Teks tersebut membahas mengenai distribusi teoritis dan beberapa jenis distribusi yang sering digunakan seperti distribusi binomial, Poisson, normal, dan lainnya. Jenis distribusi dipilih berdasarkan karakteristik dari data yang akan dianalisis, misalnya untuk peramalan atau menentukan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.

1. DISTRIBUSI TEORITIS
Dr. Teguh Hadi
Priyono

2. Distribusi teoritis merupakan alat untuk menentukan apa yg dapat diharapkan,
dengan asumsi-asumsi yang dibuat benar. Distribusi teoritis sering digunakan sbg
dasar pembanding dr suatu hasil observasi, dan sering digunakan sbg pengganti
distribusi sebenarnya. Hal ini penting, karena untuk menyusun distribusi sebenarnya
yg harus diperoleh melalui eksperimen membutuhkan biaya yg mahal dan sulit
dilakukan. Distribusi teoritis memungkinkan pengambil keputusan untuk memperoleh
dasar logika yg kuat, dan sangat berguna sbg dasar pembuatan ramalan
(forecasting / prediction), berdasarkan informasi terbatas atau pertimbangan teoritis,
dan berguna pula untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu kejadian.
Beberapa distribusi teoritis, yaitu: distribusi binomial, distribusi poisson, distribusi
hipergeometrik, distribusi multinomial, distribusi normal, distribusi kai-kuadrat,
distribusi F, dan distribusi t.
Ahli tanaman menggunakan distribusi binomial untuk meramalkan penyilangan
(crossing) berbagai varietas tanaman yg berbeda. Ahli pengendali mutu (quality
control specialist) menggunakan distribusi poisson untuk memutuskan, apakah
suatu proses produksi sudah berjalan dgn baik. Ahli antropologi menggunakan
distribusi normal untuk membandingkan karakteristik dua populasi.
Ahli riset pemasaranan menggunakan distribusi kai-kuadrat untuk menentukan
apakah ada perbedaan yg berarti dr reaksi konsumen thd perubahan produk. Ahli
agronomi menggunakan distribusi F untuk menentukan apakah perbedaan teknik

3. Distribusi Binomial
Eksperimen dikatakan eksperimen binomial apabila;
1. Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trial),
2. Setiap eksperimen mempunyai 2 hasil yang dikategorikan menjadi “sukses” dan
“gagal”,
3. Probabilitas sukses nilainya sama pada setiap eksperimen,
4. Eksperimen tersebut harus bebas (independen) satu sama lain, artinya hasil
eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen lainnya.
P(x) = P(X = x) = n!/x!(n – x)! (px qn-x) q = (1 – p)
Contoh; Seorang penjual mengatakan bahwa diantara seluruh barang dagangan,
ada yg rusak sebanyak 20%. Seorang pelanggan membeli barang tersebut
sebanyak 8 buah dan dipilih scr acak. Jika X = banyaknya barang yg tidak
rusak (bagus), maka hitung semua probabilitas untuk memperoleh X, dan
probabilitas kumulatifnya.
x n- x p,(x) F(x) = P(X
≤ x)
0 8 1(0,8)0 (0,2)8 =
0,0000
0,0000
1 7 8(0,8)1 (0,2)7 =
0,0001
0,0001
2 6 28(0,8)2 (0,2)6 =
0,0011
0,0012
3 5 56(0,8)3 (0,2)5 =
0,0092
0,0104
4 4 70(0,8)4 (0,2)4 =
0,0459
0,0563
5 3 56(0,8)5 (0,2)3 = 0,2031

4. Rata-rata dan varians Distribusi Binomial
Rata-rata Distribusi Binomial
μ = E(X) = Σxpr(x)
= Σx [n!/x!(n – x)!] px qn-x dimana x = 1, 2, 3, ….., n
= n.p
Varian Distribusi Binomial
σ2 = E[X – E(X)]2
= E(X – np)2
= n.p.q maka simpangan baku distribusi binomial
adalah σ = √n.p.q
Contoh; Satu uang logam dilempar 4 kali, dimana probabilitas muncul angka sama
dengan ½ . Hitunglah rata-rata dan simpangan bakunya.
Rata-rata μ = n.p
= 4. (1/2)
= 2
Simpangan baku σ2 = n.p.q
= 4.(1/2).(1/2)
= 1 Simpangan baku = 1
n
n

5. Distribusi Poison
Pada distribusi probabilitas binomial dimana probilitas sukses (p) kurang dari 0,5
dan jumlah eksperimen (n) sangat besar, maka perhitungan dengan menggunakan
distribusi binomial hasil perhitungannya akan semakin melenceng. Maka
dikembangkan distribusi poisson. Distribusi poisson melibatkan jumlah n yg besar
dengan p kecil, biasanya digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu
kejadian dalam suatu selang waktu dan daerah tertentu, misal banyaknya bakteri
dalam air bersih, banyaknya presiden yg meninggal akibat kecelakaan, banyaknya
kesalahan ketik pada laporan penelitian, dsb. Distribusi poisson digunakan untuk
menghitung probabilitas suatu kejadian yg jarang terjadi.
Rumus penyelesaian distribusi poisson;
pr(x) = (λx e-λ)/x! dimana λ = rata-rata distribusi (λ = n.p)
Misal; Pemilik pabrik rokok melakukan promosi produk A. Diantara 1.000 batang
rokok terdapat 5 batang yang diberi tulisan berhadiah, dan dicampur scr acak.
Apabila X menyatakan banyaknya batang rokok yang terdapat tulisan berhadiah
dalam satu bungkus rokok merek A, dimana setiap bungkusnya berisi 20
batang. Tentukan berapa P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4)
n = 20, p = 5/1.000 = 0,005, dan λ = n.p = 20.(0,005) = 0,1
X 0 1 2 3 4

6. Contoh; Kepala bagian kredit beranggapan bahwa 4% dr nasabahnya tidak puas
dengan pelayanan bank tersebut, kemudian dipilh scr acak 50 orang nasabah.
Hitung p(x) untuk x = 0, 1, 2, ……, 9, dan distribusi kumulatif F(x) = P(X ≤ x).
n = 50, dan λ = n.p = 50(0,04) = 2
x p,(x) F(x) = P(X ≤
x)
0 0,1353 0,1353
1 0,2707 0,4060
2 0,2707 0,6767
3 0,1804 0,8571
4 0,0902 0,9473
5 0,0361 0,9834
6 0,0120 0,9954
7 0,0034 0,9988
8 0,0009 0,9997
9 0,0002 0,9999
Lampiran Distribusi
Poisson
Rata-rata dan Varians Distribusi
Poisson
μ = E(X)
= Σ x. [(λx e-λ)]/x!
= λ
σ2 = E(X - λ)2
= λ simpangan baku adalah σ =
√λ
∞
n=0

7. Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi yg banyak digunakan dalam berbagai
penerapan. Distribusi ini merupakan distribusi kontinu yg mensyaratkan variabel yg
diukur harus kontinu, misal tinggi badan, berat badan, jml curah hujan, hasil ujian,
dsb.
Kurva normal
Suatu variabel acak kontinu X, memiliki distribusi berbentuk lonceng disebut
variabel acak normal. Persamaan matematika distribusi probabilitas acak normal
tergantung pada dua parameter, yaitu μ dan σ atau nilai tengah dan simpangan
bakunya. Fungsi kepadatan probabilitas normal adalah:
ƒ(x) = e–½[(x-μ)/σ] untuk –∞ ≤ x ≤ ∞
Apabila nilai-nilai dan diketahui, maka dapat digambarkan kurva normal dgn pasti,
bagaimana bentuk dan ketinggian kurva normal.
σ√2π
1 2
Kurva normal dgn μ1 ≠ μ2
tetapi σ1 = σ2
Kurva normal dgn μ1 = μ2
tetapi σ1 ≠ σ2
Kurva normal dgn μ1 ≠ μ2
tetapi σ1 ≠ σ2
μ1 = μ2
μ1 μ2 μ1 μ2

8. Distribusi Binomial
Distribusi Poison
μ1 = μ2

9. Karakteristik distribusi normal:
1. Distribusi normal memiliki dua parameter, yaitu μ dan σ yg masing-masing menentukan
lokasi dan bentuk distribusi,
2. Titik tertinggi kurva normal berada pd rata-rata,
3. Distribusi normal adalah distribusi yg simetris,
4. Simpangan baku (standar deviasi) σ, menentukan lebar kurva. Makin kecil nilai σ,
maka bentuk kurva makin runcing.
5. Total luar daerah dibawah kurva normal adalah 1 (hal ini berlaku untuk seluruh
distribusi probabilitas kontinu),
6. Jika jarak masing-masing nilai X terhadap rata-rata μ diukur dengan simpangan baku
σ, maka kira-kira 68 berjarak 1σ, 95% berjarak 2σ, dan 99% berjarak 3σ, atau
P(μ - 1σ ≤ X ≤ μ + 1σ) = 68% (68,26%)
P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) = 95% (95,46%)
P(μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = 99% (99,74%)
μ - 3σ μ - 2σ μ - σ μ μ + σ μ + 2σ μ + 3σ X
Z-3 -2 -1 0 1 2 3
68,26
%
95,46
%
99,74
%

10. Distribusi normal Baku (Standar)
Z = (X - μ)/σ
Bila x berada di antara x = x1 dan x = x2, mk variabel acak z akan berada di
antara nilai-nilai x tersebut;
z1 = (x1 - μ)/σ dan z2 = (x2- μ)/σ
x1 x2 z1 z2
σ σ=1
μ=0μ
Variabel normal baku Z mempunyai rata-rata μ = 0 dan standar deviasi σ = 1

11. Dengan menggunakan tabel normal, hitunglah:
a) P(0 ≤ Z ≤ 1,20) b) P(Z ≥ 1,54) c) P(Z ≥ -0,86) d) P(-0,5 ≤ Z ≤ 0,75)
a)
1,200
b)
1,540
P(0 ≤ Z ≤ 1,20) = 0,3849
P(Z ≥ 1,54) = P(Z ≥ 0 – P(Z ≤
1,54)
= 0,5000 – 0,4382
= 0,0618
c)
-0,86 0
P(Z ≥ -0,86) = P(0 ≤ Z ≤ 0,886) +
P(Z ≥ 0)
= 0,3051 + 0,5000
= 0,8051
d)
0,750-0,5
P(-0,5 ≤ Z ≤ 0,75) = P(0 ≤ Z ≤ 0,5) + P(0
≤ Z ≤ 0,75)
= 0,1915 + 0,2734
= 0,4649

12. Apabila diketahui bahwa X – N(μ, σ2) = N(12, 4), dan σ = √σ2, maka hitung P(11 ≤ X ≤ 14)
c)
1211 14
σ = √σ2 = √4 = 2 Z = (X - μ)/σ
Untuk X = 11 Z = (11 -12)/2
= -0,50
Untuk X = 14 Z = (14 – 12)/2 =
1
P(11 ≤ X ≤ 14) = P(-0,50 ≤ Z ≤ 1)
= P(0 ≤ Z ≤ -0,50 ) + P(0 ≤ Z ≤ 1)
= 0,1915 + 0,3413
= 0,5328
-0,5 10
X
Z
Satu uang logam dilempar sebanyak 4 kali. X menyatakan banyaknya gambar yg
muncul. Dengan menggunakan pendekatan fungsi normal hitunglah p(x), maka hitunglah
probabilitas bahwa X > 2.
X = 0 p(0) = 0,0625 μ = E(X) = n.p = 4. ½ = 2
X = 1 p(1) = 0,2500 σ = √n.p.q = √ 4. ½. ½
= 1
X = 2 p(2) = 0,3750
X = 3 p(3) = 0,2500 Z = (X - μ)/σ = (2,5 – 2)/ 1
= 0,5
X = 4 p(4) = 0,0625
P(X > 2) = P( Z > 0,1) Dengan Binomial P(X > 2) = P(X =
3) + P(X = 4)
= P(Z ≥ 0) - P(0 ≤ Z ≤ 0,5) = 0,2500 + 0,0625

13. Perusahaan ban melakukan tes dr produk terbarunya, dengan melakukan pengukuran rata-
rata ban tsb rusak. Hasil uji dapat disajikan pada tabel berikut. Apabila yg ditempuh sampai
ban rusak 25.300 km dengan simpangan baku 6.100 km. Dengan menggunkan pendekatan
distribusi normal. Buat distribusi normal kumulatif sbg pendekatan distribusi frekuensi kumulatif
Batas
Kelas
(ribu km)
Nilai
Tengah (X)
Banyak
Ban (f)
fr F(X) Z Distribusi
Normal
Kumulatif
F(X)
13 – 15 14 20 0,050 0.050 -1,85 0,0322
16 – 18 17 40 0,100 0.150 -1,36 0,0869
19 – 21 20 50 0,125 0.275 -0,87 0,1922
22 – 24 23 70 0,175 0.450 -0,38 0,3520
25 – 27 26 80 0,200 0.650 0,11 0,5438
28 – 30 29 60 0,150 0.800 0,61 0,7291
31 – 33 32 40 0,100 0.900 1,10 0,8665
34 – 36 35 30 0,075 0.975 1,59 0,9441
37 - 39 38 10 0,025 1.000 2,08 0,9812
Jumlah 400 1,000
Z = (X – μ,)/σ = (X – 25,3)/6,1
Z1 = (14 – 25,3)/6,1 = -1,85 P(Z ≤ -1,85) Z1 = (29 – 25,3)/6,1 = 0,61
P(Z ≤ 0,61)
Z2 = (17 – 25,3)/6,1 = -1,36 P(Z ≤ -1,36) Z7 = (32 – 25,3)/6,1 = 1,10
P(Z ≤ 1,10)
Z3 = (20 – 25,3)/6,1 = -0,87 P(Z ≤ -0,87) Z8 = (35 – 25,3)/6,1 = 1,59
P(Z ≤ 1,59)

14. F(X) F(k)
15,
5
18,
5
21,
5
24,
5
27,
5
30,5 33,
5
36,
5
39,
5
0,
2
0,
4
0,
6
0,
8
1,
0
F(X) = Distribusi Normal
Kumulatif
F(k) = Frekuensi
Kumulatif
F(X)
F(k)
Skala
X