Επιμέλεια: Παναγιώτης Στασινός αποκλειστικά για το lisari

1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΠΑΛ 2016
Θέμα 1ο
Έστω 𝑓: [−1, ∞) ⟶ ℝ μία συνάρτηση , συνεχής στο πεδίο ορισμού της , για την
οποία ισχύει :
𝑥𝑓(𝑥) = 3𝑓(𝑥) + √𝑥 + 1 − 2𝑥 + 4
i. Υπολόγισε το όριο : lim
𝑥⟶3
𝑓(𝑥)
ii. Υπολόγισε την τιμή 𝑓(3)
iii. Να βρεθεί η συνάρτηση 𝑓(𝑥)
iv. Υπολόγισε lim
𝑥⟶0
𝑓(𝑥)+
5
3
𝑥
Θέμα 2ο
Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1
i. Να υπολογισθεί το πεδίο ορισμού της παραπάνω συνάρτησης
ii. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της παραπάνω συνάρτησης
iii. Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) ≥ 1 για κάθε x του πεδίου ορισμού της
iv. Να συγκριθούν οι τιμές 𝑓(2015), 𝑓(2016)
v. Να λύσετε την ανίσωση 𝑓(𝑥 + 1) > √5
vi. Να αποδείξετε ότι 𝑥𝑓′(𝑥) + (𝑥2
+ 1)𝑓′′(𝑥) +
2015
√𝑥2+1
> 0

2. Θέμα 3ο
Τα ύψη 25 κάκτων στο ανθοπωλείο του κύριου Γιώργου είναι το πολύ 20cm.
Γνωρίζουμε ότι οι κάκτοι με ύψος κάτω των 4cm είναι 3 , 15 κάκτοι έχουν ύψος
μικρότερο των 12cm , 4 κάκτοι έχουν ύψος μεγαλύτερο των 16cm καθώς και ότι
το 32% των κάκτων έχουν ύψος μικρότερο των 8cm.
i. Αφού γίνει ομαδοποίηση σε κλάσεις πλάτους 4 να κατασκευασθεί
πίνακας των κi , vi , Ni , fi , Fi , κivi ( όπου κi οι κεντρικές τιμές )
ii. Να υπολογισθεί το μέσο ύψος των κάκτων
iii. Να υπολογίσετε το ποσοστό των κάκτων οι οποίοι έχουν ύψος
τουλάχιστον 14cm
iv. Να υπολογισθεί η τυπική απόκλιση των κεντρικών τιμών κi
v. Να αποδείξετε ότι το δείγμα των κεντρικών τιμών κi είναι μη ομοιογενές
vi. Να υπολογίσετε τη μικρότερη θετική σταθερά c που πρέπει να
προσθέσουμε σε κάθε κεντρική τιμή κi ώστε το δείγμα των κεντρικών
τιμών να γίνει ομοιογενές