Bab 4 membahas konsep ekspektasi matematika, varians, dan kovarians variabel acak, serta hubungannya dengan kombinasi linier variabel acak. Teorema Chebyshev menyatakan probabilitas variabel acak berada dalam k kali standar deviasi dari rata-rata. Parameter-parameter statistik ini penting dalam memahami sifat distribusi probabilitas.

1. Ekspektasi Matematika
Chapter 4

2. - Mean of random variable
- Variance dan covariance of random variable
- Means and Variances of Linear Combinations of
Random Variables
- Teorema Chebyshev
- Potential Misconceptions and Hazards;
Relationship to Material in Other Chapters
Ekspektasi Matematika
Sub Pokok pembahasan :

3. Ekspektasi matematika atau harga harapan atau
mean(rata- rata) atau sering disebut ekspektasi saja, adalah
satu konsep penting dalam teori dasar statistika. Jika X
adalah sembarang variabel random, maka ekspektasi
matematika dari variabel random X biasanya dinotasikan
dengan E(X) atau µ

4. 4.1 Mean Of Random Variable
rata – rata pada sample acak
• Misalkan dua uang logam dilempar secara bersamaan sebanyak
16 kali. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi angka (A) yang
muncul pada setiap pelemparan, maka X dapat bernilai 0, 1, atau
2. misalkan pada eksperimen tersebut dicatat berapa kali muncul
0, 1, atau 2 sisi angka pada setiap pelemparan. Dan diperoleh
hasil masing - masing 4kali, 7 kali, dan 5 kali. Berapa rata – rata
angka yang akan muncul pada setiap lemparan?
• Mean(rata) atau nilai harapan variabel acak X adalah hal penting
di dalam statistik karena menggambarkan di mana distribusi
probabilitas berpusat

5. • Rata – rata banyaknya sisi angka muncul pada setiap
pelemparan kedua koin tersebut adalah
• Notasi :
E(X) = nilai harapan / ekpektasi matematika

6. • Untuk suatu peubah acak diskrit X yang memiliki nilai – nilai yang mungkin
x1, x2, …, xn. Nilai harapan dari X didefinisikan sebagai :
Mengingat P(X=xi ) = f(xi ), maka :

7. Ruang sampel dari contoh pelemparan dua uang logam :
S = {AA, AG, GA, GG}
Sehingga :
P(X=0) = P(GG) = ¼
P(X=1) = P(AG) + P(GA) = ¼ + ¼ = ½
P(X=2) = P(AA) = ¼
Maka, rata – rata banyaknya sisi angka yang muncul pada pelemparan dua
buah uang logam adalah :
μ = E(X) = (0)(1/4) + (1)(1/2) + (2)(1/4) = 1
• Jadi, bila kita melempar dua uang logam secara berulang – ulang, maka rata
– rata akan memperoleh satu sisi angka yang muncul pada setiap lemparan

8. • Misalkan X adalah peubah acak dengan distribusi peluangf(x).
Nilai harapan atau rata – rata X adalah :
Untuk X diskrit, dan
Untuk X kontinu.

9. • Contoh 2. Sebuah panitia beranggotakan 3 orang dipilih secara acak dari 4
orang mahasiswa Tektel dan 3 orang mahasiswa IF. Berapa nilai harapan
banyaknya mahasiswa Tektel yang terpilih dalam panitia tersebut ?
Solution : misalkan X menyatakan jumlah mahasiswa yang terpilih dalam
panitia tersebut. Nilai X yang mungkin adalah 0,1,2 dan 3. distribusi
peluang X adalah
f(x) = C(4,x) C(3, 3-x) / C(7, 3)
simple calculation f(0) = 1/35, f(1) = 12/35, f(2) = 18/35, and f(3) = 4/35.
maka dari itu ,
μ = E(X) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (2)(18/35) + (3)(4/35) = 1.7
Jadi, secara rata – rata terpilih 1,7 orang mahasiswa Tektel dalam panitia yang
beranggotakan 3 orang tersebut.

10. Theorem 4.1
• Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan distribusi peluang f(x). Nilai
harapan / expected value dalam peubah acak g (x) adalah:
μg(x) = E[g(X)] = Σg(x)f(x)
bila X diskrit, dan
μg(x) = E[g(X)] = Σg(x)f(x)
Bila X kontinu

11. Contoh 2. banyanknya mobil yang masuk ke tempat cuci mobil antara jam
13.00 – 14.00 setiap harinya mempunyai distribusi peluang :
x 4 5 6 7 8 9
f(x) 1/12 1/12 ¼ ¼ 1/6 1/6
Misalkan g(x) = 2x-1 menyatakan upah dalam (Rp) para kaaryawan yang
dibayar perusahaan pada jam tersebut. Hitunglah harapan pendapatan
karyawan pada jam tersebut
Jawab:
E[(g(X)] = E(2x – 1) =
= (7)(1/2) + (9)(1/2) + (11) (1/4) + (13)(1/4) + (15)(1/6) +
(17)(1/6)
= 12.67

12. 4.2 Variance Covariance Of Random
Variable
• Pada Gambar 1.1 kita memiliki histogram dari dua distribusi
probabilitas diskrit dengan sama RATA-RATA= 2 yang berbeda dalam
variabilitas atau dispersi dari pengamatan mereka terhadap mean.
• Tapi yang paling penting dari variabilitas dari variabel acak X diperoleh
dengan menerapkan Teorema 1.1 dengan g (X) = (X - ft)2. Ini disebut
sebagai varian dari variabel acak X atau varians dari distribusi probabilitas
X dan dilambangkan dengan Var (X) atau simbol , atau hanya dengan 2
untuk yang random variabel yang kita lihat.

13. Teori 1
•Kuantitas x - u di atas disebut penyimpangan pengamatan dari mean. Karena
penyimpangan ini di kuadratkan dan kemudian dirata-rata 2 akan jauh lebih kecil
untuk satu set nilai-nilai x yang dekat dengan daripada itu akan untuk satu set nilai-
nilai yang bervariasi dari .

14. Contoh 1. Biarkan variabel acak X merupakan jumlah mobil yang digunakan
untuk tujuan bisnis resmi pada setiap hari kerja yang diberikan. Distribusi
probabilitas untuk perusahaan A adalah ?
Dan untuk perusahaan B
• Buktikan bahwa varians dari distribusi probabilitas untuk perusahaan B
lebih besar dibandingkan dengan Perusahaan A. ?

15. Untuk perusahaan A, dapat diketahui bahwa
A = E(X) = (1)(0.3) + (2)(0.4) + (3)(0.3) = 2.0,μ
lalu
Untuk Perusahaan B, didapati
μB = E (X) = (0) (0,2) + (1) (0,1) + (2) (0,3) + (3) (0,3) + (4) (0,1) = 2,0,
lalu

16. • Jelas, varians dari jumlah mobil yang digunakan untuk keperluan bisnis tujuan
lebih besar bagi perusahaan B daripada perusahaan A. Sebuah alternatif dan
pilihan formula untuk mencari , yang sering menyederhanakan perhitungan,
dinyatakan dalam teorema berikut.

17. Teori 2
Untuk Diskrit
Untuk Kontinu yang awalnya digunakan sigma(penjumlahan) diganti
dengan interasi

18. Contoh 2. Berikut ini adalah distribusi probabilitas x,x merupakan jumlah
komponen mesin rusak akibat 3 sample mesin uji coba .!
Hitunglah variance menggunakan teorema diatas:
Jawab :
= (0) (0.51) + (1) (0.38) - (2) (0,10) + (3) (0.01) = 0.61.
E(X2) = (0) (0.51) - (1) (0.38) - (4) (0.10) J- (9) (0,01) = 0,87.
lalu
Jika X variabel random dengan distribusi probabilitas f (x). Varians dari
variabel random g (X) adalah

19. 4.3 Means and Variances of Linear Combinations of
Random Variables
Teorema 1. Jika a dan b adalah konstanta, maka
E(aX + b) = aE(X) + b.
Dengan definisi expected value
Integral pertama disebelah kanan adalah E(x) dan Integral kedua sama
dengan 1. oleh karena itu didapati
E(aX + b) = aE(X) + b.

20. Contoh 1. dengan menggunakan teorema 1 untuk variable acak diskrit f(X) =
2x-1, kerjakan ulang contoh 4.4 dihalaman 115.
x 4 5 6 7 8 9
f(x) 1/12 1/12 ¼ ¼ 1/6 1/6
Teorema 1 : E(2x-1) = 2E(X) - 1
Hasilnya :

21. • Dengan soal yang sama kerjakan nilai yang bernilai kontinu g(X) = 4x+3
Dengan teorema 1 didapat : E(4X + 3) = 4E(X) + 3
sehingga

22. 4.4 Teorema chebyshev
• (Chebyshev Teorema) Probabilitas bahwa variabel acak X akan
menganggap nilai dalam k standar deviasi dari mean setidaknya
1-1 / k2. Yaitu adalah
• Untuk k = 2, teorema menyatakan bahwa variabel acak X memiliki
probabilitas setidaknya 1-1 / 22= 3/4 dimasukkan dalam dua standar
deviasi dari mean. bahwa, tiga-perempat atau lebih dari setiap
pengamatan yang memasukan distribusi dalam interval μ ± 2σ. Demikian
pula, teorema menyatakan bahwa setidaknya delapan-sembilan dari
setiap pengamatan penurunan distribusi dalam interval μ ± 3σ.

23. Contoh 1: Suatu variabel acak X memiliki mean μ = 8, sebuah σ varians 2 =
9, dan tidak diketahui distribusi probabilitas. Temukan
(a) P(-4 <X<20),
(b) P(|X - 8|=6).
solution

24. • Teorema Chebyshev berlaku untuk setiap distribusi pengamatan, dan untuk itu
hasilnya biasanya rendah. Nilai yang diberikan oleh teorema adalah lebih
berbeda sedikit. Artinya, kita tahu bahwa probabilitas variabel random
dimasukkan dalam dua standar deviasi dari mean yang tidak dapat kurang dari
3/4, tapi kita tidak pernah tahu berapa banyak kemungkinan nilai yang muncul.
• Hanya ketika distribusi probabilitas yang diketahui kita dapat menentukan
probabilitas yang tepat. Untuk itu kita menyebutnya teorema hasil distribusi
bebas. Ketika distribusi spesifik diasumsikan, maka itu tidak akan konservatif di
bab berikutnya. Penggunaan Teorema Chebyshev adalah
diturunkan ke situasi di mana bentuk distribusi itu tidak diketahui.

25. Materi dalam bab ini sangat mendasar di alam, seperti
yang di
Bab 3. Bahwa dalam Bab 3 kami fokus pada karakteristik
umum probabilitas distribusi, dalam bab ini kita
mendefinisikan jumlah penting atau parameter yang
menjadi ciri sifat umum dari sistem. Mean dari distribusi
mencerminkan tendensi sentral, dan varians atau standar
deviasi mencerminkan variabilitas dalam sistem. Selain
itu, kovarians mencerminkan kecenderungan dua random
variabel untuk "bergerak bersama" dalam suatu sistem.
Parameter penting ini akan tetap mendasar untuk semua
yang mengikuti dalam teks ini.
4.5 Potensi Kesalahpahaman dan Bahaya;
Hubungan dengan Bahan dalam Bab lain

26. Pembaca harus memahami bahwa jenis distribusi sering didikte
oleh skenario ilmiah. Namun, nilai-nilai parameter harus
diperkirakan dari data ilmiah. Sebagai contoh, dalam kasus
Ulasan Latihan 4.85, produsen kompresor mungkin tahu (materi
yang akan disajikan dalam Bab 6) dari pengalaman dan
pengetahuan tentang jenis kompresor yang sifat distribusi seperti
yang ditunjukkan dalam latihan. Tapi rata-rata μ = 900 akan
diperkirakan dari eksperimen pada mesin. Meskipun nilai
parameter dari 900 diberikan sebagai dikenal di sini, itu tidak
akan diketahui dalam situasi kehidupan nyata tanpa penggunaan
data eksperimental. Bab 9 didedikasikan untuk estimasi.