Dokumen tersebut membahas tentang distribusi sampel dan variabel acak. Terdapat penjelasan mengenai ruang sampel, variabel acak, distribusi empiris dan teoritis, serta cara membuat distribusi sampel meliputi penentuan kelas, frekuensi, dan perhitungan statistik deskriptif seperti rata-rata, median, mode, variansi dan lainnya.

1. Distribusi :
Distribusi Sampel
ARIF RAHMAN
1

2. Ruang Sampel dan Variabel Acak
Ruang sampel (sample space) adalah satu
set lengkap semua keluaran yang mungkin
terjadi dalam populasi.
Variabel acak (random variable) adalah
suatu nilai bersifat acak dalam numerik
(format angka diskrit atau kontinyu) atau
nonnumerik yang menandai keluaran dalam
ruang sampel tertentu (finite atau infinite).
2

3. Distribusi
Distribusi adalah sebaran variabel acak X
dalam ruang sampel S dengan rentang R
yang mempunyai karakteristik unik
(parameter atau statistik) dalam interval
tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi
probabilitas yang spesifik.
3

4. Distribusi Empiris dan Teoritis
Distribusi empiris (empirical distribution)
adalah distribusi sebaran data aktual dari
observasi atau eksperimen dengan
pengelompokan dalam distribusi frekuensi.
Distribusi teoritis (theoretical distribution)
adalah distribusi sebaran variabel acak
dalam rentang tertentu yang mengikuti
fungsi probabilitasnya.
4

5. Pemusatan dan Sebaran: Populasi dan Sampel
5

6. Membuat Distribusi Sampel
Data Sampel diolah menjadi data
berkelompok untuk mengetahui distribusi
sampel dengan cara :
Menghitung rentang data observasi (R).
Menentukan banyaknya kelas (k)
berdasarkan banyaknya data observasi (n).
Misalnya menggunakan aturan Sturges
...
6
)100/log(3,31
atau)log(3,31
2
nk
nk
+=
+=

7. Membuat Distribusi Sampel
7
Perbedaan penentuan
banyaknya kelas

8. Membuat Distribusi Sampel
Menentukan lebar kelas (w) berdasarkan
rentang data (R) dan banyaknya kelas (k).
Untuk data diskrit sebaiknya menggunakan
poin. Jika menggunakan interval, perlu
dipastikan bahwa anggota dalam masing-
masing kelas berimbang.
...
8
k
R
w ≈

9. Membuat Distribusi Sampel
9
Kelas f fr Fr
0<x<1,4
1,4<x<2,8
2,8<x<4,2
4,2<x<5,6
5,6<x<7,0
Perbedaan anggota kelas pada penentuan interval
kelas yang salah pada data diskrit
Kelas f fr Fr
0 – 1
2 – 3
4 – 5
6 – 7
Anggotanya 0 dan 1 
Anggotanya 2 
Anggotanya 3 dan 4 
Anggotanya 5 
Anggotanya 6 dan 7 

10. Membuat Distribusi Sampel
Memilih data observasi terkecil (xmin) atau
yang sedikit lebih kecil sebagai batas
bawah kelas pertama (L1), selanjutnya
ditambahkan dengan lebar kelas (w) untuk
mendapatkan batas atas kelas pertama
(U1).
...
10
diskritdatauntuk
kontinyudatauntuk
11
11
UL
UxL
−
<≤

11. Membuat Distribusi Sampel
Pada kelas berikutnya, menentukan batas
bawah kelas (Li) berdasarkan batas atas
kelas sebelumnya (Ui-1), selanjutnya
ditambahkan dengan lebar kelas (w) untuk
mendapatkan batas atas kelas (Ui).
...
11
diskritdatauntuk1
kontinyudatauntuk
1
1
+=
=
−
−
ii
ii
UL
UL

12. Membuat Distribusi Sampel
Ulangi penentuan batas bawah kelas (Li)
dan batas atas kelas (Ui) untuk semua
kelas hingga data observasi terbesar (xmax)
tercakup.
Kelompokkan data observasi sesuai
kelasnya dan menandainya dengan turus
(tally). Hitung banyaknya data di masing-
masing kelas sebagai frekuensi (fi)
...
12

13. Membuat Distribusi Sampel
Berdasarkan frekuensi (fi) dan banyaknya
data observasi (n), hitung frekuensi
kumulatif (fki),frekuensi relatif (fri) dan
frekuensi relatif kumulatif (Fri) di masing-
masing kelas.
13
∑=
i
i ffk
1 n
f
fr i
i =
n
fk
frFr i
i
i == ∑1

14. Membuat Distribusi Sampel
14
Kelas Turus f fk fr Fr
0<x<1,4
1,4<x<2,8
2,8<x<4,2
4,2<x<5,6
5,6<x<7,0
Distribusi Frekuensi Data Kontinyu
Kelas Turus f fk fr Fr
0 – 1
2 – 3
4 – 5
6 – 7
Distribusi Frekuensi Data Diskrit

15. Arithmetic Mean
15
n
xf
n
xfxfxf
x
k
i
ii
kk
∑=
=
+++
=
1
2211
.
... 
Di mana :
ẍ = arithmetic mean
xi = data tengah (midpoint atau classmark) kelas ke-i
i = indeks urutan kelas
n = banyaknya data = Σfi
k = banyaknya kelas

16. Median
16
)(
)( 12
ii
i
i
n
i LU
f
fk
LMe −
−
+= −
Di mana :
Me = median
n = banyaknya data
Li = batas bawah kelas lokasi median
Ui = batas atas kelas lokasi median
fi = frekuensi kelas lokasi median
fki-1= frekuensi kumulatif kelas sebelum lokasi median
2
)(ˆ 1 ii
i
LU
L
+
= −
2
)(ˆ 1++
= ii
i
LU
U
Distribusi Frekuensi
Data Diskrit :

17. Mode
17
)(
)()(
)(
11
1
ii
iiii
ii
i LU
ffff
ff
LMo −
−+−
−
+=
+−
−
Di mana :
Mo = mode
Li = batas bawah kelas lokasi mode
Ui = batas bawah kelas lokasi mode
fi = frekuensi kelas lokasi mode
fi-1 = frekuensi kelas sebelum lokasi mode
fi+1 = frekuensi kelas sesudah lokasi mode
2
)(ˆ 1 ii
i
LU
L
+
= −
2
)(ˆ 1++
= ii
i
LU
U
Distribusi Frekuensi
Data Diskrit :

18. Variance
18
Di mana :
s2
= variance
ẍ = arithmetic mean
xi = data tengah kelas ke-i
i = indeks urutan kelas
n = banyaknya data = Σfi
k = banyaknya kelas
1
).(
1
).().(
1
2
22
112
−
−
=
−
−++−
=
∑=
n
xxf
n
xxfxxf
s
k
i
ii
kk
( )
)1(
..
2
11
2
2
−






−
=
∑∑ ==
nn
xfxfn
s
k
i
ii
k
i
ii
atau

19. Standard Deviation
19
Di mana :
s = standard deviation
ẍ = arithmetic mean
xi = data tengah kelas ke-i
i = indeks urutan kelas
n = banyaknya data = Σfi
k = banyaknya kelas
2
1
2
2 2
1
).(
−
−
=
=
∑=
n
xxf
ss
k
i
ii ( )
2
2
11
2
)1(
..
−






−
=
∑∑ ==
nn
xfxfn
s
k
i
ii
k
i
ii
atau

20. Quartile, Decile & Percentile
20
)(
)( 14
.
ii
i
i
nj
ij LU
f
fk
LQ −
−
+= −
Di mana :
n = banyaknya data
Li = batas bawah kelas lokasi
Ui = batas bawah kelas lokasi
fi = frekuensi kelas lokasi
fki-1= frekuensi kumulatif kelas sebelum lokasi
2
)(ˆ 1 ii
i
LU
L
+
= −
2
)(ˆ 1++
= ii
i
LU
U
Distribusi Frekuensi
Data Diskrit :
)(
)( 110
.
ii
i
i
nj
ij LU
f
fk
LD −
−
+= −
)(
)( 1100
.
ii
i
i
nj
ij LU
f
fk
LP −
−
+= −

21. Contoh Distribusi Sampel
21

22. Perhitungan Arithmetic Mean
22
5,163
80
240.2100.380.2
... 2211
=
+++
=
+++
=


n
xfxfxf
x kk
Perhitungan arithmetic mean

23. Perhitungan Median
23
Perhitungan Median
636,163)150170(
22
)25(
150
)(
)(
2
80
12
=−
−
+=
−
−
+= −
ii
i
i
n
i LU
f
fk
LMe

24. Perhitungan Mode
24
Perhitungan Mode
308,162)150170(
)1722()1422(
)1422(
150
)(
)()(
)(
11
1
=−
−+−
−
+=
−
−+−
−
+=
+−
−
ii
iiii
ii
i LU
ffff
ff
LMo

25. Perhitungan Variance
25
193,305
180
)5,163240.(2)5,163100.(3)5,16380.(2
1
).().().(
222
22
22
2
112
=
−
−++−+−
=
−
−++−+−
=


n
xxfxxfxxf
s kk
Perhitungan variance

26. Perhitungan Standard Deviation
26
470,17
193,3052
2 2
=
=
= ss
Perhitungan standard deviation

27. Perhitungan Quartile
27
Perhitungan Quartile
294,185)170190(
17
)47(
170
857,142)130150(
14
)11(
130
)(
)(
4
80.3
3
4
80.1
1
14
.
=−
−
+=
=−
−
+=
−
−
+= −
Q
Q
LU
f
fk
LQ ii
i
i
nj
ij

28. Perhitungan Decile
28
Perhitungan Decile
206)190210(
10
)64(
190
120)100130(
6
)5(
110
)(
)(
10
80.9
9
10
80.1
1
110
.
=−
−
+=
=−
−
+=
−
−
+= −
D
D
LU
f
fk
LD ii
i
i
nj
ij

29. Perhitungan Skewness dan Kurtosis
29
( )
( )
02342,0
470,17
636,1635,163.3
.3
−=
−
=
−
=
s
Mex
skewness
( )
( )
24673,0
)120206(
)857,142294,185.(
.
2
1
1090
132
1
=
−
−
=
−
−
=
PP
QQ
kurtosis
Perhitungan skewness dan kurtosis

30. The Law of Large Number
Semakin banyak data ditambahkan dalam
observasi atau eksperimen, maka selisih
antara statistik rata-rata sampel (x) dengan
parameter rata-rata populasi (µ) adalah
sangat kecil atau mendekati 0 (nol).
Data observasi atau eksperimen yang
sangat banyak mempunyai statistik sampel
(x dan s) sebagai pendekatan parameter
populasi (µ dan σ)
30

31. Central Limit Theorem
Jika sebuah variabel x adalah rata-rata
sederet variabel acak independent dengan
ukuran sampel yang sangat besar, maka
distribusi rata-rata sampel tersebut
mendekati distribusi normal dengan
pendekatan rata-rata dan simpangan baku
31
n
s
N
x
nN
x
x
x
x
=
===
∑∑
σ
µ
)/(

32. 32

33. 33

34. 34

35. 35
Terima kasih ...Terima kasih ...
... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???