Επιμέλεια: Βασίλης Βέλμαχος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com Ύλη: Μέχρι τα όρια

1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΑΒΒΑΤΟ 12 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2020
ΘΕΜΑ Α
Α1. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου
ορισμού της; (μον 4)
Α2. Πότε δύο συναρτήσεις f , g λέγονται ίσες; (μον 3)
Α3. Δίνεται ο ισχυρισμός:
<< Αν f(x) > 0 για κάθε x κοντά στο x0 και υπάρχει το
lim
x→x0
f(x) τότε ισχύει lim
x→x0
f(x) > 0 ≫
Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό ως Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή,
ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη και στη συνέχεια να αιτιολογήσετε τις
απαντήσεις σας.
(Μονάδα 1 για τον χαρακτηρισμό Σωστό /Λάθος. Μονάδες 2 για την αιτιολόγηση)
Α4. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστός ή Λάθος τους παρακάτω ισχυρισμούς :
i. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f−1
τέμνονται μόνο πάνω στην ευθεία
y = x
ii. Αν η f είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και 1 − 1
iii. Οι συναρτήσεις f(x) = √x2 με x ≥ 0 και g(x) = x, x ≥ 0 είναι ίσες.
(μον 6)
Α5. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
i. Aν lim
x→x0
f(x) = 𝑙, lim
x→x0
g(x) = m με 𝑙, m ∈ ℝ και f(x) < g(x) κοντά στο x0
τότε κατ’ ανάγκη είναι:
α. 𝑙 < m β. 𝑙 ≤ m γ. 𝑙 ≥ m δ. 𝑙 = m
08.10.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 4
Επιμέλεια: Βασίλης Βέλμαχος από την Πετρούπολη Αττικής

2. ii. Αν lim
x→x0
|f(x)| = 1 τότε προκύπτει ότι :
α. lim
x→x0
f(x) = 1 β. ‘’που θες να ξέρω’’ γ. lim
x→x0
f(x) = −1
δ. lim
x→x0
f(x) = 1 ή lim
x→x0
f(x) = −1 ε. δεν υπάρχει
iii. το lim
x→−∞
|x5−x2+1|+x2+x5+2020
3x2+69
ισούται με:
α. +∞ β. −∞ γ. δεν υπάρχει δ.
2
3
iv. Το μικρό όνομα του μεγάλου Έλληνα μαθηματικού Καραθοδωρή είναι :
α. Πέτρος β. Μήτσος γ. Κωνσταντίνος δ. Περικλής
(μον 6)
Α6. O μαθητής Λάκης Μπαγλαμάς για τον υπολογισμό του lim
x→0
[x
1
x2+x
]
έγραψε τα παρακάτω:
lim
x→0
[x
1
x2+x
] = lim
x→0
x ∙ lim
x→0
1
x2+x
= 0 ∙ lim
x→0
1
x2+x
= 0.
Είναι σωστός ή λάθος ο Λάκης ; Αν είναι λάθος, να εντοπίσετε τo λάθos του και
έπειτα να δοθεί ο σωστός υπολογισμός του ορίου.
(μον 3)
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=√x − 2 + 2, x ≥ 2
B1. i. Να βρεθεί η μονοτονία της f (μον 3)
ii. Nα αιτιολογήσετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η αντίστροφη της.
(μον 4)
Β2. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των Cf και στη συνέχεια να χαράξετε τη
γραφική τους παράσταση σε κοινό σύστημα αξόνων.
(μον 7)
Β3. Να βρεθεί αν υπάρχει το lim
x→3
f(x)−3
x2−9
(μον 3)
08.10.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 4

3. Β4. Δίνεται η συνάρτηση g(x) = lnx + 1, x > 0
i. Να οριστούν οι συναρτήσεις :
α. f ∘ g β.
f
g
(μον 4)
ii. Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:
α. lim
x→e
( f∘g )(x)
lnx−1
β. lim
x→+∞
g(
x−1
x2+1
) (μον 4)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
αx+β
x−α
με x ≠ α για την οποία ισχύει ότι:
• lim
x→+∞
f(x) = 1
• Η Cf διέρχεται από το σημείο Α(2,3)
Γ1. Να δείξετε ότι α=β=1 (μον 4)
Γ2. i. Να βρεθεί η f ∘ f
ii. Nα δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η f−1
. Τι παρατηρείτε για
τις f και f−1
; (μον 7)
Γ3. Δίνεται η συνάρτηση g(x) = 1 +
2
x−1
, x ≠ 1
i. Nα αποδείξετε ότι f=g
ii. Nα βρεθεί η μονοτονία της f σε καθένα από τα διαστήματα
(−∞, 1), (1, +∞)
iii. Να βρεθεί, αν υπάρχει, το lim
x→1
f(x) και στη συνέχεια να χαράξετε τη
γραφική παράσταση της f
(μον 9)
Γ4. Nα λυθεί η ανίσωση:
f (f(ημ2
x)) < f−1
(f−1
(x2
)) στο (−
π
4
,
π
4
) (μον 5)
08.10.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 4

4. ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση g(x) = ημx, x ∈ ℝ και μία συνάρτηση f για την οποία
ισχύει (f ∘ g)(x) = √2 − συν2x+ ημx, x ∈ ℝ (1)
Δ1. Να βρεθεί συνάρτηση f που να ικανοποιεί τη συνθήκη (1)
Έστω f(x) = √x2 + 1 + x , x ∈ ℝ και f(ℝ) = (0, +∞) (μον 4)
Δ2. Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν, τα όρια:
i. lim
x→−∞
f(x) ii. lim
x→−∞
f(x) ∙ g(x) iii. lim
x→+∞
f(x)
f(−x)
(μον 6)
Δ3. Να δείξετε ότι :
α. f(−x) ∙ f(x) = 1 για κάθε x ∈ ℝ (μον 2)
β. η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και έπειτα να βρεθεί η αντίστροφη της
(μον 6)
Δ4. i. Δίνεται h(x) =
lnx
ex
, x ∈ (0, 1].
Nα δείξετε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1]. (μον 2)
ii. Να λυθεί η ανίσωση:
f(lnx) ∙ f (ln
1
x
) > f(eσυνx
∙ ln(ημx) − eημx
ln(συνx)) στο (0,
π
2
)
(μον 5)
ΒΕΛΜΑΧΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
08.10.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 4