refleksi pada suatu garis, dan garis itu adalah
garis yang melalui A tegak lurus dengan ð.
b. Ambil garis ð tegak lurus â di titik ðŽ dan ð tegak lurus ð di titik ðµ.
Adb ððŽ ð ð = ðâ ð ðµ
Menurut teorema 7.1 : âandaikan A sebuah titik, dan ð ððð â dua garis tegak
lurus yang berpotongan di A, maka ððŽ = çœ ð ðââ
Maka ððŽ = ðð ðâ dan ð ðµ = ðð ð ð
Sehingga ððŽ ð ð = (ðð ðâ)ð ð
Karena ðð ðâ = ðâ ðð, maka diperoleh:
(ðð ðâ)ð ð = (ðâ ðð)ð ð = ðâ ðð ð ð
Sehingga
ððŽ ðá = (ðð ðâ)ð ð = (ðâ ðð)ð ð = ðâ ðð ð ð = ðâ(ð ð ð ð) = ðâ ð ðµ
Jadi terbukti bahwa ððŽ ð ð = ðâ ð ðµ
13. Diketahui : ðŽ, ðµ, ð¶ tak segaris
Ditanya:
a. Pilih sebuah titik ð dan lukislah titik ðâ²
= ððŽ ðµ ð ð¶(ð) !
b. Jika ð titik tengah ððâ²Ì Ì Ì Ì Ì , lukislah ðâ²
= ððŽ ð ðµ ð ð¶(ð) !
c. Perhatikan hubungan antara ð dan ðâ²
. Apakah dugaan kita mengenai
jenis transformasi ððŽ ð ðµ ð ð¶ ?
Jawab:
ð
ðŽ
h
ðµ
ð