Dokumen tersebut membahas tentang variabel random dan distribusi teoretis. Secara singkat, variabel random dibedakan menjadi diskrit dan kontinu, sedangkan distribusi teoretis dibedakan menjadi diskrit dan kontinu berdasarkan jenis variabel randomnya. Distribusi teoretis memberikan daftar probabilitas terjadinya nilai-nilai variabel random.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Dokumen tersebut membahas tentang ekspansi kofaktor dan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Definisi ekspansi kofaktor menjelaskan cara menghitung determinan matriks dengan mengalikan entri baris/kolom dengan kofaktornya. Aturan Cramer menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier dengan determinan matriks tidak nol adalah rasio antara determinan matriks dan determinan matriks yang kolomnya diganti dengan vektor
Probstat ekpektasi matematika (kelompok2)Dila Nurlaila
Bab 4 membahas konsep ekspektasi matematika, varians, dan kovarians variabel acak, serta hubungannya dengan kombinasi linier variabel acak. Teorema Chebyshev menyatakan probabilitas variabel acak berada dalam k kali standar deviasi dari rata-rata. Parameter-parameter statistik ini penting dalam memahami sifat distribusi probabilitas.
Dokumen tersebut membahas relasi rekursif dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan persamaan karakteristik dan teorema-teorema yang terkait. Secara singkat, relasi rekursif adalah persamaan yang menyatakan suatu deret bilangan dalam bentuk deret sebelumnya, dan dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Dokumen tersebut membahas tentang ekspansi kofaktor dan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Definisi ekspansi kofaktor menjelaskan cara menghitung determinan matriks dengan mengalikan entri baris/kolom dengan kofaktornya. Aturan Cramer menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier dengan determinan matriks tidak nol adalah rasio antara determinan matriks dan determinan matriks yang kolomnya diganti dengan vektor
Probstat ekpektasi matematika (kelompok2)Dila Nurlaila
Bab 4 membahas konsep ekspektasi matematika, varians, dan kovarians variabel acak, serta hubungannya dengan kombinasi linier variabel acak. Teorema Chebyshev menyatakan probabilitas variabel acak berada dalam k kali standar deviasi dari rata-rata. Parameter-parameter statistik ini penting dalam memahami sifat distribusi probabilitas.
Dokumen tersebut membahas relasi rekursif dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan persamaan karakteristik dan teorema-teorema yang terkait. Secara singkat, relasi rekursif adalah persamaan yang menyatakan suatu deret bilangan dalam bentuk deret sebelumnya, dan dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep statistika dasar seperti peubah acak, distribusi peluang diskret dan kontinyu, serta distribusi peluang gabungan. Termasuk contoh soal untuk memahami penerapannya.
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Metode numerik pertemuan 7 (interpolasi lagrange)Nerossi Jonathan
Dokumen ini membahas metode interpolasi polinomial Lagrange untuk memperkirakan nilai fungsi. Metode ini diterapkan untuk memperkirakan nilai ln 2 dengan data yang diberikan menggunakan polinomial Lagrange order satu dan dua. Kemudian, nilai f(x) diperkirakan pada titik x = 8 menggunakan polinomial Lagrange order tiga dengan data yang diberikan.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat determinan matriks. Beberapa sifat penting yang dijelaskan adalah nilai determinan bernilai nol jika terdapat baris atau kolom yang berisi semua nol, nilai determinan tidak berubah jika baris dan kolom dipertukarkan, dan determinan hasil kali matriks sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks. Diberikan juga contoh soal untuk menghitung nilai determinan beber
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang silabus mata kuliah Aljabar Linear yang mencakup bab-bab seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linear beserta contoh soalnya.
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah. Proposisi dapat dikombinasikan menggunakan operator logika seperti dan, atau, dan tidak. Proposisi dapat dibedakan berdasarkan bentuk, sifat, kualitas, dan kuantitasnya.
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga pada berbagai koordinat ruang dan contoh-contoh perhitungannya. Terdapat penjelasan mengenai integral lipat tiga pada koordinat Kartesius, tabung, dan bola serta penggantian variabel dan contoh perhitungannya.
Makalah STATISTIK MAEMATIKA II VARIABEL RANDOMNila Aulia
Variabel random dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel random dapat berupa diskrit atau kontinu, tergantung nilai-nilainya. Makalah ini membahas tentang fungsi peluang, pdf, CDF, nilai harapan, varian, dan MGF untuk variabel random diskrit dan kontinu.
Dokumen tersebut membahas pengertian distribusi hipergeometrik, yang merupakan distribusi probabilitas diskrit untuk sampel yang diambil tanpa pengembalian dari populasi yang terdiri dari beberapa kategori. Rumus distribusi hipergeometrik dan perbedaannya dengan distribusi binomial juga dijelaskan, beserta contoh soal dan penyelesaiannya.
Konsep dasar pendugaan parameter membahas tentang cara menduga parameter populasi yang belum diketahui berdasarkan contoh acak. Terdapat beberapa parameter yang dapat diduga seperti rata-rata, proporsi, dan simpangan baku. Penduga yang baik memiliki sifat tak bias, efisien, kecukupan, dan konsisten. Beberapa cara menduga parameter antara lain menggunakan titik taksiran dan interval taksiran.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas dan statistika. Secara singkat, dokumen tersebut menjelaskan:
1) Konsep distribusi probabilitas dari suatu variabel acak berdasarkan ruang sampel dan nilai-nilai variabel acaknya.
2) Cara menentukan fungsi distribusi probabilitas dan kumulatif dari suatu variabel acak.
3) Pengertian dan rumus harapan matematis sebagai ukuran rata-rata dari suatu variabel
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep statistika dasar seperti peubah acak, distribusi peluang diskret dan kontinyu, serta distribusi peluang gabungan. Termasuk contoh soal untuk memahami penerapannya.
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Metode numerik pertemuan 7 (interpolasi lagrange)Nerossi Jonathan
Dokumen ini membahas metode interpolasi polinomial Lagrange untuk memperkirakan nilai fungsi. Metode ini diterapkan untuk memperkirakan nilai ln 2 dengan data yang diberikan menggunakan polinomial Lagrange order satu dan dua. Kemudian, nilai f(x) diperkirakan pada titik x = 8 menggunakan polinomial Lagrange order tiga dengan data yang diberikan.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat determinan matriks. Beberapa sifat penting yang dijelaskan adalah nilai determinan bernilai nol jika terdapat baris atau kolom yang berisi semua nol, nilai determinan tidak berubah jika baris dan kolom dipertukarkan, dan determinan hasil kali matriks sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks. Diberikan juga contoh soal untuk menghitung nilai determinan beber
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang silabus mata kuliah Aljabar Linear yang mencakup bab-bab seperti matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linear beserta contoh soalnya.
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah. Proposisi dapat dikombinasikan menggunakan operator logika seperti dan, atau, dan tidak. Proposisi dapat dibedakan berdasarkan bentuk, sifat, kualitas, dan kuantitasnya.
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga pada berbagai koordinat ruang dan contoh-contoh perhitungannya. Terdapat penjelasan mengenai integral lipat tiga pada koordinat Kartesius, tabung, dan bola serta penggantian variabel dan contoh perhitungannya.
Makalah STATISTIK MAEMATIKA II VARIABEL RANDOMNila Aulia
Variabel random dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel random dapat berupa diskrit atau kontinu, tergantung nilai-nilainya. Makalah ini membahas tentang fungsi peluang, pdf, CDF, nilai harapan, varian, dan MGF untuk variabel random diskrit dan kontinu.
Dokumen tersebut membahas pengertian distribusi hipergeometrik, yang merupakan distribusi probabilitas diskrit untuk sampel yang diambil tanpa pengembalian dari populasi yang terdiri dari beberapa kategori. Rumus distribusi hipergeometrik dan perbedaannya dengan distribusi binomial juga dijelaskan, beserta contoh soal dan penyelesaiannya.
Konsep dasar pendugaan parameter membahas tentang cara menduga parameter populasi yang belum diketahui berdasarkan contoh acak. Terdapat beberapa parameter yang dapat diduga seperti rata-rata, proporsi, dan simpangan baku. Penduga yang baik memiliki sifat tak bias, efisien, kecukupan, dan konsisten. Beberapa cara menduga parameter antara lain menggunakan titik taksiran dan interval taksiran.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas dan statistika. Secara singkat, dokumen tersebut menjelaskan:
1) Konsep distribusi probabilitas dari suatu variabel acak berdasarkan ruang sampel dan nilai-nilai variabel acaknya.
2) Cara menentukan fungsi distribusi probabilitas dan kumulatif dari suatu variabel acak.
3) Pengertian dan rumus harapan matematis sebagai ukuran rata-rata dari suatu variabel
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution (2)Rani Nooraeni
Data ramus bone tersebut tidak mengandung outlier berdasarkan analisis standarisasi dan jarak kuadrat. Semua nilai zjk dan dj2 berada dalam kisaran yang diizinkan untuk distribusi normal multivariate.
Dokumen tersebut membahas tentang variabel acak, distribusi probabilitas, dan konsep-konsep terkait seperti nilai harapan, varians, kovarians, serta portofolio return dan risiko. Variabel acak dibedakan menjadi diskrit dan kontinu, dan distribusi probabilitas masing-masing dijelaskan melalui fungsi probabilitas dan fungsi kepadatan probabilitas. Konsep nilai harapan, varians, dan kovarians diterapkan untuk mengukur karakteristik
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)Rani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas tentang sample geometry dan random sampling. Secara ringkas, dokumen menjelaskan tentang diagram p-dimensi dan n-dimensi untuk mewakili data sampel, serta menghitung nilai rata-rata vektor dan dekomposisi vektor menjadi komponen rata-rata dan deviasi. Dokumen juga membahas mengenai nilai ekspektasi dari sample mean dan covarians matriks, serta generalized variance untuk mewakili variasi data pada lebih d
Makalah ini membahas tentang transformasi variabel acak dan distribusinya. Terdapat beberapa metode untuk menemukan distribusi variabel acak yang ditransformasi, yaitu metode fungsi distribusi, metode transformasi, metode konvolusi, dan metode fungsi pembangkit momen. Metode transformasi dijelaskan sebagai metode yang paling berguna untuk menemukan fungsi kepadatan variabel acak yang ditransformasi dengan mengetahui fungsi kepadatan variabel acak aslinya.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi pernyataan, kuantor universal dan kuantor eksistensial, premis dan argumen, serta contoh-contoh penarikan kesimpulan logika melalui modus ponen, modus tolens, silogisme, dilema konstruktif, dan dilema destruktif.
Dokumen tersebut membahas lima jenis kata hubung kalimat dalam logika matematika yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, dan bikondisional beserta contoh-contoh dan tabel kebenaran masing-masing.
Logika Matematika, Proposisi Majemuk, TautologiEman Mendrofa
Salah satu materi perkuliahan prodi pendidikan matematika mata kuliah teori himpunan dan logika matematika - Logika Matematika, Proposisi Majemuk, Tautologi
Lebih lengkap:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/04/logika-matematika.html
Salah satu materi perkuliahan prodi pendidikan matematika mata kuliah teori himpunan dan logika matematika - Diagram Venn, Contoh Soal mengenai Diagram Venn
Salah satu materi perkuliahan prodi pendidikan matematika mata kuliah teori himpunan dan logika matematika - Kardinalitas, definisi kardinalitas, himpunan kuasa, operasi relasi dua himpunan, himpunan bagian
Pengertian dan Cara Menyatakan HimpunanEman Mendrofa
Dokumen tersebut menjelaskan pengertian himpunan dalam matematika dan berbagai cara untuk mendefinisikan himpunan, seperti dengan deskripsi, enumerasi, metode bersyarat, dan simbol standar. Juga dibahas tentang diagram Venn, himpunan kosong, himpunan hingga dan tak hingga.
Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Logaritma, Sifat-sifat Logaritma, Persamaan Logaritma
Lebih lengkap:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/06/persamaan-dan-sifat-logaritma.html
Persamaan eksponen adalah persamaan yang memuat variabel pada bilangan pokok atau pangkatnya. Terdapat beberapa sifat yang berlaku pada persamaan eksponen seperti penjumlahan dan pengurangan pangkat, perkalian dan pembagian bilangan berpangkat, serta penentuan himpunan penyelesaian berdasarkan bentuk persamaan eksponen tertentu.
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai MutlakEman Mendrofa
Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak.
Baca selengkapnya:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/10/persamaan-nilai-mutlak.html
Dokumen tersebut menjelaskan tentang bentuk umum dan cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat umumnya ditulis dalam bentuk ax^2 + bx + c = 0 dan dapat diselesaikan menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear tiga variabel dan berbagai metode penyelesaiannya, yaitu metode eliminasi, substitusi, campuran, determinan, dan invers matriks. Diberikan contoh soal dan penyelesaiannya menggunakan berbagai metode di atas, yang menunjukkan bahwa hasilnya akan sama walaupun menggunakan metode yang berbeda.
Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Deret Geometri Tak Hingga
Lebih lengkap:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/05/deret-geometri-tak-hingga.html
2. Variabel Random
Variabel random atau variabel acak adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh
kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam suatu ruang
sampel. Misalnya, pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali maka munculnya angka 1
sebanyak 0, 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 kali merupakan suatu kesempatan.
Variabel random ada dua yaitu:
1. Variabel random diskrit
2. Variabel random kontinu
3. Variabel random diskrit adalah variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada
dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan
bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel random diskrit jika digambarkan
pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.
0 1 2 3 4 5 6
4. Jika nilai yang mungkin dari variabel random X, yaitu himpunan hasil pemetaan adalah R,
berhingga atau tak berhingga, tetapi terbilang (himpunan terbilang adalah himpunan yang
semua anggotanya dapat disebut satu per satu) maka X disebut suatu variabel random diskrit.
Dengan demikian, X dapat mengambil nilai dari:
x1, x2, x3, . . ., xn atau
x1, x2, x3, . . ., xn, xn+1 dengan x ∈ 𝑅
5. Variabel random kontinu adalah variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada
dalam sebuah interval. Variabel random kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval,
akan berupa sederetan titik yang bersambung membentuk suatu garis lurus sebagai berikut.
Nilai variabel random kontinu dapat terjadi di mana pun dalam interval itu.
0 6
6. Jika nilai yang mungkin dari variabel random X (hasil dari X) merupakan semua nilai dalam
suatu interval atau benyaknya hasil pemetaan tak terbilang, maka X disebut variabel random
kontinu. Misal, daerah hasil dari variabel random kontinu X adalah:
Rx = X : 0 ≤ x ≤ 1, x bilangan real atau
Rx = Y : − ~ ≤ y ≤ ~, y bilangan real
7. Distribusi Teoretis atau distribusi probabilitas teoretis adalah suatu daftar yang
disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa-peristiwa bersangkutan.
Frekuensi dari distribusi itu diperoleh melalui perhitungan-perhitungan, karena itu
distribusi teoretis dapat pula diartikan sebagai distribusi yang frekuensinya
diperoleh secara matematis (perhitungan).
8. Sebuah mata uang logam dengan permukaan I = A dan permukaan II = B dilemparkan ke atas
sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoretisnya dan gambarkan grafiknya!
Penyelesaian:
Dari pelemparan tersebut akan diperoleh ruang sampel dengan anggota sebanyak 8 (n = 8),
yaitu:
S = {AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB}
9. Jika X merupakan jumlah munculnya permukaan I (A) maka:
1. untuk AAA, didapat X = 3
2. untuk AAB, didapat X = 2
3. untuk ABA, didapat X = 2
4. untuk ABB, didapat X = 1
5. untuk BAA, didapat X = 2
6. untuk BAB, didapat X = 1
7. untuk BBA, didapat X = 1
8. untuk BBB, didapat X = 0
Dengan demikian: X = {0, 1, 2, 3} dimana n(S) = 8, n(0) = 1, n(1) = 3, n(2) = 3, dan n(3) = 1
10. Jika setiap nilai X dicari nilai probabilitasnya, maka distribusi teoretisnya adalah sebagai
berikut.
Untuk X = 0, maka P(X) =
n(0)
n(S)
=
1
8
= 0,125
Untuk X = 1, maka P(X) =
n(1)
n(S)
=
3
8
= 0,375
Untuk X = 2, maka P(X) =
n(2)
n(S)
=
3
8
= 0,375
Untuk X = 3, maka P(X) =
n(3)
n(S)
=
1
8
= 0,125
12. Distribusi teoretis, berdasarkan bentuk variabelnya, dibedakan atas dua jenis yaitu distribusi teoretis
diskrit dan distribusi teoretis kontinu.
a. Distribusi teoretis diskrit
Distribusi teoretis diskrit adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random diskrit
dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut.
Distribusi yang tergolong ke dalam distribusi teoretis diskrit antara lain:
1. Distribusi binomial,
2. Distribusi hipergeometrik, dan
3. Distribusi Poisson
13. Misalkan X adalah variabel random diskrit dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan
merupakan fungsi probabilitas atau distribusi dari variabel random diskrit (distribusi teoretis
diskrit) jika memenuhi syarat:
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0, x ∈ R
2. 𝑓 𝑥𝑖 = 1
3. P X = 𝑥 = 𝑓 𝑥
14. 1. Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak diambil 3 bola.
Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang
terambil.
2. Sekeping uang logam diberi timbangan sedemikian rupa sehingga probabilitas munculnya
sisi G dua kali dari munculnya sisi A. Apabila uang logam dilemparkan 3 kali, buatlah
distribusi probabilitas munculnya sisi G.
15. 1. Jumlah titik sampelnya adalah:
C3
6
=
6!
3! 6 − 3 !
=
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6
1 × 2 × 3 1 × 2 × 3
=
120
6
= 20 titik sampel
Banyaknya cara mendapatkan bola kuning adalah Cx
2
Banyaknya cara mendapatkan bola biru adalah C3 − x
4
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan:
P X = 𝑥 = 𝑓 𝑥 =
Cx
2
C3 − x
4
C3
6
, 𝑥 = 0, 1, 2
16. Untuk X = 0
P X = 0 =
C0
2
C3 − 0
4
C3
6
=
1 × 4
20
= 0,2
Untuk X = 1
P X = 1 =
C1
2
C3 − 1
4
C3
6
=
2 × 6
20
= 0,6
Untuk X = 2
P X = 2 =
C2
2
C3 − 2
4
C3
6
=
1 × 4
20
= 0,2
18. 2. Dari pelemparan 3 kali mata uang logam tersebut didapatkan 8 titik sampel yaitu:
S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}
Misalkan X adalah banyaknya sisi G yang muncul.
Untuk X = 0 (AAA)
P X = 0 = 1
1
3
×
1
3
×
1
3
=
1
27
= 0,04
Untuk X = 1 (AAG, AGA, GAA)
P X = 1 = 3
2
3
×
1
3
×
1
3
= 3
2
27
=
6
27
= 0,22
Untuk X = 2 (GGA, GAG, AGG)
P X = 2 = 3
2
3
×
2
3
×
1
3
= 3
4
27
=
12
27
= 0,44
19. Untuk X = 3 (GGG)
P X = 3 = 1
2
3
×
2
3
×
2
3
=
8
27
= 0,3
Distribusi probabilitasnya adalah:
X 0 1 2 3
P(X) 0,04 0,22 0,44 0,3
20. b. Distribusi teoretis kontinu
Distribusi teoretis kontinu adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel
random kontinu dengan probabilitas terjadinya masinh-masing nilai tersebut. Misalkan X
adalah variabel random kontinu dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan merupakan
fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas variabel random kontinu X, jika memenuhi
syarat:
a) 𝑓(𝑥) ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥
b) −~
~
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
c) 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
21. Distribusi probabilitas dari variabel random kontinu disebut juga densitas atau fungsi
densitas (fungsi kepadatan) dari variabel random tersebut.
Distribusi yang tergolong ke dalam distribusi teoretis kontinu, antara lain:
1. Distribusi normal,
2. Distribusi 𝜒2
3. Distribusi F, dan
4. Distribusi t.
22. Suatu variabel random kontinu X yang memiliki nilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi densitas
yang dinyatakan oleh
𝑓 𝑥 =
2 1 + 𝑥
21
Tentukan nilai P(X < 2)!
𝑃 𝑋 < 2 = 𝑃 1 < 𝑋 < 2
=
1
2
2 1 + 𝑥
21
𝑑𝑥 =
1
21
2𝑥 + 𝑥2
1
2
=
5
21
23. Nilai harapan atau harapan matematika dari distribusi teoretis sebenarnya adalah nilai rata-
rata hitung tertimbang jangka panjang dari distribusi teoretis itu, disimbolkan E(X) atau μ.
Misalkan X adalah suatu variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) atau P(X = x)
maka nilai harapannya atau rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut.
1. untuk distribusi probabilitas diskrit
𝐸 𝑋 = 𝜇 = 𝑥 . 𝑓(𝑥) atau
𝐸 𝑋 = 𝜇 = (𝑥 . 𝑃(𝑥))
24. 2. untuk distribusi probabilitas kontinu
𝐸 𝑋 = 𝜇 =
−~
~
𝑥 . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Sekelompok ahli sebuah perusahaan terdiri atas 4 orang ahli manajemen dan 3 orang ahli
akuntansi. Akan dibentuk suatu komisi yang terdiri atas 3 orang (komisi tiga). Jika anggota
komisi tiga diambil secara acak dari ke-7 ahli tersebut, tentukan nilai harapan banyaknya ahli
manajemen yang dapat duduk dalam komisi tiga tersebut!
25. Misalkan X adalah banyaknya ahli manajemen dalam komisi tiga maka variabel random X
dapat memiliki nilai 0, 1, 2, 3. Distribusi probabilitas dari variabel X dapat dihitung dengan
menggunakan pendekatan kombinasi.
𝑓 𝑥 =
Cx
4
C3 − x
3
C3
7
, 𝑥 = 0, 1, 2, 3
Untuk X = 0
P 0 =
C0
4
C3 − 0
3
C3
7
=
1
35
26. Untuk X = 1
P 1 =
C1
4
C3 − 1
3
C3
7
=
12
35
Untuk X = 2
P 2 =
C2
4
C3 − 2
3
C3
7
=
18
35
Untuk X = 3
P 3 =
C3
4
C3 − 3
3
C3
7
=
4
35
28. Dari hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa andaikan komisi tiga itu dibentuk berulang-ulang
maka diharapkan banyaknya ahli manajemen dalam setiap komisi yang terbentuk adalah 1,7
atau 2 orang (sebagai pendekatan)
29. Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku (deviasi standar)
dari distribusi teoretis atau distribusi probabilitas (variabel random X) dapat dihitung, yaitu:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋
2
atau
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 = 𝑥 − 𝜇 2 × 𝑃 𝑋
𝜎 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋
30. Misalkan variabel random X memiliki distribusi probabilitas sebagai berikut:
Tentukan Var (X) dan simpangan bakunya.
X 0 1 2 3
f(X)
𝟏
𝟐𝟕
𝟔
𝟐𝟕
𝟏𝟐
𝟐𝟕
𝟖
𝟐𝟕