Επιμέλεια: Οι καθηγητές του Β Αρσακείου Εκάλης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΔΕΥΤΕΡΑ 21 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2019
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να δώσετε τους ακόλουθους ορισμούς :
α) Συνάρτηση 1-1 (μονάδες 3)
β) Σύνθεση της συνάρτησης f με τη συνάρτηση g (μονάδες 3)
Μονάδες 6
Α2. Να αποδείξετε ότι, αν f είναι μία αντιστρέψιμη συνάρτηση τότε οι γραφικές
παραστάσεις των f και
1
f 
είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y x.
Μονάδες 5
Α3. Να χαρακτηρίσετε καθένα από τους ακόλουθους ισχυρισμούς ως αληθή ή ψευδή.
Στους ισχυρισμούς 4 και 5 να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (μονάδες 4).
1. Αν η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ τότε για οποιαδήποτε
1 2x ,x  με 1 2x x ισχύει    1 2f x f x .
2. Αν μία συνάρτηση δεν είναι 1-1 τότε αποκλείεται να είναι γνησίως μονότονη.
3. Αν f είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και υπάρχει αριθμός Μ τέτοιος ώστε
για κάθε x A να ισχύει f (x) M τότε είναι βέβαιο ότι η f παρουσιάζει μέγιστη τιμή
το Μ.
4. Αν f, g είναι συναρτήσεις τέτοιες ώστε να ορίζεται η gof τότε είναι βέβαιο ότι
gof fA  .
5. Σε οποιαδήποτε συνάρτηση f :A  ισχύει ότι, για οποιαδήποτε 1 2x ,x A
με    1 2f x f x έπεται ότι 1 2x x .
Μονάδες 14
ΘΕΜΑ Β
B1. Θεωρούμε τις συναρτήσεις  f (x) ln x ln x 1 1    ,  g(x) ln x 1 1   .
α. Να εξετάσετε αν f g , αιτιολογώντας πλήρως την απάντησή σας. Στην περίπτωση
που f g να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο ισχύει f(x) g(x) .
Μονάδες 8
β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f έχει ελάχιστο το ln 2 .
Μονάδες 5
27.10.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3

2. B2. Να αντιστοιχίσετε κάθε μία από τις ακόλουθες συναρτήσεις με τη γραφική της
παράσταση που φαίνεται στον παρακάτω πίνακα (περισσεύουν καμπύλες).
1. f(x) x 2. f(x) ln x  3.
x
f(x) e
Α.
Β.
Γ. Δ.
Ε. ΣΤ.
Μονάδες 12
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση
2
f (x) 1 x x   , x 0 και συνάρτηση g :  τέτοια ώστε
 3
g x 1 2x 1   για κάθε x .
Γ1.α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. (Μονάδες 5)
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε τον αριθμό
1
f (1)
. (Μονάδες 4)
Γ2. Να βρείτε τη συνάρτηση g. (Μονάδες 6)
27.10.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3

3. Γ3. Με δεδομένο ότι
3
3
2 x 1 1, x 1
g(x)
2 1 x 1, x 1
   
 
   
α. να βρείτε τη συνάρτηση gof . (Μονάδες 5)
β. να λύσετε την ανίσωση  
4
3
g f (x) 1 2   . (Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση
x
x
e 3
h(x)
1 e



,
*
x 
και η συνάρτηση f της
οποίας η γραφική
παράσταση φαίνεται
στο διπλανό σχήμα.
Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή
της. (Μονάδες 6)
Δ2.α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και της συνάρτησης
1
f(x)
.
(Μονάδες 3)
β. Να λύσετε την εξίσωση  2 12
f 1 x 2f 3
x 2
 
    
 
. (Μονάδες 3)
Δ3. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι 1-1. (Μονάδες 2)
β. Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f και να εξετάσετε
αν είναι 1-1 η συνάρτηση  x
f e . (Μονάδες 4)
Δ4.α. Να βρείτε το σύνολο τιμών και τα ακρότατα της συνάρτησης f . (Μονάδες 4)
β. Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και h.
(Μονάδες 3)
27.10.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3