Μια μικρή εισαγωγή στην έννοια της έλλειψης και στις βασικές της ιδιότητες.

1. Έλλειψη
•Ορισμός
•Βασικοί τύποι
•Ιδιότητες

2. Έλλειψη
1. Ορισμός
Ορισμός
Έστω τα σημεία Ε1 και Ε2. Το σύνολο των σημείων των οποίων το
άθροισμα των αποστάσεών τους από τα Ε1 και Ε2 είναι σταθερό και
ίσο με 2α βρίσκονται πάνω σε μια καμπύλη που ονομάζεται έλλειψη
με εστίες τα σημεία Ε1 και Ε2.

3. Έλλειψη
1. Ορισμός
Πώς μπορούμε να βρούμε τα σημεία μιας έλλειψης;

4. Έλλειψη
1. Ορισμός
Πώς μπορούμε να βρούμε τα σημεία μιας έλλειψης;

5. Έλλειψη
2. Βασικοί τύποι
Βασικά Χαρακτηριστικά Έλλειψης
1. Εστίες: Ε1(-γ,0) και Ε2(γ,0)
2. Μεγάλος Άξονας ΑΑ΄=2α
Β
3. Μικρός Άξονας ΒΒ΄=2β
4. Εστιακή Απόσταση Ε1Ε2=2γ
Α΄ Α 2β
Ε1 Ε2 5. β = α2 −γ 2
Β΄ x2 y2
+ =1
6. Εξίσωση: α 2 β 2
2α γ
7. Εκκεντρότητα: ε = <1
α

6. Έλλειψη
2. Βασικοί τύποι
Βασικά Χαρακτηριστικά Έλλειψης
1. Εστίες: Ε1(0,-γ) και Ε2(0,γ)
Α
2. Μεγάλος Άξονας ΑΑ΄=2α
Ε2 3. Μικρός Άξονας ΒΒ΄=2β
4. Εστιακή Απόσταση Ε1Ε2=2γ
Β΄ Β
5. β = α2 −γ 2
2α
x2 y2
Ε1 + =1
6. Εξίσωση: β 2 α 2
Α΄ γ
7. Εκκεντρότητα: ε = <1
2β α

7. Έλλειψη
2. Βασικοί Τύποι
Εκκεντρότητα
γ
Όπως είδαμε η εκκεντρότητα ορίζεται με βάση τον τύπο: ε =
α
Είναι προφανές ότι οι τιμές αυτού του αριθμού κινούνται στο
διάστημα [0, 1]. Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι ισχύει επίσης η
σχέση
β
= 1− ε 2
α
Παρατηρούμε ότι όσο η εκκεντρότητα αυξάνεται (δηλαδή πηγαίνει
στην τιμή 1, η έλλειψη τείνει να εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα.
Όσο η εκκεντρότητα μειώνεται (τείνει στο 0), η έλλειψη τείνει να
γίνει κύκλος.

8. Έλλειψη
2. Βασικοί Τύποι
Εξίσωση εφαπτομένης
x2 y2
Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης με εξίσωση + 2 =1
α 2
β
στο σημείο Μ(x1,y1), δίνεται από την εξίσωση
xx1 yy1
+ 2 =1
α 2
β
x2 y2
Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης με εξίσωση + 2 =1
β 2
α
στο σημείο Μ(x1,y1), δίνεται από την εξίσωση
xx1 yy1
+ 2 =1
β 2
α

9. Έλλειψη
3. Ιδιότητες
Ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης

10. Έλλειψη
3. Ιδιότητες
Εφαρμογή της ανακλαστικής ιδιότητα της έλλειψης στην ιατρική
- Λιθοτριψία

11. Έλλειψη
3. Ιδιότητες
Εφαρμογή της ανακλαστικής ιδιότητα της έλλειψης στην ιατρική
- Λιθοτριψία

12. Έλλειψη
3. Ιδιότητες
Εφαρμογή της ανακλαστικής ιδιότητα της έλλειψης στην ιατρική
- Λιθοτριψία