Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis

1DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS
Suprayogi
Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis
Suprayogi
Distribusi Probabilitas Teoritis Diskret
Distribusi seragam diskret (discrete uniform
distribution)
Distribusi hipergeometris (hypergeometric
distribution)
Distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution)
Distribusi binomial (Binomial distribution)
Distribusi binomial negatif atau Pascal (negative
binomial or Pascal distribution)
Distribusi geometris (geometric distribution)
Distribusi Poisson (Poisson distribution)

Suprayogi
Distribusi Seragam Diskret
X ∼ seragam diskret (a, b) Parameter:
a, b bulat; b ≥ a
Rataan:
Variansi:
Fungsi distribusi probabilitas:
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−+=
+−
=
lainnya  ;0
,1,,1,  ;
1
1
x
bbaax
ab
xf
L
2
ba
X
+
=μ
( )
12
11 2
2 −+−
=
ab
Xσ
a : batas bawah
b : batas atas
Suprayogi
Contoh Histogram Distribusi Seragam
Diskret
0.0000
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0.1000
0.1200
0.1400
0.1600
0.1800
1 2 3 4 5 6
x
f(x)
a  = 1, b = 6

Suprayogi
Probabilitas Variabel Random Berdistribusi
Seragam Diskret
( )
1
1
+−
==
ab
xXP
( ) ∑= +−
=≤
r
ax ab
rXP
1
1
Suprayogi
Contoh Perhitungan
Jumlah pesanan yang datang per hari diketahui berdistribusi
seragam diskret dengan jumlah pesanan yang datang minimum
0 dan maksimum 10.
Probabilitas jumlah pesanan yang datang per hari adalah 4 atau
kurang?
Rata‐rata jumlah pesanan per hari yang datang?
( ) 4545,0
11
1
11
1
11
1
11
1
11
1
1010
1
4
4
0
=++++=
+−
=≤ ∑=x
XP
5,5
2
110
=
+
=Xμ

Suprayogi
Distribusi Hipergeometris
X ∼ hipergeometris (n, N, S)
Parameter:
Rataan:
Variansi:
( )
{ }
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−
−
lainnya  ;0
,min,,1,0  ;
C
CC
x
Snx
xf
N
n
SN
xn
S
x
L
n, S, N  bulat > 0
n ≤ N; S ≤ N
N
S
nX =μ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
N
S
N
S
n
N
nN
X 1
1
2
σ
Suprayogi
Rumus Kombinasi
( )!!
!
C
rnr
n
r
nn
r
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=

Suprayogi
Percobaan Hipergeometris
Dalam suatu populasi berukuran N, terdapat S
obyek yang dikategorikan sukses S, dan
sisanya N – S dikategorikan gagal
Suatu sampel random berukuran n diambil
dari populasi
Variabel random yang menyatakan banyaknya
obyek berkategori sukses yang terpilih
merupakan variabel random hipergeometris
Suprayogi
Contoh Histogram Distribusi
Hipergeometris
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0 1 2 3 4
x
f(x)
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
0 1 2 3 4
x
f(x)
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
0 1 2 3 4
x
f(x)
N  = 10, S = 2, n = 4
N  = 10, S = 4, n = 4
N  = 10, S = 6, n = 4

Suprayogi
Hipergeometris
( ) N
n
SN
xn
S
x
xXP
C
CC −
−
==
( ) ∑=
−
−
=≤
r
x
N
n
SN
xn
S
x
rXP
0 C
CC
Suprayogi
Contoh Perhitungan
Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4
komponen merek A dan 3 bola komponen merek B.
Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, probabilitas
bahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil:
( )

5143,0
3!4!
7!
1!2!
3!
2!1!
4!
C
CC
C
CC
2 7
3
3
1
4
2
7
3
47
23
4
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
====
−
−
XP

Suprayogi
Distribusi Bernoulli
X ∼ Bernoulli (p) Parameter:
p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:
pX =μ
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=
=
lainnya   ;0
gagal    ;1
sukses   ;
x
xp
xp
xf
( )ppX −= 12
σ
Suprayogi
Percobaan Bernoulli
Percobaan hanya menghasilkan dua kejadian
yang mungkin, sukses atau gagal
Probabilitas sukses adalah p (probabilitas
gagal, 1 – p)
Variabel random yang menyatakan munculnya
sukses atau gagal merupakan variabel random
Bernoulli

Suprayogi
Contoh Histogram Distribusi Bernoulli
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0 1
x
f(x)
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
0 1
x
f(x)
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
0 1
x
f(x)
p  = 0,2
p  = 0,5
p  = 0,8
X = sukses = 1
= gagal = 0
Suprayogi
Hubungan Distribusi Bernoulli dan
Seragam Diskret
X ∼ seragam diskret (a, b); a = 0; b = 1
X ∼ Bernoulli (p); p = 0,5

Suprayogi
Distribusi Binomial
X ∼ binomial (n, p) Parameter:
n bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:
npX =μ
( )pnpX −= 12
σ
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ =−
=
−
lainnya ;0
,,1,0 ;1C
x
nxpp
xf
xnxn
x L
Suprayogi
Percobaan Binomial
Percobaan terdiri atas n usaha yang saling
independen
Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang
mungkin, sukses atau gagal.
Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalah
tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)
sukses dalam n usaha independen merupakan
variabel random binomial
Percobaan binomial merupakan percobaan Bernoulli
yang independen yang dilakukan sebanyak n kali

Suprayogi
Contoh Histogram Distribusi Binomial
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
0 1 2 3 4 5
x
f(x)
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0 1 2 3 4 5
x
f(x)
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
0 1 2 3 4 5
x
f(x)
n= 5; p  = 0,2
n= 5; p  = 0,5
n= 5; p  = 0,8
Suprayogi
Binomial
( ) ( ) xnxn
x pprXP −
−== 1C
( ) ( )∑=
−
−=≤
r
x
xnxn
x pprXP
0
1C

Suprayogi
Contoh Perhitungan
Probabilitas suatu komponen tidak mengalami kerusakan dalam
suatu pengujian adalah 0,75.
Probabilitas tepat terdapat 2 komponen yang tidak mengalami
kerusakan jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali:
Probabilitas terdapat 2 komponen atau lebih yang tidak rusak
jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2109,025,075,0
2!2!
!4
75,0175,0C2 222424
2 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−== −
XP
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
9492,0
0508,01
25,075,0
1!1!
!4
25,075,0
0!2!
!4
1
75,0175,0C1 112
3140
1
0x
44
=
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
−−=≤−=≥ ∑=
−xx
xXPXP
Suprayogi
Hubungan Distribusi Binomial dan
Bernoulli
Y ∼ binomial (n, p)
Xi ∼ Bernoulli (p)
∑=
=
n
i
iXY
1
Xi independen dan identik

Suprayogi
Hampiran Distribusi Binomial terhadap
Hipergeometris
X ∼ hipergeometris (n, S, N); n/N → 0
X ∼ binomial (n, p);  p = S/N
Suprayogi
Contoh Perhitungan
Suatu pabrik menerima pasokan material sebanyak 5000 unit
dengan 1000 unit diantaranya adalah material jenis A.  Jika 10
unit dipilih secara random, probabilitas tepat terdapat 3 unit
material jenis A yang terpilih:
( ) ( ) ( )
( ) ( )

2013,0
8,02,0
3!7!
0!1

1C3
73
310
5000
10003
5000
100010
3
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−==
−
XP

Suprayogi
Distribusi Binomial Negatif (Pascal)
X ∼ binomial negatif (k, p)
Parameter:
k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ +=−
=
−−
−
lainnya ;0
,1, ;1C 1
1
x
kkxpp
xf
kxkx
k L
p
k
X =μ
( )
2
2 1
p
pk
X
−
=σ
Suprayogi
Percobaan Binomial Negatif
independen
Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian
yang mungkin, sukses atau gagal.
Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha
adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)
usaha agar terjadi sukses ke‐k merupakan
variabel random binomial negatif

Suprayogi
Negatif
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
f(x)
0.0000
0.0100
0.0200
0.0300
0.0400
0.0500
0.0600
0.0700
0.0800
0.0900
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
f(x)
k = 2; p  = 0,2
k = 2;  p  = 0,5
Variabel random X
banyaknya usaha untuk memperoleh k sukses
Suprayogi
Binomial Negatif
( ) ( ) kxkx
k ppxXP −−
− −== 1C 1
1
( ) ( )∑=
−−
− −=≤
r
kx
kxkx
k pprXP 1C 1
1

Suprayogi
Contoh Perhitungan
Probabilitas produk cacat adalah 0,1.
Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannya
produk yang cacat yang ketiga pada pengambilan kelima?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0049,09,01,0
2!2!
4!
1,011,0C5 2335315
13 ==−== −−
−XP
Suprayogi
Definisi Lain dari Variabel Random
Binomial Negatif & Fungsi Dist. Prob.
Variabel random binomial negatif X
dapat juga didefinisikan sebagai
banyaknya gagal sebelum
memperoleh k sukses
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ =−
=
−+
lainnya ;0
,2,1,0 ;1C 1
x
xpp
xf
xkkx
x L
Parameter:
k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:
p
pk
X
)1( −
=μ
( )
2
2 1
p
pk
X
−
=σ
( ) ( )xkkx
x ppxXP −== −+
1C 1
( ) ( )∑=
−+
−=≤
r
x
xkkx
x pprXP
0
1
1C

Suprayogi
Negatif
k = 2; p = 0,2
Variabel random X
banyaknya gagal sebelum memperoleh k sukses
Suprayogi
Contoh Perhitungan
Jika produk diambil satu per satu, probabilitas terambilnya
produk baik (tidak cacat) sebanyak dua sebelum menghasilkan
produk cacat ketiga?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0049,09,01,0
2!2!
4!
1,011,0C2 2323132
2 ==−== −+
XP

Suprayogi
Distribusi Geometris
X ∼ geometris (p)
Parameter:
p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ =−
=
−
lainnya ;0
,2,1 ;1 1
x
xpp
xf
x
L
p
X
1
=μ
2
2 1
p
p
X
−
=σ
Suprayogi
Percobaan Geometris
independen
Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian
yang mungkin, sukses atau gagal.
Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha
adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)
usaha agar terjadi sukses pertama
merupakan variabel random geometris

Suprayogi
Contoh Histogram Distribusi Geometris
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
f(x)
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
f(x)
p  = 0,5
p  = 0,2
Variabel random X
banyaknya usaha untuk memperoleh sukses
pertama
Suprayogi
Geometris
( ) ( ) 1
1 −
−== x
ppxXP
( ) ( )∑=
−
−=≤
r
x
x
pprXP
1
1
1

Suprayogi
Contoh Perhitungan
Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannya
produk yang cacat pada pengambilan ketiga?
Rata‐rata banyaknya pengambilan untuk menemukan produk
cacat?
( ) ( )( ) ( )( )

081,09,01,01,011,03 213
==−== −
XP
10
1,0
1
==Xμ
Suprayogi
Definisi Lain dari Variabel Random Geometris
dan Fungsi Distribusi Probabilitas
Variabel random geometris X dapat
juga didefinisikan sebagai
banyaknya gagal untuk
memperoleh sukses pertama
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ =−
=
lainnya   ;0
,2,1,0  ;1
x
xpp
xf
x
L
Parameter:
p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:
p
p
X
−
=
1
μ
2
2 1
p
p
X
−
=σ
( ) ( )x
ppxXP −== 1
( ) ( )∑=
−=≤
r
x
x
pprXP
0
1

Suprayogi
Contoh Histogram Distribusi Geometris
p  = 0,2
Variabel random X
banyaknya gagal sebelum memperoleh sukses
pertama
Suprayogi
Contoh Perhitungan
Jika produk diambil satu per satu, probabilitas diperoleh dua
produk baik (tidak cacat) sebelum diperoleh produk cacat?
Rata‐rata banyaknya produk baik (tidak cacat) yang diperoleh
sebelum menemukan produk cacat?
( ) ( )( ) ( )( )

081,09,01,01,011,02 22
==−==XP
9
1,0
9,0
1,0
1,01
==
−
=Xμ

Suprayogi
Hubungan Distribusi Binomial Negatif dan
Geometris
X ∼ binomial negatif (k, p); k = 1
X ∼ geometris (p)
Suprayogi
Distribusi Poisson
X ∼ Poisson (λ) Parameter:
λ > 0
Rataan:
Variansi:
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−
lainnya ;0
,2,1,0 ;
!
x
x
x
e
xf
x
L
λλ
λμ =X
λσ =2
X
λ rata‐rata kejadian
per interval waktu atau
daerah tertentu

Suprayogi
Ciri‐Ciri Proses Poisson
Jumlah kejadian yang terjadi dalam suatu interval waktu atau
daerah tertentu adalah independen terhadap jumlah kejadian
dalam interval waktu atau daerah yang lain.
Probabilitas suatu kejadian yang terjadi pada interval waktu
atau daerah yang sangat kecil adalah proporsional terhadap
panjang interval waktu atau luas daerah dan tidak tergantung
pada jumlah kejadian yang terjadi di luar interval waktu atau
daerah ini.
Probabilitas lebih dari satu kejadian dalam interval waktu
atau daerah yang sangat kecil adalah diabaikan
Suprayogi
Contoh Histogram Distribusi Poisson
0.0000
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0.1000
0.1200
0.1400
0.1600
0.1800
0.2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
f(x)
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
f(x)
λ = 2
λ = 5

Suprayogi
Poisson
( )
! x
e
xXP
x
λλ−
==
( ) ∑=
−
=≤
r
x
x
x
e
rXP
0 !
λλ
Suprayogi
Contoh Perhitungan
Banyaknya gangguan mesin yang terjadi per hari diketahui
berdistribusi Poisson dengan rata‐rata 10 gangguan per hari.
Probabilitas bahwa terdapat paling sedikit terdapat 5 gangguan
per hari?
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )

02925,0
01892,000045,000005,0
! 4
10
! 1
10
! 0
10

!
10

415
410110010
4
0
10
=
+++=
+++=
=
≤−=≥
−−−
=
−
∑
L
L
eee
x
e
XPXP
x
x

Suprayogi
Hampiran Distribusi Poisson terhadap
Binomial
X ∼ binomial (n, p); n → ∞; p → 0
X ∼ Poisson (λ); λ = np
Suprayogi
Contoh Perhitungan
Probabilitas suatu produk yang harus dibuang karena rusak
adalah 0,01.
Jika terdapat sebanyak 1000 produk, probabilitas terdapat 10
produk yang dibuang karena rusak?
( )( )
( )
( )
( )
0,0378
! 5
10
5
1001,01000
510
=
==
==
−
e
XP
λ

Suprayogi
Ciri Reproduktif Variabel Random Poisson
Xi ∼ Poisson (λi)
∑=
=
n
i
iXY
1
Y ∼ Poisson (λ), λ = λ1 + λ2 + ... + λn
Xi saling independen
Suprayogi
Contoh Perhitungan
Banyaknya gangguan mesin A yang terjadi per hari diketahui
Banyaknya gangguan mesin B yang terjadi per hari diketahui
Probabilitas banyaknya gangguan sebanyak 5 per hari adalah:
( )
( )

00194,0
! 5
15
5
15510
515
21
=
==
=+=+=
−
e
XP
λλλ

Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

Similar to Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis

Similar to Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis (20)

More from Raden Maulana

More from Raden Maulana (13)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis