Downloaded 164 times
Uploaded byArif Rahman
Stat prob08 distribution_discrete
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas yang mencakup ruang sampel dan variabel acak, distribusi empiris dan teoritis, fungsi probabilitas seperti probability mass function, probability density function, dan cumulative distribution function, serta proses stokastik seperti proses Bernoulli dan proses Poisson."
More Related Content
Similar to Stat prob08 distribution_discrete
Stat prob08 distribution_discrete
- 1. DISTRIBUSI PROBABILITAS : VariabelDiskrit ARIF RAHMAN 1
- 2. Ruang Sampel danVariabel Acak Ruang sampel (sample space) adalah satu set lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi dalam populasi. Variabel acak (random variable) adalah suatu nilai bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau infinite). 2
- 3. Distribusi Distribusi adalah sebaranvariabel acak X dalam ruang sampel S dengan rentang R yang mempunyai karakteristik unik (parameter atau statistik) dalam interval tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi probabilitas yang spesifik. 3
- 4. Distribusi Empiris danTeoritis Distribusi empiris (empirical distribution) adalah distribusi sebaran data aktual dari observasi atau eksperimen dengan pengelompokan dalam distribusi frekuensi. Distribusi teoritis (theoretical distribution) adalah distribusi sebaran variabel acak dalam rentang tertentu yang mengikuti fungsi probabilitasnya. 4
- 5. Fungsi Probabilitas Fungsi probabilitasmenunjukkan tingkat frekuensi relatif dari variabel acak X bernilai diskrit atau luasan frekuensi relatif dari interval variabel acak X bernilai kontinyu. 5
- 6. Fungsi Probabilitas Probability MassFunction, p(x) Probability Density Function, f(x) Cumulative Distribution Function, F(x) Expectation, E(xn ) Variance, V(x) Moment, mr(x) Moment Generating Function , Mr(x) 6
- 7. Probability Mass Function Fungsimassa probabilitas (probability mass function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak diskrit pada nilai tertentu. Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai probabilitas P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di mana nilai p(x) memenuhi : p(x)>0 untuk seluruh x∈R Σ p(x) = 1 7
- 8. Probability Density Function Fungsikepadatan probabilitas (probability density function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak kontinyu dalam interval tertentu. Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran nilai probabilitas P(a<X<b)=a∫b f(x)dx untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai f(x) memenuhi : f(x)>0 untuk seluruh x∈R ∫ f(x) dx = 1 8
- 9. Cumulative Distribution Function Fungsidistribusi kumulatif (cumulative distribution function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit atau kontinyu hingga nilai tertentu. Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai probabilitas P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai F(x) memenuhi : F(x) = Σb p(x) untuk variabel acak diskrit x∈R F(x) = -∞∫b f(x) dx untuk variabel acak kontinyu x∈R 9
- 10. Expectation Nilai ekspektasi (expectation)adalah sebuah nilai harapan dari sebuah fungsi terhadap fungsi probabilitas variabel acaknya. Jika X adalah sebuah variabel acak, dan g(x) adalah fungsi dari X, maka nilai ekspektasi dari g(x) didefinisikan sebagai berikut : E((g(x)) = Σ g(x).p(x) untuk variabel acak diskrit x∈R E((g(x)) = ∫ g(x).f(x) dxuntuk variabel acak kontinyu x∈R 10 µ== xxE )(
- 11. Variance Variansi (variance) adalahnilai ekspektasi fungsi kuadrat deviasi variabel acak X dengan rata-ratanya terhadap fungsi distribusi probabilitasnya. 11 RxdxxfxxxV RxxpxxxV ∈−= ∈−= ∫ ∑ ∞ ∞− ∞ kontinyuacakabeluntuk vari)(.)()( diskritacakabeluntuk vari)(.)()( 2 0 2 ( ) ( )22 2 22 )()( )( )( xExE xxE xVs −= −= ==σ
- 12. Moment Momen origin (momentabout the origin atau raw moment) adalah nilai ekspektasi fungsi deviasi variabel acak X dengan titik origin (nol, 0) dalam orde ke-r terhadap fungsi distribusi probabilitasnya. 12 ( )r rr xEm == ''µ Rxdxxfxm Rxxpxm r rr r rr ∈== ∈== ∫ ∑ ∞ ∞− ∞ kontinyuacakabeluntuk vari)(.'' diskritacakabeluntuk vari)(.'' 0 µ µ
- 13. Moment Momen pusat (centralmoment) adalah nilai ekspektasi fungsi deviasi variabel acak X dengan nilai rata-rata dalam orde ke-r terhadap fungsi distribusi probabilitasnya. 13 ( )r rr xxEm )( −==µ Rxdxxfxxm Rxxpxxm r rr r rr ∈−== ∈−== ∫ ∑ ∞ ∞− ∞ kontinyuacakabeluntuk vari)(.)( diskritacakabeluntuk vari)(.)( 0 µ µ
- 14. Moment Generating Function Fungsipembangkitan momen (moment generating function) adalah nilai ekspektasi fungsi eksponensial variabel t dan variabel acak X dengan nilai rata-rata terhadap fungsi distribusi probabilitasnya. 14 ( )xt eEtM . )( = RxdxxfetM RxxpetM xt xt ∈= ∈= ∫ ∑ ∞ ∞− ∞ kontinyuacakabeluntuk vari)(.)( diskritacakabeluntuk vari)(.)( . 0 .
- 15. Moment Generating Function Hubunganantara Fungsi pembangkitan momen (moment generating function) dengan momen origin (moment about the origin) ditunjukkan dengan fungsi derivatif. 15 r t r r dt tMd ' )( 0 µ= =
- 16. Distribusi Diskrit Hubungan antarap(x) dengan F(x) 16 RxF xpxXPxF xX rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi )()()( 0 = =≤= ∑≤≤ p(x) F(x)
- 17. Distribusi Kontinyu Hubungan antaraf(x) dengan F(x) 17 RxF dxxfxXPxF xX rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi )()()( = =≤= ∫ ≤≤∞− f(x) F(x)
- 18. Proses Stokastik danEksperimen Acak Proses stokastik (stochastic process) adalah proses dengan keluaran sekumpulan variabel acak X={X(t), t∈T}, yang terdistribusi acak pada saat t dalam rentang continuum T. Eksperimen acak (random experiment) adalah eksperimentasi yang menghasilkan keluaran yang berbeda, meskipun dilakukan perulangan dengan rancangan kondisi eksperimentasi yang sama. 18
- 19. Proses Stokastik Variabel acakdiskrit dalam perubahan waktu diskrit Variabel acak kontinyu dalam perubahan waktu diskrit Variabel acak diskrit dalam perubahan waktu kontinyu Variabel acak kontinyu dalam perubahan waktu kontinyu 19
- 20.
- 21. Proses Stokastik Random pointprocesses, Counting processes, Branching processes, Intensity processes, Cumulative (accumulator) processes, Moving average processes, Bernoulli processes, Birth-death processes, Brownian motion (Wiener) processes, Brownian bridge processes, Gaussian processes, Mark point processes, Markov processes, Martingale processes, Ornstein-Uhlenbeck processes, Poisson processes, Queueing processes, Random walk processes, Renewal processes, White noise processes, Yule processes 21
- 22. Bernoulli Processes Proses Bernoulli(Bernoulli process) adalah proses eksperimentasi yang melakukan percobaan Bernoulli sebanyak n kali dan setiap percobaan tersebut bebas (independent) dengan peluang sukses p. Percobaan Bernoulli (Bernoulli trials) merupakan percobaan tunggal yang mempunyai keluaran dikotomi atau 2 nilai mutually exclusive yang mungkin terjadi, yaitu sukses dan gagal. 22
- 23. Bernoulli Processes Properti dariproses Bernoulli : X(t)∈{0,1} , di mana 0 menotasikan gagal dan 1 menotasikan sukses. Setiap kejadian bersifat independent. Kejadian gagal dan sukses mutually exclusive. (x=0)∩(x=1)=∅ Probabilitas sukses sebesar p dan probabilitas gagal sebesar q=1-p. P(x=1) = p dan P(x=0) = 1-p 23
- 24. Percobaan Bernoulli 24 -1 -1-1 N-n+2 N-n+1N-n+3N N-1 N-2 -1 -1 -1 p1(x) ≠ p2(x) ≠ p3(x) ≠ ... ≠ pn-2(x) ≠ pn-1(x) ≠ pn(x) -1 -1 -1 N NNN N N -1 -1 -1 p1(x) = p2(x) = p3(x) = ... = pn-2(x) = pn-1(x) = pn(x) Tanpa Pengembalian (without replacement) Dengan Pengembalian (with replacement)
- 25. Proses Poisson Proses Poisson(Poisson process) adalah proses penghitungan (counting process) banyaknya kejadian (N(t), t>0) hingga saat t, dengan parameter laju kemunculan kejadian λ (λ>0). Macam proses Poisson: stationary (homogeneous) Poisson process, nonstationary (nonhomogeneous) Poisson process, generalized Poisson process, compound Poisson process, filtered Poisson process, doubly stochastic Poisson process. 25
- 26. Proses Poisson Properti dariproses Poisson : X(t)=N(t), t>0 N(0) = 0 N(t) > 0, N(t)∈integer N(t) nondecreasing function. N(ti)<N(tj) jika ti<tj N(t) mempunyai independent increments, λ N(tj)-N(ti)=N(∆t), jika ti<tj dan ∆t=tj-ti N(∆t)∈{0,1} untuk ∆t sangat kecil. P(N(∆t)=1)= λ.∆t+o(∆t) dan P(N(∆t)>2)= o(∆t) 26 ( ) ! )( )()( n t ensNstNP n t λλ− ==−+
- 27. Distribusi Bernoulli Distribusi Bernoullimenunjukkan sebaran variabel acak dari percobaan Bernoulli tunggal pada dua nilai keluaran, gagal (0) dan sukses(1), X∈{0,1}, dengan probabilitas sukses sebesar p. Penerapan Distribusi Bernoulli antara lain untuk menunjukkan kejadian acak dengan dua keluaran, misalnya pelemparan koin. 27
- 28. Distribusi Bernoulli Parameter p (probability of success) Probability Mass Function, p(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 28 =− = = other xp xp xp 0 0)1( 1 )( p(x) F(x) 0 1 (1-p) p (1-p) p 1 ≥ <≤− < = 11 10)1( 00 )( x xp x xF
- 29. Distribusi Bernoulli Dinotasikan denganBernoulli(x;p) Parameter p Mean Variance 29 p=µ )1(2 pp −=σ
- 30. Distribusi Discrete Uniform DistribusiDiscrete Uniform menunjukkan sebaran variabel acak pada n buah nilai keluaran berimbang (equally likely) dalam rentang x1=a hingga xn=b, X∈{x1,x2,...,xn}, dengan probabilitas seragam sebesar 1 /n. Penerapan Distribusi Discrete Uniform antara lain untuk menunjukkan kejadian acak dengan beberapa keluaran berimbang, misalnya pelemparan dadu. 30
- 31. Distribusi Discrete Uniform Parameter a (minimum) dan b (maximum) Probability Mass Function, p(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 31 += +−= other baax abxp 0 ,...,1, 1)( 1 )( p(x) F(x) ≥ <≤ +− +− < = bx bxa ab ax ax xF 1 1)( 1)( 0 )(
- 32. Distribusi Discrete Uniform Dinotasikandengan DU(x;p) Parameter a dan b Mean Variance 32 2 ba + =µ 12 1)1( 2 2 −+− = ab σ
- 33. Distribusi Binomial Distribusi Binomialmenunjukkan sebaran variabel acak banyaknya sukses dari n buah percobaan Bernoulli bebas dalam rentang semua gagal (0) hingga semua sukses (n), X∈{0,1,...,n}, dengan probabilitas sukses setiap percobaan sebesar p. 33
- 34. Distribusi Binomial Variabel acakx menunjukkan banyaknya sukses dari n percobaan. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya gagal ditunjukkan dengan (n-x). Sehingga banyaknya susunan gagal- sukses dalam n menggunakan permutasi obyek sama. 34 ⇒ − x n xnx n )!(! !Permutasi obyek sama (n-x) gagal dan x sukses dalam n obyek Kombinasi n obyek diambil x
- 35. Distribusi Binomial Penerapan DistribusiBinomial antara lain: banyaknya kejadian sukses dari n kejadian bebas, banyaknya cacat dalam batch berukuran n, banyaknya item terpilih dalam satu lot atau himpunan berisi n anggota, banyaknya pembelian dengan persediaan n unit, banyaknya jawaban yang benar dalam n soal, banyaknya yang sembuh dari n pasien. 35
- 36. Distribusi Binomial Parameter p (probability of success) dan n (number of trials) Probability Mass Function, p(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 36 =− = − other nxpp x n xp xnx 0 ,...,1,0)1( )( p(x) F(x) ≥ < = ∑= 0)( 00 )( 0 xip x xF x i
- 37. Distribusi Binomial Dinotasikan denganBIN(x;n,p) Parameter p dan n Mean Variance 37 pn.=µ )1(.2 ppn −=σ
- 38.
- 39. Distribusi Multinomial Distribusi Multinomialmenunjukkan kumpulan variabel acak dari n buah percobaan dengan k jenis keluaran (x1,x2,...xk; Σxi=n) dalam rentang dari null hingga n, Xi∈{0,1,...,n}, dengan probabilitas setiap jenis keluaran p1, p2, ...,pk. 39 ⇒ kk xxx n xxx n ,...,,!!...! ! 2121 Permutasi obyek sama k kelompok dalam n obyek Kombinasi partisi n obyek dalam k kelompok
- 40. Distribusi Multinomial Penerapan DistribusiMultinomial antara lain: banyaknya kejadian di setiap keluaran dari n kejadian bebas dengan peluang banyak keluaran, misalnya banyaknya di setiap keluaran (2,3,...,12) di n pelemparan dua dadu, banyaknya yang dilayani di setiap kasir dari k kasir pada n pembeli. 40
- 41. Distribusi Multinomial Parameter p1,p2,...,pk (probability of i-th outcome) dan n (number of trials) Probability Mass Function, p(x1,x2,...,xk) Di mana 41 =∀ = other nxppp xxx n xxxp xk k xx kk 0 ,...,1,0 ,...,,),...,,( 2 2 1 1 2121 nx p k i i k i i = = ∑ ∑ = = 1 1 1
- 42. Distribusi Pascal atauNegative Binomial Distribusi Negative Binomial atau Pascal menunjukkan sebaran variabel acak yang menyatakan banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan untuk mendapatkan s sukses. Variabel acak dalam rentang semua langsung didapat (s) sampai tak hingga (∞), X∈{s,s+1,..., ∞}. Probabilitas sukses setiap percobaan sebesar p. 42
- 43. Distribusi Pascal atauNegative Binomial Variabel acak x menunjukkan banyaknya percobaan untuk mendapatkan s sukses. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya gagal ditunjukkan dengan (x-s). Sukses ke-s menjadi penutup susunan (urutan ke-x), sehingga banyaknya susunan gagal-sukses menggunakan permutasi obyek sama. 43 − − ⇒ −− − 1 1 )!()!1( )!1( s x sxs x Permutasi obyek sama (x-s) gagal dan s sukses dalam x obyek dengan sukses ke-s ada di akhir Kombinasi (x-1) obyek diambil (s-1)
- 44. Distribusi Pascal atauNegative Binomial Penerapan Distribusi Pascal atau Negative Binomial antara lain: banyaknya kejadian bebas dengan s kejadian sukses, banyaknya produksi (termasuk cacat) untuk mendapatkan s produk baik, banyaknya anggota himpunan yang terwakili s anggota, banyaknya persediaan yang diperlukan agar terjadi pembelian sebanyak s unit. 44
- 45. Distribusi Pascal atauNegative Binomial Parameter p (probability of success) dan s (number of succeeds) Probability Mass Function, p(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 45 ∞+=− − − = − other ssxpp s x xp sxs 0 ,...,1,)1( 1 1 )( p(x) F(x) ≥ < = ∑= sxip sx xF x si )( 0 )(
- 46. Distribusi Pascal atauNegative Binomial Dinotasikan dengan NEGBIN(x;s,p) Parameter p dan s Mean Variance 46 p s =µ 2 2 )1( p ps − =σ
- 47. Distribusi Pascal atauNegative Binomial Beberapa literatur lain menyatakan variabel acak x menunjukkan banyaknya gagal sebelum mendapatkan s sukses. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya percobaan Bernoulli ditunjukkan dengan (x+s). Sukses ke-s menjadi penutup susunan (urutan ke-x), sehingga banyaknya susunan gagal-sukses menggunakan permutasi obyek sama. 47 −+ ⇒ − −+ x sx xs sx 1 !)!1( )!1)(( Permutasi obyek sama x gagal dan s sukses dengan sukses ke-s ada di akhir Kombinasi (x+s-1) obyek diambil x
- 48. Distribusi Pascal atauNegative Binomial Parameter p (probability of success) dan s (number of succeeds) Probability Mass Function, p(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 48 ∞=− −+ = other xpp x xs xp xs 0 ,...,1,0)1( 1 )( p(x) F(x) ≥ < = ∑= 0)( 00 )( 0 xip x xF x i
- 49. Distribusi Pascal atauNegative Binomial Dinotasikan dengan NEGBIN(x;s,p) Parameter p dan s Mean Variance 49 p ps )1( − =µ 2 2 )1( p ps − =σ
- 50. Distribusi Geometric Distribusi Geometricmenunjukkan sebaran variabel acak yang menyatakan banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama. Variabel acak dalam rentang pertama kali langsung didapat (1) sampai tak hingga (∞), X∈{1,2,..., ∞}. Probabilitas sukses setiap percobaan sebesar p. 50
- 51. Distribusi Geometric Variabel acakx menunjukkan banyaknya percobaan hingga mendapatkan sukses. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya gagal ditunjukkan dengan (x-1). Sukses menjadi penutup susunan (urutan ke-x). 51
- 52. Distribusi Geometric Penerapan DistribusiGeometric antara lain: banyaknya kejadian bebas hingga mencapai kejadian sukses, banyaknya produksi hingga cacat yang pertama, banyaknya audisi hingga terpilih, banyaknya penawaran penjualan hingga terjadi pembelian. 52
- 53. Distribusi Geometric Parameter p (probability of success) Probability Mass Function, p(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 53 ∞=− = − other xpp xp x 0 ,...,2,1)1.( )( 1 p(x) F(x) ≥−− < = 1)1(1 10 )( xp x xF x
- 54. Distribusi Geometric Dinotasikan denganGEOM(x;p) Parameter p Mean Variance 54 p 1 =µ 2 2 )1( p p− =σ
- 55. Distribusi Geometric Beberapa literaturlain menyatakan variabel acak x menunjukkan banyaknya gagal sebelum mendapatkan sukses pertama kali. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya percobaan Bernoulli ditunjukkan dengan (x+1). Sukses menjadi penutup susunan (urutan ke-x). 55
- 56. Distribusi Geometric Parameter p (probability of success) Probability Mass Function, p(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 56 ∞=− = other xpp xp x 0 ,...,1,0)1.( )( p(x) F(x) ≥−− < = + 0)1(1 00 )( 1 xp x xF x
- 57. Distribusi Geometric Dinotasikan denganGEOM(x;p) Parameter p Mean Variance 57 p p)1( − =µ 2 2 )1( p p− =σ
- 58. Distribusi Hypergeometric Distribusi Hypergeometricmenunjukkan sebaran variabel acak yang menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan tanpa pengembalian pada himpunan berisikan N anggota dengan D sukses. Variabel acak dalam rentang tanpa sukses (0) hingga semua sukses (n), X∈{1,2,...,n; n<D} atau hingga total sukses terpilih (D), X∈{1,2,...,n; n>D}. 58
- 59. Distribusi Hypergeometric Variabelacak menunjukkan banyaknya sukses terpilih dari D titik sampel. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya gagal sebesar (n-x) terpilih dari (N-D) titik sampel. Ruang sampel terbentuk dari kombinasi N objek terambil n. Sedangkan kejadian terbentuk dari kombinasi D objek terambil x beririsan dengan kombinasi (N-D) objek terambil (n-x). 59 − − n N xn DN x D . {x∈D}∩{(n-x)∈(N-D)} Kombinasi N obyek diambil n
- 60. Distribusi Hypergeometric Penerapan DistribusiHypergeometric antara lain: banyaknya kejadian sukses dari sumber terbatas dengan sebagian bernilai sukses, banyaknya produk cacat yang terpilih dari persediaan yang ada, banyaknya wanita yang terpilih sebagai pengurus harian koperasi dari anggota koperasi. 60
- 61. Distribusi Hypergeometric Parameter N(number of sample points) , D(number of succeeds) dan n (number of trials) Probability Mass Function, p(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 61 = − − = other Dnx n N xn DN x D xp 0 ),min(,...,1,0 . )( p(x) F(x) ≥ < = ∑= 0)( 00 )( 0 xip x xF x i
- 62. Distribusi Hypergeometric Dinotasikan denganHGEOM(x;N,D,n) Parameter N, D dan n Mean Variance 62 = N D nµ − − − = 1 12 N nN N D N D nσ
- 63. Distribusi Multivariate Hypergeometric DistribusiMultivariate Hypergeometric menunjukkan sekumpulan variabel acak dari n percobaan tanpa pengembalian dengan k jenis keluaran (x1,x2,...xk; Σxi=n) pada himpunan berisikan N anggota dengan k bagian (D1,D2,...Dk; ΣDi=N). Variabel acak dalam rentang null hingga n, Xi∈{1,2,...,n; n<Di} atau hingga Di, X∈{1,2,...,n; n>Di}. 63
- 64. Distribusi Multivariate Hypergeometric Variabel acak menunjukkan banyaknya sukses terpilih dari masing-masing Di titik sampel bagian dari N. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya gagal sebesar (n-x) terpilih dari (N-D) titik sampel. Ruang sampel terbentuk dari kombinasi N objek terambil n. Sedangkan kejadian terbentuk dari irisan semua kombinasi Di objek terambil xi. 64 n N x D x D x D k k 2 2 1 1 . ∩{xi∈Di} Kombinasi N obyek diambil n
- 65. Distribusi Multivariate Hypergeometric PenerapanDistribusi Multivariate Hypergeometric antara lain: banyaknya kejadian terpilih di setiap bagian dari sumber terbatas, banyaknya dan jenis item yang terbeli dari persediaan yang ada. banyaknya anggota yang terpilih sesuai daerah asal sebagai pengurus organisasi. 65
- 66. Distribusi Multivariate Hypergeometric Parameter N(number of sample points) , Di(number of succeeds on i-th group) dan n (number of trials) Probability Mass Function, p(x) di mana 66 = = other Dnx n N x D x D x D xxxp i k k k 0 ),min(,...,1,0 . ),...,,( 2 2 1 1 21 nxND k i i k i i == ∑∑ == 11 dan
- 67. Distribusi Poisson Distribusi Poissonmenunjukkan sebaran variabel acak yang menyatakan banyaknya sukses dari proses Poisson yang terjadi dalam satu horison waktu (continuum) dengan laju λ. Variabel acak dalam rentang tidak ada kejadian (0) sampai tak hingga (∞), X∈{1,2,..., ∞}. Laju λ ekuivalen dengan n.p distribusi binomial. 67
- 68. Distribusi Poisson Variabelacak menunjukkan banyaknya sukses dari proses Poisson yang terjadi dalam satu horison waktu (continuum) dengan laju λ. Dengan t=1 satuan waktu, maka X=X(t)=N(t) dari proses Poisson dengan λt=λ, sehingga probabilitas P(X=x) sebagai berikut : 68 ( ) ! )( x exXP x λλ− ==
- 69. Distribusi Poisson Penerapan DistribusiPoisson antara lain: banyaknya kejadian sukses selama interval waktu tertentu dengan laju stasioner, banyaknya item dalam satu batch, banyaknya permintaan setiap satuan waktu tertentu. 69
- 70. Distribusi Poisson Parameter λ (rate of occurences) Probability Mass Function, p(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 70 ∞== − other x x e xp x 0 ,...,1,0 !)( λλ p(x) F(x) ≥ < = ∑= 0)( 00 )( 0 xip x xF x i
- 71. Distribusi Poisson Dinotasikan denganPoisson(x;λ) Parameter λ Mean Variance 71 λµ = λσ =2
- 72.
- 73. Pendekatan Distribusi Diskrit PendekatanDistribusi Binomial pada variabel acak berdistribusi Hypergeometric saat banyaknya anggota ruang sampel sangat banyak (limit N∞) Pendekatan Distribusi Poisson pada variabel acak berdistribusi Binomial saat banyaknya trial sangat banyak (limit n∞) dan probabilitas sukses sangat kecil (limit p0) 73
- 74. Dist. Binomial Dist. Hypergeometric Variabel acak distribusi Binomial dapat ditinjau sebagai bentuk pendekatan distribusi Hypergeometric dengan anggota ruang sampel sangat banyak (limit N∞) dan rasionya dengan banyaknya trial sangat kecil (limit n /N 0), di mana rasio banyaknya sukses dalam ruang sampel dengan banyaknya seluruh anggota ruang sampel (D /N) ekuivalen dengan probabilitas kejadian sukses (p) yang menjadi parameter distribusi Binomial. 74
- 75. Dist. Binomial Dist. Hypergeometric 75 N D p N n N = → ∞→ 0 lim − − = +−− − −−−−−− +−− = − −−−− − − = − − == − → ∞→ n xnx N N DND xxn n n nNNN xn xnDNDNDN x xDDD nnN N xnxnDN DN xxD D n N xn DN x D xXP N n ).( . !)!( ! ! )1)...(1.( )!( ))())...((1).(( . ! )1)...(1.( !)!( ! )!())!()(( )!( . !)!( ! . )(lim 0 xnx N pp x n xXP N n − → ∞→ − == )1()(lim 0 nan n →− ∞→ )(lim
- 76. Dist. Binomial Dist. Hypergeometric Dist. Binomial Mean Variance Dist. Hypergeometric Mean Variance 76 pn.=µ )1.(.2 ppn −=σ N D p N n N = → ∞→ 0 lim pn N D n . . = =µ ( ) ( ) ( )1.1.. 1 .1..2 ppn N nN N D N D n −= − − − =σ NaN N →− ∞→ )(lim
- 77. Dist. Poisson Dist. Binomial Variabel acak distribusi Poisson dapat ditinjau sebagai bentuk pendekatan distribusi Binomial dengan banyaknya trial sangat banyak (limit n∞) dan probabilitas sukses sangat kecil (limit p0), di mana rata-rata banyaknya kejadian sukses (E(x)=n.p) ekuivalen dengan laju munculnya kejadian sukses (λ) yang menjadi parameter distribusi Poisson. 77
- 78. Dist. Poisson Dist. Binomial 78 λ== → ∞→ pnxE p n .)(lim 0 ( ) ( ) x nx xnx x xnx xnx p n nx nnxn xnnn nnxxn n pp x n xXP − − − − → ∞→ − − = − − +−− = − − = − == 01.1. ! .1 1.1. ! . )1)...(1.( 1.. !)!.( ! 1..)(lim 0 λλ λλλ λλ a n n e n a → + ∞→ 1lim ! . )(lim 0 x e xXP x p n λ λ − → ∞→ == 1 )( lim → − ∞→ n an n 0lim → ∞→ n a n
- 79. Dist. Poisson Dist. Binomial Dist. Poisson Mean Variance Dist. Binomial Mean Variance 79 λ µ = = pn. )1.( )1.(.2 λ σ = −= ppn apa p →− → )(lim 0 λµ = λσ =2 λ== → ∞→ pnxE p n .)(lim 0
- 80.
- 81. 81 Terima kasih ...Terimakasih ... ... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???