Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas yang mencakup ruang sampel dan variabel acak, distribusi empiris dan teoritis, fungsi probabilitas seperti probability mass function, probability density function, dan cumulative distribution function, serta proses stokastik seperti proses Bernoulli dan proses Poisson."

1. DISTRIBUSI PROBABILITAS :
Variabel Diskrit
ARIF RAHMAN
1

2. Ruang Sampel dan Variabel Acak
Ruang sampel (sample space) adalah satu
set lengkap semua keluaran yang mungkin
terjadi dalam populasi.
Variabel acak (random variable) adalah
suatu nilai bersifat acak dalam numerik
(format angka diskrit atau kontinyu) atau
nonnumerik yang menandai keluaran dalam
ruang sampel tertentu (finite atau infinite).
2

3. Distribusi
Distribusi adalah sebaran variabel acak X
dalam ruang sampel S dengan rentang R
yang mempunyai karakteristik unik
(parameter atau statistik) dalam interval
tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi
probabilitas yang spesifik.
3

4. Distribusi Empiris dan Teoritis
Distribusi empiris (empirical distribution)
adalah distribusi sebaran data aktual dari
observasi atau eksperimen dengan
pengelompokan dalam distribusi frekuensi.
Distribusi teoritis (theoretical distribution)
adalah distribusi sebaran variabel acak
dalam rentang tertentu yang mengikuti
fungsi probabilitasnya.
4

5. Fungsi Probabilitas
Fungsi probabilitas menunjukkan tingkat
frekuensi relatif dari variabel acak X bernilai
diskrit atau luasan frekuensi relatif dari
interval variabel acak X bernilai kontinyu.
5

6. Fungsi Probabilitas
Probability Mass Function, p(x)
Probability Density Function, f(x)
Cumulative Distribution Function, F(x)
Expectation, E(xn
)
Variance, V(x)
Moment, mr(x)
Moment Generating Function , Mr(x)
6

7. Probability Mass Function
Fungsi massa probabilitas (probability
mass function) adalah fungsi yang
memberikan penaksiran probabilitas dari
variabel acak diskrit pada nilai tertentu.
 Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai
probabilitas P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di
mana nilai p(x) memenuhi :
 p(x)>0 untuk seluruh x∈R
 Σ p(x) = 1
7

8. Probability Density Function
Fungsi kepadatan probabilitas
(probability density function) adalah fungsi
yang memberikan penaksiran probabilitas
dari variabel acak kontinyu dalam interval
tertentu.
 Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran
nilai probabilitas P(a<X<b)=a∫b
f(x)dx untuk setiap interval X
dalam rentang R di mana nilai f(x) memenuhi :
 f(x)>0 untuk seluruh x∈R
 ∫ f(x) dx = 1
8

9. Cumulative Distribution Function
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative
distribution function) adalah fungsi yang
memberikan penaksiran probabilitas
kumulatif dari variabel acak diskrit atau
kontinyu hingga nilai tertentu.
 Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai
probabilitas P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam
rentang R di mana nilai F(x) memenuhi :
 F(x) = Σb
p(x) untuk variabel acak diskrit x∈R
 F(x) = -∞∫b
f(x) dx untuk variabel acak kontinyu x∈R
9

10. Expectation
Nilai ekspektasi (expectation) adalah
sebuah nilai harapan dari sebuah fungsi
terhadap fungsi probabilitas variabel
acaknya.
 Jika X adalah sebuah variabel acak, dan g(x) adalah fungsi
dari X, maka nilai ekspektasi dari g(x) didefinisikan sebagai
berikut :
 E((g(x)) = Σ g(x).p(x) untuk variabel acak diskrit x∈R
 E((g(x)) = ∫ g(x).f(x) dxuntuk variabel acak kontinyu x∈R
10
µ== xxE )(

11. Variance
Variansi (variance) adalah nilai ekspektasi
fungsi kuadrat deviasi variabel acak X
dengan rata-ratanya terhadap fungsi
distribusi probabilitasnya.
11
RxdxxfxxxV
RxxpxxxV
∈−=
∈−=
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.)()(
diskritacakabeluntuk vari)(.)()(
2
0
2
( )
( )22
2
22
)()(
)(
)(
xExE
xxE
xVs
−=
−=
==σ

12. Moment
Momen origin (moment about the origin
atau raw moment) adalah nilai ekspektasi
fungsi deviasi variabel acak X dengan titik
origin (nol, 0) dalam orde ke-r terhadap
fungsi distribusi probabilitasnya.
12
( )r
rr xEm == ''µ
Rxdxxfxm
Rxxpxm
r
rr
r
rr
∈==
∈==
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.''
diskritacakabeluntuk vari)(.''
0
µ
µ

13. Moment
Momen pusat (central moment) adalah
nilai ekspektasi fungsi deviasi variabel acak
X dengan nilai rata-rata dalam orde ke-r
terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.
13
( )r
rr xxEm )( −==µ
Rxdxxfxxm
Rxxpxxm
r
rr
r
rr
∈−==
∈−==
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.)(
diskritacakabeluntuk vari)(.)(
0
µ
µ

14. Moment Generating Function
Fungsi pembangkitan momen (moment
generating function) adalah nilai ekspektasi
fungsi eksponensial variabel t dan variabel
acak X dengan nilai rata-rata terhadap
fungsi distribusi probabilitasnya.
14
( )xt
eEtM .
)( =
RxdxxfetM
RxxpetM
xt
xt
∈=
∈=
∫
∑
∞
∞−
∞
kontinyuacakabeluntuk vari)(.)(
diskritacakabeluntuk vari)(.)(
.
0
.

15. Moment Generating Function
Hubungan antara Fungsi pembangkitan
momen (moment generating function)
dengan momen origin (moment about the
origin) ditunjukkan dengan fungsi derivatif.
15
r
t
r
r
dt
tMd
'
)(
0
µ=
=

16. Distribusi Diskrit
Hubungan antara p(x) dengan F(x)
16
RxF
xpxXPxF
xX
rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi
)()()(
0
=
=≤= ∑≤≤
p(x) F(x)

17. Distribusi Kontinyu
Hubungan antara f(x) dengan F(x)
17
RxF
dxxfxXPxF
xX
rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi
)()()(
=
=≤= ∫ ≤≤∞−
f(x) F(x)

18. Proses Stokastik dan Eksperimen Acak
Proses stokastik (stochastic process)
adalah proses dengan keluaran sekumpulan
variabel acak X={X(t), t∈T}, yang terdistribusi acak
pada saat t dalam rentang continuum T.
Eksperimen acak (random experiment)
adalah eksperimentasi yang menghasilkan
keluaran yang berbeda, meskipun dilakukan
perulangan dengan rancangan kondisi
eksperimentasi yang sama.
18

19. Proses Stokastik
Variabel acak diskrit dalam perubahan
waktu diskrit
Variabel acak kontinyu dalam perubahan
waktu diskrit
Variabel acak diskrit dalam perubahan
waktu kontinyu
Variabel acak kontinyu dalam perubahan
waktu kontinyu
19

20. Proses Stokastik
20

21. Proses Stokastik
Random point processes, Counting processes,
Branching processes, Intensity processes,
Cumulative (accumulator) processes, Moving
average processes, Bernoulli processes, Birth-death
processes, Brownian motion (Wiener) processes,
Brownian bridge processes, Gaussian processes,
Mark point processes, Markov processes,
Martingale processes, Ornstein-Uhlenbeck
processes, Poisson processes, Queueing
processes, Random walk processes, Renewal
processes, White noise processes, Yule processes
21

22. Bernoulli Processes
Proses Bernoulli (Bernoulli process)
adalah proses eksperimentasi yang melakukan
percobaan Bernoulli sebanyak n kali dan setiap
percobaan tersebut bebas (independent) dengan
peluang sukses p.
Percobaan Bernoulli (Bernoulli trials)
merupakan percobaan tunggal yang mempunyai
keluaran dikotomi atau 2 nilai mutually exclusive
yang mungkin terjadi, yaitu sukses dan gagal.
22

23. Bernoulli Processes
Properti dari proses Bernoulli :
 X(t)∈{0,1} , di mana 0 menotasikan gagal dan 1
menotasikan sukses.
 Setiap kejadian bersifat independent.
 Kejadian gagal dan sukses mutually exclusive.
(x=0)∩(x=1)=∅
 Probabilitas sukses sebesar p dan probabilitas
gagal sebesar q=1-p.
P(x=1) = p dan P(x=0) = 1-p
23

24. Percobaan Bernoulli
24
-1 -1 -1
N-n+2 N-n+1N-n+3N N-1 N-2
-1 -1 -1
p1(x) ≠ p2(x) ≠ p3(x) ≠ ... ≠ pn-2(x) ≠ pn-1(x) ≠ pn(x)
-1 -1 -1
N NNN N N
-1 -1 -1
p1(x) = p2(x) = p3(x) = ... = pn-2(x) = pn-1(x) = pn(x)
Tanpa Pengembalian (without replacement)
Dengan Pengembalian (with replacement)

25. Proses Poisson
Proses Poisson (Poisson process) adalah
proses penghitungan (counting process)
banyaknya kejadian (N(t), t>0) hingga saat
t, dengan parameter laju kemunculan
kejadian λ (λ>0).
Macam proses Poisson: stationary
(homogeneous) Poisson process, nonstationary
(nonhomogeneous) Poisson process, generalized Poisson
process, compound Poisson process, filtered Poisson
process, doubly stochastic Poisson process.
25

26. Proses Poisson
Properti dari proses Poisson :
 X(t)=N(t), t>0
 N(0) = 0
 N(t) > 0, N(t)∈integer
 N(t) nondecreasing function. N(ti)<N(tj) jika ti<tj
 N(t) mempunyai independent increments, λ
 N(tj)-N(ti)=N(∆t), jika ti<tj dan ∆t=tj-ti
 N(∆t)∈{0,1} untuk ∆t sangat kecil.
P(N(∆t)=1)= λ.∆t+o(∆t) dan P(N(∆t)>2)= o(∆t)
26
( )
!
)(
)()(
n
t
ensNstNP
n
t λλ−
==−+

27. Distribusi Bernoulli
Distribusi Bernoulli menunjukkan sebaran
variabel acak dari percobaan Bernoulli
tunggal pada dua nilai keluaran, gagal (0)
dan sukses(1), X∈{0,1}, dengan probabilitas
sukses sebesar p.
Penerapan Distribusi Bernoulli antara lain
untuk menunjukkan kejadian acak dengan
dua keluaran, misalnya pelemparan koin.
27

28. Distribusi Bernoulli
 Parameter  p (probability of success)
 Probability Mass Function, p(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
28





=−
=
=
other
xp
xp
xp
0
0)1(
1
)(
p(x)
F(x)
0 1
(1-p)
p
(1-p)
p
1




≥
<≤−
<
=
11
10)1(
00
)(
x
xp
x
xF

29. Distribusi Bernoulli
Dinotasikan dengan Bernoulli(x;p)
Parameter  p
Mean
Variance
29
p=µ
)1(2
pp −=σ

30. Distribusi Discrete Uniform
Distribusi Discrete Uniform menunjukkan
sebaran variabel acak pada n buah nilai
keluaran berimbang (equally likely) dalam
rentang x1=a hingga xn=b, X∈{x1,x2,...,xn},
dengan probabilitas seragam sebesar 1
/n.
Penerapan Distribusi Discrete Uniform
antara lain untuk menunjukkan kejadian
acak dengan beberapa keluaran
berimbang, misalnya pelemparan dadu.
30

31. Distribusi Discrete Uniform
 Parameter  a (minimum) dan b (maximum)
 Probability Mass Function, p(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
31




+=
+−=
other
baax
abxp
0
,...,1,
1)(
1
)(
p(x)
F(x)






≥
<≤
+−
+−
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
1
1)(
1)(
0
)(

32. Distribusi Discrete Uniform
Dinotasikan dengan DU(x;p)
Parameter  a dan b
Mean
Variance
32
2
ba +
=µ
12
1)1( 2
2 −+−
=
ab
σ

33. Distribusi Binomial
Distribusi Binomial menunjukkan sebaran
variabel acak banyaknya sukses dari n
buah percobaan Bernoulli bebas dalam
rentang semua gagal (0) hingga semua
sukses (n), X∈{0,1,...,n}, dengan
probabilitas sukses setiap percobaan
sebesar p.
33

34. Distribusi Binomial
Variabel acak x menunjukkan banyaknya
sukses dari n percobaan. Karena gagal dan
sukses bersifat mutually exclusive, maka
banyaknya gagal ditunjukkan dengan (n-x).
Sehingga banyaknya susunan gagal-
sukses dalam n menggunakan permutasi
obyek sama.
34






⇒
− x
n
xnx
n
)!(!
!Permutasi obyek sama
(n-x) gagal dan x sukses
dalam n obyek
Kombinasi n obyek
diambil x

35. Distribusi Binomial
Penerapan Distribusi Binomial antara lain:
banyaknya kejadian sukses dari n kejadian
bebas, banyaknya cacat dalam batch
berukuran n, banyaknya item terpilih dalam
satu lot atau himpunan berisi n anggota,
banyaknya pembelian dengan persediaan n
unit, banyaknya jawaban yang benar dalam
n soal, banyaknya yang sembuh dari n
pasien.
35

36. Distribusi Binomial
 Parameter  p (probability of success) dan n (number of
trials)
 Probability Mass Function, p(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
36





=−





=
−
other
nxpp
x
n
xp
xnx
0
,...,1,0)1(
)(
p(x)
F(x)




≥
<
=
∑=
0)(
00
)(
0
xip
x
xF
x
i

37. Distribusi Binomial
Dinotasikan dengan BIN(x;n,p)
Parameter  p dan n
Mean
Variance
37
pn.=µ
)1(.2
ppn −=σ

38. 38

39. Distribusi Multinomial
Distribusi Multinomial menunjukkan
kumpulan variabel acak dari n buah
percobaan dengan k jenis keluaran
(x1,x2,...xk; Σxi=n) dalam rentang dari null
hingga n, Xi∈{0,1,...,n}, dengan probabilitas
setiap jenis keluaran p1, p2, ...,pk.
39






⇒
kk xxx
n
xxx
n
,...,,!!...!
!
2121
Permutasi obyek
sama k kelompok
dalam n obyek
Kombinasi partisi n
obyek dalam k kelompok

40. Distribusi Multinomial
Penerapan Distribusi Multinomial antara
lain: banyaknya kejadian di setiap keluaran
dari n kejadian bebas dengan peluang
banyak keluaran, misalnya banyaknya di
setiap keluaran (2,3,...,12) di n pelemparan
dua dadu, banyaknya yang dilayani di
setiap kasir dari k kasir pada n pembeli.
40

41. Distribusi Multinomial
 Parameter  p1,p2,...,pk (probability of i-th outcome) dan n
(number of trials)
 Probability Mass Function, p(x1,x2,...,xk)
Di mana
41





=∀





=
other
nxppp
xxx
n
xxxp
xk
k
xx
kk
0
,...,1,0
,...,,),...,,(
2
2
1
1
2121

nx
p
k
i
i
k
i
i
=
=
∑
∑
=
=
1
1
1

42. Distribusi Pascal atau Negative Binomial
Distribusi Negative Binomial atau Pascal
menunjukkan sebaran variabel acak yang
menyatakan banyaknya percobaan
Bernoulli yang dilakukan untuk
mendapatkan s sukses. Variabel acak
dalam rentang semua langsung didapat (s)
sampai tak hingga (∞), X∈{s,s+1,..., ∞}.
Probabilitas sukses setiap percobaan
sebesar p.
42

43. Distribusi Pascal atau Negative Binomial
Variabel acak x menunjukkan banyaknya
percobaan untuk mendapatkan s sukses. Karena
gagal dan sukses bersifat mutually exclusive,
maka banyaknya gagal ditunjukkan dengan (x-s).
Sukses ke-s menjadi penutup susunan (urutan
ke-x), sehingga banyaknya susunan gagal-sukses
menggunakan permutasi obyek sama.
43






−
−
⇒
−−
−
1
1
)!()!1(
)!1(
s
x
sxs
x
Permutasi obyek sama
(x-s) gagal dan s sukses
dalam x obyek dengan
sukses ke-s ada di akhir
Kombinasi (x-1) obyek
diambil (s-1)

44. Distribusi Pascal atau Negative Binomial
Penerapan Distribusi Pascal atau Negative
Binomial antara lain: banyaknya kejadian
bebas dengan s kejadian sukses,
banyaknya produksi (termasuk cacat) untuk
mendapatkan s produk baik, banyaknya
anggota himpunan yang terwakili s anggota,
banyaknya persediaan yang diperlukan
agar terjadi pembelian sebanyak s unit.
44

45. Distribusi Pascal atau Negative Binomial
 Parameter  p (probability of success) dan s (number of
succeeds)
 Probability Mass Function, p(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
45





∞+=−





−
−
=
−
other
ssxpp
s
x
xp
sxs
0
,...,1,)1(
1
1
)(
p(x)
F(x)




≥
<
=
∑=
sxip
sx
xF
x
si
)(
0
)(

46. Distribusi Pascal atau Negative Binomial
Dinotasikan dengan NEGBIN(x;s,p)
Parameter  p dan s
Mean
Variance
46
p
s
=µ
2
2 )1(
p
ps −
=σ

47. Distribusi Pascal atau Negative Binomial
Beberapa literatur lain menyatakan variabel acak
x menunjukkan banyaknya gagal sebelum
mendapatkan s sukses. Karena gagal dan sukses
bersifat mutually exclusive, maka banyaknya
percobaan Bernoulli ditunjukkan dengan (x+s).
Sukses ke-s menjadi penutup susunan (urutan
ke-x), sehingga banyaknya susunan gagal-sukses
menggunakan permutasi obyek sama.
47





 −+
⇒
−
−+
x
sx
xs
sx 1
!)!1(
)!1)((
Permutasi obyek sama
x gagal dan s sukses
dengan sukses ke-s
ada di akhir
Kombinasi (x+s-1)
obyek diambil x

48. Distribusi Pascal atau Negative Binomial
 Parameter  p (probability of success) dan s (number of
succeeds)
 Probability Mass Function, p(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
48





∞=−




 −+
=
other
xpp
x
xs
xp
xs
0
,...,1,0)1(
1
)(
p(x)
F(x)




≥
<
=
∑=
0)(
00
)(
0
xip
x
xF
x
i

49. Distribusi Pascal atau Negative Binomial
Dinotasikan dengan NEGBIN(x;s,p)
Parameter  p dan s
Mean
Variance
49
p
ps )1( −
=µ
2
2 )1(
p
ps −
=σ

50. Distribusi Geometric
Distribusi Geometric menunjukkan
sebaran variabel acak yang menyatakan
banyaknya percobaan Bernoulli yang
dilakukan untuk mendapatkan sukses
pertama. Variabel acak dalam rentang
pertama kali langsung didapat (1) sampai
tak hingga (∞), X∈{1,2,..., ∞}. Probabilitas
sukses setiap percobaan sebesar p.
50

51. Distribusi Geometric
Variabel acak x menunjukkan banyaknya
percobaan hingga mendapatkan sukses.
Karena gagal dan sukses bersifat mutually
exclusive, maka banyaknya gagal
ditunjukkan dengan (x-1). Sukses menjadi
penutup susunan (urutan ke-x).
51

52. Distribusi Geometric
Penerapan Distribusi Geometric antara lain:
banyaknya kejadian bebas hingga
mencapai kejadian sukses, banyaknya
produksi hingga cacat yang pertama,
banyaknya audisi hingga terpilih,
banyaknya penawaran penjualan hingga
terjadi pembelian.
52

53. Distribusi Geometric
 Parameter  p (probability of success)
 Probability Mass Function, p(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
53


 ∞=−
=
−
other
xpp
xp
x
0
,...,2,1)1.(
)(
1
p(x)
F(x)



≥−−
<
=
1)1(1
10
)(
xp
x
xF x

54. Distribusi Geometric
Dinotasikan dengan GEOM(x;p)
Parameter  p
Mean
Variance
54
p
1
=µ
2
2 )1(
p
p−
=σ

55. Distribusi Geometric
Beberapa literatur lain menyatakan variabel
acak x menunjukkan banyaknya gagal
sebelum mendapatkan sukses pertama kali.
Karena gagal dan sukses bersifat mutually
exclusive, maka banyaknya percobaan
Bernoulli ditunjukkan dengan (x+1). Sukses
menjadi penutup susunan (urutan ke-x).
55

56. Distribusi Geometric
 Parameter  p (probability of success)
 Probability Mass Function, p(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
56


 ∞=−
=
other
xpp
xp
x
0
,...,1,0)1.(
)(
p(x)
F(x)



≥−−
<
= +
0)1(1
00
)( 1
xp
x
xF x

57. Distribusi Geometric
Dinotasikan dengan GEOM(x;p)
Parameter  p
Mean
Variance
57
p
p)1( −
=µ
2
2 )1(
p
p−
=σ

58. Distribusi Hypergeometric
Distribusi Hypergeometric menunjukkan
sebaran variabel acak yang menyatakan
banyaknya sukses dari n percobaan tanpa
pengembalian pada himpunan berisikan N
anggota dengan D sukses. Variabel acak
dalam rentang tanpa sukses (0) hingga
semua sukses (n), X∈{1,2,...,n; n<D} atau
hingga total sukses terpilih (D), X∈{1,2,...,n;
n>D}.
58

59. Distribusi Hypergeometric
 Variabel acak menunjukkan banyaknya sukses terpilih dari
D titik sampel. Karena gagal dan sukses bersifat mutually
exclusive, maka banyaknya gagal sebesar (n-x) terpilih
dari (N-D) titik sampel. Ruang sampel terbentuk dari
kombinasi N objek terambil n. Sedangkan kejadian
terbentuk dari kombinasi D objek terambil x beririsan
dengan kombinasi (N-D) objek terambil (n-x).
59












−
−






n
N
xn
DN
x
D
. {x∈D}∩{(n-x)∈(N-D)}
Kombinasi N obyek
diambil n

60. Distribusi Hypergeometric
Penerapan Distribusi Hypergeometric
antara lain: banyaknya kejadian sukses dari
sumber terbatas dengan sebagian bernilai
sukses, banyaknya produk cacat yang
terpilih dari persediaan yang ada,
banyaknya wanita yang terpilih sebagai
pengurus harian koperasi dari anggota
koperasi.
60

61. Distribusi Hypergeometric
 Parameter  N(number of sample points) , D(number of
succeeds) dan n (number of trials)
 Probability Mass Function, p(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
61








=












−
−






=
other
Dnx
n
N
xn
DN
x
D
xp
0
),min(,...,1,0
.
)( p(x)
F(x)




≥
<
=
∑=
0)(
00
)(
0
xip
x
xF
x
i

62. Distribusi Hypergeometric
Dinotasikan dengan HGEOM(x;N,D,n)
Parameter  N, D dan n
Mean
Variance
62






=
N
D
nµ






−
−






−





=
1
12
N
nN
N
D
N
D
nσ

63. Distribusi Multivariate Hypergeometric
Distribusi Multivariate Hypergeometric
menunjukkan sekumpulan variabel acak
dari n percobaan tanpa pengembalian
dengan k jenis keluaran (x1,x2,...xk; Σxi=n)
pada himpunan berisikan N anggota
dengan k bagian (D1,D2,...Dk; ΣDi=N).
Variabel acak dalam rentang null hingga n,
Xi∈{1,2,...,n; n<Di} atau hingga Di,
X∈{1,2,...,n; n>Di}.
63

64. Distribusi Multivariate Hypergeometric
 Variabel acak menunjukkan banyaknya sukses terpilih dari
masing-masing Di titik sampel bagian dari N. Karena gagal
dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya
gagal sebesar (n-x) terpilih dari (N-D) titik sampel. Ruang
sampel terbentuk dari kombinasi N objek terambil n.
Sedangkan kejadian terbentuk dari irisan semua
kombinasi Di objek terambil xi.
64
























n
N
x
D
x
D
x
D
k
k

2
2
1
1
. ∩{xi∈Di}
Kombinasi N obyek
diambil n

65. Distribusi Multivariate Hypergeometric
Penerapan Distribusi Multivariate
Hypergeometric antara lain: banyaknya
kejadian terpilih di setiap bagian dari
sumber terbatas, banyaknya dan jenis item
yang terbeli dari persediaan yang ada.
banyaknya anggota yang terpilih sesuai
daerah asal sebagai pengurus organisasi.
65

66. Distribusi Multivariate Hypergeometric
 Parameter  N(number of sample points) , Di(number of
succeeds on i-th group) dan n (number of trials)
 Probability Mass Function, p(x)
di mana
66








=
























=
other
Dnx
n
N
x
D
x
D
x
D
xxxp i
k
k
k
0
),min(,...,1,0
.
),...,,(
2
2
1
1
21

nxND
k
i
i
k
i
i == ∑∑ == 11
dan

67. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson menunjukkan sebaran
variabel acak yang menyatakan banyaknya
sukses dari proses Poisson yang terjadi
dalam satu horison waktu (continuum)
dengan laju λ. Variabel acak dalam rentang
tidak ada kejadian (0) sampai tak hingga
(∞), X∈{1,2,..., ∞}. Laju λ ekuivalen dengan
n.p distribusi binomial.
67

68. Distribusi Poisson
 Variabel acak menunjukkan banyaknya sukses dari proses
Poisson yang terjadi dalam satu horison waktu
(continuum) dengan laju λ. Dengan t=1 satuan waktu,
maka X=X(t)=N(t) dari proses Poisson dengan λt=λ,
sehingga probabilitas P(X=x) sebagai berikut :
68
( )
!
)(
x
exXP
x
λλ−
==

69. Distribusi Poisson
Penerapan Distribusi Poisson antara lain:
banyaknya kejadian sukses selama interval
waktu tertentu dengan laju stasioner,
banyaknya item dalam satu batch,
banyaknya permintaan setiap satuan waktu
tertentu.
69

70. Distribusi Poisson
 Parameter  λ (rate of occurences)
 Probability Mass Function, p(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
70




∞==
−
other
x
x
e
xp
x
0
,...,1,0
!)(
λλ
p(x)
F(x)




≥
<
=
∑=
0)(
00
)(
0
xip
x
xF
x
i

71. Distribusi Poisson
Dinotasikan dengan Poisson(x;λ)
Parameter  λ
Mean
Variance
71
λµ =
λσ =2

72. 72

73. Pendekatan Distribusi Diskrit
Pendekatan Distribusi Binomial pada variabel
acak berdistribusi Hypergeometric saat
banyaknya anggota ruang sampel sangat banyak
(limit N∞)
Pendekatan Distribusi Poisson pada variabel acak
berdistribusi Binomial saat banyaknya trial sangat
banyak (limit n∞) dan probabilitas sukses
sangat kecil (limit p0)
73

74. Dist. Binomial  Dist. Hypergeometric
Variabel acak distribusi Binomial dapat ditinjau
sebagai bentuk pendekatan distribusi
Hypergeometric dengan anggota ruang sampel
sangat banyak (limit N∞) dan rasionya dengan
banyaknya trial sangat kecil (limit n
/N 0), di mana
rasio banyaknya sukses dalam ruang sampel
dengan banyaknya seluruh anggota ruang sampel
(D
/N) ekuivalen dengan probabilitas kejadian sukses
(p) yang menjadi parameter distribusi Binomial.
74

75. Dist. Binomial  Dist. Hypergeometric
75
N
D
p
N
n
N
=
→
∞→
0
lim





 −






−
=





 +−−






−
−−−−−−





 +−−
=






−






−−−−
−






−
=












−
−






==
−
→
∞→
n
xnx
N
N
DND
xxn
n
n
nNNN
xn
xnDNDNDN
x
xDDD
nnN
N
xnxnDN
DN
xxD
D
n
N
xn
DN
x
D
xXP
N
n
).(
.
!)!(
!
!
)1)...(1.(
)!(
))())...((1).((
.
!
)1)...(1.(
!)!(
!
)!())!()((
)!(
.
!)!(
!
.
)(lim
0
xnx
N
pp
x
n
xXP
N
n
−
→
∞→
−





== )1()(lim
0
nan
n
→−
∞→
)(lim

76. Dist. Binomial  Dist. Hypergeometric
Dist. Binomial
Mean
Variance
Dist. Hypergeometric
Mean
Variance
76
pn.=µ
)1.(.2
ppn −=σ
N
D
p
N
n
N
=
→
∞→
0
lim
pn
N
D
n
.
.
=






=µ
( ) ( ) ( )1.1..
1
.1..2
ppn
N
nN
N
D
N
D
n
−=






−
−






−





=σ
NaN
N
→−
∞→
)(lim

77. Dist. Poisson  Dist. Binomial
Variabel acak distribusi Poisson dapat ditinjau
sebagai bentuk pendekatan distribusi Binomial
dengan banyaknya trial sangat banyak (limit n∞)
dan probabilitas sukses sangat kecil (limit p0),
di mana rata-rata banyaknya kejadian sukses
(E(x)=n.p) ekuivalen dengan laju munculnya
kejadian sukses (λ) yang menjadi parameter
distribusi Poisson.
77

78. Dist. Poisson  Dist. Binomial
78
λ==
→
∞→
pnxE
p
n
.)(lim
0
( )
( ) x
nx
xnx
x
xnx
xnx
p
n
nx
nnxn
xnnn
nnxxn
n
pp
x
n
xXP
−
−
−
−
→
∞→
−





−





=






−





−




 +−−
=






−











−
=
−





==
01.1.
!
.1
1.1.
!
.
)1)...(1.(
1..
!)!.(
!
1..)(lim
0
λλ
λλλ
λλ
a
n
n
e
n
a
→





+
∞→
1lim
!
.
)(lim
0
x
e
xXP
x
p
n
λ
λ −
→
∞→
==
1
)(
lim →
−
∞→ n
an
n
0lim →
∞→ n
a
n

79. Dist. Poisson  Dist. Binomial
Dist. Poisson
Mean
Variance
Dist. Binomial
Mean
Variance
79
λ
µ
=
= pn.
)1.(
)1.(.2
λ
σ
=
−= ppn
apa
p
→−
→
)(lim
0
λµ =
λσ =2
λ==
→
∞→
pnxE
p
n
.)(lim
0

80. 80

81. 81
Terima kasih ...Terima kasih ...
... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???