Materi Probabilitas & Statistika tentang distribusi binomial, normal & poisson

1. Probability & Statistics
Binomial, Normal Standard & Poisson Distribution
Dibuat oleh: Bayu Rima Aditya

2. Aku gagal! Aku baru
saja gagal lulus uji
kelayakan pilot!!!
Apa yg harus Anak itu lakukan??
Ia bisa mengulangi eksperimennya..berkali-kali..
Eksperimen yang bisa diulang dikenal jg dengan Percobaan Bernoulli

3. Sifat-sifat Percobaan Bernoulli:
1. Hasil setiap percobaan adalah sukses atau gagal.
2. Probabilitas p sukses sama besar untuk setiap percobaan.
3. Percobaan bersifat independen: hasil dari satu percobaan tidak
mempengaruhi hasil percobaan berikutnya.

4. Berapa kali Anak
kecil itu bisa lulus n
kali uji kelayakan
pilot??
Peubah Acak Binomial  X adalah jumlah keberhasilan Percobaan Bernoulli dengan
probabilitas keberhasilan p yang diulang sebanyak n kali.
xnx
xn ppCpnxbxfxXP 
 )1.(.),,()()(

5. Probabilitas seorang calon pilot dapat lulus uji kelayakan terbang pesawat
Mas MH370 adalah 0.8. Jika terdapat 4 calon pilot yang akan diuji, berapa
probabilitas bahwa tepat 2 calon pilot yang akan berhasil?
CONTOH:
1536.0)8.01.()8.0.()8.0,4,2()2()2( 242
24  
CbfXP
xnx
xn ppCpnxbxfxXP 
 )1.(.),,()()(

6. p = 0.8
n = 4
x f(x)
0 0.0016
1 0.0256
2 0.1536
3 0.4096
4 0.4096
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
f(x)
x
Distribusi Probabilitasnya jika p=0.8:

7. Pertanyaan lanjutan:
a. Berapa probabilitas bahwa tidak ada calon pilot yang diuji akan berhasil?
b. Berapa probabilitas bahwa minimal terdapat 1 calon pilot yang akan
berhasil?
Jawab:
a. f(0) = 0.0016
b. f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0,9984 atau cara lainnya 1 – f(0)

8. Distribusi Probabilitasnya jika p=0.5:
p = 0.5
n = 4
x f(x)
0 0.0625
1 0.25
2 0.375
3 0.25
4 0.0625
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
f(x)
x
Jika p=0.5, distribusi
probabilitas
binomialnya menjadi
simetris sempurna

9. Distribusi Probabilitasnya jika p=0.9:
p = 0.9
n = 4
x f(x)
0 0.0001
1 0.0036
2 0.0486
3 0.2916
4 0.6561
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
f(x)
x

10. Distribusi Probabilitasnya jika p=0.99:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
f(x)
x
p = 0.99
n = 4
x f(x)
0 0.00000001
1 0.00000396
2 0.00058806
3 0.03881196
4 0.96059601

11. Mean dan Variansi Distribusi Binomial
np
)1(2
pnp 

12. Membaca tabel kumulatif binomial  x=0 ; n= 4; p=0.8

13. Jika p=0.5 dan n yang sangat besar, maka distribusi binomial bisa
didekati dengan sebuah fungsi kerapatan kontinu yang dinamakan
distribusi normal standar dengan meletakkan pusat atau µ = 0 dan
menjadikan simpangan baku atau σ = 1.
2
2
2
1
)(
z
exf



2
)(
2
1
2
1
),( 






x
exf
Rumus ini menggambarkan distribusi berbentuk
lonceng simetrik yang berpusat pada mean µ dan
simpangan baku σ
np
)1( pnp 

14. Central Limit Theorem
Normal baku cocok dengan binomial (yang telah dinormalkan) yang
memiliki p = 0.5. Distribusi binomial tidak simetris jika p ≠0.5. Akan
tetapi dalam prakteknya normal baku ternyata cocok juga untuk
sembarang nilai p. Semakin bertambah nilai n maka bentuk asimetris
binomial menjadi hilang. Sehingga semua binomial akhirnya pasti
menjadi normal.

15. Transformasi Z
Mengubah suatu variabel acak normal dengan mean µ dan simpangan
baku σ menjadi suatu variable acak normal standar dengan mean 0 dan
simpangan baku 1.



x
z
X z

16. Tabel Normal Standar Untuk Mencari Nilai Probabilitas
Sembarang Distribusi Normal
)()()(



 



a
F
b
FbXaP

17. Distribusi Binomial dengan pendekatan Distribusi Normal
Kita harus memasukkan koreksi kontinuitas untuk mendapatkan
pendekatan kontinu variable yang bagus untuk variable acak binomial
diskrit X. Sehingga rumus akan menjadi:
)
)1(
2
1
)1(
2
1
()(
pnp
npb
Z
pnp
npa
PbXaP






Pendekatan ini menjadi “cukup bagus” ketika np ≥ 5 bila p ≤ 0.5

18. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson menunjukkan perilaku sebuah peubah acak binomial
dengan jumlah eksperimen yang sangat begitu besar dan dengan
probabilitas keberhasilan yang begitu kecil.
!
.
),()()(
x
te
txpxfxXP
xt




npt
dengan


19. Distribusi Normal
Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X=x
dengan persamaan
e
2
1
=)xf(
2
2
1 -x
- 









20. 0 2 4 6 8 10
0.00.10.20.30.40.5
x
dnorm(x,5,1)
Distribusi Normal
Gambar Kurva normal dengan simpangan baku sama

21. -4 -2 0 2 4
0.00.51.01.5
x
dnorm(x,0,0.25)
Distribusi Normal
Gambar Kurva normal dengan rata-rata sama

22. -6 -4 -2 0 2 4
0.00.20.40.60.8
x
dnorm(x,1,0.5)
Gambar Kurva normal dengan mean dan standart deviasi
yang berbeda

23. Distribusi Uniform
Bila X merupakan variabel random uniform kontinu yang terdefinisi
pada selang (A,B) maka fungsi peluang dari X adalah








lainnya
BxA
AB
BAxf
0
1
),;(
   ABXE 
2
1
   2
12
1
ABXVar 
Rata-rata dan variansi distribusi uniform adalah

24. Distribusi kumulatif dari peubah acak X yang berdistribusi uniform
didefinisikan sebagai berikut











Bx
BxA
AB
Ax
Ax
xXP
1
0
)(

25. Distribusi Eksponensial
Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter,
, jika fungsi padatnya berbentuk:
1
0
0
0
x
e ; xf(x)
; x yanglain
dengan




  



Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial adalah
2 2dan    

26. 26
Distribusi gamma
Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter >0 dan β>0, bila fungsi padatan
berbentuk
untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.
Rataan dan variansi distribusi gamma adalah
dan
Catatan: Bila =n, n bil bulat positif maka Γ(n) = (n-1)!
  







 



x
xxf exp
1
)( 1
  22
 

27. 27
Distribusi Weibull
Peubah acak kontinu X berdistribusi Weibull dengan parameter  dan β, bila fungsi padatan
berbentuk
untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.
Rataan dan variansi distribusi Weibull adalah
dan
 
 xxxf  
exp)( 1






 

  1
1/1


























 
2
/22 1
1
2
1

 