Makalah ini membahas tentang transformasi variabel acak dan distribusinya. Terdapat beberapa metode untuk menemukan distribusi variabel acak yang ditransformasi, yaitu metode fungsi distribusi, metode transformasi, metode konvolusi, dan metode fungsi pembangkit momen. Metode transformasi dijelaskan sebagai metode yang paling berguna untuk menemukan fungsi kepadatan variabel acak yang ditransformasi dengan mengetahui fungsi kepadatan variabel acak aslinya.
ppt profesionalisasi pendidikan Pai 9.pdfNur afiyah
Β
Pembelajaran landasan pendidikan yang membahas tentang profesionalisasi pendidikan. Semoga dengan adanya materi ini dapat memudahkan kita untuk memahami dengan baik serta menambah pengetahuan kita tentang profesionalisasi pendidikan.
Sebuah buku foto yang berjudul Lensa Kampung Ondel-Ondelferrydmn1999
Β
Indonesia, negara kepulauan yang kaya akan keragaman budaya, suku, dan tradisi, memiliki Jakarta sebagai pusat kebudayaan yang dinamis dan unik. Salah satu kesenian tradisional yang ikonik dan identik dengan Jakarta adalah ondel-ondel, boneka raksasa yang biasanya tampil berpasangan, terdiri dari laki-laki dan perempuan. Ondel-ondel awalnya dianggap sebagai simbol budaya sakral dan memainkan peran penting dalam ritual budaya masyarakat Betawi untuk menolak bala atau nasib buruk. Namun, seiring dengan bergulirnya waktu dan perubahan zaman, makna sakral ondel-ondel perlahan memudar dan berubah menjadi sesuatu yang kurang bernilai. Kini, ondel-ondel lebih sering digunakan sebagai hiasan atau sebagai sarana untuk mencari penghasilan. Buku foto Lensa Kampung Ondel-Ondel berfokus pada Keluarga Mulyadi, yang menghadapi tantangan untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel warisan leluhur di tengah keterbatasan ekonomi yang ada. Melalui foto cerita, foto feature dan foto jurnalistik buku ini menggambarkan usaha Keluarga Mulyadi untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel sambil menghadapi dilema dalam mempertahankan makna budaya di tengah perubahan makna dan keterbatasan ekonomi keluarganya. Buku foto ini dapat menggambarkan tentang bagaimana keluarga tersebut berjuang untuk menjaga warisan budaya mereka di tengah arus modernisasi.
INSTRUMEN PENILAIAN PRAKTIK KINERJA KS Dok Rating Observasi (1).docx
Β
Transformasi Peubah Acak dan Distribusinya
1. TRANSFORMASI PEUBAH ACAK
DAN DISTRIBUSINYA
Makalah Kelompok-V
Diajukan untuk Melengkapi Tugas Matakuliah
Statistika Matematika
Oleh
1. RIZKI KURNIAWAN RANGKUTI
2. NUR ASIMA SIREGAR
3. MAISYAROH MANURUNG
Dosen Pengampu
Dr. Ani Minarni, M.Si
Program Studi Pendidikan Matematika
Jenjang Program Strata Dua (S-2)
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2014
4. Pada contoh 10.1, kita telah menghitung distribusi (yaitu, fungsi padat peluang) dari
peubah acak Y = Ο(X) yang ditransformasikan, di mana Ο(x) = x2. Transformasi ini tidak
meningkat atau menurun (yaitu, monoton) di ruang RX dari peubah acak X. Oleh karena itu,
distribusi Y berubah menjadi sangat berbeda dari X. Pada contoh 10.2, bentuk distribusi
transformasi peubah acak Y = Ο(x), di mana Ο(x) = 2x + 1, pada dasarnya sama. Hal ini
terutama disebabkan oleh fakta bahwa Ο(x) = 2x + 1 adalah monoton di RX.
Dalam bab ini, kita akan memeriksa fungsi padat peluang dari peubah acak yang
ditransformasikan dengan mengetahui fungsi kepadatan peubah acak yang asli. Ada beberapa
metode untuk menemukan fungsi kepadatan peluang dari peubah acak yang
ditransformasikan. Beberapa metode ini adalah : (1) metode fungsi distribusi, (2) metode
transformasi, (3) metode konvolusi, dan (4) metode fungsi pembangkit momen.
Di antara empat metode tersebut, metode transformasi adalah yang paling berguna.
Metode konvolusi adalah kasus khusus dari metode ini. Metode transformasi diturunkan
dengan menggunakan metode fungsi distribusi.
10.1. Metode Fungsi Distribusi
Kita telah melihat di BAB-6 bahwa suatu metode yang mudah untuk menemukan
fungsi padat peluang dari transformasi peubah acak kontinu adalah untuk menentukan fungsi
distribusinya dan kemudian fungsi kepadatan tersebut ditentukan dengan diferensiasi.
Contoh 10.3.
Sebuah kotak akan dibangun sehingga tingginya 4 inci dan alasnya adalah X inci. Jika X
memiliki distribusi normal standar, tentukan distribusi volume kotak tersebut?
Penyelesaian:
Volume kotak adalah suatu peuah acak, karena X adalah suatu peubah acak. Peubah acak V
diberikan oleh V = 4X2. Untuk menemukan fungsi kepadatan V, pertama-tama kita tentukan
bentuk fungsi distribusi G(v) dari V dan kemudian kita turunkan G(v) untuk menemukan
fungsi kepadatan V. Fungsi distribusi V diberikan oleh:
νΊ(ν£) = ν(ν β€ ν£)
= ν(4ν2 β€ ν£)
= ν(β 1
2 βν£ β€ ν β€ 1
2 βν£)
= β« 1
β2ν
νβ
1
2
ν₯2
νν₯
1
2
βν£
β
1
2
βν£
= 2 β« 1
β2ν
1
2
νβ
ν₯2
νν₯
1
2
βν£
0
(ketika integran sama)
5. Oleh karena itu, dengan Teorema Dasar Kalkulus, kita peroleh
ν(ν£) = ννΊ (ν£)
νν£
= ν
νν£
(2 β«
1
β2ν
νβ
1
2
ν₯2
νν₯
1
2
βν£
0
)
= 2 1
β2ν
1
2
νβ
(1
2
2
(1
βν£ )
2
) ν βν£
νν£
= 1
β2ν
1
8
νβ
ν£ 1
2βν£
= 1
Ξ(
1
2
)β8
ν£
1
2
β1νβ
1
8
ν£
= ν βΌ νΊν΄ν (8, 1
2
)
Contoh 10.4
Jika fungsi kepadatan ν didefinisikan oleh
ν(ν₯) = {
1
2
, ν’νν‘ν’ν β 1 < ν₯ < 1
0, ν’νν‘ν’ν ννν‘νν ν₯ ν¦ννν νννν
Tentukan fungsi padat peluang ν = ν2
Penyelesaian:
Pertama, kita temukan fungsi distribusi komulatif ν dan differensiasi, kita peroleh fungsi
kepadatan ν. Fungsi distribusi νΊ(ν¦) dari ν diberikan dengan
νΊ(ν¦) = ν(ν β€ ν¦)
= ν(ν2 β€ ν¦)
= ν(ββν¦ β€ ν β€ βν¦)
= β«
βν¦
1
νν₯ ββν¦
2
= βν¦
Dengan demikian, fungsi kepadatan ν diberikan oleh
ν(ν¦) = ννΊ (ν¦)
νν¦
= ν βν¦
νν¦
= 1
2βν¦
, ν’νν‘ν’ν 0 < ν¦ < 1
6. 10.2 Metode Transformasi untuk Kasus Univariat
Teorema berikut adalah penopang metode transformasi.
Teorema 10.1.
Misalkan ν merupakan suatu peubah acak kontinu dengan fungsi padat peluang ν(ν₯).
Misalkan ν¦ = ν(ν₯) merupakan fungsi naik atau fungsi turun, maka fungsi kepadatan dari
peubah acak ν = ν(ν₯) diberikan oleh
νν₯
νν¦
ν(ν¦) = |
| ν(ν(ν¦))
dimana ν₯ = ν(ν¦) adalah fungsi invers dari ν(ν₯)
Bukti:
Duga bahwa ν¦ = ν(ν₯) merupakan suatu fungsi naik. Fungsi distribusi νΊ(ν¦) dari ν diberikan
oleh
νΊ(ν¦) = ν(ν β€ ν¦)
= ν(ν(ν) β€ ν¦)
= ν(ν β€ ν(ν¦))
= β« ν(ν₯)νν₯ ν(ν¦)
ββ
maka, dengan mendifferensiasikannya kita peroleh fungsi kepadatan ν, yaitu
ν(ν¦) = ννΊ (ν¦)
νν¦
= ν
νν¦
(β« ν(ν₯)νν₯ ν(ν¦)
ββ
)
= ν(ν(ν¦)) νν (ν¦)
νν¦
= ν(ν(ν¦)) νν₯
νν¦
, ketika ν₯ = ν(ν¦)
Dalam hal yang lain, jika ν¦ = ν(ν₯) adalah fungsi turun, maka fungsi distribusi ν diberikan
oleh
νΊ(ν¦) = ν(ν β€ ν¦)
= ν(ν(ν) β€ ν¦)
= ν(ν β₯ ν(ν¦)), ketika ν(ν₯) menurun
= 1 β ν(ν β€ ν(ν¦))
= 1 β β« ν(ν₯)νν₯ ν(ν¦)
ββ
Seperti sebelumnya, dengan mendifferensiasikannya kita peroleh fungsi kepadatan ν, yaitu
ν(ν¦) = ννΊ (ν¦)
νν¦
= ν
νν¦
(1 β β« ν(ν₯)νν₯ ν(ν¦)
ββ
)
= βν(ν(ν¦)) νν(ν¦ )
νν¦
= βν(ν(ν¦)) νν₯
νν¦
, ketika ν₯ = ν(ν¦)
7. Dengan demikian, dengan menggabungkan kedua kasus tersebut, kita peroleh
νν₯
νν¦
ν(ν¦) = |
| ν(ν(ν¦))
Contoh 10.5.
Misalkan ν = νβν
ν
. Jika ν~ν(ν, ν 2), maka tentukan fungsi padat peluang ν
Penyelesaian:
ν§ = ν(ν₯) =
ν₯ β ν
ν
Oleh karena itu, invers U diberikan dengan
ν(ν§) = ν₯
= νν§ + ν
Dengan demikian
νν₯
νν§
= ν
Oleh karena itu, dengan Teorema 10.1, kepadatan Z diberikan dengan
ν(ν§) = |νν₯
νν§
| ν(ν(ν¦))
= ν 1
1
2
β2ν ν2 νβ
(ν€(ν§)βν
ν
)
2
= 1
β2ν
1
2
νβ
(ν§ν+νβν
ν
2
)
= 1
β2ν
1
2
νβ
ν§2
Contoh 10.6.
Misalkan ν = νβν
ν
. Jika ν~ν(ν, ν 2), maka tunjukkan bahwa ν2 adalah chi-kuadrat dengan
satu derajat kebebasan, yaitu ν2~ν2(1).
Penyelesaian:
ν¦ = ν(ν₯) = (ν₯βν
ν
)
2
ν₯ = ν + νβν¦
ν(ν¦) = ν + νβν¦, ν¦ > 0
νν₯
νν¦
= ν
2βν¦
Kepadatan Y adalah:
ν(ν¦) = |νν₯
νν¦
| ν(ν(ν¦))
= ν 1
2βν¦
ν(ν(ν¦))
8. = ν 1
2βν¦
1
β2ν ν2 νβ
1
2
(ν(ν¦) βν
ν
2
)
= 1
2β2νν¦
ν
β
1
2
βν¦ν+νβν
(
ν
2
)
= 1
2β2νν¦
νβ
1
2
ν¦
= 1
2βν β2
ν¦β
1
2 νβ
1
2
ν¦
= 1
2Ξ (1
2
)β2
1
2 νβ
ν¦β
1
2
ν¦
Dengan demikian ν~ν2(1)
Contoh 10.7.
Misalkan ν = β ln ν. Jika ν~νννΌνΉ(0,1), maka tentukan fungsi kepadatan Y ketika tidak-nol.
Penyelesaian:
Diberikan ν¦ = ν(ν₯) = β ln ν₯
Dengan demikian, invers dari ν¦ = ν(ν₯) diberikan oleh
ν(ν¦) = ν₯
= νβν¦
Maka
νν₯
νν¦
= βνβν¦
Dengan demikian, berdasarkan Teorema 10.1, kepadatan peluang dari Y diberikan oleh:
νν₯
νν¦
ν(ν¦) = |
| ν(ν(ν¦))
= νβν¦ ν(ν(ν¦))
= νβν¦
Kemudian ν~νΈνν(1), dengan demikian, jika ν~νννΌνΉ(0,1), maka peubah acak
β ln ν ~νΈνν(1).
Meskipun semua contoh pada sesi ini terkait dengan peubah acak yang kontinu, metode
transformasi juga bekerja untuk variabel random yang diskrit.