Variabel random dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel random dapat berupa diskrit atau kontinu, tergantung nilai-nilainya. Makalah ini membahas tentang fungsi peluang, pdf, CDF, nilai harapan, varian, dan MGF untuk variabel random diskrit dan kontinu.

1. MAKALAH
STATISTIKA MATEMATIKA II
“ VARIABEL RANDOM ”
Disusun Oleh :
Kelompok 1 (Satu)
 ADE MAULINA PANJAITAN (4131230001)
 AMI RIANA (4132230001)
 DESI RATNA SARI (4132230003)
 IRMA FAUJIAH JANNAH (4133230019)
 NILA AULIA (4133230028)
 RIA RAHADI NASUTION (4132230007)
 RIA RAHMADITA SURBAKTI (4131230008)
 ROSMIATI (4132230009)
 TEUKU ZULFAH FITRIANI (4132230013)
 TIKA RAMADHANI (4132230012)
 WIDYASTIKA (4131230010)
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
T.A 2015/2016

2. Page 1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan
rahmat-Nya sehingga kami dapat menyusun makalah “VARIABEL RANDOM”.
Kami ucapkan terima kasih kepada dosen pengampu mata kuliah STATISTIKA
MATEMATIKA II yang telah menuntun kami untuk menyelesaikan makalah ini.
Terakhir kami ucapkan terimakasih kepada teman – teman dan semua pihak yang
telah membantu dalam diskusi untuk menyelesaikan makalah ini. Kami berharap
makalah ini dapat membantu dalam menyelesaikan tugas ataupun pekerjaan yang
kita lakukan.
Medan, Maret 2015
Kelompok 1

3. Page 2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .........................................................................................1
DAFTAR ISI ......................................................................................................2
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................3
A. Latar Belakang..........................................................................................3
B. Rumusan Masalah .....................................................................................4
C. Tujuan.......................................................................................................4
BAB II PEMBAHASAN .....................................................................................5
1. Variabel Random ......................................................................................5
2. Fungsi Peluang..........................................................................................6
3. Fungsi Padat Peluang (pdf)........................................................................6
4. Fungsi Distributif Kumulatif (CDF) ..........................................................7
5. Variabel Acak Kontinu..............................................................................8
6. Nilai Harapan............................................................................................9
7. Momen....................................................................................................11
8. Varian .....................................................................................................11
9. Fungsi Pembangkit Momen (MGF) .........................................................11
10. Fungsi Pembangkit Momen Faktorial...................................................12
BAB II PENUTUP.............................................................................................14
1. Kesimpulan.............................................................................................14
2. Saran.......................................................................................................14
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................15

4. Page 3
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik
secara sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi
variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan.
Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap
kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat
diskrit(hasil perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel
acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak
kontinu.
Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh
nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai
tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan.
Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa
sederetan titik-titik yang terpisah.
Contoh :
 Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah
koin (uang logam).
 Jumlah anak dalam sebuah keluarga.
Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai
yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada
suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan.
Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa
sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.

5. Page 4
Contoh :
 Usia penduduk suatu daerah.
 Panjang beberpa helai kain.
B. Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah
sebagai berikut:
1. Bagaimana cara mencari nilai fungsi peluang, pdf, CDF, nilai ekspektasi,
Momen, Variansi, dan MGF?
2. Bagaimana cara membedakan variable random diskrit dan kontinu?
C. Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
1. Dapat membedakan antara variable random diskrit dan kontinu
2. Dapat mengidentifikasi fungsi peluang, pdf, CDF, dll.
3. Dapat menentukan nilai ekspektasi dari suatu variable random dengan
distribusinya.
4. Dapat menentuka variansi dari suatu variable random dengan
distribusinya.

6. Page 5
BAB II
PEMBAHASAN
1. Variabel Random
Variabel random adalah sebuah fungsi dengan domain kecil hasil
pengamatan dan kodomainnya merupakan himpunan bilangan real. Variabel
random disimbolkan dengan huruf kapital ( X, Y, Z, dll ). Contoh :
a) Sebuah koin dilemparkan tiga kali, maka ruang sampelnya adalah :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
b) Misalkan X merupakan variabel random yang menyatakan banyaknya
angka yang muncul, Y adalah variabel random yang menyatakan
banyaknya gambar yang muncul, maka apa hubungan antara X dan Y?
Jawab :

7. Page 6
Keterangan :
Karena 𝑃 𝑋 = 𝑃(𝑌), dan 𝑋 ≠ 𝑌, maka X dan Y merupakan variabel acak identik.
Selain itu, karena 𝑃 𝑋 ∩ 𝑌 = 𝑃 𝑋 𝑌 ⟺ 𝑋, 𝑌 independent. Macam-macam
variabel acak :
a. Variabel Acak Diskrit (Countable)
b. Variabel Acak Continue (Measurable)
2. Fungsi Peluang
Fungsi f(x) adalah fungsi peluang dari suatu variable random diskrit X, jika untuk
setiap nilai x, berlaku
a. 𝑓 𝑥 = 0
b. 𝑓(𝑥)𝑥 = 1
Contoh :
Fungsi f yang didefenisikan oleh
𝑓 𝑥 =
𝑥
7
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 1,2,4
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
Disebut fungsi peluang sebab:
 𝑓 𝑥 = 0, untuk x=1,2 maupun x=4
 𝑓(𝑥)𝑥 =
𝑥
7
=
1
7
+
2
7
+
4
7
= 1𝑥=1,2,4
3. Fungsi Padat Peluang (pdf)
Jika ruang sampel dari variabel random X countable, maka variabel
random X dinamakan variabel random diskrit. Suatu fungsi dengan domain
variabel acak diskrit dinamakan fungsi densitas probabilitas diskrit. Disingkat
dengan pdf diskrit atau dinamakan fungsi masa probabilitas.
Teorema :
Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskrit jika hanya jika memenuhi sifat:
a. 𝑓(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅
b. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
= 1

8. Page 7
Contoh :
Fungsi f yang didefenisikan oleh
𝑓 𝑥 =
𝑒−𝑥
, 𝑥 ≥ 0
0, 𝑥 < 0
Adalah fungsi padatpeluang, sebab:
 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ≥ 0
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
0
= 𝑒−𝑥
𝑑𝑥
∞
0
= 1
4. Fungsi Distributif Kumulatif (CDF)
CDF dari variabel acak X didefinisikan untuk sebarang bilangan real x berlaku :
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝐹𝑥 (𝑥)
= 𝑃 𝑋 > 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)
Teorema :
Misal X variabel acak diskrit dengan pdf = f(x) dan CDF = F(x). Jika nilai-nilai
dari variable acak X yang mungkin adalah berurutan naik, maka :
𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < ⋯
𝑓(𝑥1) = 𝐹(𝑥1) dan ∀𝑗 , 𝑗 > 1, berlaku 𝑓 𝑥𝑗 = 𝐹 𝑥𝑗 − 𝐹(𝑥𝑗−1)
Sedangkan untuk 𝑥 < 𝑥𝑖, maka 𝐹 𝑥 = 0
Sehingga 𝐹 𝑋 = 𝑓(𝑥𝑗 )𝑥 𝑗 <𝑥
Sifat-sifat CDF :
a. lim 𝑋→∞ 𝐹 𝑥 = 1
b. lim 𝑋→−∞ 𝐹 𝑥 = 0
c. lim 𝑕→0+ 𝐹 𝑥 + 𝑕 = 𝐹(𝑥)
d. 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝐹(𝑎) ≤ 𝐹(𝑏)
Contoh :
Dari contoh pelemparan koin diatas (sebuah koin yang dilemparkan tiga kali),
bentuklah fungsi distribusinya!
Jawab :

9. Page 8
5. Variabel Acak Kontinu
Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat pdf f(x),
sedemikian hingga CDF-nya dapat dinyatakan sebagai :
𝐶𝐷𝐹 → 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
−∞
𝑝𝑑𝑓 → 𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑥)
Secara khusus, jika X variable acak kontinu, maka :
a. 𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏)
b. 𝑃 𝑥 = 𝑘 = 0, dengan k = konstanta
c. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Teorema:
Suatu fungsi 𝑓(𝑥) adalah pdf untuk beberapa variable acak kontinu X, jika
memenuhi :
a. 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑋.
b. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
Contoh :

10. Page 9
Jika X merupakan variable acak kontinu dengan pdf 𝑓 𝑥 =
𝑐(1 + 𝑥)−3
, 𝑥 > 0
0, 𝑥 ≤ 0
Tentukan CDF nya!
Jawab :
𝑐 1 + 𝑥 −3
𝑑𝑥
∞
−∞
= 1
𝑐
1
−2
1 + 𝑥 −2
∞
0
= 1
𝑐 = 2
Maka, CDF nya adalah :
𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 2(1 + 𝑡)−3
𝑑𝑡
𝑥
−∞
𝑥
−∞
𝐹 𝑥 =
1 − (1 + 𝑥)−2
, 𝑥 > 0
0, 𝑥 ≤ 0
6. Nilai Harapan
Apabila X adalah variable acak diskrit dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan dari
X didefenisikan sebagai :
𝐸 𝑥 = 𝑥𝑓(𝑥)
𝑛
𝑋=1
𝐸 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
Contoh :
Dari contohpelemparan koin diatas (sebuah koin yang dilempar 3 kali), didapat
𝐸 𝑥 =
3
2
∙ 𝐸 𝑥 = 3 ∙
1
8
+ 2 ∙
3
8
+ 1 ∙
3
8
+ 0 ∙
1
8
=
3
2
Jika X variable acak kontinu dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan 𝜇 = 𝐸 𝑥 =
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞

11. Page 10
Contoh :
Dari cntoh diatas (jika X merupakan variable acak kontinu), maka :
𝐸 𝑥 = 𝑥 ∙ 0 ∙ 𝑑𝑥
∞
−∞
+ 𝑥 ∙ 2(1 + 𝑥)−3
𝑑𝑥
∞
0
= 1
Sifat-sifat umum nilai harapan
Teorema :
Jika X variable random dengan pdf f(x) dan u(x) merupakan fungsi bernilai real
dari variable random X, maka :
𝐸 𝑢 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑓 𝑥 , 𝑋 𝑉𝐴𝐷
𝑅
𝐸 𝑢 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑋 𝑉𝐴𝐾
𝑅
Jika X variabel random dengan pdf f(x), a, b suatu konstanta dan g(x), h(x) suatu
fungsi bernilai real dari variabel x, maka :
𝐸 𝑎 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑏𝑕 𝑥 = 𝑎𝐸 𝑔 𝑥 + 𝑏𝐸(𝑕 𝑥 )
Bukti :
Misalkan V variable acak kontinu, maka :
𝐸 𝑎 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑏𝑕 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑏𝑕 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑅
= 𝑎 ∙ 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑅
+ 𝑏𝑕 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑅
= 𝑎 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑅
+ 𝑏 𝑕 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑅
= 𝑎𝐸 𝑔 𝑥 + 𝑏𝐸(𝑕 𝑥 )
Secara khusus,
𝐸 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑥 + 𝐸(𝑏)
𝐸 𝑏 = 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑅
= 𝐸 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑅
= 1

12. Page 11
7. Momen
Momen ke k disekitar a dari variable random X didefenisikan oleh :
𝜇 𝑘 = 𝐸[ 𝑋 − 𝑎 𝑘
]
=
𝑥 − 𝑎 𝑘
. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,
∞
−∞
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢
𝑥 − 𝑎 𝑘
. 𝑓 𝑥 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡
𝑥
Berdasarkan defenisi momen diatas berarti momen ke k disekitar 0 khusus untuk
k=1 adalah 𝜇 = 𝐸(𝑋) yang disebut juga mean dari variable random X atau
disingkat dengan mean X.
8. Varian
Varian dari variable acak X didefenisikan sebagai 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑉 𝑥 =
𝜎2
𝑥 = 𝐸(𝑥 − 𝐸 𝑥 )2
, 𝜎 > 0, dengan 𝐸 𝑥 = 𝜇
Atau 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑥 − 𝜇 2
𝑓 𝑥 , variabel acak diskrit
Atau 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑥 − 𝛽 2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥,𝑅
variabel acak kontinu
Teorema :
Jika X variable acak kontinu, maka 𝑣 𝑥 = 𝐸 𝑥2
− 𝜇2
Bukti :
𝑉 𝑥 = 𝑥 − 𝜇 2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑅
= 𝐸 𝑥2
− 𝜇2
= 𝐸 𝑥2
− 2𝑥𝜇 + 𝜇 2
= 𝐸 𝑥2
− 2𝜇𝐸 𝑥 + 𝐸(𝜇2
)
= 𝐸(𝑥)2
− 2𝜇 ∙ 𝜇 + 𝜇2
𝑉 𝑥 = 𝐸(𝑥)2
− 𝜇2
9. Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
Fungsi pembangkit momen sering disingkat dengan MGF (Moment Generating
Function). MGF dari variable random X, notasinya 𝑀𝑥 (𝑡) dan didefenisikan oleh :

13. Page 12
𝑀𝑥 𝑡 = 𝐸(𝑒 𝑡𝑋
)
=
𝑒 𝑡𝑋
. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,
∞
−∞
𝑋 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢
𝑒 𝑡𝑋
. 𝑓 𝑥 ,
𝑥
𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡
Contoh :
Jika X suatu variable random dengan pdf 𝑓 𝑥 = 𝑒 − 𝑥; 𝑥 > 0, maka MGF X
adalah :
𝑀𝑥 𝑡 = 𝐸(𝑒 𝑡𝑋
)
= 𝑒 𝑡𝑋
∞
0
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑡𝑋
𝑒−𝑥
𝑑𝑥
∞
0
= 𝑒 𝑡−1 𝑥
𝑑𝑥
∞
0
=
1
𝑡 − 1
𝑒 𝑡−1 𝑥
∞
0
=
1
𝑡 − 1
𝑒− 1−𝑡 𝑥
∞
0
=
1
𝑡 − 1
(0 − 1)
= (1 − 𝑡)−1
10.Fungsi Pembangkit Momen Faktorial
Fungsi pembangkit momen factorial sering disingkat dengan FMGF (Faktorial
Momen Generating Function). FMGF dari variable random X, notasinya 𝐺𝑥 (𝑡) dan
didefenisikan oleh :
𝐺𝑥 𝑡 = 𝐸[𝑡 𝑥
]
=
𝑡 𝑥
. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,
∞
−∞
𝑋 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢
𝑡 𝑥
. 𝑓 𝑥 ,
𝑥
𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡

14. Page 13
Hubungan antara MGF dengan FMGF adalah
𝐺𝑥 𝑡 = 𝐸(𝑡 𝑥
)
= 𝐸(𝑒ln 𝑡 𝑥
)
= 𝐸(𝑒 𝑥 ln 𝑡
)
= 𝑀𝑥 (ln 𝑡)

15. Page 14
BAB II
PENUTUP
1. Kesimpulan
Variabel acak adalah deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel acak
biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil
percobaan. Variabel acak dapat dikelompokkan menjadi dua yaitu variabel acak
diskrit dan variabel acak kontinu. Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang
tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang
hanya memiliki nilai tertentu. Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang
mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat
memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Di dalam variabel acak terdapat
fungsi padat peluang (PDF), fungsi distribusi kumulatif (CDF), fungsi pembangkit
momen (MGF), variansi, ekspektasi dan nilai harapan.
2. Saran
Penulis menyadari tentang penyusunan makalah, tentu masih banyak
kesalahan dan kekurangannya, karena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya
rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini. Penulis
banyak berharap para pembaca yang budiman sudi kiranya memberikan kritik dan
saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan
penulisan makalah di kesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini
berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada
umumnya.

16. Page 15
DAFTAR PUSTAKA
Amry, Zul.2011.Statistika Matematika.Medan: UNIMED PRESS
Defila, Februl.2012.Statistika Matematika I.Sumatera Barat: STKIP PGRI
http://dedenstatistics.blogspot.com/2012/12/variabel-acak-random-variable.html
diakses pada 1 Juni 2015