Dokumen ini membahas transformasi variabel acak menggunakan metode CDF. Metode ini menerangkan bagaimana menghitung distribusi variabel yang merupakan fungsi dari variabel acak lain, serta memberikan contoh aplikasi dalam statistik. Selain itu, dokumen mencakup asumsi mengenai sampel acak dan metode estimasi parameter dalam populasi.

1. Slide 1 of 22
Transformasi random variabel
dengan Metode CDF
7:20

2. Introduction
Slide 2 of 22
Prinsip prosedur statistika:
Random sampel
Sampel
Populasi (N)
(n)
Estimasi perameter
Contoh: Ingin mengestimasi mean populasi

Secara intuitive kita mengambil sampel observasi sebanyak
n
n lalu menghitung
x1  x2  ...  xn
x

n
7:20
sebagai estimasi bagi

x
i 1
n
i

3. Introduction
Slide 3 of 22
Estimate/estimasi/realisasi sampel
Seberapa tepat
x mengestimasi  ?
Bergantung pada para r.v.
X 1 , X 2 ,..., X n dan efek
mereka terhadap distribusi dari estimator:
Estimator
/Statistik
/R.V.
n
X
Error of Estimation = x  
Karena
X
i 1
i
n
Ukuran ketepatan estimasi
x adalah salah satu kemungkinan sampel dari All Possible
Samples, maka kita tertarik terhadap P (| x   | k )  ....?
7:20

4. Introduction
Slide 4 of 22
Karena
x
adalah merupakan salah satu nilai dari X , maka
akan dapat dihitung jika pdf dari
X
P(| x   | k)
diketahui / bisa diturunkan
f (X )
P(| x   | k)
Karena
X 1  X 2  ...  X n
X
n
joint pdf dari
7:20
X 1 , X 2 ,..., X n
maka pdf dari
X bergantung pada

5. Introduction
Slide 5 of 22
Dalam aplikasi,


X 1 , X 2 ,..., X n
X 1 , X 2 ,..., X n
X 1 , X 2 ,..., X n
adalah random sample artinya:
saling independent
masing2 berdistribusi identik
i.i.d= independent
identical distribution
Asumsi independent akan terpenuhi jika N  (infinite) atau
(finite) tetapi N n cukup besar
N 
Asumsi identik merupakan konsekuensi logis mengingat semua
kemungkinan nilai dari masing-masing X 1 , X 2 ,..., X n adalah sama, yaitu
nilai-nilai observasi yang berasal dari populasi yang sama
Sehingga berlaku:
f ( x1 , x2 ,..., xn )  f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xn )   f ( x) 
n
Dalam teori sampling:
7:20
Random sample adalah sampel yg diambil sedemikian rupa sehingga setiap
elemen dari populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih sebagai sampel

6. Introduction
Slide 6 of 22
Dengan adanya asumsi i.i.d dari
X 1 , X 2 ,..., X n maka pdf dari X
dapat dicari dengan metode transformasi r.v. variabel yang disebut
sebagai metode MGF
Metode CDF
Efektif untuk continuous
r.v. univariate
Metode PDF
Metode secara umum
(metode Jacobian)
Metode MGF
Transformasi R.V.
Efektif hanya untuk kasus
random sampel
Berdasarkan uniqueness theorems:
Dua buah R.V. berdistribusi sama
7:20

MGF-nya sama

7. Contoh Kasus
Slide 7 of 22
Misalkan
X = kapasitas produksi suatu mesin giling padi menjadi beras per
hari (dalam satuan ton)
Dalam hal ini X merupakan r.v., karena produksi per hari akan
bergantung kepada operator, kondisi mesin, kondisi gabah yg
digiling dll
Misal pdf dari X adalah:
f ( x )  2 x, 0  x  1
Jika untuk setiap ton beras mendapat bayaran 300 ribu dengan
overhead cost sebesar 100 ribu, maka keuntungan per ton
penggilingan padi adalah:
Y=3X-1 (dalam satuan ratus ribu)
Untuk keperluan inferensi tentang keuntungan, perlu diketahui pdf
dari Y
7:20
Y merupakan sebuah r.v. continuous yang merupakan
fungsi dari satu buah r.v. lain yaitu X atau secara
umum Y  g ( X )  3 X  1

8. Metode CDF
Slide 8 of 22
Metode CDF:
mengsumsikan bahwa jika suatu R.V X memiliki CDF
FX ( x) ,maka fungsi dari X, misalnya Y  g ( x) juga
memiliki bentuk CDF yang sama.
Sehingga kita bisa mengekpresikan CDF Y dalam bentuk
yang sama dengan CDF nya X
FY ( y )  P[Y  y ]  P[ g ( x)  y ]
dan pdf y didapat dari
d
fY ( y ) 
FY ( y )
dy
7:20

9. Metode CDF
Slide 9 of 22
Untuk kasus mesin giling beras maka:
y 1

FY ( y )  P(Y  y )  P (3 X  1  y )  P  X 
  FX
3 

( y 1) 3


( y 1) 3
f X ( x) dx 




2 x dx  

Batas nilai r.v. X dan nilai r.v. Y:
Y 1
3
y 1
1
0  x 1  0 
3
 -1  y  2
Y  3X 1  X 
7:20
y 1 

3 
 y 1 


3 

2
, y  1
0

2
 y  1 
FY ( y )   
 , -1  y  2
 3 
1
,y2

dFY ( y )  2 9 ( y  1), -1  y  2

fY ( y ) 

dy
, lainnya
0


10. Kasus univariate secara umum
Slide 10 of 22
Jika diketahui distribusi r.v. X
distribusi dari Y=g(x)
~?
Misal:
X : Waktu nyala lampu (minggu)
Y : Waktu nyala lampu (hari)
Y=7X
Fungsi lain yg mungkin menarik adalah, misalnya:
Z  ln( X )
Qe
X
Fungsi dari suatu R.V. adalah juga R.V.
Distribusi prob. dari Y, Z, Q diturunkan dari
distribusi probabilitasnya X
Distribusi prob. dari Y, Z, Q disebut
“distribusi turunan” dari R.V. X
7:20

11. Metode CDF: another contoh
Slide 11 of 22
Misal FX ( x)  1  e 2 x , 0  x  
Y  eX ~ ?
FY ( y )  P[Y  y ]  P[e X  y ]
 P[ X  ln( y )]
 FX (ln( y ))
 1  y 2 ,1  y  
d
fY ( y ) 
FY ( y )  2 y 3 ,1  y  
dy
Batas:
7:20
Y e
x  0  y  e0  1
X
x    y  e  
1 y  

12. Metode CDF: another contoh lagi
Slide 12 of 22
2
Misal X adalah continuous R.V. dan Y=X , maka:
FY ( y )  P[ X 2  y ]  P[ y  X 
y]
 FX ( y )  FX ( y )
d
fY ( y ) 
FY ( y )
dy
d 

FX ( y )  FX ( y ) 

dy 
d
d
 f X ( y ) ( y )  f X ( y ) ( y )
dy
dy
1

[ f X ( y )  f X ( y )] , y  0
2 y
7:20

13. Metode CDF: another contoh lagi
Slide 13 of 22
7:20

14. Metode CDF: another contoh lagi
Slide 14 of 22
7:20

15. Metode CDF: another contoh lagi
Slide 15 of 22
7:20

16. Metode CDF: another contoh lagi
Slide 16 of 22
7:20

17. Metode CDF: another contoh lagi
Slide 17 of 22
7:20

18. Metode CDF: latihan
Slide 18 of 22
Carilah pdf Y dengan CDF method, jika
7:20

19. Metode CDF: bivariate case
Slide 19 of 22
X 1 ~ f ( x1 )
X 2 ~ f ( x2 )
Y  g ( x1 , x2 ) ~ ? pdf of Y
Y  X1  X 2
Y  X1  X 2
Y
7:20
X1
X2

20. Metode CDF:multivariate case
Slide 20 of 22
Teorema:
Misalkan X  ( X 1 , X 2 ,..., X k ) adalah vektor k -dimensi dari kontinu R.V.
dengan joint pdf f ( x1 , x2 ,...xk ).
Jika Y  g ( X) adalah fungsi dari X maka
FY ( y )  P[ g ( X)  y ]
  ... f ( x1 , x2 ,...xk )dx1...dxk
Ar
dimana Ar  {x | g (x)  y}
7:20
Batas integralnya
adalah fungsi dari y

21. Metode CDF: contoh
Slide 21 of 22
Misal Y  X 1  X 2 , dimana X i ~ Exp(1) dan x  0, maka fY ( y ) ~ ?
y y  x2
FY ( y )  
0

e
 ( x1  x2 )
dx1dx 2
0
 1 e
y
 ye
y
d
fY ( y ) 
FY ( y )
dy
 ye  y
7:20
,y0

22. CDF method: for exercise
Slide 22 of 22
Y  X3
•
•
Misalkan
X  U (0,1) tentukan dan identifikasi pdf dari Y   ln X
•
Misalkan
X  N (0,1) tentukan dan identifikasi pdf dari Y  Z 2
•
7:20
Misalkan f ( x)  6 x(1  x) ,0  x  1 tentukan pdf dari
Misal Y 
X1
X2
, dimana X i ~ Exp(1) dan x  0, maka fY ( y) ~ ?