MATHEMATICS

1. ΥΠΕΡΒΟΛΗ (§ 3.4)
Ορισμός
Υπερβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των
οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία έχουν απολύτως
σταθερή διαφορά.
Τα σταθερά σημεία Ε΄ και Ε λέγονται εστίες της υπερβολής
Η απόσταση των εστιών Ε΄ και Ε λέγεται εστιακή απόσταση και
συμβολίζεται 2γ . Ε΄Ε = 2γ
Η σταθερή διαφορά συμβολίζεται 2α
Δηλαδή:
Ένα σημείο Μ είναι σημείο της υπερβολής με εστίες Ε΄ και Ε και
σταθερή διαφορά 2α όταν
|(ΜΕ΄) - (ΜΕ)|=2α
Συμπληρωματικές ιδιότητες
Ισχύει α<γ
(Αφού για κάθε σημείο Μ της υπερβολής ισχύει | (ΜΕ΄) - (ΜΕ)| <
(Ε΄Ε)  2α < 2γ )
Η ευθεία Ε΄Ε λέγεται κύριος άξονας της υπερβολής
Εξίσωση υπερβολής
1. Στο σύστημα συντεταγμένων Οxy που έχει
άξονα χ΄χ την ευθεία Ε΄Ε και άξονα y΄y την μεσοκάθετη του Ε΄Ε
θέτουμε: β= 2 2
γ -α Tότε:
 Η εξίσωση της υπερβολής
με εστίες Ε΄(-γ,0) και Ε(γ,0) και σταθερή διαφορά 2α είναι
22
2 2
yx
- =1
α β
( ή β2
x2
- α2
y2
=α2
β2
)
Ιδιότητες της υπερβολής C :
22
2 2
yx
=1
α β

Τέμνει τον χ΄χ στα σημεία Α΄(-α,0) και Α(α,0). Είναι (Α΄Α)=2α
Δεν τέμνει τον y΄y
Για κάθε σημείο Μ(x,y) της υπερβολής C ισχύει
(x  -α και y ¡ ) ή (x  α και y ¡ )
Η υπερβολή βρίσκεται έξω από την «ταινία» που ορίζουν οι
ευθείες x=-α , x=α
Αν α=β η C γράφεται x2
-y2
=α2
( Iσοσκελής υπερβολή)
Ε΄Ε=2γ , |ΜΕ΄- ΜΕ|=2α
Ε΄ Ε2γ
2α
Μ
Ε΄
Ε
2γ2α
Μ
Ε΄ Ε
Μ
ΟΑ΄ Α(-γ,0) (γ,0)
(x,y)
Ε΄ ΕΜ
ΟΑ΄ Α
(-γ,0) (γ,0)
(x,y)
(-γ,0) (γ,0)ΜΜ
Μ1Μ2
Μ3
Μ4
x=-α x=α

2. 2. Στο σύστημα συντεταγμένων Οxy που έχει
άξονα y΄y την ευθεία Ε΄Ε και άξονα χ΄χ την μεσοκάθετη του Ε΄Ε
θέτουμε: β= 2 2
γ -α Tότε:
 Η εξίσωση της υπερβολής
με εστίες Ε΄(0,-γ) και Ε(0,γ) και σταθερή διαφορά 2α είναι
2 2
2 2
y x
- =1
α β
( ή β2
y2
- α2
x2
=α2
β2
)
Ιδιότητες της υπερβολής C :
2 2
2 2
y x
=1
α β
 ,
Τέμνει τον y΄y στα σημεία Α΄(0,-α) και Α(0,α). Είναι (Α΄Α)=2α
Δεν τέμνει τον χ΄χ
Για κάθε σημείο Μ(x,y) της υπερβολής C ισχύει
(y -α και x ¡ ) ή (y α και x ¡ )
Η υπερβολή βρίσκεται έξω από την «ταινία» που ορίζουν οι
ευθείες y=-α , y=α
Αν α=β η C γράφεται y2
-x2
=α2
( Iσοσκελής υπερβολή)
Ε΄Ε=2γ , |ΜΕ΄- ΜΕ|=2α
Κοινές ιδιότητες
Οι εστίες Ε΄, Ε της υπερβολής είναι πάντα στην ευθεία Α΄Α
Η υπερβολή έχει άξονες συμμετρίας τους χ΄χ και y΄y και κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(0,0) των αξόνων
Το Ο λέγεται κέντρο της υπερβολής και τα Α΄ , Α λέγονται κορυφές της υπερβολής
Η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους
Ασύμπτωτες υπερβολής
Ασύμπτωτη μιας καμπύλης C
λέγεται η ευθεία εκείνη που έχει την ιδιότητα:
«Όταν η τετμημένη κάποιου σημείου Μ(x,y) της C αυξάνεται
(ή μειώνεται) απεριόριστα δηλ. x  ( ή x   ) , η απόσταση
του σημείου αυτού από την ευθεία τείνει προς το 0»
 Η υπερβολή
22
2 2
yx
=1
α β

έχει ασύμπτωτες τις ευθείες: y=
β
α
x και y= -
β
α
x
Ε΄ Ε
Μ
ΟΑ΄ Α(-γ,0) (γ,0)
(x,y)
Ε΄
Ε
Μ
Ο
Α΄
Α
(-γ,0) (γ,0)
(x,y)
(0,-γ)
(0,γ)
Ε΄ ΕΜ
ΟΑ΄ Α
(-γ,0) (γ,0)
(x,y)
Ε΄ Ε
Μ
Ο
Α΄
Α
(-γ,0) (γ,0) (x,y)
(0,-γ)
(0,γ)ΜΜ
Μ1 Μ2
Μ3 Μ4
x=-α x=α
y=α
y=-α
Ε΄ Ε
Μ
Ο
Α΄ Α
(-γ,0)
(γ,0)
(x,y)(-γ,0) (γ,0)
y= x
β
α
y=- x
β
α
Ρ
y= x
β
α
y=- x
β
α
Ρ

3.  Η υπερβολή
2 2
2 2
y x
=1
α β

έχει ασύμπτωτες τις ευθείες: y=
α
β
x και y= -
α
β
x
Το ορθογώνιο βάσης της υπερβολής
22
2 2
yx
=1
α β

Οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι διαγώνιοι του ορθογωνίου
ΚΛΜΝ με κορυφές τα σημεία Κ(α,β) , Λ(α,-β) , Μ(-α,-β) , Ν(-α,β)
Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ μπορεί να θεωρηθεί ως βάση για την
σχεδίαση μιας υπερβολής
Προσοχή!!! Στην υπερβολή είναι: α>β ή α<β
Εκκεντρότητα υπερβολής
Ορισμός: Εκκεντρότητα ε της υπερβολής
22
2 2
yx
=1
α β

λέγεται ο λόγος: ε =
γ
α
a Είναι ε > 1 ( αφού γ > α )
δηλαδή: η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι
μεγαλύτερη της μονάδος
a Είναι 2β
= ε 1
α

δηλαδή:
ο λόγος των διαστάσεων του ορθογωνίου βάσης της
υπερβολής είναι συνάρτηση της εκκεντρότητας
Απόδειξη
Η σημασία της εκκεντρότητας στην υπερβολή:
 Όταν ε  τότε
β
α
  (που σημαίνει «ψηλό»
ορθογώνιο βάσης)
οπότε οι κλάδοι της υπερβολής τείνουν να γίνουν δύο
παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα
 Όταν ε 1 τότε
β
0
α
 (που σημαίνει «επίμηκες
ορθογώνιο βάσης)
οπότε οι κλάδοι της υπερβολής γίνονται ολοένα και πιο
κλειστοί
Ε΄ Ε
Μ
Ο
Α΄ Α
(-γ,0)
(γ,0)
(x,y)
Ε΄
Ε
Μ
Ο
Α΄
Α
(-γ,0) (γ,0) (x,y)
(0,-γ)(0,γ)
y= x
β
α
y=- x
β
α
Ρ
Ο ΕΕ΄
Α
Β
Α΄
Β΄
C
C΄΄ ΕΕ΄ C1
1
1
K
ΛΜ
Ν
y=
x
y=- x
α-α
-β
β
ε +οο
ε 1

4. Εφαπτομένη υπερβολής
Η εφαπτομένη ε στο σημείο Μ1(x1,y1) της υπερβολής:

22
2 2
yx
=1
α β
 έχει εξίσωση
1 1
2 2
xx yy
=1
α β

β2
x2
-α2
y2
=α2
β2
›› β2
xx1-α2
yy1=α2
β2

2 2
2 2
y x
=1
α β
 έχει εξίσωση
1 1
2 2
yy xx
=1
α β

β2
y2
- α2
x2
=α2
β2
›› β2
yy1 - α2
xx1 =α2
β2
Ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής
Έστω η υπερβολή C και η εφαπτομένη ε στο σημείο της Μ
Τότε ισχύει ότι:
Η εφαπτομένη ε στο σημείο Μ διχοτομεί την γωνία Ε΄ΜΕ,
όπου Ε΄, Ε οι εστίες της υπερβολής
1.Εξίσωση υπερβολής
Για να γράψουμε την εξίσωση μιας υπερβολής πρέπει να γνωρίζουμε ή να βρούμε:
 τις παραμέτρους α και β , (β= 2 2
γ -α )
 τον άξονα (χ΄χ ή y΄y) που βρίσκονται οι εστίες
2. Θεση του α2
Η θέση του στην υπερβολή εξαρτάται από τον άξονα (χ΄χ ή y΄y) που βρίσκονται οι εστίες (ή οι κορυφές
της)
Στην εξίσωση υπερβολής, το κλάσμα με το θετικό πρόσημο μας «δείχνει» και τον άξονα (χ΄χ ή y΄y) ,
πάνω στον οποίο βρίσκονται οι εστίες και οι κορυφές της
(x1 y1M1 , )
Ε΄ Ε
ε
M1
Ε΄ Ε
ε
Μ
ω ω

5. 3.Εφαπτομένη υπερβολής C
Για να γράψουμε την εξίσωση της εφαπτομένης της C:
 Αν γνωρίζουμε το σημείο επαφής A(x1,y1), η εξίσωση προκύπτει άμεσα από τoυς τύπους
 Αν δεν γνωρίζουμε το σημείο επαφής τότε το ονομάζου- με έστω Α(x1,y1), γράφουμε την εφαπτομένη
στο Α οπότε:
i) Οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση της υπερβολής
ii) H εφαπτομένη ικανοποιεί την συνθήκη τουζητήματος
4.Ευθεία εφαπτομένη σε υπερβολή (Συνθήκη)
Για να εφάπτεται η ευθεία ε στην υπερβολή C πρέπει το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει μία διπλή
λύση
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1.
Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε καθεμιά από τις παρακάτωπεριπτώσεις :
(i) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(– 13, 0), Ε(13, 0) και κορυφές τα σημεία
Α(5, 0) και Α΄(– 5, 0).
(ii) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(0, – 10), Ε(0, 10) και εκκεντρότητα 5
3
(iii) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(– 5 , 0), Ε( 5 , 0) και διέρχεται από το
σημείο Μ(2 2 , 1)
(iv) Όταν έχει ασύμπτωτες τις ευθείες y = 4
3
x και y = – 4
3
x και διέρχεται από
το σημείο Μ(3 2 , 4)
ΛΥΣΗ
(i) Είναι γ = 13 και α = 5, οπότε
2
 =
2
13 –
2
5 = 169 – 25 = 144, C :
2
x
25
-
2
y
144
= 1
(ii) Είναι γ = 10 και ε = 5
3
, οπότε


= 5
3
 10

= 5
3
 α =.6
2
 =
2
10 –
2
6 = 100 – 366 = 64, C :
2
y
36
-
2
x
64
= 1

6. (iii) Έστω C :
2
2
x

–
2
2
y

= 1  2

2
x –
2
 2
y =
2
 2
 ⟺ ( 2
 –
2
 )
2
x –
2
 2
y =
2
 ( 2
 –
2
 )
⟺ (5 –
2
 )
2
x –
2
 2
y =
2
 (5 –
2
 )
Μ(2 2 , 1)  C  (5 –
2
 ) 2
(2 2 ) –
2
 2
1 =
2
 (5 –
2
 ) ⟺ (5 –
2
 )8 –
2
 =
2
 (5 –
2
 )
⟺ 40 – 8
2
 –
2
 = 5
2
 –
4
 ⟺
4
 – 14
2
 + 40 = 0
Δ = 196 – 160 = 36
2
 = 14 6
2
 = 10 ή 4
 Για
2
 = 10 > 5 = 2
 δεν υπάρχει υπερβολή.
 Για
2
 = 4 έχουμε 2
 = 2
 –
2
 = 5 – 4 = 1, άρα C :
2
x
4
–
2
y
1
= 1
(iv) Έστω C :
2
2
x

–
2
2
y

= 1  2

2
x –
2
 2
y =
2
 2



= 4
3
 β = 4
3
 , οπότε C : 16
9
2
 2
x –
2
 2
y =
2
 16
9
2
 ⟺ 16
2
 2
x – 9
2
 2
y = 16
4

⟺ 16
2
x – 9
2
y = 16
2
 .
Μ(3 2 , 4)  C  16
2
(3 2 ) – 9
2
4 = 16
2
 ⟺ 16. 18 – 9. 16 = 16
2

⟺ 18 – 9 =
2
 
2
 = 9   = 3
β = 4
3
  β = 4 Άρα C :
2
2
x
3
–
2
2
y
4
= 1
 Έστω C :
2
2
y

–
2
2
x

= 1  2
 2
y –
2
 2
x =
2
 2



= 4
3
  = 4
3
β, οπότε C :
2
 2
y – 16
9
2

2
x = 16
9
2
 2
 ⟺ 9
2
 2
y – 16
2

2
x = 16
4

⟺ 9
2
y – 16
2
x = 16
2

Μ(3 2 , 4)  C  9 .
2
4 – 16
2
(3 2 ) = 16
2
 ⟺ 9 . 16 – 16 . 18 = 16
2
 ⟺ 9 – 18 =
2
 
2
 = – 2 < 0 άτοπο.
Άρα δεν υπάρχει τέτοια υπερβολή.

7. y
x
ζ
ε
M3
M2
M1
Ο
ΑΣΚΗΣΗ 2.
Έστω η υπερβολής C :
2
2
x

–
2
2
y

= 1, ε η εφαπτομένη της σε ένα σημείο της
1
 ( 1
x , 1
y ) και ζ η κάθετη της ε στο 1
 . Αν η ε διέρχεται από το σημείο
2
M (0, – β) και η ζ διέρχεται από το σημείο 3
M (2α 2 , 0), να αποδείξετε ότι η εκκεντρότητα της
υπερβολής είναι ίση με 2 .
ΛΥΣΗ
C :
2
2
x

–
2
2
y

= 1  2

2
x –
2
 2
y =
2
 2

ε :
2
 1
x x –
2
 1
y y =
2
 2
 2
M (0, – β)  ε 
2
 1
x .0 –
2
 1
y (- β) =
2
 2
  1
y = β
ζ  ε   .  = – 1   .
2
1
2
1
x
y


= – 1 
⟹  = –
2
1
2
1
y
x


= –
2
2
1
x
 

= –
2
1
x


Αρα ζ : y – 1
y =  (x – 1
x )  y – β = –
2
1
x


( x – 1
x 3
M
(2α 2 , 0) ζ  0 – β = –
2
1
x


(2α 2 – 1
x ) ⟹
2
 1
x = 2
3
 2 –
2
 1
x ⟺
2
 1
x +
2
 1
x = 2
3
 2 ⟺ (
2
 +
2
 ) 1
x = 2
3
 2  1
x =
3
2 2
2 2
  
=
3
2
2 2

1
  στην υπερβολή  2
 2
1
x –
2
 2
1
y =
2
 2
 ⟹
2

6
4
4 2

–
2
 2
 =
2
 2
 ⟺
⟺
6
4
8

–
2
 =
2
 ⟺
6
4
8

= 2
2
  4
4
 =
4
 
4
 
  
= 4 
4
 =  
4
2 
ε = 2
ΑΣΚΗΣΗ 3.
Αν 1
E είναι η προβολή της εστίας Ε της υπερβολής
2
2
x

–
2
2
y

= 1 πάνωστην ασύμπτωτη y =


x, να
αποδείξετε ότι
(i) (O 1
E ) =  , (ii) (E 1
E ) = β
Λύση

8. y
x
Ε1
Ο
Ε
y
x
Μ4
Μ3
Μ2
Μ1
Ο
(i)
E 1
E  στην ασύμπτωτη 
1EE = – 

.
E 1
E : y – 0 = – 

(x – γ) βy = –  x +  γ   x + βy –  γ = 0
(O 1
E ) = d(0, E 1
E ) =
2 2
.0 .0  
 
=
2


=


= 
(ii) Ασύμπτωτη ζ : y =


x  βx –  y = 0 (E 1
E ) = d(E, ζ) =
2 2
. .0   
  
=
2


=


= β
ΑΣΚΗΣΗ 4.
Έστω 1
M ( 1
x , 1
y ), 2
M ( 2
x , 2
y ) δύο σημεία του δεξιού κλάδου της υπερβολής
2
2
x

–
2
2
y

= 1. Αν η
ευθεία 1
M 2
M τέμνει τις ασύμπτωτες στα σημεία
3
M ( 3
x , 3
y ) και 4
M ( 4
x , 4
y ), να αποδείξετε ότι ( 1
M 3
M ) = ( 2
M 4
M )
Λύση
 Όταν 1
M 2
M P y y Λόγω συμμετρίας της παραβολής και των
ασυμπτώτων ως προς τον άξονα x x , θα είναι ( 1
M 3
M ) = ( 2
M 4
M ).
 Όταν 1
M 2
M P y y Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τμήματα
1
M 2
M , 3
M 4
M έχουν το ίδιο μέσο.
Έστω y = λx + μ η ευθεία 1
M . 2
M . Οι συντεταγμένες των 1
M , 2
M είναι οι λύσεις του συστήματος των
y = λx + μ (1) και
2
2
x

–
2
2
y

= 1  2

2
x –
2
 2
y =
2
 2
 (2)
(2)  2

2
x –
2
 (λx + μ
2
) =
2
 2
 ⟺
2

2
x –
2
 (
2
 2
x + 2λxμ +
2
 ) =
2
 2

⟺
2

2
x –
2
 2
 2
x – 2λμ
2
 x –
2
 2
 –
2
 2
 = 0 ⟺ (
2
 –
2
 2
 )
2
x – 2λμ
2
 x – (
2
 2
 +
2
 2
 ) =
0 έχει ρίζες 1
x , 2
x . Έστω Κ το μέσο του τμήματος 1
M 2
M . Τότε
K
x = 1 2
x x
2

= –
2
2 2 2
2
2( )
 
  
=
2
2 2 2

  
(3)
Οι συντεταγμένες του 3
M είναι η λύση του συστήματος των y = λx + μ (1), y =


x   y = βx (4)

9. (4)   ( λx + μ) = βx ⟺  λx + μ = βx ⟺  μ = βx –  λx ⟺  μ = (β –  λ)x 
3
x =

  
Ομοίως 4
x = –

  
Έστω Λ το μέσο του τμήματος 3
M 4
M . Τότε
x
= 1
2
( 3
x + 4
x ) = 1
2
( 
  
–

  
) = 1
2
 ( 1

– 1
 
)
= 1
2
 2 2 2
 
  
= 1
2
 2 2 2
2
  
=
2
2 2 2

  
(5)
(3), (5)  K
x = x
(6)
Επειδή τα σημεία 1
M , 2
M , 3
M , 4
M , Κ, Λ ανήκουν στην ευθεία y = λx + μ,
θα είναι
1
y = λ 1
x + μ, 2
y = λ 2
x + μ, 3
y = λ 3
x + μ, 4
y = λ 4
x + μ,
y
= λ x
+ μ, y
= λ x
+ μ
y
= 1
2
( 3
y + 4
y ) = 1
2
( λ 3
x + μ + λ 4
x + μ) = 1
2
[λ( 3
x + 4
x ) + 2μ]
= 1
2
[λ(2 x
) + 2μ] = λ x
+ μ = λ x
+ μ = y
δηλαδή y
= y
(7)
Από τις (6), (7)  Κ  Λ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΥΠΕΡΒΟΛΗ
Α’ ΟΜΑΔΑ
1. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής όταν .
α) Έχει εστία Ε΄(-5,0) και μία κορυφή είναι το σημείο Α(4,0)
β) Έχει εστία Ε(0,13) και εκκεντρότητα
13
12
γ) Έχει εστία Ε(0,5) και διέρχεται από το σημείο Μ(3,4 2 )
δ) Διέρχεται από τα σημεία Μ( 2 ,1) και Ν(-2, 3 )
ε) Έχει κορυφή Α(0,3) και διέρχεται από το σημείο Ρ(2,3 2 )
στ) Έχει ασυμπτώτους τις ευθείες y=
3
2
x και y= -
3
2
x , και διέρχεται από το σημείο
(2 3 ,3)

10. ζ) Έχει κύριο άξονα τον χ΄χ , εστιακή απόσταση 4 13 και ασυμπτώτους τις ευθείες
y=
2
3
x και y= -
2
3
x
η) Έχει εκκεντρότητα
5
4
και κοινές εστίες με την έλλειψη
22
yx
1
9 4
 
θ) Είναι ισοσκελής και έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη 2x2
+3y2
=5
2. Να βρείτε τις εστίες, τις κορυφές ,την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες των υπερβολών:
α) 16x2
– 25y2
=400 β) y2
– 4x2
=4 γ) 169x2
-25y2
=4225
3. Δίνεται η γραμμή C με εξίσωση
22
yx
+ =1
2+λ 7+λ
i) Nα βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση παριστάνει υπερβολή
ii) Για τις τιμές που βρήκατε ποιες είναι οι εστίες και ο άξονας της υπερβολής;
4. Έστωη υπερβολή
22
2 2
yx
- =1
α β
με εκκεντρότητα ε=2. Να βρεθεί η γωνία των ασυμπτώτων
5. Να βρεθούν τα σημεία της υπερβολής x2
-y2
=3, που έχουν ελάχιστη απόσταση από το
σημείο Κ(0,2)
6. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή x2
- y2
=α2
.Να βρείτε τις εστίες , τις κορυφές , την
εκκεντρότητα , τις ασύμπτωτες .
7. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής:
α) x2
-4y2
=5 στο σημείο της Μ(3,-1)
β) 9x2
–y2
=32 που είναι παράλληλες στην ευθεία 9x+y+9=0
γ) x2
–y2
=1 που είναι κάθετες στην ευθεία y=
1
2
x
δ) x2
–y2
=16 που διέρχονται από το σημείο Μ(-1,-7)
8. Δίνεται η υπερβολή
22
yx
1
5 4
  . Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο
Ρ(-1,2) και είναι παράλληλη στην ευθεία ε: 2x-y+7=0 , είναι εφαπτομένη της υπερβολής

11. Β’ ΟΜΑΔΑ
1. Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη 1
16
y
25
x 22
 .
2. Δίνεται η υπερβολή 1y
3
x
:)C( 2
2
 και το σημείο του Γ( )2,3( . Αν η ημιευθεία ΓΕ, όπου (2,0),
τέμνει την υπερβολή στο σημείο Β και Δ είναι το συμμετρικό του Β ως προς την αρχή των αξόνων, να
βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΓΔ.
3. Δίνεται η υπερβολή 1
yx
:)C( 2
2
2
2




, με 0 , 0 και το σημείο της  3,4 .
α. Αν γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη της C στο  είναι η ευθεία
5x2y:  , να βρείτε τα  , .
β. Αν 10 και 15 , να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής και να
εξετάσετε αν η ευθεία xy  είναι μια ασύμπτωτη της υπερβολής αυτής.
4. Να βρείτε τα σημεία της υπερβολής 3yx:)C( 22
 τα οποία απέχουν από το σημείο Α(0,2) την
ελάχιστη απόσταση.
5. Έστω Β )y,x( 11 και Γ )y,x( 22 με 21 xx  δύο σημεία του δεξιού κλάδου της υπερβολής (C) :
1
yx
2
2
2
2




. Αν Δ είναι το συμμετρικό του Β ως προς την αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι λΒΓ  λΓΔ =
2
2


, όπου λΒΓ, λΓΔ οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα.
6. Δίνεται η υπερβολή (C) : 1
yx
2
2
2
2




με κορυφές Α και Α΄ και μία ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από την
αρχή Ο των αξόνων και τέμνει τους δύο κλάδους της υπερβολής (C) στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα τα
οποία είναι διαφορετικά από τις κορυφές της Α και Α΄. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της (C) στα σημεία
Μ και Ν είναι παράλληλες.
7. Αν d και d΄ είναι οι αποστάσεις των εστιών Ε και Ε΄ της υπερβολής (C) : 1
yx
2
2
2
2




από μία
εφαπτομένη της, να δείξετε ότι dd΄ = β2
.
8. Δίνεται ο κύκλος 4yx:)C( 22
1  και η ισοσκελής υπερβολή 4yx:)C( 22
2  . Έστω τυχαίο σημείο
Μ )y,x( 00 (C1) με 0x0  , 0y0  . Φέρνουμε την εφαπτομένη (ε) του (C1) στο σημείο Μ )y,x( 00 η
οποία τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Ν. Από το Ν φέρνουμε παράλληλη στον y΄y που τέμνει την (C2)
στα σημεία Α, Β. Να δείξετε ότι ΜΑ  ΑΒ.
9. Δίνεται ο κύκλος 80)4y(x:)C( 22
1  και η ισοσκελής υπερβολή )C( 2 που έχει ως εστίες τα
σημεία τομής του κύκλου (C1) με τον άξονα x΄x.
α) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής )C( 2
β) Αν (ε1) η εφαπτομένη του κύκλου )C( 1 στο σημείο του )4,4(A  και (ε2) η
εφαπτομένη της υπερβολής )C( 2 που διέρχεται από το )4,4(A  , να βρείτε την
οξεία γωνία που σχηματίζουν οι (ε1), (ε2)

12. 10. Δίνεται η υπερβολή (C) : 1
yx
2
2
2
2




και τυχαίο σημείο )y,x(M 00 με 0y0  του επιπέδου της (C).
Από το )y,x(M 00 φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήμα-τα ΜΑ και ΜΒ προς την (C). Αν η ευθεία ΑΒ τέμνει
την ευθεία (δ) : x 


2
, στο σημείο Κ, να δείξετε ότι ΕΜ ΕΚ, όπου Ε(γ,0) είναι η εστία της (C).
11. Δίνεται η υπερβολή (C) : 1
yx
2
2
2
2




. Να δείξετε ότι :
α) Από το σημείο Ο(0,0) δεν άγονται εφαπτόμενες της (C)
β) Από κάθε σημείο μιας ασύμπτωτης της (C), εκτός του Ο(0,0), άγεται μία
εφαπτόμενη της (C).
12.Δίνεται η υπερβολή με εξίσωση 1
4
y
x
2
2
 και ένα σημείο )y,x(M 00 της υπερβολής με 1x0  . Να
βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται από τις ασύμπτωτες της υπερβολής και τις
παράλληλες από το σημείο Μ προς τις ασύμπτωτες αυτές.
(Εξετάσεις ΑΣΕΠ – Μαθηματικών 2009)
13. Δίνεται η υπερβολή (C) : 1
yx
2
2
2
2




και το σημείο της Ρ )y,x( 00 .
α) Να βρείτε τα σημεία τομής της εφαπτομένης της (C) στο Ρ με τις ασύμπτω-
τες της (C).
β) Αν Α και Β τα σημεία του προηγούμενου ερωτήματος, να δείξετε ότι το Ρ
είναι το μέσον του ΑΒ.
14. Δίνονται οι υπερβολές (C1) : 1
yx
2
2
2
2




και (C2) : 1
yx
2
2
2
2




, με εκκεντρό-τητες ε1 και ε2
αντίστοιχα. Να δείξετε ότι 2
2
2
1
2
2
2
1  .
15. Δίνεται η έλλειψη (C1) : 222222
yαx  και η υπερβολή (C2) : )(yx 22
 με α>β>0.
α) Να δείξετε ότι οι (C1) και (C2) έχουν τις ίδιες εστίες
β) Να δείξετε ότι 2
2
4
2
2
1 2 όπου ε1, ε2 είναι οι εκκεντρότητες των (C1), (C2)
αντίστοιχα
γ) Αν Μ )y,x( 00 είναι ένα από τα κοινά σημεία των (C1), (C2) να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες (η1) της (C1)
και (η2) της (C2) στο σημείο αυτό είναι κάθετες.
16. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή (C) : 222
yx  και Μ )y,x( 00 τυχαίο σημείο της με 0x0  και
0y0  . Φέρνουμε την εφαπτομένη (ε) της (C) στο σημείο Μ )y,x( 00 η οποία τέμνει τους άξονες x΄x και
y΄y στα σημεία Α, Β αντίστοιχα, καθώς επίσης και την ευθεία (η)(ε) στο σημείο Μ )y,x( 00 η οποία
τέμνει τις ασύμπτωτες της (C) στα σημεία Γ, Δ. Αν (ΟΑΒ)=Ε1 και (ΟΓΔ)=Ε2,να δείξετε ότι 6
2
2
1 EE  .
17. Δίνεται η υπερβολή (C) : 1
yx
2
2
2
2




. Μία ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο τέμνει την
υπερβολή στα σημεία Μ και Ν. Από τα σημεία αυτά φέρνουμε παράλληλες προς τις ασύμπτωτες της
υπερβολής που τέμνονται στα σημεία Ρ και Ρ΄. Να δείξετε ότι τα Ρ και Ρ΄ ανήκουν στην υπερβολή

13. (C΄) : 1
xy
2
2
2
2




18.Αν η εκκεντρότητα της υπερβολής (C) : 1
yx
2
2
2
2




είναι ε=2, να βρείτε την οξεία γωνία που
σχηματίζουν οι ασύμπτωτες της (C).
19.Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες της παραβολής (C1) : x8y2
 και της υπερ-βολής (C2) :
14y2x7 22
 .
20.Να δείξετε ότι το ορθόκεντρο τριγώνου με κορυφές τα σημεία Α(α,0),
Α΄(-α,0) και B( , ) 2 της ισοσκελούς υπερβολής x2
– y2
= α2
,βρίσκεται πάνωστην υπερβολή αυτή. (Η
άσκηση αληθεύει για οποιοδήποτε τρίγωνο που είναι εγγεγραμμένο στην υπερβολή).
21.Κύκλος (C) έχει το κέντρο του στο θετικό ημιάξονα Οx και η ακτίνα του είναι ρ.
Η ευθεία ε : y=2x είναι ασύμπτωτη της υπερβολής ( 1C ) : 1
16
yx 2
2
2


και εφά-
πτεται του κύκλου (C) . Να βρείτε τις εξισώσεις των (C), ( 1C ) και τα κοινά τους
σημεία.
22.Δίνεται η υπερβολή (C) : 1
yx
2
2
2
2




με εστίες τα σημεία Ε΄(-γ,0) και Ε(γ,0), γ>0 και οι ευθείες (δ΄) :
x  


2
και (δ) : x 


2
, που λέγονται διευθετούσες της υπερβολής. Να δείξετε ότι :
α) Οι (δ΄) και (δ) δεν τέμνουν την υπερβολή.
β) Ο λόγος των αποστάσεων του τυχαίου σημείου της υπερβολής από την εστία
Ε΄ και τη διευθετούσα (δ΄) (ή από την εστία Ε και τη διευθετούσα (δ)) είναι
ίσος με την εκκεντρότητα της υπερβολής.
γ) Αν από σημείο Μ )y,x( 00 της ευθείας (δ) φέρουμε τις δύο εφαπτόμενες (ε1) και
(ε2) της υπερβολής (C) και Μ1, Μ2 είναι τα σημεία επαφής των (ε1) και (ε2) με
την υπερβολή (C) αντίστοιχα τότε :
i) Η ευθεία Μ1Μ2 έχει εξίσωση 0yyx 2
0
2

ii) H ευθεία Μ1Μ2 διέρχεται από την εστία Ε(γ,0)
iii) ΜE Μ1Μ2
23.Να δείξετε ότι τα σημεία 






















1
2
2
,
1
2
3
M R*
κινούνται σε υπερβολή της οποίας να
βρείτε την εξίσωση.
24. Μια μεταβλητή ευθεία (η) παράλληλη στην (ε) : y=2x+5 τέμνει το θετικό κλάδο της υπερβολής (C) :
1
4
y
9
x 22
 στα σημεία )y,x( 11 και )y,x( 22 . Να δείξετε ότι το μέσο του τμήματος ΓΔ κινείται σε
ευθεία, την οποία και να βρείτε.
25. Δίνεται η υπερβολή (C) : 5x2
– 4y2
= 20 και Ρ ένα μεταβλητό σημείο της (C) που κινείται στο θετικό κλάδο
της. Έστω (ε) η εφαπτομένη της (C) στο σημείο Ρ. Η κάθετη από την εστία Ε προς την (ε) τέμνει την ευθεία
Ε΄Ρ (Ε΄ η άλλη εστία της (C)) στο σημείο . Να δείξετε ότι :
α) ΡΕ = ΡΜ
β) το σημείο Μ κινείται σε κύκλο καθώς το σημείο Ρ κινείται στην υπερβολή (C)

14. 26.Έστω τα σημεία Α΄(-α,0) και Α(α,0). Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y) με x≠α για τα οποία ισχύει λΜΑ
 λΜΑ΄ = κ, κ≠0, όπου λΜΑ, λΜΑ΄ οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ΜΑ και ΜΑ΄ αντίστοιχα, ανήκουν :
α) σε έλλειψη αν κ < 0
β) σε υπερβολή αν κ > 0
27. Δίνονται οι ευθείες (ε1) : y = κx και (ε2) : y = –κx. Θεωρούμε Μ μεταβλητό σημείο του επιπέδου. Από το
Μ φέρνουμε παράλληλη στην (ε2),που τέμνει την (ε1) στο Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων
Μ έτσι ώστε (ΟΑΜ) =1.
28. Δίνεται ο κύκλος x2
+y2
=α2
και η ισοσκελής υπερβολή x2
– y2
=α2
. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο
)y,x(A 00 τέμνει τον άξονα x΄x στο Μ και η κάθετη στον x΄x στο Μ τέμνει την υπερβολή στα Β και Γ. Να
δείξετε ότι : (ΜΑ)=(ΜΒ)=(ΜΓ).
29. Δίνεται η υπερβολή (C) : 1
yx
2
2
2
2




και δύο παράλληλες χορδές αυτής ΑΒ και ΓΔ (όχι παράλληλες
στον y΄y). Οι εφαπτόμενες της (C) στα Α, Β τέμνονται στο σημείο Κ και οι εφαπτόμενες της (C) στα Γ, Δ
τέμνονται στο Λ. Να δείξετε τα σημεία Κ, Λ, Ο είναι συνευθειακά, όπου Ο η αρχή των αξόνων.
30. Σημείο )y,x(P 00 κινείται στον κύκλο (C) : 222
yx  . Αν Β, Γ οι προβολές του Ρ στις ασύμπτωτες
της υπερβολής (C΄) : 1
yx
2
2
2
2




και Μ το μέσον του τμήματος ΒΓ, να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος
του Μ είναι μία έλλειψη της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
31. Μεταβλητή ευθεία (ε) τέμνει τις ευθείες x
2
1
y:)( 1  και x
2
1
y:)( 2  στα σημεία Α, Β αντίστοιχα
έτσι ώστε (ΟΑΒ) = 2 τ.μ. Να δείξετε ότι το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ κινείται πάνω σε δύο υπερβολές.
32. Ο κύκλος με εξίσωση x2
+ y2
= 16 διέρχεται από τις κορυφές της
υπερβολής C του διπλανού σχήματος,της οποίας η μια ασύμπτωτη
έχει εξίσωση y=-
4
3
x.
Να βρεθούν: α) οι εστίες της υπερβολής β) η εστιακή της απόσταση
γ) η εξίσωσή της δ) η εκκεντρότητά της.
ε) να προσδιοριστεί το ορθογώνιο βάσης της υπερβολής
33. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις εστίες της στον άξονα x΄x συμμετρικές ως προς την
αρχή των αξόνων και ακόμα:
α) έχει εστιακή απόσταση (Ε΄Ε)=6 και ε =
3
2
β) έχει εστιακή απόσταση (Ε΄Ε) = 20 και εξισώσεις ασυμπτώτων y =
4
3
x και y =-
4
3
x.
γ) έχει εστιακή απόσταση (Ε΄Ε) = 4 και ασύμπτωτες τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων.

15. 34. Να βρείτε την υπερβολή, η οποία διέρχεται από τα σημεία K(3,1) και Λ(9,5)
35. Να αποδείξετε ότι το σημείο M(
4
,
συνθ
3εφθ) με θ ,
2 2
  
  
 
κινείται, καθώς το θ μεταβάλλεται,σε μια
υπερβολή.
36. Έστω M τυχαίο σημείο της υπερβολής y2
- x2
=α2
37. Δίνεται η υπερβολή C : και Μ(x1,y1) ένα σημείο της διαφορετικό από τις κορυφές της. Αν ε η
΄ ΄x , y΄y στα Γ και Δ
αντίστοιχα:
α) να βρεθεί συναρτήσει των x1 , y1 η εξίσωση της ε΄
β) να βρεθούν οι συντεταγμένες των Γ και Δ
γ) να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου N του ΓΔ
δ) να αποδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος του Ν είναι μια υπερβολή C1
ε) να αποδειχθεί ότι οι υπερβολές C και C1 έχουν τις ίδιες εκκεντρότητες, αλλά τις εστίες σε διαφορετικούς
άξονες.
38. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ασύμπτωτες της
υπερβολής
22
yx
=1
16 9
 και την ευθεία y=2 .
39. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής 2x2
- 4y2
= 100 που είναι
παράλληλες προς την ευθεία 3x - y = 0 .
40. Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την
έλλειψη
22
yx
=1
25 16

41.Δίνεται η υπερβολή
22
2 2
yx
=1
α β
 με κλάδους C1 και C2 και τυχαίο σημείο της M(x1,y)
στον κλάδο C1 (y1  0)
με τους άξονες.
ημείο μεταξύ των κορυφών της υπερβολής.

16. 2 στο M΄(x2 ,y2) , να δείξετε ότι y1y2 < 0
42. Θεωρούμε την υπερβολή C: x2
- y2
= 1 και την ευθεία (ε): x + 2y = α. Να βρεθούν οι τιμές
του α, για τις οποίες η (ε) εφάπτεται στη C.
43. Δίνεται η παραβολή με εστία E(2p,0) , p> 0 .
α) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής της οποίας η μια εστία της συμπίπτει με την
εστία της παραβολής ,και η μια κορυφή της με το μέσο του OE όπου O η αρχή των
αξόνων.
β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία των ασύμπτωτων ευθειών της υπερβολής.
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής και της υπερβολής.