Dokumen ini adalah makalah tentang macam-macam himpunan dalam matematika diskrit yang disusun untuk memenuhi tugas akhir. Makalah ini mencakup definisi dan operasi-operasi dasar himpunan, serta contoh-contoh dan teori terkait. Penulis juga berharap makalah ini dapat memberikan manfaat dan mengundang kritik dan saran untuk perbaikan.

1. HIMPUNAN MATEMATIKA DISKRIT
DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI SYARAT – SYARAT
TUGAS AKHIR DAN KELULUSAN
MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRIT
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI GARUT
DISUSUN OLEH :
ZUHRI PATRIA SIREGAR
NPM : 1206124

2. KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh .
Alhamdulillahirabil’alamin , banyak nikmat yang allah berikan , tetapi sedikit
sekali yang kita ingat . Segala puji hanya layak untuk allah tuhan Semesta Alam atas
segala Berkat , Rahmat , Taufik , serta Hidayah – nya tiada terkira besarnya , sehingga
Penulis dapat Makalah dan Laporan yang berjudul “ Macam – Macam Himpunan
Matematika Diskrit “ .
Dalam Penyusunan – nya , Penulis memeperoleh banyak bantuan dari berbagai
Pihak , karena itu Penulis mengucapkan banyak terima kasih yang Sebesar – besarnya
Kepada :
Kedua Orang tua dan Segenap Keluarga Penulis yang telah memberikan
Dukungan , Kasih Sayang dan Kepercayaan yang begitu Besar . Dari sanalah
Kesuksesan ini Berawal , Semoga semua ini bisa memberikan sedikit Manfaat ,
Kebahagiaan dan Menuntun pada Langkah yang lebih baik lagi .
Dalam Buku Makalah dan Laporan ini Membahas , Mengenai bagaimana cara –
nya Kita dapat Berhitung dengan Cepat , Baik dan Benar . Bahkan Kita juga harus
Mengetahui , Cukup Tahu dan Mengenal betul Ciri – ciri dan Macam – macam
Himpunan Matematika ini . Juga Kita diajarkan untuk bisa dan dapat Membedakan ,
mana Bilangan Positif dan Negatif , juga sebaliknya mana Bilangan Bulat dan mana
yang bukan Bilangan Bulat .
Meskipun Penulis berharap isi Makalah dan Laporan ini bebas dari Kekurangan
dan Kesalahan , namun selalu ada yang Kurang . Oleh karena itu , Penulis mengharapkan
Kritik dan Saran yang membangun agar Makalah dan Laporan ini dapat lebih baik lagi .
i

3. DAFTAR ISI
Kata Pengantar ………………………………………………………………………….i
Daftar Isi ………………………………………………………………………………...ii
BAB 1 : Pendahuluan Matematika Diskrit . ………………………………………….1
1.1.Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan ………………………………………...1
1.2.Operasi Himpunan : ………………………………………………………………….5
a. Irisan ( Intersection ) ……………………………………………………………...5
b. Gabungan ( Union ) ……………………………………………………………….5
c. Komplemen ( Complement ) ……………………………………………………...5
d. Selisih ( Different ) ……………………………………………………………….6
e. Beda Setangkup ( Symetric Different ) …………………………………………...6
f. Perkalian Kartesian ( Cartesian Product ) ………………………………………...6
1.3.Prinsip Dualitas ……………………………………………………………………...7
Table 1.1 Dualitas Teori Matematika Diskrit Himpunan ……………………………8
BAB 2 : Landasan Teori Matematika Diskrit Himpunan . ………………………….9
2.1. Teori Himpunan ……………………………………………………………………..9
2.2. Kesamaan Himpunan ………………………………………………………………..9
2.3. Contoh – contoh Himpunan : ………………………………………………………..9
a. Himpunan “ Standard “ …………………………………………………………....9
b. Mendefinisikan Himpunan Bilangan Rasional …………………………………..10
2.4. Himpunan Bagian ( Subset ) ……………………………………………………….10
2.5. Himpunan Bagian 2 : ………………………………………………………………10
a. Aturan – aturan yang Bermanfaat ………………………………………………..10
b. Himpunan Bagian Sejati ( Proper Subset ) ………………………………………10
2.6. Kardinalitas dari Himpunan ………………………………………………………..11
2.7. Himpunan Kuasa ( Power Set ) …………………………………………………….11
2.8. Perkalian Kartesian ………………………………………………………………...11
2.9. Operasi Terhadap Himpunan ………………………………………………………11
ii

4. BAB 3 : Kerangka Kerja dan Penelitian Himpunan Matematika …………………13
3.1. Penggambaran Himpunan Menggunakan Diagram Venn : ………………………..13
a. Memberikan Contoh Gambaran Himpunan Melalui Diagram Ven ……………..13
b. Gambaran Notasi Himpunan Bagian …………………………………………….13
c. Memberikan Contoh Kerangka Kerja Himpunan ………………………………..14
d. Operasi Himpunan : ……………………………………………………………...14
1. Irisan ( Intersection ) ………………………………………………………….14
2. Gabungan ( Union ) …………………………………………………………...15
3. Komplemen ( Complement ) ………………………………………………….15
4. Selisih ( Different ) …………………………………………………………...15
5. Beda Setangkup ( Symmetiric Different ) …………………………………….16
3.2. Membuat Tabel Himpunan : ……………………………………………………….16
a. Struktur Himpunan Mahasiswa Teknik Informatika ( A ) ……………………....16
b. Tabel Absensi Himpunan Mahasiswa Teknik Informatika ( A ) ………………..16
c. Struktur Jadwal Mata Kuliah Himpunan Teknik Informatika ( A ) ……………..17
d. Struktur Himpunan Jadwal Kuliah Tiap Semester , Teknik Informatika ( A ) …18
DIAGRAM ( TABEL HIMPUNAN ) . …………………………………………..18
3.3. Cara Kerja Menghitung Suatu Himpunan : ………………………………………..19
a. Operasi Himpunan ……………………………………………………………….19
b. Definisi Himpunan Matematika ………………………………………………....19
c. The Power Set …………………………………………………………………....19
d. The Cartesian Product …………………………………………………………...19
e. Identitas Himpunan ………………………………………………………………20
f. Representasi Komputer untuk Himpunan ………………………………………..20
BAB 4 : HASIL DAN PEMBAHASAN HIMPUNAN MATEMATIKA DISKRIT
4.1. Pembahasan Prinsip Inklusi – Eksklusi : …………………………………………..21
a. Pembahasan Prinsip Inklusi ……………………………………………………...21
b. Pembahasan Prinsip Eksklusi ……………………………………………………21
4.2. Hasil Prinsip Inklusi – Eksklusi : …………………………………………………..22
a. Hasil Prinsip Inklusi ……………………………………………………………..22
b. Hasil Prinsip Eksklusi …………………………………………………………...22
BAB 5 : RINGKASAN DAN KESIMPULAN HIMPUNAN MATEMATIKA
DISKRIT .
5.1. Ringkasan Penyajian Himpunan ( KEANGGOTAAN HIMPUNAN ) ……………23
5.2. Kesimpulan Himpunan Matematika ……………………………………………….23
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………….23
iii

5. BAB 1 :
PENDAHULUAN
MATEMATIKA DISKRIT HIMPUNAN .
Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang
dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang
selanjutnya didefinisikan sebagai himpunan. Pada bab awal ini akan dibahas tentang
definisi dan keanggotaan suatu himpunan, operasi himpunan dari beberapa jenis
himpunan .
1.1.Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan .
Himpunan (set) merupakan sekumpulan objek-objek yang berbeda yang dapat
didefinisikan dengan jelas. Objek di dalam himpunan dinamakan unsur atau anggota
himpunan. Keanggotaan suatu himpunan dinyatakan oleh notasi ’∈’.
Contoh 1 :
A = {x, y, z} .
x ∈A : x merupakan anggota himpunan A.
w ∉A : w bukan merupakan anggota himpunan A.
Ada beberapa cara dalam menyatakan himpunan, yaitu :
Mencacahkan anggotanya (enumerasi) Dengan cara ini, himpunan tersebut dinyatakan
dengan menyebutkan semua anggota himpunannya di dalam suatu kurung kurawal .
Contoh 2 :
Himpunan empat bilangan ganjil pertama: A = {1, 3, 5, 7} .
Himpunan lima bilangan prima pertama: B = {2, 3, 5, 7, 11} .
Himpunan bilangan asli yang kurang dari 50 : C = {1, 2, ..., 50} .
Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} .
Menggunakan simbol standar (baku) Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu
simbol standar (baku) yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah) .
Contoh 3 :
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional .
R = himpunan bilangan riil .
C = himpunan bilangan kompleks .
U = Himpunan yang universal (semesta pembicaraan) .
1

6. Contoh 4 :
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {1, 3, 5} merupakan himpunan bagian dari U
Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan
dengan cara menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini
dinotasinya sebagai berikut : { x ⎥ syarat yang harus dipenuhi oleh x } .
Contoh 5 :
A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10 A = { x | x ≤ 10 dan x ∈N }
atau A = { x ∈N | x ≤ 10 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .
M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit} Atau M = { x
adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit} .
Menggunakan Diagram Venn :
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu
gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn .
Contoh 6 :
Misalkan U = {1, 2, ..., 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B= {2, 5, 6, 8}. Terkait dengan
masalah keanggotaan, suatu himpunan dapat dinyatakan sebagai anggota himpunanl ain .
Contoh 7 :
a. Misalkan, M = { mahasiswa STT Garut }
M1 = { mahasiswa anggota himatif }
M2 = { mahasiswa anggota HMTI }
M3 = { mahasiswa anggota HMIF }
Dengan demikian, M = { M1 , M2 , M3 }
b. Bila P1= {x, y}, P2= { {x, y } } atau P2={P1}, Sementara itu, P3= {{{x, y}}}, maka
x∈P1dan y∉P2, sehingga P1∈P2 , sedangkan P1∉P3, tetapi P2∈P3 .
Jumlah unsur dalam suatu himpunan dinamakan kardinalitas dari himpunan tersebut
.Misalkan, untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan notasi : n ( A )
atau ⎢ A ⎢.
Contoh 8 :
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 10 }, atau B = {2, 3, 5,
7 } maka ⏐ B ⏐ = 4 .
(ii) A= {a, {a}, {{a}} }, maka ⏐ A ⏐ = 3 .
Jika suatu himpunan tidak mempunyai anggota , dengan kata lain dengan kardinalitas
himpunan tersebut sama dengan nol maka himpunan tersebut dinamakan himpunan
kosong ( null set ) . Notasi dari suatu himpunan kosong adalah : ∅ atau {} .
2

7. Contoh 9 :
(i) P = { Mahasiswa Teknik Industri STT Garut yang pernah ke Mars } , maka n ( P )
= 0 Jadi P = ∅ .
(ii) A = { x | akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 dan x ∈ R }, maka n ( A ) = 0 Jadi A
= {} .
(iii) B = {{ }} dapat juga ditulis sebagai B = { ∅ } .
Jadi B bukan himpunan kosong karena ia memuat satu unsur yaitu himpunan kosong .
Himpunan A di katakana himpunan bagian ( subset ) dari himpunan B jika dan
hanya jika setiap unsur A merupakan unsur dari B . Dalam hal ini , Bisa di
katakan superset dari A .
Notasi himpunan bagian : A ⊆ B atau A ⊂ B .
Contoh 10 :
(i) N ⊆ Z ⊆ R ⊆ C
(ii) {2, 3, 5} ⊆ {2, 3, 5}
Untuk setiap himpunan A berlaku hal – hal sebagai berikut :
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri ( yaitu , A⊆ A ) .
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( ∅⊆ A ) .
(c) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C .
∅ ⊆ A dan A ⊆ A , maka ∅ dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (
improper subset ) dari himpunan A . Pernyataan A ⊆ B berbeda dengan A ⊂ B : A
⊂ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B . Yang demikian , A
merupakan himpunan bagian sebenarnya ( proper subset ) dari B .
Contoh 11 :
Misalkan A = { 1, 2, 3 } . { 1 } dan { 2, 3 } merupakan proper subset dari A .
Himpunan kuasa ( power set ) dari himpunan A merupakan suatu himpunan yang
unsur – unsurnya merupakan semua himpunan bagian dari A , termasuk
himpunan kosong dan himpunan A sendiri . Himpunan kuasa dinotasikan oleh P (
A ) . Jumlah anggota ( cardinal ) dari suatu himpunan kuasa bergantung pada
cardinal himpunan asal . Misalkan , kardinalitas himpunan A adalah m , maka ⏐
P ( A ) ⏐ = 2m .
Contoh 12 :
Jika A = { x, y }, maka P ( A) = { ∅ , { x }, { y }, { x , y }} .
3

8. Contoh 13 :
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P ( ∅ ) = { ∅ } , sementara itu
himpunan kuasa dari himpunan { ∅ } adalah P ( { ∅ } ) = { ∅ , { ∅ } } . Pernyataan A
⊆ B digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian ( subset )
dari B yang memungkinkan A = B . Dua buah himpunan dikatakan sama jika
memenuhi kondisi berikut :
A. A = B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur B dan sebaliknya
setiap unsur B merupakan unsur A .
B. Untuk menyatakan A = B , yang perlu dibuktikan adalah A adalah himpunan
bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A .
C. Jika tidak demikian , maka A ≠ B . atau A = B Ù A ⊆ B dan B ⊆ A .
Contoh 14 :
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x ( x – 1) = 0 }, maka A = B .
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B .
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ≠ B .
Untuk tiga buah himpunan , A , B , dan C berlaku aksioma berikut :
(a) A = A, B = B, dan C = C .
(b) Jika A = B, maka B = A .
(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C .
Dua buah himpunan dikatakan ekivalensi jika masing – masing mempunyai
kardinalitas yang sama . Misalkan , himpunan A adalah ekivalen dengan himpunan
B berarti cardinal dari himpunan A dan himpunan B adalah sama , notasi yang
digunakan adalah : A ~ B .
Contoh 15 :
Misalkan A = { 2, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d } , maka A ~ B sebab ⏐ A ⏐ = ⏐
B ⏐ = 4 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas ( disjoint ) jika keduanya
tidak memiliki unsur yang sama . Notasi yang digunakan adalah A // B . Jika
dinyatakan dalam bentuk diagram Venn .
Contoh 16 :
Jika A = { x | x ∈ N, x < 10 } dan B = { 11, 12, 13, 14, 15 }, maka A // B .
4

9. 1.2. Operasi Himpunan .
Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan,
komplemen, selisih dan beda setangkup.
a. Irisan( intersection ).
Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka
A ∩ B = { x | x ∈A dan x ∈B } . contoh :
1. Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3} .
2. Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI STT Garut dan B merupakan
himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas) maka A ∩ B = ∅ . Hal ini
berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B.
b. Gabungan (union).
Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘ . Misalkan A
dan B adalah himpunan , maka A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } . contoh :
1. Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7} .
2. A ∪∅ = A .
c. Komplemen (complement).
Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur – unsur yang ada pada
himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut.
Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U,
maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh :A = { x | x ∈ U dan x ∉A } .
Contoh 1 :
1. Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 5, 6, 8} .
2. jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 } .
Contoh 2 :
1. A = himpunan mahasiswa STT Telkom .
2. B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama .
3. C = himpunan mahasiswa angkatan 2004 .
4. D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit .
5. E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus .
a) Pernyataan
Semua mahasiswa STT Garut angkatan 2004 yang membawa motor untuk
pergi ke kampus dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai
berikut :(A ∩ C) ∩ E .
b) Pernyataan
Semua mahasiswa STT Telkom yang tinggal di asrama dan tidak
mengambil matematika diskritdapat dinyatakan dalam notasi operasi
himpunan sebagai berikut :A ∩ B ∩ D .
5

10. c) Pernyataan
semua mahasiswa angkatan 2004 yang tidak tinggal di asrama atau tidak
membawa motor untuk pergi ke kampusdapat dinyatakan dalam notasi
operasi himpunan sebagai berikut :C ∩ (B ∪ E) .
d. Selisih ( difference).
Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘–‘ . Misalkan A dan B
adalah himpunan , maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan
x ∉ B } = A ∩ B .
Contoh :
Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan
B – A = ∅ .
e. Beda Setangkup ( Symmetric Difference ) .
Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘ .
Misalkan A dan B adalah himpunan , maka beda setangkup antara A dan B
dinotasikan oleh : A ⊕ B = ( A ∪ B ) – ( A ∩ B ) = ( A – B ) ∪ ( B – A ) .
Contoh :
1. Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } , maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 } .
2. Beda setangkup memenuhi sifat – sifat berikut :
a) A ⊕ B = B ⊕ A ( hukum komutatif ) .
b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ ( B ⊕ C ) ( hukum asosiatif ) .
f. Perkalian Kartesian ( cartesian product ) .
Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ב .
Misalkan A dan B adalah himpunan , maka perkalian kartesian antara A dan B
Dinotasikan oleh : A × B = { ( a, b ) ⏐ a ∈ A dan b ∈ B } .
Contoh :
1. Misalkan C = {1, 2, 3} , dan D = { a, b } , maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a) ,
(2, b), (3, a), (3, b) } .
2. Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, makaA × B = himpunan
semua titik di bidang datar .
Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas
himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut
adalah perkalian antara kardinalitas masing – masing himpunan. Dengan
demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka : ⏐ A × B ⏐ = ⏐ A
⏐ . ⏐ B ⏐ .
Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a) .
Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif , yaituA × B ≠ B ×
A . dimana A atau B bukan himpunan kosong . Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B
= B × A = ∅ .
6

11. Hukum – hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut :
1. Hukum identitas:
a) A ∪∅ = A .
b) A ∩ U = A .
2. Hukum null/dominasi:
a) A ∩ ∅ = ∅ .
b) A ∪ U = U .
3. Hukum komplemen:
a) A ∪ A = U .
b) A ∩ A = ∅ .
4. Hukum idempoten:
a) A ∪ A = A .
b) A ∩ A = A .
5. Hukum involusi:
(A= A ) .
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
a) A ∪ (A ∩ B) = A .
b) A ∩ (A ∪ B) = A .
7. Hukum komutatif:
a) A ∪ B = B ∪ A .
b) A ∩ B = B ∩ A .
8. Hukum asosiatif:
a) A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪C.
b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
9. Hukum distributif:
a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) .
b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) .
10.Hukum De Morgan:
a) BA∩ = BA∪ .
b) BA∪ = BA∩ .
11.Hukum komplemen :
a) ∅ = U .
b) U = ∅ .
1.3. Prinsip Dualitas .
Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat
dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar . Contoh :
a. AS � kemudi mobil di kiri depan
b. Indonesia � kemudi mobil di kanan depan
7

12. Peraturan :
1. di Amerika Serikat :
a) mobil harus berjalan di bagian kanan jalan .
b) pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului .
c) bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung .
2. di Indonesia :
a) mobil harus berjalan di bagian kiri jalan .
b) pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului .
c) bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung .
Prinsip dualitas pada kasus diatas adalah:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga
peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.
(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity)
yang melibatkan himpunan dan operasi – operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. Jika
S* merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka dengan mengganti ∪ → ∩, ∩
→ ∪, ∅ → U, U → ∅, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula , maka
operasi – operasi tersebut pada kesamaan S* juga benar.
Tabel 1.1 Dualitas dari Hukum Aljabar Himpunan
NO KETERANGAN
1
Hukum identitas :
A ∪∅ = A
Dualnya:
A ∩ U = A
2
Hukum null/dominasi:
A ∩ ∅ = ∅
Dualnya:
A ∪ U = U
3
Hukum komplemen :
A ∪ A = U
Dualnya:
A ∩ A= ∅
4
Hukum idempoten :
A ∪ A = A
Dualnya:
A ∩ A = A
5
Hukum penyerapan :
A ∪ (A ∩ B) = A
Dualnya:
A ∩ (A ∪ B) = A
6
Hukum komutatif :
A ∪ B = B ∪ A
Dualnya:
A ∩ B = B ∩ A
7
Hukum asosiatif :
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪C
Dualnya:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
8
Hukum distributif :
A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Dualnya:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
9
Hukum De Morgan:
BA∪ = A ∩ B
Dualnya:
BA∩ = A ∪ B
10
Hukum 0/1 :
∅= U
Dualnya:
U = ∅
8

13. BAB 2 :
LANDASAN TEORI
MATEMATIKA DISKRIT HIMPUNAN .
Meski sekilas berbeda , akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori
himpunan berhubungan sangat erat .
Definisi :
himpunan ( set ) adalah kumpulan obyek – obyek tidak urut ( unordered ) atau
berbeda Obyek dalam himpunan disebut elemen atau anggota ( member )
Himpunan yang tidak berisi obyek disebut himpunan kosong ( empty set )
Universal set berisi semua obyek yang sedang dibahas . Contoh :
S = { a, e, i, o, u } .
U = himpunan semua huruf .
2.1. Teori Himpunan .
Himpunan: Kumpulan dari objek (“elemen”) yang berbeda . Hal semacam ini
dibagi menjadi 4 Bagian diantaranya :
 a∈A “a adalah elemen dari A”“a adalah anggota dari A” .
 a∉A “a bukan elemen dari A” .
 A = {a1, a2, …, an} “A mengandung …”Urutan dari penyebutan elemen tidak
berpengaruh.
 Seberapa sering elemen yang sama disebutkan tidakberpengaruh.
2.2. Kesamaan Himpunan .
Himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanyajika keduanya memiliki elemen
yang tepat sama . Contoh :
 A = { 9 , 2 , 7 , - 3 } , B = { 7 , 9, - 3 , 2 } → A = B .
 A = {anjing, kucing, kuda},B = {kucing, kuda, tupai, anjing} → A 5 B .
 A = {anjing, kucing, kuda},B = {kucing, kuda, anjing, anjing} → A = B .
2.3. Contoh – contoh Himpunan .
a. Himpunan “Standard” :
1. Bilangan CacahN = {0, 1, 2, 3, …} .
2. Bilangan Bulat Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} .
3. Bil. Bulat Positif Z+ = {1, 2, 3, 4, …} .
4. Bil. Riil R = {47.3, -12, π, …} .
5. Bil. Rasional Q = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …}(definisi yg tepat akan dibahas
kemudian) .
6. A = ∅ “himpunan kosong/himp. Nol” .
7. A = {z} Catatan: z∈A, tapi z ≠ {z} .
8. A = {{b, c}, {c, x, d}} .
9. A = {{x, y}}Catatan: {x, y} ∈A, tapi {x, y} ≠ {{x, y}} .
10.A = {x | P(x)}“himpunan semua x sedemikian hingga P(x)” .
11.A = {x | x∈N ∧ x > 7} = {8, 9, 10, …}“notasi pembentuk himpunan” .
9

14. b. Sekarang kita bisa mendefinisikan himpunan bilanganrasional Q:
1. Q = {a/b | a∈Z ∧ b∈Z+}Atau Q = {a/b | a∈Z ∧ b∈Z ∧ b≠0} .
2. Bagaimana dengan bilangan riil R?R = {r | r adalah bilangan riil} Belum ada cara
lain untuk menyatakannya dengan lebih baik .
2.4. Himpunan Bagian ( Subset ) .
A ⊆ B “A adalah himpunan bagian dari B”A ⊆ B jika dan hanya jika setiap elemen
dari A adalah juga elemen dari B.Yang bisa diformalkan sebagai : A ⊆ B ⇔ ∀x ( x∈A
→ x∈B ) . Contoh :
1. A = { 3 , 9 } , B = { 5 , 9 , 1 , 3 } , A □ B ? → Benar .
2. A = {3 , 3 , 3 , 9 } , B = { 5 , 9 , 1 , 3 } , A □ B ? → Benar .
3. A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } , A □ B ? → Salah .
2.5. Himpunan Bagian Ke 2 .
a. Aturan – aturan yang bermanfaat :
1. A = B ⇔(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) .
2. ∅  A untuk sebarang himpunan A .
3. A ⊆ A untuk sebarang himpunan A .
4. (A ⊆ B) ∧(B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C (lih. Diagram Venn) .
b. Himpunan Bagian Sejati ( proper subset ) :
1. A ⊂ B “A adalah himp. bagian sejati dari B” .
2. A ⊂ B ⇔∀x (x∈A → x∈B) ∧ ∃x (x∈B ∧ x∉A) atau A ⊂ B ⇔∀x (x∈A → x∈B)
∧ ￢x (x∈B → x∈A) .
10
C
B
A

15. 2.6. Kardinalitas dari Himpunan .
Jika suatu himpunan memiliki n buah anggota yang berlainan , n N , kita
menyebut S sebagai himpunan berhingga dengan kardinalitas n . contoh :
 A = {Mercedes, BMW, Porsche}, |A| = 3 .
 B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6} |B| = 4 .
 C = 5 |C| = 0 .
 D = { x5N | x 5 7000 } |D| = 7001 .
 E = { x5N | x 5 7000 } E tak berhingga! .
2.7. Himpunan Kuasa ( Power Set ) .
2A atau P(A) “power set dari A”2A = {B | B ⊆ A} (mengandung semua himpunan
bagian dari A ) . contoh :
 2A = {, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} .
 A = 2A = {}Catatan : |A| = 0, |2A| = 1
Kardinalitas dari power set :| 2A | = 2|A|
 Bayangkan setiap elemen didalam A memiliki saklar “ON/OFF” .
 Setiap konfigurasi yang mungkin dari saklar didalam Aberkores pondensi
dengan satu elemen didalam 2A .
 Untuk A yang memiliki 3 elemen , terdapat 2_2_2 = 8 elemen di dalam 2A .
2.8. Perkalian Kartesian .
Suatu n – tupelo berurutan (ordered n – tuple ) ( a1, a2, a3, …, an )
adalah sebuah koleksi berurut dari objek – objek .
Dua buah n – tupelo berurut ( a1, a2, a3, …, an ) dan ( b1, b2, b3, …, bn ) disebut
sama jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen – elemen yang tepat sama dalam
urutan yang juga sama , yakni , ai = bi untuk 1 i n .
2.9. Operasi terhadap Himpunan .
Penggabungan / Union: A∪B = {x | x∈A ∨ x∈B} . Contoh :
 A = {a, b}, B = {b, c, d} .
 A ∪ B = {a, b, c, d} .
Irisan / Intersection : A ∩ B = {x | x∈A ∧ x∈B} . Contoh :
 A = {a, b}, B = {b, c, d} .
 A∩B = {b} .
Dua buah himpunan disebut disjoint jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong :
A ∩ B = ∅ , Perbedaan ( pengurangan ) antara dua himpunan, A danB, adalah suatu
himpunan yang memiliki elemen – elemen Matematika Diskrit Kuliah – 2 18
didalam A yang bukan elemen B: A – B = {x | x∈A ∧ x∉B} . Contoh :
A = { a , b } , B = { b , c , d } , A – B = {a} .
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang mengandung semua elemen
dalam semesta pembicaraan yang tidak ada di dalam A :A = U – A . Contoh :
 U = N, B = {250, 251, 252, …} .
 B = {0, 1, 2, …, 248, 249} .
11

16. Bagaimana membuktikan A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)?Cara I:
 x∈A∪(B∩C) , ⇔x∈A ∨ x∈(B∩C) , ⇔x∈A ∨ (x∈B ∧ x∈C) .
 ⇔(x∈A ∨ x∈B) ∧ (x∈A ∨ x∈C) (hukum distributif untuk logika matematika) .
 ⇔x∈(A∪B) ∧ x∈(A∪C) , ⇔x∈(A∪B)∩(A∪C) .
Cara II: Menggunakan tabel keanggotaan ?
1 berarti “x adalah anggota dari himpunan ini” dan 0 berarti “x adalah bukan anggota
dari himpunan ini” :
A B C B∩C A∪(B∩C) A∪B A∪C (A∪B)∩(A∪C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
12

17. BAB 3 :
KERANGKA KERJA DAN PENELITIAN
MATEMATIKA DISKRIT HIMPUNAN .
3.1. Penggambaran Himpunan Menggunakan Diagram Ven :
a. Misalkan U = { 1 , 2 , ...... , 7 , 8 } , A = { 1 , 2 , 3 , 5 } dan B = { 2 , 5 , 6 , 8 } .
Diagram Venn – nya :
b. Notasi Himpunan Bagian :A⊆ B atau A ⊂ B .
13

18. c. Misalkan A = { 2 , 3 , 5 , 7 } dan B = { a , b , c , d } , maka A ~ B sebab ⏐
A⏐ = ⏐ B⏐ = 4Duahimpunan A dan B dikatakansalinglepas (disjoint)
jikakeduanyatidakmemilikiunsur yang sama.Notasi yang digunakanadalah A
// B .Jikadinyatakandalambentukdiagram Venn adalah sebagai berikut :
Contoh :
Jika𝐴 = { 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑁 , 𝑥 < 10 } 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = { 11 ,12 ,13 ,14 , 15 } ,
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴 // 𝐵 .
d. Operasi Himpunan
1. Irisan ( Intersection )
𝐴 ∩ 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵 } .
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
A = { 1 , 2 , 3 , 4 } dan B = { 2 , 4 , 6 , 8 } , 𝐴 ∩ 𝐵 = { 2 , 4 } .
14
U
A B

19. 2. Gabungan ( Union )
𝐴 ∪ 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵 } .
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
3. Komplement ( complement ) :
𝐴 = { 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑈 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴 } .
Jika dinytakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
4. Selisih ( difference ) .
𝐴 – 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐵 } = 𝐴 ∩ 𝐵 .
15

20. 5. Beda Setangkup ( Symmetiric Difference )
𝐴 ⊕ 𝐵 = ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) – ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = ( 𝐴 – 𝐵 ) ∪ ( 𝐵 – 𝐴 ) .
3.2. Membuat Tabel Himpunan :
a. Struktur Himpunan Mahasiswa Teknik Informatika ( A ) .
NO KETERANGAN
1 Mhs = { M1 , M2 , M3 , ………… Mn } .
2 Mk = { Mk1 , Mk2 , Mk3 , ………….. Mkn } .
3 Dosen = { D1 , D2 , D3 , ……………. Dn } .
4 Hari = { Senin , Selasa , Rabu , Kamis , Jum’at , Sabtu , Minggu } .
5 Jam = { 08 , 09 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , ………. , Dst } .
6 Ruang = { 01 , 02 , 03 , 04 , 05 , 06 , ……….. , Dst } .
7 Semester = { S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , ……….. Sn } .
b. Tabel Absensi Himpunan Mahasiswa Teknik Informatika ( A ) .
NO NAMA MAHASISWA
1
2
3
4
5
6
7
8 `
9
10
16

21. c. Struktur Jadwal Mata Kuliah Himpunan Teknik Informatika ( A ) .
Semester NO Mata Kuliah Dosen Ruang Kelas
Semester 1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Semester 2 1
2
3
4
5
6
17

22. d. Struktur Himpunan Jadwal Kuliah Tiap Semester ,
Teknik Informatika ( A ) .
DIAGRAM ( TABEL HIMPUNAN ) .
Semester 1
NO Mata Kuliah Ruang Kelas Hari Dosen Ruang Jam
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Semester 2
NO Mata Kuliah Ruang Kelas Hari Dosen Ruang Jam
1
2
3
4
18

23. 3.3. Cara Kerja Menghitung suatu Himpunan :
a. Operasi Terhadap Himpunan .
Contoh (example ) ;
a. N = { 0, 1, 2, 3, …. } = Himpunan Bilangan Natural .
b. Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. } = Himpunan Bilangan Bulat( Integer) .
c. Z+= { 1, 2, 3, …. } = Himpunan IntegerPositif .
d. Q = { 𝑝/𝑞 | 𝑝 ∈ 𝑍, 𝑞 ∈ 𝑍, 𝑞 ≠ 0 } = Himpunan Bilangan Rasional .
e. R = Himpunan Bilangan nyata ( RealNumbers) .
f. A dan B himpunan .
g. 𝐴 ∪ 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 } .
h. A ∩ B = { x | x ∈A ∧ x ∈ B } , jika A∩B = { } maka A dan B disebut
disjoint .
i. 𝐴 = { 𝑥 | 𝑥 ∉ 𝐴} = 𝑈 – 𝐴, 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑈 = 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑡 .
j. A ⊕B = { x | x ∈A ⊕x ∈B } ⊕= xor .
b. Definisi ;
a. A dan B merupakan Himpunan !
b. A = Bjika dan hanya jika Elemen – Elemen A sama dengan Elemen –
Elemen B .
c. A ⊆Bjika dan hanya jika tiap elemen A adalah ElemenB juga∀x (x ∈ A
→x ∈B) ,catatan: { } ⊆A dan A ⊆A .
d. A ⊂Bjika A⊆B dan A ≠B .
e. |A| = ndi mana A Himpunan Berhingga ( Finite Set) , (Himpunan A berisi
n obyek yang berbeda) , disebut banyaknya anggota ( Cardinality) dari A .
c. The Power Set :
S adalah himpunan berhingga dengan n anggotaMaka power set dari S –
dinotasikan P(S) – adalah himpunandari semua subsetdari S dan |P(S)| = 2n .
Contoh :
S = { a , b , c } .
P ( S ) = { { } , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } } .
d. The Cartesian Product:
A dan B adalah himpunan, maka A Χ B = { (a, b)| a ∈ A ∧b ∈B} .
Contoh :
A = { 1, 2 } , B = { p, q } .
A XB = { (1, p), (1, q), (2, p), (2, q) } ordered pairs .
Selanjutnya …
A XA XA = { (1, 1, 1) , (1, 1, 2) , (1, 2, 1) , (1, 2, 2) .
A XA XA = { (1, 1, 1) , (1, 1, 2) , (1, 2, 1) , (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2) , (2, 2,
1) , (2, 2, 2) }ordered triples.
19

24. e. Identitas himpunan:
Contoh :
Buktikan hukum De Morgan 𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴̅̅̅ ∪ 𝐵̅̅̅̅, Bukti: 𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ,
= { x | x ∉ (A ∩ B) } .
= { x | ¬ ( x ∈ (A ∩ B) ) } .
= { x | ¬ ( (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ) } .
= { x | (x ∉ A) ∨ (x ∉ B) } .
= { x | (x ∈ 𝐴̅̅̅) ∨(x ∈ 𝐵̅̅̅̅) } .
= { x | x ∈( 𝐴̅̅̅∪ 𝐵̅̅̅̅) } .
f. Representasi Komputer untuk Himpunan:
U = Universal Setberhingga , S = Himpunan .
Maka x∈ S dinyatakan dengan bit “ 1 ” , dan x ∉ S dinyatakan dengan bit
“ 0 ” .
Contoh :
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } .
S = { 1, 3, 5, 7, 9 } .
S direpresentasikan dengan 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 .
Contoh 2 :
U = { semua Huruf Kecil } .
S = { a, e, i, o, u } .
Representasinya :
1000100010 0000100000 10000 0 .
20

25. BAB 4 :
HASIL DAN PEMBAHASAN
HIMPUNAN MATEMATIKA DISKRIT
4.1. Pembahasan ( PrinsipInklusi – Eksklusi ) :
a. Pembahasan PrinsipInklusi :
| A ∪ B | = | A | + | B | – | A ∩ B | .
| A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | .
–|A ∩ B | – | A ∩ C | – | B ∩ C| .
+ | A ∩ B ∩ C| .
|A ∪B ∪C ∪D| = | A | + | B | + | C | + |D| .
–|A ∩ B | – | A ∩ C | – | A ∩ D| –|B ∩ C | – | B ∩ D | – | C ∩ D| .
+ | A ∩ B ∩ C | + | A ∩ B ∩ D| + | A ∩ C ∩ D | + | B ∩ C ∩ D| .
– | A ∩ B ∩ C ∩ D| .
Contoh:
Rosen Halaman 456 no.7 , Dari survei terhadap 270 orang di dapatkan hasil
sbb . :
1. 64 Suka Donat .
2. 94 Suka Bolu .
3. 58 Suka Kacang .
4. 26 Suka Donat dan Bolu .
5. 28 Suka Donat dan Kacang .
6. 22 Suka Bolu dan Kacang .
7. 14 Suka Ketiga jenis Makanan tersebut .
b. Pembahasan PrinsipEksklusi :
Berapa orang tidak suka makan semua jenis makanan yang disebutkan di atas ?
A = {orang yang suka donat} .
B = {orang yang suka bolu} .
C = {orang yang suka kacang} .
|A ∪B ∪C| = |A| + |B| + |C| –|A ∩B| –|A ∩C| – | B ∩ C| + | A ∩ B ∩ C| .
= 64 + 94 + 58 –26 –28 –22+ 14 = 154 .
Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis makanan tersebut ada sebanyak 270 –
154 = 116 orang jenis sayur .
21

26. 4.2. Hasil ( Prinsip Inklusi – Eksklusi ) .
a. Hasil Prinsip Inklusi :
1. 64 suka Donat .
2. 26 suka Donat dan
Bolu .
3. 94 suka Bolu .
4. 28 suka Donat dan
Kacang .
5. 14 suka Ketiga
Jenis Makanan
Tersebut .
6. 22 suka Bolu dan
Kacang .
7. 58 suka Kacang .
b. Hasil Prinsip Eksklusi :
1. 64 suka Donat .
2. 26 suka Donat dan
Bolu .
3. 94 suka Bolu .
4. 28 suka Donat dan
Kacang .
5. 14 suka Ketiga Jenis
Makanan Tersebut .
6. 22 suka Bolu dan
Kacang .
7. 58 suka Kacang .
KETERANGAN RUMUS
Yang tidak suka Makanan =
270 – 24 – 12 – 60 – 14 – 14 – 8 – 22 = 116
a + b + d + e = 64 .
b + c + e + f = 94.
d + e + f + g = 58 .
b + e = 26 .
d + e = 28 .
e + f = 22 .
e = 14 .
22

27. BAB 5
RINGKASAN DAN KESIMPULAN
HIMPUNAN MATEMATIKA DISKRIT
RINGKASAN PENYAJIAN HIMPUAN ( Keanggotaan Himpunan ) :
a. Untuk menyatakan keanggotaan dapatmenggunakan simbol ∈ .
b. Untuk menyatakan bukan keanggotaandapat menggunakan simbol ∉ .
c. Contoh :
d. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } .
∈A .
∉A .
e. Anggota himpunan dapat berupahimpunan lain.
A = {3, 4, 5} .
B = { 1, 2, { 3, 4, 5}, 6} .
A ∈B .
f. x = {x | x adalah himp bilangan positif lebihkecil dari 5} .
g. sehingga dapat ditulis:x = {x | x ∈ P, x < 5} .
h. x adalah bil rasional dapat ditulisx = {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0} .
KESIMPULAN :
Dari contoh – contoh yang diberikan, maka dapat kita simpulkan bahwa :
Setiap ekspresi logis dapat ditransformasikan ke dalam ekspresi ekivalen dalam teori
himpunan dan begitu pula sebaliknya.
DAFTAR PUSTAKA
1. informatika.stei.itb.ac.id ( Rinaldi Munir ) .
2. matematikadiskrit.blogspot.com ( 2012/11 ) Teori Himpunan Matematika Diskrit .
3. besmart.uny.ac.id ( mod, resource, view ) . php Matematika Diskrit .
4. matematikadiskrit.blogspot.com ( 2012/11 ) Teori Himpunan Matematika Diskrit .
5. https://unmtidung13.gnomio.com ( mod, resource, view ) .
6. https : // unmtidung 13 .gnomio.com ( mod, resource, view ) .
7. www.slideshare.net ( Kuliah Kita, Matematika diskrit & Himpunan Matematika ) .
23