Variabel random merupakan fungsi yang mengasosiasikan bilangan real ke setiap unsur ruang sampel. Dokumen menjelaskan definisi variabel random, contoh distribusi probabilitas satu dan dua variabel random, serta distribusi marginal dan bersyarat.

1. VARIABEL RANDOM
DISTRIBUSI PROBABILITAS

2. Variabel Random (Peubah
Acak)
Definisi :
Suatu fungsi yang mengaitkan suatu
bilangan real pada setiap unsur dalam
ruang sampel atau cara memberi harga
berupa angka kepada setiap elemen
ruang sampel

3. Contoh 1:
Eksperimen pelemparan sebuah koin sebanyak
tiga kali. Jika M menunjukkan hasil nampak
muka saat pelemparan dan B menunjukkan
hasil nampak belakang, maka kejadian yang
mungkin adalah munculnya sisi muka tiga kali,
dua kali, sekali, atau bahkan tidak muncul sama
sekali. Himpunan kejadian yang mungkin terjadi
adalah : {MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB,
BBM, BBB}  2 x 2 x 2

4. Jika uang tersebut “normal” (seimbang), dimana
masing-masing sisi memiliki peluang yang sama
untuk muncul di permukaan dalam tiap lemparan,
maka probabilitas terjadi masing-masing elemen
ruang sampel dalam himpunan hasil eksperimen
tersebut adalah 1/8.
Dengan kata lain : P (MMM ) = 1/8; P(MMB) = 1/8
P (MBM ) = 1/8, dst.

5. Jika variabel random x didefinisikan sebagai
“banyaknya M (nampak muka) dalam tiap
elemen”; maka variabel random x ini dapat
menjalani harga 0,1,2,3.
Harga-harga variabel random x dapat kita
tulis : x(MMM ) = 3; x(MBM) = 2; x(MBB) = 1;
x(BBB) = 0 dst.

6. Probabilitas variabel random untuk tiap
nilai x dapat dihitung dengan membagi
jumlah titik sampel tiap nilai x dengan
jumlah titik sampel seluruhnya. Sebagai
contoh :
 Jika x = 1, maka f(x = 1) = 3, dimana titik
sampelnya meliputi (MBB, BMB, BBM ).
Dengan demikian p(x = 1) = 3/8.
 Jika x = 0, maka f(x = 0) = 1 dimana titik
sampelnya adalah : ( BBB ), sehingga p( x
= 0 ) = 1/8.

7. Contoh 2:
Sebuah toko mempunyai persediaan 8
buah radio dimana 3 diantaranya
memiliki kecacatan. Sebuah organisasi
remaja bermaksud membeli 2 radio dari
toko tersebut tanpa meneliti ada
tidaknya kecacatannya. Buatlah
distribusi probabilitas radio dengan
cacat yang terbeli!

8. Jika variabel random x adalah
banyaknya radio dengan cacat yang
terbeli, maka nilai x adalah 0, 1, 2
Jumlah produk yg
akan dibeli

9. Probabilitas tiap nilai x ini dapat dihitung sebagai
berikut :
 3  5 
  
 0  2  10
f (0) = p ( x = 0) =    =
8 28
 
 2
 
 3  5 
  
 1  1  15
f (1) = p ( x = 1) =    =
8 28
 
 2
 
 3  5 
  
 2  0  3
f (2) = p ( x = 2) =    =
8 28
 
 2
 

10. Distribusi Probabilitas Variabel Random x
Definisi : Daftar semua harga variabel random x
beserta probabilitas masing-masing
harga.
Contoh :
X 0 1 2
f (x) 10/28 15/28 3/28

11. Distribusi kumulatif variabel
random x
Definisi : Bila F (x) = p (X ≤ x) untuk setiap
bilangan real x
F ( x) = p ( X ≤ x) = ∑ f ( x)........untuk − ∞ < x < ∞
t≤x

12. Contoh :
Menggunakan hasil contoh 2
10
F (0) = f (0) =
28
10 15 25 Nilai x:0, 1, 2, 3
F (1) = f (0) + f (1) = + =
28 28 28 Jadi, intrval yg
dapat dibuat
10 15 3 adalah
F (2) = f (0) + f (1) + f (2) = + + =1
28 28 28
0...........x < 0
10
 ........0 ≤ x < 1
 28
sehingga : F ( x) = 
 25 .......1 ≤ x < 2
 28
1...........x ≤ 2


13. PROBABILITAS BERSAMA 2
VARIABEL RANDOM
Definisi : Jika terdapat 2 atau lebih peubah acak
diamati secara bersamaan  Proses
pemberian harga dilakukan untuk tiap
elemen masing-masing variabel
f(x,y) = P(X=x W Y=y)
Contoh : Pada contoh 1, variabel random x
didefinisikan sebagai tampak muka (M)
dan variabel random y didefinisikan
untuk tampak belakang (B)

14. Contoh Perhitungan :
Suatu kotak terdapat 8 bola, terdiri dari 3
bola biru, 2 merah, 3 hijau. 2 bola diambil
secara acak dari kotak tersebut. Jika x
menunjukan banyak bola biru terambil dan
y menunjukan banyak bola merah
terambil, tulis disribusi probabilitas bersama
x dan y !

15. Pasangan harga ( Xi,Yi ) yang mungkin adalah
(0,1) ; (0,2) ; (1,1) ; (0,0) ; (2,0) ; (1,0)
8 8!
Kombinasi Total : 8C2 =  = = 28
 2  6!2!
 3  2  3 
Probabilitas kejadian f (0,1) =  0  1  1  = 2.3 = 6
   
28 28
28
Cari probabilitas untuk kemungkinan yg lain dan buat
bentuk distribusi probabilitas variabel random
bersama.

16. Distribusi Marginal
Distribusi kumulatif tunggal untuk masing-
masing peubah acak (variabel random) yang
diberikan oleh total kolom dan total baris
G ( x) = p ( X ≤ x) = ∑ f ( x)........untuk − ∞ < x < ∞
t≤x
H ( x) = p (Y ≤ y ) = ∑ f ( y )........untuk − ∞ < x < ∞
t≤x

17. Contoh :
Distribusi marginal dari
contoh sebelumnya :
x/y 0 1 2 ∑ Baris
0 3/28 6/28 1/28 10/28
1 9/28 6/28 0 15/28
2 3/28 0 0 3/28
∑ Kolom 15/28 12/28 1/28 1

18. Distribusi Bersyarat
Probabilitas bersyarat dinyatakan :
a. Bergantung hanya pada x untuk y tertentu
p( X = x ∩ Y = y)
p(Y = y X = x) =
p ( X = x)
f ( x, y )
f ( x y) = dengan H ( y ) > 0
H ( y)
b. Bergantung hanya pada y untuk x tertentu
p( X = x ∩ Y = y)
p( X = x Y = y ) =
p(Y = y )
f ( x, y )
f ( y x) = dengan G ( x) > 0
G ( x)

19. Contoh perhitungan
Tentukan distribusi bersyarat X untuk Y=1 kasus sebelumnya :
H (1) = f (0,1) + f (1,1) + f (2,1)
= 6/28 + 6/28
= 12/28
f (xl1) = f ( x,1) f ( x,1)
= = (28 / 12) . f ( x,1)
H ( y ) 12 / 28
untuk x = 0,1, dan 2
f (0l1) = (28/12) . 6/28 = 0,5
f (1l1) = (28/12) . 6/28 = 0,5
f (2l1) = (28/12) . 0 =0

20. Kejadian Tidak Bebas
Sifat ini berlaku untuk semua kemungkinan pasangan
f (x,y) ≠ G (x) . H (y)
Contoh:
Perhitungan sebelumnya, jika x = 0 dan y = 2, maka :
f (0,2) = 1/28
G (0) = 10/28
(10/28) . (1/28) = 10/ 784
H (2) = 1/28
1/28 ≠ 10/784  kedua peubah acak (variabel random)
bersifat tidak bebas

21. Perhitungan probabilitas bersama jika peubah acak
merupakan himpunan ruang dengan fungsi yang
ditentukan.
p[ (X,Y) ε A ] , untuk A = {(x,y) l f (x,y)}
Contoh :
Kasus sebelumnya, tentukan p[ (X,Y) ε A ] , untuk A =
{(x,y) l x+y ≤ 1}
X=0,1,2 dan Y=0,1,2
f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = 8/28 + 6/28 + 6/28
= 16/28

22. Latihan :
1 bungkus permen yang berisi 9 buah yang
terdiri dari 3 rasa apel, 2 rasa mangga, dan 4
rasa jambu. Secara acak diambil 3 buah
permen dari satu bungkus permen. Jika X
merupakan var. random untuk rasa mangga
dan Y var. random untuk rasa apel. Tentukan :
a. Distribusi probabilitas bersama
c. Distribusi bersyarat X untuk Y = 1