μαθηματικα_προσανατολισμου_β λυκειου_ν_ράπτης

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος
Αναλυτική Θεωρία
500 Ασκήσεις
Επιμέλεια :
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ

2. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2

3. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 3
Το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ,
δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
διατεταγμένα .
Ορισμός Διανύσματος
Μηδενικό λέγεται το διάνυσμα όπου η αρχή και το πέρας συμπίπτουν.
Το μηδενικό διάνυσμα παριστάνεται με σημείο και συμβολίζεται με 0�⃗
Αν ΑΒ�����⃗ ένα διάνυσμα , τότε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται μέτρο του διανύσματος και
συμβολίζεται με �ΑΒ�����⃗� .
Το μέτρο ενός διανύσματος είναι θετικός αριθμός , δηλαδή �ΑΒ�����⃗� ≥ 0 .
Το μηδενικό διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με το μηδέν .
Αν ένα διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με 1 , τότε το διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα .
Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα ΑΒ�����⃗
λέγεται φορέας του ΑΒ�����⃗ .
Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος ΑΑ�����⃗ μπορούμε να θεωρήσουμε
οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το Α .
Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ που έχουν τον ίδιον φορέα
ή παράλληλους φορείς , λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα
και τα συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ∥ ΓΔ����⃗ .
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση .
Παράλληλα ή Συγγραμμικά Διανύσματα
Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ λέγονται ομόρροπα όταν :
α) έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς
την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή
β) έχουν τον ίδιο φορέα και μια από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση και
συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ⇈ ΓΔ����⃗
Ομόρροπα και Αντίρροπα Διανύσματα
1. Η Έννοια του Διανύσματος

4. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 4
Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ λέγονται αντίρροπα όταν είναι
συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση
και συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ↑↓ ΓΔ����⃗
Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα αν είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα .
Δηλαδή : ΑΒ�����⃗ = ΓΔ����⃗ ⇔ �
ΑΒ�����⃗ ⇈ ΓΔ����⃗
και
�ΑΒ�����⃗� = �ΓΔ����⃗�
Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους .
Αν Μ το μέσο του διανύσματος ΑΒ�����⃗ τότε ισχύει ΑΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ και αντιστρόφως .
Ίσα Διανύσματα
Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα αν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα .
Δηλαδή : ΑΒ�����⃗ = −ΓΔ����⃗ ⇔ �
ΑΒ�����⃗ ↑↓ ΓΔ����⃗
και
�ΑΒ�����⃗� = �ΓΔ����⃗�
Ειδικότερα έχουμε ΑΒ�����⃗ = −ΒΑ�����⃗ ( αλλάζω την σειρά των γραμμάτων , αλλάζω ταυτόχρονα και το πρόσημο)
Αντίθετα Διανύσματα
Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ και β�⃗ . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε
τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και ΟΒ�����⃗ = β�⃗ .
Την κυρτή γωνία ΑΟ�Β που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ , την ονομάζουμε γωνία
των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και την συμβολίζουμε με �α��⃗ , β�⃗�
� ή �β�⃗ , α��⃗
�
�
Αν θ η γωνία των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ τότε ισχύουν :
α) 0 ≤ θ ≤ π
β) αν θ = 0 τότε α��⃗ ⇈ β�⃗
γ) αν θ = π τότε α��⃗ ↑↓ β�⃗
δ) αν θ =
π
2
τότε α��⃗ ⊥ β�⃗ και θα λέμε τα διανύσματα κάθετα ή ορθογώνια
Γωνία Δύο Διανυσμάτων

5. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 5
Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ και β�⃗ . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε
διάνυσμα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και στη συνέχεια παίρνουμε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ = β�⃗ .
Το διάνυσμα ΟΒ�����⃗ λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των
διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και συμβολίζεται με α��⃗ + β�⃗ .
Πρόσθεση Δύο Διανυσμάτων
Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με τον κανόνα του
παραλληλογράμμου . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα
ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , τότε το άθροισμα α��⃗ + β�⃗ ορίζεται από την
διαγώνιο ΟΜ του παραλληλογράμμου που έχει προσκείμενες πλευρές
τις ΟΑ και ΟΒ .
Αν α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ τρία διανύσματα , τότε ισχύουν :
α) α��⃗ + β�⃗ = β�⃗ + α��⃗ (Αντιμεταθετική Ιδιότητα )
β) � α��⃗ + β�⃗� + γ�⃗ = α��⃗ + �β�⃗ + γ�⃗� (Προσεταιριστική Ιδιότητα )
γ) α��⃗ + 0�⃗ = α��⃗
δ) α��⃗ + (−α���⃗) = 0�⃗
Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων
Η διαφορά α��⃗ − β�⃗ του διανύσματος β�⃗ από το διάνυσμα α��⃗ ,
ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων α��⃗ και −β�⃗ .
Δηλαδή : α��⃗ − β�⃗ = α��⃗ + �−β�⃗�
Αφαίρεση Δύο Διανυσμάτων
Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου . Τότε για κάθε σημείο του χώρου Μ ορίζεται το διάνυσμα ΟΜ������⃗ , το οποίο
λέγεται διάνυσμα θέσης του Μ ή διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ .
Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου , λέγεται
σημείο αναφοράς στο χώρο .
Διάνυσμα Θέσης
2. Πρόσθεση/Αφαίρεση Διανυσμάτων

6. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 6
ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗
Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με την διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον την διανυσματική ακτίνα
της αρχής . Πράγματι :
Έστω Ο σημείο αναφοράς , τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ ισχύει :
ΟΑ�����⃗ + ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ ⇔ ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗
Άρα :
Αν α��⃗ , β�⃗ δύο διανύσματα , τότε για το μέτρο αθροίσματος των διανυσμάτων ισχύει :
Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων
Στο διπλανό σχήμα φαίνεται στο άθροισμα δύο διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗
Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε :
|(ΟΑ) − (ΑΒ)| ≤ (ΟΒ) ≤ (ΟΑ) + (ΑΒ) ⇔ �|α��⃗| − �β�⃗�� ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ |α��⃗| + �β�⃗�
�|α��⃗| − �β�⃗�� ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ |α��⃗| + �β�⃗�

7. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 7
Ασκήσεις
1. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ της πλευράς ΒΓ . Να βρείτε τις γωνίες :
α. �ΑΒ�����⃗, ΑΓ�����⃗� � β. �ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗� � γ. �ΒΔ�����⃗ , ΔΓ����⃗� � δ. �ΒΓ����⃗ , ΓΔ����⃗� �
2. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ . Να βρείτε τις γωνίες :
α. �ΑΒ�����⃗, ΑΓ�����⃗� � β. �ΔΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗� � γ. �ΑΔ�����⃗ , ΓΔ����⃗� �
3. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του . Να βρείτε τις γωνίες :
α. �ΒΑ�����⃗, ΒΓ����⃗� � β. �ΑΒ�����⃗ , ΓΑ����⃗� � γ. �ΒΓ����⃗ , ΔΑ�����⃗� � δ. �ΒΑ�����⃗ , ΑΔ�����⃗� �
4. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα :
α. ΑΒ�����⃗ + ΓΔ����⃗ + ΒΓ����⃗
β. ΚΛ������⃗ + ΜΝ������⃗ + ΛΜ������⃗ + ΝΠ������⃗
γ. ΑΒ�����⃗ + ΔΑ�����⃗ + ΓΔ����⃗ + ΒΓ����⃗
δ. ΑΓ�����⃗ − ΒΔ�����⃗ − ΔΓ����⃗
ε. ΚΛ�����⃗ − ΝΜ������⃗ + ΝΚ�����⃗ − ΜΛ������⃗
5. Να εκφράσετε το διάνυσμα x�⃗ σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις :
6. Να εκφράσετε το διάνυσμα x�⃗ σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις :
7. Αν Ρ1Ρ2Ρ3Ρ4Ρ5Ρ6 ένα εξάγωνο , τότε να δείξετε ότι : Ρ1Ρ3
��������⃗ + Ρ2Ρ4
��������⃗ + Ρ3Ρ5
��������⃗ + Ρ4Ρ6
��������⃗ + Ρ5Ρ1
��������⃗ + Ρ6Ρ2
��������⃗ = 0�⃗
8. Αν ισχύει ΑΝ�����⃗ − ΓΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ + ΓΝ�����⃗ να δείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του ΑΒ .
9. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσο του ΑΓ. Να δείξετε ότι : ΜΒ������⃗ + ΜΔ������⃗ = ΑΒ�����⃗ − ΔΓ����⃗ .
10. Αν ισχύει ότι ΓΔ����⃗ = ΒΕ�����⃗ + ΓΑ����⃗ − ΔΕ�����⃗ να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται .
11. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο του Ο για το οποίο ισχύει ΑΓ�����⃗ + ΒΟ�����⃗ = ΒΔ�����⃗ − ΓΔ����⃗ . Να αποδείξετε ότι
τα σημεία Α και Ο συμπίπτουν .

8. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 8
12. Αν ισχύουν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ + β�⃗� ≥ 5 . Να δείξετε ότι τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ είναι ομόρροπα .
13. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ + β�⃗� = 4 , �β�⃗ + γ�⃗� = 8 . Να βρείτε
α. το �β�⃗� β. το |γ�⃗| γ. το |α��⃗ + γ�⃗|
14. Έστω τα σημεία Ο , Α , Β του επιπέδου . Αν �ΟΑ�����⃗� = 6 , �ΟΒ�����⃗� = 4 να δείξετε ότι 2 ≤ �ΑΒ�����⃗� ≤ 10 .
15. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ = 0�⃗ και
|α��⃗|
5
=
�β��⃗�
3
=
|γ��⃗|
2
.
Να δείξετε ότι : α. α���⃗ ↑↓ β�⃗ β. β�⃗ ↑↑ γ�⃗ .
16. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν α��⃗ + β�⃗ = γ�⃗ και
|α��⃗|
3
=
�β��⃗�
2
=
|γ��⃗|
5
.
Να δείξετε ότι : α. α���⃗ ↑↑ β�⃗ β. β�⃗ ↑↑ γ�⃗ .
17. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 5 , |γ�⃗| = 4 . Να δείξετε ότι :
α. 3 ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ 7
β. α��⃗ + β�⃗ − 2γ�⃗ ≠ 0�⃗
18. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 3κ − 5 , �β�⃗� = 5κ − 8 , �α��⃗ + β�⃗� = κ2
+ 3 .
Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ .

9. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 9
Αν 𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗ δύο διανύσματα με 𝛃𝛃��⃗ ≠ 𝟎𝟎��⃗ , τότε :
𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛂𝛂��⃗ = 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗ , 𝛌𝛌 ∈ ℝ
Έστω λ ένας μη μηδενικός αριθμός και το μη μηδενικό διάνυσμα α��⃗ .
Ονομάζουμε γινόμενο του αριθμού λ με το 𝛂𝛂��⃗ και το συμβολίζουμε με λ ∙ α��⃗ ή λα��⃗ ένα διάνυσμα το οποίο :
α) είναι ομόρροπο του α��⃗ αν λ > 0 , 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼ί𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏 α��⃗ αν λ < 0
β) έχει μέτρο |λ||α��⃗|
Αν είναι λ = 0 ή α��⃗ = 0�⃗ τότε ορίζουμε λα��⃗ = 0�⃗
Ορισμός Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα
Αν α��⃗ , β�⃗ δύο διανύσματα και λ , μ δύο πραγματικοί αριθμοί , τότε ισχύουν οι ιδιότητες :
α) λ�α��⃗ + β�⃗� = λα��⃗ + λβ�⃗
β) (λ + μ)α��⃗ = λα��⃗ + μα��⃗
γ) λ(μα��⃗) = (λμ)α��⃗
Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα
Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗ ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής v�⃗ = κα��⃗ + λβ�⃗ ,
όπου κ , λ πραγματικοί αριθμοί .
Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων
Συνθήκη Παραλληλίας δύο διανυσμάτων
ΠΡΟΣΟΧΗ : Για να αποδείξουμε ότι τρία σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά , αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ ,
δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ�����⃗ = λΒΓ����⃗
3. Πολλαπλασιασμός αριθμού με Διάνυσμα

10. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 10
Αν Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς , τότε 𝚶𝚶𝚶𝚶�������⃗ =
𝚶𝚶𝚶𝚶������⃗ + 𝚶𝚶𝚶𝚶������⃗
𝟐𝟐
Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος
Θεωρούμε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ , το μέσο του Μ , καθώς και ένα σημείο αναφοράς Ο.
Αφού Μ μέσο του ΑΒ�����⃗ τότε θα ισχύει :
ΑΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ ⇔ ΟΜ������⃗ − ΟΑ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΜ������⃗ ⇔ 2ΟΜ������⃗ = ΟΑ�����⃗ + ΟΒ�����⃗ ⇔ ΟΜ������⃗ =
ΟΑ������⃗ + ΟΒ������⃗
2

11. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 11
Ασκήσεις
19. Αν ΟΑ�����⃗ = α��⃗ , ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = 2α��⃗ − 3β�⃗ , να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ , ΓΒ����⃗ με την βοήθεια των α��⃗ , β�⃗ .
20. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ . Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα και ΑΒ�����⃗ = 3α��⃗ , ΑΔ������⃗ = 4β�⃗ ,
να βρεθούν τα διανύσματα ΑΜ������⃗ και ΜΝ������⃗ .
21. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΑΔ . Να εκφράσετε τα διανύσματα ΒΜ������⃗ και ΜΓ������⃗
ως συνάρτηση των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΒΓ����⃗ = β�⃗ .
22. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω σημείο Ε στην πλευρά ΑΒ ώστε ΑΕ = 3ΒΕ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΔ������⃗ = β�⃗
να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ�����⃗ , ΔΕ�����⃗ , ΓΕ����⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ .
23. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ευθείας ΒΓ ώστε τα Δ , Γ να βρίσκονται εκατέρωθεν του Β και να
ισχύει 3ΒΔ = 2ΒΓ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ������⃗ = β�⃗ , να εκφράσετε το διάνυσμα ΑΔ������⃗ ως συνάρτηση
των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ .
24. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ , ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ και ΟΔ�����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ . Να δείξετε ότι ΑΓ�����⃗ + ΔΒ�����⃗ ∥ ΑΒ�����⃗ .
25. Αν ισχύει ότι ΑΔ�����⃗ = 3ΑΒ�����⃗ + 5ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 3ΑΓ�����⃗ να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ .
26. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 8ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 3ΑΒ�����⃗ + 10ΑΓ�����⃗ .
Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ .
27. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 2ΑΒ�����⃗ + 5ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 2ΑΓ�����⃗ .
α. Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ�����⃗ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ�����⃗ και ΑΓ�����⃗
β. Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 4ΑΒ�����⃗ − 9ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = ΑΒ�����⃗ − 6ΑΓ�����⃗ .
Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ .
29. Θεωρούμε τα διανύσματα u�⃗ = 4α��⃗ − 3β�⃗ και v�⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ . Να αποδείξετε ότι :
α. το διάνυσμα γ�⃗ = u�⃗ + 3v�⃗ είναι ομόρροπο με το α��⃗
β. το διάνυσμα δ�⃗ = u�⃗ − 2v�⃗ είναι αντίρροπο με το β�⃗ .
30. Αν οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α , Β , Γ , Δ είναι αντίστοιχα α��⃗ , β�⃗ , 4α��⃗ − β�⃗ , α��⃗ + 2β�⃗ να δείξετε ότι
τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ είναι ομόρροπα .
31. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΔΓ����⃗ = α��⃗ , ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + β�⃗ και ΒΔ�����⃗ = −2α��⃗ + β�⃗ είναι τραπέζιο .
32. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = β�⃗ , ΑΔ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ είναι τραπέζιο .
33. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = β�⃗ , ΑΔ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ . Να αποδείξετε ότι :
α. το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο .
β. το διάνυσμα u�⃗ = ΒΓ����⃗ − ΑΔ�����⃗ είναι ομόρροπο με το β�⃗ .
34. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ − 3β�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ και ΟΔ�����⃗ = 6α��⃗ + 7β�⃗ . Να δείξετε ότι
τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ είναι ομόρροπα .

12. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 12
35. Δίνεται στο παρακάτω σχήμα ότι ΑΒ�����⃗ = α��⃗ , ΒΓ������⃗ = β�⃗ , ΓΔ����⃗ = 2α��⃗ και ΔΕ�����⃗ = 2β����⃗ .
Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Γ , Ε είναι συνευθειακά .
36. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ , ΟΓ������⃗ = 3α��⃗ − 5β�⃗.
Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
37. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 5α��⃗ + 3β�⃗ + 4γ��⃗ , ΟΓ������⃗ = 13α��⃗ + 7β�⃗ + 10γ�⃗ .
Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
38. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ + 5γ�⃗ , ΟΒ�����⃗ = −α��⃗ + 3β�⃗ + 4γ��⃗ , ΟΓ������⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ + 6γ�⃗ .
Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
39. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ , ΑΓ�����⃗ = 5α��⃗ − β�⃗ . Αν Δ σημείο τέτοιο ώστε ΑΔ�����⃗ = 11α��⃗ − 5β�⃗ , να δείξετε
ότι τα σημεία Β , Γ , Δ είναι συνευθειακά .
40. Αν ισχύει 4ΜΑ������⃗ + 5ΜΒ������⃗ − 9ΜΓ������⃗ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
41. Αν ισχύει 9ΟΑ�����⃗ − 7ΟΒ�����⃗ − 2ΟΓ�����⃗ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
42. Αν ισχύει ΜΑ������⃗ + 5ΡΑ����⃗ = 3ΡΜ������⃗ + 2ΡΒ�����⃗ − 4ΓΜ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
43. Αν ισχύει 2ΑΛ�����⃗ + 3ΒΛ�����⃗ + 2ΜΒ������⃗ = ΑΚ�����⃗ + ΑΜ������⃗ + ΒΚ�����⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ , Λ , Μ είναι συνευθειακά .
44.Αν ισχύει 5ΡΛ����⃗ = 2ΡΚ�����⃗ + 3ΡΜ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ ,Λ ,Μ είναι συνευθειακά .( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
45. Αν ισχύει (κ + 2)ΜΑ������⃗ + 3ΜΒ������⃗ = (κ + 5)ΜΓ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
46. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε , Ζ σημεία τέτοια ώστε ΑΕ�����⃗ =
2
5
ΑΔ�����⃗ , ΑΖ�����⃗ =
2
7
ΑΓ�����⃗ .
α. Να γράψετε τα διανύσματα ΕΖ����⃗ , ΖΒ����⃗ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ�����⃗ και ΑΔ�����⃗
β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β , Ζ , Ε είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
47. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΔ������⃗ = β�⃗ . Θεωρούμε σημεία Ε , Ζ στην ΑΔ και στην διαγώνιο ΑΓ
αντίστοιχα τέτοια , ώστε ΑΕ�����⃗ =
1
3
ΑΔ�����⃗ , ΑΖ�����⃗ =
1
4
ΑΓ�����⃗ . Να αποδείξετε ότι :
α. ΑΖ�����⃗ =
1
4
�α��⃗ + β�⃗�
β. ΕΖ����⃗ =
1
4
�α��⃗ −
1
3
β�⃗� και να υπολογίσετε το ΕΒ�����⃗ με την βοήθεια των α��⃗ , β�⃗ .
γ. τα σημεία Ε , Ζ , Β είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
48. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΒΓ������⃗ = β�⃗ και ΓΔ = 3 ΑΒ . Αν Ε σημείο της διαγωνίου ΑΓ ώστε ΕΓ = 3ΕΑ
α. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ , ΒΕ�����⃗ και ΒΔ������⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ .
β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β , Δ , Ε είναι συνευθειακά .

13. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 13
49. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ .Πάνω στα τμήματα ΑΒ , ΑΜ και ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Δ , Ε ,Ζ
αντίστοιχα ώστε ΑΔ =
1
2
ΑΒ , ΑΕ =
1
3
ΑΜ , ΑΖ =
1
4
ΑΓ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ������⃗ = β�⃗ τότε :
α. Να εκφράσετε συναρτήσει των α��⃗ , β�⃗ τα διανύσματα ΔΕ�����⃗ , ΔΖ����⃗
β. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ , Ε , Ζ είναι συνευθειακά .
50. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε , Ζ μέσα των ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΑΕ�����⃗ + ΑΖ�����⃗ =
3
2
ΑΓ�����⃗
51. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Δ στη ΒΓ . Αν Κ , Λ , Μ μέσα των ΒΔ , ΔΓ και ΒΓ αντίστοιχα τότε
να δείξετε ότι ΑΚ�����⃗ + ΑΛ�����⃗ − ΑΜ������⃗ = ΑΔ�����⃗ .
52. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ , Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα .
Να δείξετε ότι ΑΒ�����⃗ + ΑΔ�����⃗ + ΓΒ����⃗ + ΓΔ����⃗ = 4ΜΝ������⃗ . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )
53. Έστω ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΔΓ ) με ΔΓ =
4
3
ΑΒ . Θεωρούμε το σημείο Ε με ΑΕ�����⃗ =
1
3
ΑΒ�����⃗ και ονομάζουμε Ζ
το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΔΕ . Να δείξετε ότι ΑΖ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ .
54. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ΔΕ = 2ΕΒ .
α .Να εκφράσετε συναρτήσει των α��⃗ , β�⃗ τα διανύσματα ΔΒ�����⃗ , ΕΒ�����⃗ , ΓΒ����⃗ , ΑΕ�����⃗ , ΕΓ����⃗
β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Ε , Γ είναι συνευθειακά . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )
55. Δίνονται τα σημεία Α , Β , Γ . Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα 3ΜΑ������⃗ − 5ΜΒ������⃗ + 2ΜΓ������⃗
είναι σταθερό . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )

14. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 14
Αν σε μια ευθεία x’x επιλέξουμε δύο σημεία Ο και Ι ώστε το διάνυσμα ΟΙ����⃗ = i⃗ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται
στην ημιευθεία Οx , τότε λέμε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα 𝐢𝐢⃗
Άξονας
Οι ημιευθείες Οx και Οx’ λέγονται αντίστοιχα
θετικός και αρνητικός ημιάξονας .
Για κάθε σημείο Μ του άξονα x’x ισχύει ΟΜ������⃗ ∥ i⃗ , οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παραλληλίας θα υπάρχει
μοναδικός πραγματικός αριθμός x έτσι ώστε να ισχύει ΟΜ������⃗ = x ∙ i⃗
Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του σημείου Μ και το σημείο το συμβολίζουμε με M(x)
Θεωρούμε σε ένα επίπεδο δύο κάθετους άξονες x’x και y’y με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα i⃗και j⃗
αντίστοιχα . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ή ένα ορθοκανονικό
σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy .
Καρτεσιανό Επίπεδο
Αν Μ τυχαίο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου και φέρουμε παράλληλη
στον y’y που τέμνει τον x’x στο Μ1 και παράλληλη στον x’x που τέμνει
τον y’y στο Μ2 , τότε η τετμημένη x του Μ1 λέγεται τετμημένη του Μ και
η τετμημένη y του Μ2 λέγεται τεταγμένη του Μ .
Οι μοναδικοί αριθμοί x , y λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ και
συμβολίζονται με Μ(x , y)
Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α��⃗ ένα
διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο παίρνουμε ΟΑ�����⃗ = α��⃗ .
Αν Α1 και Α2 οι προβολές του Α πάνω στους άξονες , τότε ισχύει :
ΟΑ�����⃗ = ΟΑ1
�������⃗ + ΟΑ2
��������⃗ ⇔ α��⃗ = x ∙ i⃗ + y ∙ j⃗
Τα διανύσματα x ∙ i⃗ και y ∙ j⃗ λέγονται συνιστώσες του 𝛂𝛂��⃗ κατά την
διεύθυνση των i⃗και j⃗ αντίστοιχα .
Οι αριθμοί x , y λέγονται συντεταγμένες του 𝛂𝛂��⃗
Συντεταγμένες Διανύσματος
4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο
𝛂𝛂��⃗ = 𝐱𝐱 ∙ 𝐢𝐢⃗ + 𝐲𝐲 ∙ 𝐣𝐣⃗ ⇔ 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱 , 𝐲𝐲)

15. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 15
Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες Μ �
𝐱𝐱 𝟏𝟏+𝐱𝐱 𝟐𝟐
𝟐𝟐
,
𝐲𝐲𝟏𝟏+𝐲𝐲𝟐𝟐
𝟐𝟐
�
Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε 𝚨𝚨𝚨𝚨�����⃗ = (𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏)
Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες .
Ίσα Διανύσματα
Δηλαδή : Αν α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) τότε ∶ α��⃗ = β�⃗ ⇔ �
x1 = x2
y1 = y2
Αν α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) τότε έχουμε :
α) α��⃗ + β�⃗ = (x1 + x2 , y1 + y2 )
β) α��⃗ − β�⃗ = (x1 − x2 , y1 − y2 )
γ) λα��⃗ = (λx1 , λy1)
δ) λα��⃗ + μβ�⃗ = (λx1 + μx2 , λy1 + μy2 )
Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων
Συντεταγμένες μέσου τμήματος
Έστω M(x , y) μέσο του ΑΒ .
Τότε θα ισχύει ΟΜ������⃗ =
ΟΑ������⃗ + ΟΒ������⃗
2
(1) με ΟΜ������⃗ = (x , y) , ΟA�����⃗ = (x1 , y1)
και ΟΒ�����⃗ = (x2 , y2) .
Η (1)⇒ (x , y) =
(x1 ,y1)+(x2 ,y2)
2
⇔ (x , y) =
(x1+x2 , y1+y2)
2
⇔ (x , y) = �
x1+x2
2
,
y1+y2
2
� ⇔ �
x =
x1+x2
2
και
y =
y1+y2
2
Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα
Πράγματι : ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗ ⇔ ΑΒ�����⃗ = (x2 , y2) − (x1 , y1) ⇔ ΑΒ�����⃗ = (x2 − x1 , y2 − y1)

16. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 16
Αν 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱 , 𝐲𝐲) τότε |𝛂𝛂��⃗| = �𝐱𝐱𝟐𝟐 + 𝐲𝐲 𝟐𝟐
Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε η απόσταση των δύο σημείων είναι : (𝐀𝐀𝐀𝐀) = �(𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏)𝟐𝟐 + (𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏)𝟐𝟐
Αν 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και 𝛃𝛃��⃗ = (𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε ισχύει η ισοδυναμία :
𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝� 𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗� = 𝟎𝟎 ⇔ �
𝐱𝐱𝟏𝟏 𝐲𝐲𝟏𝟏
𝐱𝐱𝟐𝟐 𝐲𝐲𝟐𝟐
� = 𝟎𝟎
Μέτρο διανύσματος
Έστω το διάνυσμα α��⃗ = (x , y) και Α σημείο με ΟA�����⃗ = α��⃗ .
Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΑ1 έχουμε :
(ΟΑ)2
= (ΟΑ1)2
+ (ΑΑ1)2
⇔ (ΟΑ)2
= (ΟΑ1)2
+ (ΟΑ2)2
⇔ |α��⃗|2
= x2
+ y2
⇔ |α��⃗| = �x2 + y2
Απόσταση δύο σημείων
Έστω τα σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) , τότε οι συντατεγμένες του διανύσματος
ΑΒ�����⃗ = (x2 − x1 , y2 − y1) , άρα θα έχει μέτρο :
�ΑΒ�����⃗� = (ΑΒ) = �(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων

17. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 17
Συντελεστής διεύθυνσης Διανύσματος
Έστω το διάνυσμα α��⃗ = (x , y) και Α σημείο με ΟA�����⃗ = α��⃗ .
Τη γωνία φ που διαγράφει ο θετικός ημιάξονας Ox αν στραφεί γύρω
από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ ,
την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα 𝛂𝛂��⃗ με τον άξονα x’x .
Από τον ορισμό της γωνίας προκύπτει ότι 0 ≤ φ < 2𝜋𝜋
Το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος α��⃗ = (x , y) με x ≠ 0 ,
το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του α��⃗ και τον συμβολίζουμε με λα��⃗ ή λ .
Ισχύουν :
α) α��⃗ ∥ x′
x ⇔ λα��⃗ = 0 αφού y = 0
β) α��⃗ ∥ y′
y ⇔ λα��⃗ = δεν ορίζεται , αφού x = 0
Κριτήριο Παραλληλίας Διανύσματος
Θεωρούμε τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) . Τότε έχουμε :
α��⃗ ∥ β�⃗ ⇔ det�α��⃗ , β�⃗� = 0 ⇔ �
x1 y1
x2 y2
� = 0 ⇔ x1 ∙ y2 − x2 ∙ y1 = 0 ⇔ x1 ∙ y2 = x2 ∙ y1 ⇔
y1
x1
=
y2
x2
⇔ λ1 = λ2 .
𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ =
𝐲𝐲
𝐱𝐱
𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ = 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗

18. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 18
Ασκήσεις
56. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 , 4) , β�⃗ = (−1 , 3).
Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α��⃗ + β�⃗ , α��⃗ − β�⃗ , 2α��⃗ − 3β�⃗ , 3α��⃗ + 4β�⃗ .
1. Πράξεις με Συντεταγμένες
57. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (3 , 1) , β�⃗ = (5 , 1) και γ�⃗ = (−1 , 1) .
Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v�⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ + γ�⃗
58. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (−2 , 3) , β�⃗ = (1 , − 1) και γ�⃗ = (3 , −2)
Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α��⃗ + 2β�⃗ , 2α��⃗ − γ�⃗ και α��⃗ − β�⃗ +
1
2
γ�⃗ .
2. Μηδενικό Διάνυσμα
59. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε το διάνυσμα u�⃗ = (κ2
+ κ − 2 , 3λ − 3)
να είναι το μηδενικό διάνυσμα .
60. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε το διάνυσμα u�⃗ = (κ2
− 5κ + 6 , κ − 2)
να είναι το μηδενικό διάνυσμα .
61. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (κ , 2κ − λ) , β�⃗ = (2λ , 4)
να είναι ίσα .
3. Ισότητα Διανυσμάτων – Αντίθετα Διανύσματα
62. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (κ − 1 , λ − 2) , β�⃗ = (λ , 2κ − 1)
να είναι αντίθετα .
63. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (λ2
− 3λ + 2 , 2λ2
− 3λ − 2) και
β�⃗ = (λ2
− 5λ + 6 , −3λ2
+ 7λ − 2) να είναι ίσα . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )
64. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί λ , μ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (2λ + μ)i⃗ + (λ − 3μ + 1)j⃗ και
β�⃗ = (2μ + 5)i⃗ + (4λ − μ + 1)j⃗ να είναι ίσα .
65. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ2
− 4 , λ + 2) , λ ∈ ℝ . Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε :
α. α��⃗ = 0�⃗ β. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x γ. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ y′y
4. Παραλληλία Διανύσματος με Άξονες
66. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ2
− 4 , λ2
− 3λ + 2 ) , λ ∈ ℝ . Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε :
α. α��⃗ = 0�⃗ β. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )
67. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (x , 1) και β�⃗ = (−y2
+ 4y − 5 , x + 2) . Να βρείτε τις τιμές των x , y αν :
α. α��⃗ − β�⃗ ∥ x′x β. α��⃗ + 2β�⃗ = −20i⃗ + 9j⃗
68. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (λ2
+ 3λ , λ2
− 9) και β�⃗ = (λ − 5 , 3λ − 1) με λ ∈ ℝ . Να βρείτε τις τιμές του λ αν :
α. τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ είναι αντίθετα
β. το διάνυσμα α��⃗ είναι το μηδενικό διάνυσμα
γ. είναι α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x
δ. είναι α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ y′y

19. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 19
69. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (κ − 1 , −2) και β�⃗ = (λ − 2 , κ) . Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ , λ
ώστε να ισχύει 3α��⃗ − 2β�⃗ = 0�⃗
5. Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων
70. Δίνονται τα διανύσματα u�⃗ = (−1 ,3) , v�⃗ = (2 , 1) . Να γραφεί το διάνυσμα w���⃗ = (4 , 16) σαν γραμμικό
συνδυασμό των διανυσμάτων u�⃗ και v�⃗ .
71. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 ,3) , β�⃗ = (−1 , 2) . Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = (4 , 13) σαν γραμμικό
συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ .
72. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2λ + 1 , −2) , β�⃗ = (1 , 2) και γ�⃗ = (λ , μ) με λ , μ ∈ ℝ . Να βρεθούν τα λ , μ
ώστε να ισχύει α��⃗ + 2β�⃗ − γ�⃗ = 0�⃗ .
73. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = xi⃗ + yj⃗ και β�⃗ = (y − 2)i⃗ + (x + 6)j⃗ με x , y ∈ ℝ
για τα οποία ισχύει 2α��⃗ − 3β�⃗ = (−7 , −6) .
α. Να βρείτε τις τιμές των x , y
β. Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = −10 i⃗+ 4 j⃗σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ .
74. Δίνονται τα σημεία Α(2 , 8) και Β(6 , −4) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ .
6. Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος
75. Δίνεται το τμήμα ΚΛ με Λ(4 , 3) και το μέσο Ν(−2 , 6) του ΚΛ . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Κ .
76. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(1 , −2) ως προς το Β(−1 , 3) .
77. Δίνονται τα σημεία Α(λ , 2κ − 4) , Β(−2λ − κ , 3λ − κ) και Μ(κ , λ − 1) με κ , λ ∈ ℝ .
Να βρείτε τις τιμές των κ , λ ώστε το Μ να είναι το μέσο του ΑΒ .
78. Δίνονται οι κορυφές Α(1 , 3) , Β(5 ,3) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ . Αν το σημείο τομής των διαγωνίων του
είναι το Κ(3 , 7) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ .
79. Δίνονται οι κορυφές Α(2 , 3) , Β(4 , −1) και Γ(0 , 5) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ
80. Δίνεται κύκλος με κέντρο Κ(−3 , 2) , διαμέτρου ΑΒ με Α(1 , 3) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β .
81. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(1 , 2) , Λ(3 , 5) και Μ(2 , −4) . Να βρεθούν οι
συντεταγμένες των κορυφών Α , Β , Γ του τριγώνου ΑΒΓ .
82. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(−2 , −2) , Λ(−1 , 0) και Μ(2 , −1) . Να βρεθούν
οι συντεταγμένες των κορυφών Α , Β , Γ του τριγώνου ΑΒΓ .
83. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης
x2
− (λ2
+ 3λ − 5)x − 10 = 0 . Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ , ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ
να έχει τετμημένη ίση με −
1
2
.

20. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 20
84. Αν Λ(2 , −5) και Μ(3 , 4) να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΛΜ������⃗
7. Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα
85. Αν ΚΛ�����⃗ = (−1 , 4) και Λ(2 , 5) να βρείτε τις συντεταγμένες του Κ .
86. Έστω το σημείο Α(−1 , 2) . Να βρείτε :
α. το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ όταν Β(−3 , 0)
β. το Γ αν είναι ΑΓ�����⃗ = (−3 , −5)
γ. το Δ όταν ισχύει 2ΑΔ�����⃗ − 3ΔΕ�����⃗ = 0���⃗ και Ε(3 , −1)
86. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 2) και Β(3 , 8) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ ώστε να είναι ΑΓ�����⃗ = 2ΑΒ�����⃗
87. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 1) , Β(2 , 0) και Γ(2 , −3) . Να βρεθούν οι συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ������⃗
καθώς και του σημείου Δ για το οποίο ισχύει ΒΔ�����⃗ = ΑΓ�����⃗ .
88. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−2 , 0) , Β(1 , −3 ) και Γ(2 , 1) . Αν ΑΜ������⃗ = 2ΜΒ������⃗ και ΑΔ διάμεσος , να βρείτε τις
συντεταγμένες του διανύσματος ΜΔ������⃗ .
88. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1 , 5) , Β(7 , 3) και ΑΚ�����⃗ = (1 , −4) όπου Κ το κέντρο του . Να βρείτε τις
συντεταγμένες των Κ , Γ και Δ .
89. Δίνονται τα σημεία Α(λ , 3μ+2) , Β(μ , λ − 6) και το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ = (4 , −14) . Να βρείτε :
α. τα λ , μ
β. ένα σημείο Μ ώστε να ισχύει ΑΜ������⃗ = 3ΒΜ������⃗ .
90. Δίνονται τα σημεία Α(x , y) , Β(x+2y , x+1) και Γ(y − 3 , 2x − 4) .
α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x , y αν ισχύει AB�����⃗ + AΓ�����⃗ = (−12 , 10)
β. Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = (−4 , 14) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων ΑΓ�����⃗ και ΒΓ����⃗
91. Αν α��⃗ = (−1 , 2) και β�⃗ = (3 , −2) να υπολογίσετε τα μέτρα |−2α��⃗| και �3α��⃗ − 2β�⃗�
8. Μέτρο Διανύσματος – Απόσταση Δύο Σημείων
92.Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ αν για το διάνυσμα β�⃗ = (1 − λ , λ − 3) ισχύει �β�⃗� = 10 .
93. Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ αν για το διάνυσμα α��⃗ = (λ , λ + 1) ισχύει |−3α��⃗| = 15 .
94. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α��⃗ για το οποίο ισχύει α��⃗ = (|α��⃗| − 4 , 8)
95. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2 , 1) , Β(3 , −2) , Γ(7 , −4) .
α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος v�⃗ = −4ΑΓ�����⃗ + 7ΒΓ����⃗
β. Αν Μ μέσο του ΒΓ να βρείτε το μέτρο της διαμέσου ΑΜ������⃗
96. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−2 , −2) , Β(3 , 0) , Γ(−1 , 3) . Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του καθώς και τα
μήκη των διαμέσων του .
97. Έστω τα σημεία Α(8 , −2) , Β(0 , 6) και Γ(2 , 0) . Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές
και να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΔ .
98. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−3 , −3) , Β(−1 , 3) και Γ(11 , −1 ) είναι ορθογώνιο .
99. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1 , 1) , Γ(4 , 3) , Δ(2 , 3) . Να βρείτε :
α. τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ
β. συντεταγμένες του κέντρου Κ του ΑΒΓΔ καθώς και της κορυφής Β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )

21. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 21
100. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , 6) και Β(−9 , −2) . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x’x το οποίο να ισαπέχει
από τα Α και Β .
101. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , 2) και Β(3 , 1) . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα y’y το οποίο να ισαπέχει
από τα Α και Β .
102. Δίνονται τα σημεία Α(−2 , −5) και Β(3 , −4 ). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x’x τέτοιο ώστε το
τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ .
103. Δίνονται τα σημεία Α(x , −2) , Β(16 , x + 2) και Γ(5 , x) . Να βρείτε το x ∈ ℝ αν ισχύει �2ΑΒ�����⃗ + 3ΒΓ����⃗� = �ΑΓ�����⃗�
104. Δίνονται τα σημεία A(λ , 1) και Β(−1 , λ + 3) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ αν ισχύει (ΑΒ)=5 .
105. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (−6 , 8) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , παράλληλο του α��⃗ , με �β�⃗� = 5
106. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (2 , −1) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , αντίρροπο του α��⃗ , με �β�⃗� = 4√3
107. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (2 , −3) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , αντίρροπο του α��⃗ , με �β�⃗� = 3
108. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 1 , 3) και β�⃗ = (2λ − 2 , λ) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ∥ β�⃗
9. Παραλληλία Διανυσμάτων
109. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 1 , 1) και β�⃗ = (1 , 2λ − 1) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ∥ β�⃗
110. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ , −8) και β�⃗ = (−1 , λ − 2) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ↑↑ β�⃗
111. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (1 , λ − 1) και β�⃗ = (λ − 1 , 9) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ↑↓ β�⃗
112. Έστω τα σημεία Α(−3 , −2) , Β(2 , κ) , Γ(5 , −3) και Δ(4 , κ) . Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε ΑΒ�����⃗ ∥ ΓΔ����⃗
113. Έστω τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ για τα οποία ισχύουν 3α��⃗ + 2β�⃗ = (−2 , 9) και α��⃗ − 2β�⃗ = (10 , −5) .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α��⃗ και β�⃗
β. Να γραφεί το διάνυσμα γ�⃗ = (4 , 7) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗
γ. Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (λ , 6 − λ) να είναι παράλληλο στο διάνυσμα α��⃗ − β�⃗ .
114. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ , 1 − λ) , β�⃗ = (λ + 1 , 2) και γ�⃗ = (6 , −10) . Αν ισχύει �α��⃗ + β�⃗� ∥ γ�⃗ τότε :
α. να βρείτε τον αριθμό λ
β. να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5α��⃗ − 6β�⃗
γ. να γράψετε το διάνυσμα u�⃗ = 3 j⃗ σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗
115. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (2 , 3) , β�⃗ = (−10 , 2) και γ�⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ . Να βρείτε :
α. το μέτρο του διανύσματος γ�⃗
β. τον αριθμό λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (λ , 1 − λ) να είναι παράλληλο στο γ�⃗
10. Συνευθειακά Σημεία
116. Να δείξετε ότι τα σημεία Α(−1 , 2) , Β(1 , 1) και Γ(−3 , 3) είναι συνευθειακά .
117. Δίνονται τα σημεία Α(8 , −6) , Β(−2 , −2) και Γ(−7 , 0) .
α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
β. Να βρεθούν τα κ , λ ∈ ℝ ώστε να ισχύουν ΑΓ�����⃗ = λΓΒ����⃗ και ΑΒ�����⃗ = κΑΓ�����⃗

22. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 22
118. Δίνονται τα σημεία Α(0 , 4) , Β(κ , −2) και Γ(−2 , 2) . Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ
να είναι συνευθειακά .
119. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , λ − 1) , Β(3 , λ + 3) και Γ(λ2
, 2) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ
να είναι συνευθειακά .
120. Δίνονται τα σημεία Α(1 , −4) και Β(4 , 2) . Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x’x ώστε τα σημεία Α , Β , Γ
να είναι συνευθειακά .
121. Δίνονται τα σημεία Α(α + 1 , 3) , Β(α , 4) και Γ(−4 , 5α + 4) , α ∈ ℝ .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗
β. Να βρείτε για ποια τιμή του α τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά
γ. Για α = 1 , να βρείτε τον αριθμό λ ώστε να ισχύει ΑΓ�����⃗ = λ ΑΒ�����⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
122. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1 , −1) , Β(2 , 1) και Γ(−1 , 5) είναι κορυφές τριγώνου
123. Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = 2i⃗+ 4j⃗, ΟΒ�����⃗ = 3i⃗+ j⃗ , ΟΓ�����⃗ = 5i⃗ − 5j⃗ .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗
β. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α , Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
124. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 1) , Β(−3 , 3) και Γ(3 , 1) .
α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι κορυφές τριγώνου .
β. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ από το Β , όπου ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ
125. Δίνονται τα σημεία Α(λ − 1 , −2) , Β(−1 , 0) και Γ(λ − 3 , 2λ) .
α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ να σχηματίζουν τρίγωνο .
β. Για λ = −1 , να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ
126. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 2) , Β(7 , 0) και Γ(1 , 4) . Αν Δ μέσο της διαμέσου ΑΜ και σημείο Ε για το
οποίο ισχύει 2 ΑΕ�����⃗ = ΕΓ����⃗ , τότε :
α. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Δ και Ε
β. να δείξετε ότι τα σημεία Β , Δ , Ε είναι συνευθειακά .
127. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης :
α. του διανύσματος α��⃗ = (2 , −6)
β. του διανύσματος ΑΒ�����⃗ με Α(2 , −4) και Β(−3 , 6)
11. Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος
128. Δίνονται τα σημεία Α(λ , λ − 1) , Β(5 , −2λ) με λ ≠ 5 . Να βρείτε το λ ∈ ℝ αν το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ έχει
συντελεστή διεύθυνσης ίσο με −4 .
129. Τα διανύσματα α��⃗ = (κ , μ + 4) και β�⃗ = (μ , κ − 9) με κ , μ ≠ 0 έχουν συντελεστές διεύθυνσης 2 και −3
αντίστοιχα . Να βρείτε :
α. τις τιμές των κ και μ
β. τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος γ�⃗ = 3α��⃗ − 2β�⃗
130. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα α��⃗ = �√3 , 3�
131. Αν Α(7 , −1) , Β(4 , 2) να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα ΑΒ�����⃗
132. Αν Α(3 , 0) , Β�0 , −√3� να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα ΑΒ�����⃗

23. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 23
133. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ , λ2
− 6) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα α��⃗ να σχηματίζει γωνία
3π
4
με
τον άξονα x’x .
134. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (λ , λ − 5) , β�⃗ = (λ − 3 , 6) για τα οποία ισχύει �α��⃗ + β�⃗� = √5 .
α. Να δείξετε ότι λ = 1
β. Θεωρούμε επίσης το διάνυσμα γ�⃗ = 4α��⃗ + 3β�⃗
β1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα γ�⃗
β2. Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (κ , κ − 6) να είναι παράλληλο στο γ�⃗

24. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 24
𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ = |𝛂𝛂��⃗| ∙ �𝛃𝛃��⃗� ∙ 𝛔𝛔𝛔𝛔𝛔𝛔�𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗�
𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ = 𝐱𝐱𝟏𝟏 ∙ 𝐱𝐱𝟐𝟐 + 𝐲𝐲𝟏𝟏 ∙ 𝐲𝐲𝟐𝟐
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και το συμβολίζουμε με α��⃗ ∙ β�⃗
τον πραγματικό αριθμό :
Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου
Αν α��⃗ = 0�⃗ ή β�⃗ = 0�⃗ τότε ορίζουμε α��⃗ ∙ β�⃗ = 0
− Άμεσες συνέπειες του ορισμού :
α) α��⃗ ∙ β�⃗ = β�⃗ ∙ α��⃗
β) α��⃗ ⊥ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = 0
γ) α��⃗ ↑↑ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = |α��⃗| ∙ �β�⃗�
δ) α��⃗ ↑↓ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = −|α��⃗| ∙ �β�⃗�
ε) α��⃗2
= |α��⃗|2
αφού α��⃗2
= α��⃗ ∙ α��⃗ = |α��⃗| ∙ |α��⃗| ∙ συν(α��⃗ , α��⃗) = |α��⃗|2
∙ 1 = |α��⃗|2
Θεωρούμε τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε : α��⃗ ∙ β�⃗ = x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2
Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου
α) (𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗) ∙ 𝛃𝛃��⃗ = 𝛂𝛂��⃗ ∙ �𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗� = 𝛌𝛌�𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗�
Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου
Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε :
(λα��⃗) ∙ β�⃗ = (λx1 , λy1) ∙ (x2 , y2) = (λx1)x2 + (λy1)y2 = λ(x1x2 + y1y2) = λ�α��⃗ ∙ β�⃗�
α��⃗ ∙ �λβ�⃗� = (x1 , y1) ∙ (λx2 , λy2) = x1(λx2) + y1(λy2) = λ(x1x2 + y1y2) = λ�α��⃗ ∙ β�⃗�
Άρα (λα��⃗) ∙ β�⃗ = α��⃗ ∙ �λβ�⃗� = λ�α��⃗ ∙ β�⃗�
3. Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

25. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 25
β) 𝛂𝛂��⃗ ∙ �𝛃𝛃��⃗ + 𝛄𝛄��⃗� = 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ + 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛄𝛄��⃗
Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) , β�⃗ = (x2 , y2) και γ�⃗ = (x3 , y3) , τότε :
α��⃗ ∙ �β�⃗ + γ�⃗� = (x1 , y1) ∙ (x2 + x3 , y2 + y3) = x1 ∙ (x2 + x3) + y1 ∙ (y2 + y3) = (x1x2 + x1x3) + (y1y2 + y1y3)
= (x1x2 + y1y2) + (x1x3 + y1y3) = α��⃗ ∙ β�⃗ + α��⃗ ∙ γ�⃗
γ) 𝛂𝛂��⃗ ⊥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗ = −𝟏𝟏
Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε :
α��⃗ ⊥ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = 0 ⇔ (x1 , y1) ∙ (x2 , y2) = 0 ⇔ x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 = 0 ⇔ y1 ∙ y2 = −x1 ∙ x2
⇔
y1
x1
∙
y2
x2
= −1 ⇔ λα��⃗ ∙ λβ��⃗ = −1 .

26. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 26
Ασκήσεις
135. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 4 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
, τότε να βρείτε :
α. α��⃗ ∙ β�⃗
β. β�⃗2
γ. 3α��⃗ ∙ �−4β�⃗�
δ. 2α��⃗�3α��⃗ − 4β�⃗�
ε. �2α��⃗ − β�⃗��3α��⃗ + 5β�⃗�
1. Εύρεση Εσωτερικού Γινομένου
136. Αν το διάνυσμα α��⃗ είναι μοναδιαίο , �β�⃗� = 2 και �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
, τότε να βρείτε :
α. α��⃗ ∙ β�⃗
β. �α��⃗ − 2β�⃗��α��⃗ − β�⃗�
γ. �α��⃗ − 3β�⃗�
2
137. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
6
, τότε να βρείτε :
α. α��⃗ ∙ β�⃗
β. α��⃗2
+ β�⃗2
γ. �α��⃗ + β�⃗�
2
δ. �2α��⃗ + 3β�⃗��4α��⃗ − 5β�⃗�
138. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν �β�⃗� = √12 , α��⃗ ∙ β�⃗ = −12 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 150°
να βρείτε :
α. το μέτρο του διανύσματος α��⃗
β. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ + β�⃗��α��⃗ − β�⃗�
139. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 4 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
και α��⃗ ∙ �α��⃗ + 2β�⃗� = 28 τότε να βρείτε :
α. το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗
β. το μέτρο του διανύσματος β�⃗
γ. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ − 2β�⃗��2α��⃗ + β�⃗�
140. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗ στις παρακάτω περιπτώσεις :
α. Αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα και |α��⃗| = 5 , �β�⃗� = 6
β. Αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα και |α��⃗| = 8 , �β�⃗� = 3
141. Αν α��⃗ + β�⃗ + 2γ�⃗ = 0���⃗ και |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , |γ�⃗| = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗
142. Αν α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ = 0���⃗ και |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , |γ�⃗| = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ + γ�⃗ ∙ α��⃗
143. Αν α��⃗ + β�⃗ − 3γ�⃗ = 0���⃗ και 2|α��⃗| = �β�⃗� = 4|γ�⃗| = 4 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ + γ�⃗ ∙ α��⃗
144. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ίση με 2 . Αν ΑΔ το ύψος του , να υπολογίσετε
τα εσωτερικά γινόμενα ΑΒ�����⃗ ∙ ΑΓ�����⃗ , ΑΒ�����⃗ ∙ ΒΓ����⃗ , ΑΔ�����⃗ ∙ ΑΓ�����⃗ και ΑΓ�����⃗ ∙ ΔΒ�����⃗

27. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 27
145. Αν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 6 , να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v�⃗ = 3α��⃗ + λβ�⃗ και u�⃗ = 3α��⃗ − λβ�⃗ να είναι κάθετα .
2. Κάθετα Διανύσματα – Εύρεση Μέτρου Διανύσματος
146. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού
αριθμού λ ώστε να ισχύει �α��⃗ + λβ�⃗� ⊥ �α��⃗ − 4β�⃗�
147. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = √3 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
6
τότε να βρεθούν τα μέτρα
�α��⃗ + β�⃗� , �α��⃗ − β�⃗� και �α��⃗ + 2β�⃗�
148. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
τότε :
α. Αν τα διανύσματα 2α��⃗ + β�⃗ και κα��⃗ + β�⃗ είναι κάθετα , να βρείτε την τιμή του κ
β. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2α��⃗ + β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
149. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν 2|α��⃗| = �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
τότε :
α. Να αποδείξετε ότι α��⃗ ∙ β�⃗ = 2
β. Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων α��⃗ + β�⃗ και α��⃗ − β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
150. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = √2 και �α��⃗ , β�⃗�
� =
5π
6
και u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ τότε :
α. Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α��⃗ ∙ β�⃗ και α��⃗ ∙ u�⃗
β. Να βρείτε το μέτρο του u�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
151. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν 3|α��⃗| + �β�⃗� = 9 και 2|α��⃗| − �β�⃗� = 1 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
α. Να βρείτε τα μέτρα των α��⃗ , β�⃗ και το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗
β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u�⃗ = 2α��⃗ − 3β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
152. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
και γ�⃗ =
κ
2
α��⃗ − β�⃗ και β�⃗ ∙ γ�⃗ = κ
α. Να δείξετε ότι κ = −2
β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ�⃗
γ. Να δείξετε ότι τα διανύσματα 3α��⃗ + 2γ�⃗ και β�⃗ − γ�⃗ είναι κάθετα ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
153. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
και �3α��⃗ − 2β�⃗� = √13 , τότε να βρείτε το �β�⃗�
154. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √8 , �β�⃗� = 3 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 45°
, τότε να βρείτε το �3α��⃗ − 2β�⃗�
155. Αν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 1 και �α��⃗ − β�⃗� = 2 τότε να βρείτε το μέτρο �α��⃗ − 2β�⃗� .
156. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 3 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
και �α��⃗ + 2β�⃗� = 7
α. Να αποδείξετε ότι �β�⃗� = 4
β. Να βρείτε το μέτρο �4α��⃗ + 3β�⃗�
157. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 4 και �4α��⃗ − β�⃗� = �α��⃗ − 2β�⃗� .
α. Να αποδείξετε ότι α��⃗ ∙ β�⃗ = 3
β. Να βρείτε το μέτρο �3α��⃗ − 2β�⃗�
158. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 3β�⃗� και �α��⃗ − β�⃗� = 2 να βρείτε τα μέτρα |α��⃗| , �β�⃗�

28. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 28
159. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
, �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − β�⃗� και �3α��⃗ + 2β�⃗� = 7 , να βρείτε τα
μέτρα |α��⃗| , �β�⃗�
160. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 4β�⃗� και �2α��⃗ + 3β�⃗� = 5 .
α. Να αποδείξετε ότι |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1
β. Να βρείτε το μέτρο �3α��⃗ + 8β�⃗�
161. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + 2β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 3β�⃗� και |α��⃗| = √6 . Να δείξετε ότι �2α��⃗ − β�⃗� = 5
162. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
. Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = α��⃗ − β�⃗
και ΒΓ����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ . Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ .
163. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 3 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
. Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΓΑ����⃗ = α��⃗ − 4β�⃗ και
ΓΒ����⃗ = 4α��⃗ − 6β�⃗ , για το οποίο ισχύει �ΑΒ�����⃗� = √91
α. Να αποδείξετε ότι �β�⃗� = 5
β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ
164. Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ που κατασκευάζεται με τα
διανύσματα 3α��⃗ + 2β�⃗ και α��⃗ − β�⃗ αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = √2 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 135°
.
165. Να αποδείξετε ότι �α��⃗ + β�⃗�
2
+ �α��⃗ − β�⃗�
2
= 2|α��⃗|2
+ 2�β�⃗�
2
166. Αν ισχύει |α��⃗| = �β�⃗� = �α��⃗ + β�⃗� τότε να αποδείξετε ότι �α��⃗ − β�⃗� = |α��⃗| ∙ √3 .
167. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
. Να βρείτε διάνυσμα x�⃗ ώστε να ισχύουν
x�⃗ ∥ �α��⃗ + β�⃗� και β�⃗ ⊥ ( α��⃗ + x�⃗ ) .
168. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
. Να βρείτε διάνυσμα x�⃗ ώστε να ισχύουν
x�⃗ ∥ �α��⃗ − β�⃗� και α��⃗ ⊥ ( β�⃗ + x�⃗ ) .
169. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 , α��⃗ ⊥ β�⃗ και u�⃗ = 3α��⃗ + 2β�⃗ , να βρείτε την γωνία �α��⃗ , u�⃗� �
3. Γωνία Δύο Διανυσμάτων
170. Αν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 1 και �2α��⃗ + β�⃗� ⊥ �3α��⃗ − 5β�⃗� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�
171. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 45°
, να βρείτε τη γωνία �β�⃗ − α��⃗ , α��⃗
�
�
172. Αν |α��⃗| = 5 , �β�⃗� = 3 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
, να βρείτε τη γωνία �α��⃗ + β�⃗ , α��⃗ − β�⃗�
�
173. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
και δ�⃗ = 3α��⃗ + 2β�⃗ , να βρείτε την γωνία �β�⃗ , δ�⃗�
�
174. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �β�⃗� = 2|α��⃗| . Αν α��⃗ ⊥ �α��⃗ − β�⃗� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�

29. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 29
175. Αν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
και �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �5α��⃗ − 2β�⃗�
α. Να βρείτε το μέτρο του β�⃗
β. Αν γ�⃗ = −2α��⃗ + β�⃗ να βρείτε τη γωνία φ� = �α��⃗ , γ�⃗� �
176. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
και u�⃗ = 2α��⃗ + 3β���⃗ και v�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗ . Να βρείτε το συν�u�⃗ , v�⃗� �
177. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
και u�⃗ = 2α��⃗ + β���⃗ και v�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗ . Να βρείτε το συν�u�⃗ , v�⃗� �
178. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 5 και �α��⃗ − 2β�⃗� ∙ �α��⃗ + β�⃗� = −46 .
α. Να βρείτε το συν�α��⃗ , β�⃗�
�
β. Θεωρούμε τα διανύσματα v�⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ και u�⃗ = α��⃗ − β���⃗. Να βρείτε τη γωνία �u�⃗ , v�⃗� �
179. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 και �3α��⃗ + 7β�⃗� ⊥ �6α��⃗ + β�⃗� .
α. Να βρείτε τη γωνία των α��⃗ , β�⃗
β. Θεωρούμε το διάνυσμα γ�⃗ = λα��⃗ + β�⃗ το οποίο είναι κάθετο στο β�⃗ . Να βρείτε :
β1. την τιμή του λ
β2. το μέτρο του διανύσματος γ�⃗
β3. τη γωνία των διανυσμάτων α��⃗ και γ�⃗
180. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
. Θεωρούμε επίσης το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ
με ΑΒ�����⃗ = 4α��⃗ + β�⃗ και ΑΔ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ με (ΑΓ) = 6 και ισχύει ΑΓ�����⃗ ∙ ΔΒ�����⃗ = 36 .
α. Να αποδείξετε ότι |α��⃗| = 1 και �β�⃗� = 4 .
β. Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΔΒ .
γ. Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ
δ. Να βρείτε τη γωνία Α� του ΑΒΓΔ .
181. Αν τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ είναι μοναδιαία και ισχύει α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ = 2 να δείξετε ότι α��⃗ = β�⃗ = γ�⃗
182. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �β�⃗� = 2|α��⃗| = 4 και α��⃗ ∙ β�⃗ = −8 .
α. Να βρείτε τη γωνία των α��⃗ , β�⃗
β. Να δείξετε ότι β�⃗ + 2α��⃗ = 0�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
183. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ και u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ , v�⃗ = 5α��⃗ − 4β�⃗ και u�⃗ ⊥ v�⃗ και |α��⃗| = �β�⃗� = 1 . Να δείξετε ότι :
α. α��⃗ ∙ β�⃗ =
1
2
β. τα διανύσματα u�⃗ − 3v�⃗ και α��⃗ − β�⃗ είναι αντίρροπα και |u�⃗ − 3v�⃗ | = 14 ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
184. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο στις παρακάτω περιπτώσεις :
α. α��⃗ ∙ β�⃗ αν α��⃗ = (2 , −3) και β�⃗ = (4 , 5)
β. ΑΒ�����⃗ ∙ ΓΔ����⃗ αν Α(3 , 1) , Β(2 , −5) , Γ(−4 , 3) , Δ(−1 , −2)
4. Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου
185. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 , λ) και β�⃗ = (λ − 8 , 1) για τα οποία ισχύει α��⃗ ∙ β�⃗ = −1 . Να βρείτε :
α. τον πραγματικό αριθμό λ
β. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ − 2β�⃗� ∙ �α��⃗ + β�⃗�
186. Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ℝ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 3 , 4λ − 1) και β�⃗ = (−3λ + 9 , λ − 3)
να είναι κάθετα .

30. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 30
187. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2x − 1 , x + 1) και β�⃗ = (x + 1 , 2x + 3) . Να βρεθεί το x ∈ ℝ ώστε τα
διανύσματα να είναι κάθετα .
188. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (−1 , 3) και β�⃗ = �−2 , −
1
2
�
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗
β. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u�⃗ και v�⃗ = (x2
, x − 1) είναι κάθετα
( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
189. Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ = (κ2
− 6κ + 9 , κ − 3) και ΑΓ�����⃗ = (1 , 6)
α. Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΑΓ�����⃗ να είναι κάθετα .
β. Για κ = 1 να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΓ����⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
190. Δίνονται τα σημεία Α(3 , 2) , Β(7 , −4). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x’x ώστε ΑΜΒ� = 90°
191. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , λ) και β�⃗ = (−3 , 4 − λ) για τα οποία ισχύουν �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �13α��⃗ + 3β�⃗� .
α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ
β. Να βρείτε για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού μ , το διάνυσμα γ�⃗ = 5α��⃗ + 2β�⃗ είναι κάθετο στο δ�⃗ = (μ , μ − 8)
192. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 4) , Β(−2 , −1) και Γ(5 , 7) . Θεωρούμε σημείο Μ ώστε να ισχύει ΜΓ������⃗ = 2ΒΜ������⃗
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ
β. Να αποδείξετε ότι ΑΜ������⃗ ⊥ ΒΓ����⃗
γ. Να βρείτε σημείο Κ του άξονα x’x ώστε να ισχύει ΑΝ�����⃗ ⊥ ΑΒ�����⃗
193. Αν α��⃗ = �3 , √3� και β�⃗ = �√3 , −1� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�
194. Αν α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (7 , − 1) να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�
195. Αν α��⃗ = (0 , 2) και β�⃗ = �−√3 , 1� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�
196. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , −7) και β�⃗ = (−3 , λ) . Αν �α��⃗ , β�⃗�
� = 135°
, να βρείτε το λ .
197. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1 , 2) , Β(−2 , 1) και Γ(3 , 6) . Να βρείτε τη γωνία Α .
198. Αν Α(4 , 1) , Β(8 , 2) και Γ(1 , 3) , να δείξετε ότι η γωνία των ΑΒ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ είναι αμβλεία .
199. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = (−4 , −6) και ΑΓ�����⃗ = (2 , −8) .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ������⃗
β. Να δείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία
γ. Αν Α(3 , 1) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
200. Θεωρούμε τα σημεία Α , Β , Γ για τα οποία ισχύουν ΑΒ�����⃗ = (−1 , 4) και ΑΓ�����⃗ = (3 , 6) .
α. Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία ή αμβλεία .
β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
201. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(λ − 1 , −1) , Β(λ , 2) και Γ(7 , −λ) . Αν ισχύει ΑΒ�����⃗ ∙ ΒΓ����⃗ = −15 , να βρείτε :
α. τον πραγματικό αριθμό λ
β. τη γωνία Β� του τριγώνου ΑΒΓ
202. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με 2α��⃗ + β�⃗ = (7 , −1) και 3α��⃗ − β�⃗ = (8 , −19) . Να βρείτε :
α. τις συντεταγμένες των α��⃗ , β�⃗
β. τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�

31. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 31
5. Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα
203. Αν α��⃗ = (2 , 3) και β�⃗ = (−1 , 4) , να βρείτε την προβολή του α��⃗ πάνω στο β�⃗
204. Αν α��⃗ = (1 , 3) και β�⃗ = (9 , 7) , να βρείτε την προβολή του β�⃗ πάνω στο α��⃗
205. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
να βρείτε την προβολή του β�⃗ πάνω στο α��⃗
206. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
να βρείτε την προβολή του v�⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ πάνω στο α��⃗
207. Αν τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ είναι μοναδιαία και κάθετα , να βρείτε την προβολή του διανύσματος v�⃗ = α��⃗ − β�⃗
πάνω στο u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗
208. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1 , −3) , Β(−3 , 0) και Γ(4 , 4) . Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ , τότε να
υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΔ�����⃗
209. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (−8 , 6)
α. Να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗ είναι αμβλεία
β. Να βρείτε το μήκος της προβολής του β�⃗ πάνω στο α��⃗
210. Αν α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (−1 , −3) , να υπολογίσετε το μέτρο �προβα��⃗ �2α��⃗ − β�⃗��
211. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , 7) και β�⃗ = (2 , 4)
α. Να βρείτε την προβολή του α��⃗ πάνω στο β�⃗
β. Να αναλύσετε το διάνυσμα α��⃗ σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι
παράλληλη στο β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
212. Να αναλύσετε το διάνυσμα δ�⃗ = (1 , 5) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι
παράλληλη στο α��⃗ = (1 , −1)
213. Να αναλύσετε το διάνυσμα β�⃗ = (1 , 2) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι
παράλληλη στο α��⃗ = (−1 , 1)
214. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 8 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
και προβα��⃗ �x ∙ α��⃗ + β�⃗� = 5 ∙ α��⃗ , να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x .
215. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με προββ��⃗ α��⃗ =
2
3
β�⃗ και προβα��⃗ β�⃗ =
3
4
α��⃗ .
α. Να δείξετε ότι |α��⃗| =
2√2
3
�β�⃗�
β. Να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�
216. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με 2α��⃗ + 3β�⃗ = (4 , −2) και α��⃗ − 3β�⃗ = (−7 , 8) .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α��⃗ , β�⃗
β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ αν ισχύει �κα��⃗ + β�⃗� ⊥ �2α��⃗ + 3β�⃗�
γ. Να αναλύσετε το διάνυσμα γ�⃗ = (3 , −1) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι
παράλληλη στο α��⃗ = (−1 , 2) .

32. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 32
Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x , y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C , όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C
και μόνο αυτές , την επαληθεύουν .
Εξίσωση Γραμμής
Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και (ε) μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Α .
Γωνία Ευθείας με τον άξονα x’x
Παρατηρήσεις
1) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς τον άξονα x’x τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτόν γωνία ω = 0°
2) Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει 0°
≤ ω < 180°
ή 0 ≤ ω < 𝜋𝜋
3) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα y’y τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτό γωνία 90°
Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας
1) Αν ω = 0°
, δηλαδή η (ε) ∥ x′x τότε η (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0 .
2) Αν ω =
π
2
, δηλαδή η (ε) ⊥ x′x τότε δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης για την (ε) .
3) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι θετικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x’x είναι οξεία .
4) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι αρνητικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x’x είναι αμβλεία .
Συντελεστής Διεύθυνσης Γωνία με τον άξονα x’x
λ > 0 0°
< 𝜔𝜔 < 90°
λ < 0 90°
< 𝜔𝜔 < 180°
λ= 0 ω = 0°
Τη γωνία ω που διαγράφει ο άξονας x’x όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με
την ευθεία (ε) τη λέμε γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x’x .
Ως συντελεστή διεύθυνσης ευθείας ή κλίση ευθείας ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε)
με τον άξονα x’x . Δηλαδή
𝛌𝛌𝛆𝛆 = 𝛆𝛆𝛆𝛆𝛚𝛚�

33. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 33
Έστω διάνυσμα δ�⃗ παράλληλο σε μια ευθεία (ε) . Αν φ και ω οι γωνίες είναι οι γωνίες που σχηματίζουν το δ�⃗ και
η (ε) με τον άξονα x’x , τότε θα ισχύει : φ = ω ή φ = π + ω . Τότεεφφ = εφω ή εφφ = εφ(π + ω) = εφω .
Δηλαδή σε κάθε περίπτωση λδ��⃗ = λε .
Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Παράλληλης σε Διάνυσμα
Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα
σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) με x1 ≠ x2 είναι :
Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία
Πράγματι : Είναι ΑΒ�����⃗ ∥ ε ⇔ λε = λΑΒ������⃗ ⇔ λε =
y2 − y1
x2− x1
Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε1 , ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 αντίστοιχα , τότε ισχύει :
Συνθήκη Παραλληλίας Ευθειών
Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε1 , ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 αντίστοιχα , τότε ισχύει :
Συνθήκη Καθετότητας Ευθειών
Όταν μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα , έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης .
𝛌𝛌 =
𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏
𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏
𝛆𝛆𝟏𝟏 ∥ 𝛆𝛆𝟐𝟐 ⇔ 𝛌𝛌𝟏𝟏 = 𝛌𝛌𝟐𝟐
𝛆𝛆𝟏𝟏 ⊥ 𝛆𝛆𝟐𝟐 ⇔ 𝛌𝛌𝟏𝟏 ∙ 𝛌𝛌𝟐𝟐 = −𝟏𝟏

34. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 34
Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α( x0 , y0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι :
Εξίσωση Ευθείας
Θεωρούμε ένα σημείο M(x , y) της (ε) διαφορετικό του Α( x0 , y0)
Τότε το διάνυσμα ΑΜ������⃗ είναι παράλληλο στην (ε) , άρα θα έχουν
ίσους συντελεστές διεύθυνσης .
Οι συντεταγμένες του ΑΜ������⃗ = (x − x0 , y − y0) άρα λΑΜ�������⃗ =
y − y0
x − x0
Οπότε : λ = λΑΜ�������⃗ ⇔ λ =
y − y0
x − x0
⇔ y − y0 = λ(x − x0) .
Α) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία
Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) είναι
y − y0 =
y2 − y1
x2− x1
(x − x0) αφού λε =
y2 − y1
x2− x1
Ειδικές περιπτώσεις Ευθειών
Β) Η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα y’y στο
σημείο Α(0 , β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι :
Πράγματι :
Είναι y − yΑ = λ(x − xΑ) ⇔ y − β = λ(x − 0)
⇔ y − β = λ ∙ x ⇔ y = λ ∙ x + β
(ε) : 𝐲𝐲 − 𝐲𝐲𝟎𝟎 = 𝛌𝛌 ∙ (𝐱𝐱 − 𝐱𝐱𝟎𝟎)
𝐲𝐲 = 𝛌𝛌 ∙ 𝐱𝐱 + 𝛃𝛃

35. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 35
Γ) Οριζόντια Ευθεία
Η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στον άξονα x’x και
διέρχεται από το σημείο Α( x0 , y0 ) είναι :
Πράγματι :
Αφού (ε) ∥ x′x τότε θα είναι λ=0 , άρα :
y − y0 = λ(x − x0) ⇔ y − y0 = 0 ∙ (x − x0) ⇔ y − y0 = 0 ⇔ y = y0
Δ)
Η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στον άξονα x’x και διέρχεται από
το σημείο Α( x0 , y0 ) είναι :
Κατακόρυφη Ευθεία
− Στην περίπτωση αυτή δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης
Ε)
Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων
και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι :
Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων
Πράγματι :
Αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων το Ο(0 , 0) τότε :
y − y0 = λ(x − x0) ⇔ y − 0 = λ ∙ (x − 0) ⇔ y = λ ∙ x .
𝐲𝐲 = 𝐲𝐲𝟎𝟎
𝐱𝐱 = 𝐱𝐱𝟎𝟎
𝐲𝐲 = 𝛌𝛌 ∙ 𝐱𝐱

36. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 36
Ζ)
Η διχοτόμος των γωνιών xO�y και x′O�y′ έχει εξίσωση :
Διχοτόμος της 1ης και 3ης Γωνίας των Αξόνων
Πράγματι :
Αφού η ευθεία διχοτομεί την 1η γωνία του άξονα , τότε θα
σχηματίζει γωνία 45°
με τους άξονες , άρα λ = εφ45°
= 1 .
Οπότε : y = λ ∙ x ⇔ y = x
H)
Η διχοτόμος των γωνιών x′O�y και xO�y′ έχει εξίσωση :
Διχοτόμος της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων
Πράγματι :
Αφού η ευθεία διχοτομεί την 2η γωνία του άξονα , τότε θα
σχηματίζει γωνία 135°
με τους άξονες , άρα λ = εφ135°
= −1 .
Οπότε : y = λ ∙ x ⇔ y = − x .
Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας
ΟΡΘΟ :
Α) Αν η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Α(0 , β) και έχει
συντελεστή διεύθυνσης λ τότε θα έχει εξίσωση :
y = λ ∙ x + β ⇔ λ ∙ x + (−1)y + β = 0
Άρα για Α = λ , Β = −1 , Γ = β η ευθεία γράφεται στην μορφή
A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Β = −1 ≠ 0 .
Θα αποδείξουμε ότι κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής (1).
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :
𝐲𝐲 = 𝐱𝐱
𝐲𝐲 = − 𝐱𝐱
Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0 (1)
και αντιστρόφως , κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή .

37. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 37
Β) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα y’y τότε είναι κατακόρυφη
και θα έχει εξίσωση :
x = x0 ⇔ x − x0 = 0
Οπότε για Α = 1 ≠ 0 , Β = 0 , Γ = −x0 η ευθεία γράφεται στην μορφή
A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Α = 1 ≠ 0 .
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ : Έστω η εξίσωση A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0 . Θα αποδείξουμε ότι παριστάνει ευθεία.
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
Α) Αν Β ≠ 0 τότε έχουμε : A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 ⇔ B ∙ y = −A ∙ x − Γ ⇔ y = −
A
B
∙ x −
Γ
Β
που είναι εξίσωση
ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ = −
A
B
και η οποία τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο �0 , −
Γ
Β
� .
Β) Αν Β = 0 τότε έχουμε : A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 ⇔ Α ∙ x + Γ = 0 ⇔ Α ∙ x = −Γ ⇔ x = −
Γ
Α
αφού Α ≠ 0 , που είναι
εξίσωση ευθείας κάθετη στον άξονα x’x στο σημείο του Κ�−
Γ
Α
, 0�
Σε κάθε περίπτωση λοιπόν η εξίσωση A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0 παριστάνει ευθεία .
−
Διάνυσμα Παράλληλο σε Ευθεία
Αν Β ≠ 0 τότε η ευθεία A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = −
A
B
= λδ��⃗ και επομένως είναι
παράλληλη προς το διάνυσμα δ�⃗ = (Β , −Α) .
Αν Β = 0 , τότε η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y’y και επομένως παράλληλη και ως προς το διάνυσμα
δ�⃗ = (0 , −Α) .
Διάνυσμα Κάθετο σε Ευθεία
Όπως είδαμε , το διάνυσμα δ�⃗ = (Β , −Α) είναι παράλληλο στην ευθεία A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 . Παρατηρούμε ότι :
δ�⃗ ∙ η�⃗ = (Β , −Α) ∙ (Α , Β) = Β ∙ Α − Α ∙ Β = 0 , άρα τα διανύσματα θα είναι κάθετα μεταξύ τους , οπότε
το διάνυσμα η�⃗ θα είναι κάθετο και με την ευθεία A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 .
Η ευθεία με εξίσωση A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα 𝛅𝛅��⃗ = (𝚩𝚩 , −𝚨𝚨)
Η ευθεία με εξίσωση A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα 𝛈𝛈��⃗ = (𝚨𝚨 , 𝚩𝚩)

38. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 38
Απόσταση Σημείου Από Ευθεία
Έστω μια ευθεία ε: A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 και ένα σημείο
Μ( x0 , y0 ) εκτός αυτής .
Η απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία (ε) είναι :
Εμβαδό Τριγώνου
Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών ενός τριγώνου
τότε το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο :
𝐝𝐝(𝐌𝐌 , 𝛆𝛆) =
|𝚨𝚨 ∙ 𝐱𝐱𝟎𝟎 + 𝐁𝐁 ∙ 𝐲𝐲𝟎𝟎 + 𝚪𝚪|
� 𝚨𝚨𝟐𝟐 + 𝚩𝚩𝟐𝟐
(𝚨𝚨𝚨𝚨𝚨𝚨) =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∙ �𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝� 𝚨𝚨𝚨𝚨�����⃗ , 𝚨𝚨𝚨𝚨�����⃗��

39. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 39
1. Έστω η γραμμή C που έχει εξίσωση y = x2
+ x − 2016 . Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(1 , −2014) ανήκει στην
γραμμή C .
2. Έστω η γραμμή C που έχει εξίσωση y = x2
+ 2x3
. Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(−1 , 2) ανήκει
στην γραμμή C .
3. Έστω η γραμμή C που έχει εξίσωση y = x2
+ 3 . Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(−3 , 10) ανήκει στην γραμμή C.
4. Έστω ότι η ευθεία (ε) έχει κλίση ίση με κ , είναι παράλληλη με το διάνυσμα δ�⃗ = (−3κ + 4 , κ) και σχηματίζει
με τον άξονα x’x αμβλεία γωνία . Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ .
5. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , 2) , Β(2 , 1) και Γ(3 , 4) .
α. Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ΑΒ , ΒΓ , ΑΓ
β. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο .
6. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία
α. Α(−2 , 1) και Β(3 , −4) β. Γ(0 , −2) και Δ(0 , 3) γ. Ε(4 , −2) και Ζ(1 , −2)
7. Έστω ΑΜ η διάμεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ με Α(5 , 2) , Β(−5 , −3) , Γ(9 , 1). Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει
με τον άξονα x’x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Μ .
8. Αν οι ευθείες (ε) και (δ) έχουν συντελεστές διεύθυνσης λε = α − 1 και λδ = 2α + 1 τότε να βρείτε τις τιμές
του α ώστε οι ευθείες να είναι α) παράλληλες β) κάθετες
9. Αν οι ευθείες (ε) και (δ) έχουν συντελεστές διεύθυνσης λε =
κ2− 36
2017
και λδ =
κ + 12
2017
τότε να βρείτε τις τιμές
του κ ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες
10. Αν οι ευθείες (ε) και (δ) έχουν συντελεστές διεύθυνσης λε =
μ – 1
4
και λδ = μ − 3 τότε να βρείτε τις τιμές
του μ ώστε οι ευθείες να είναι κάθετες .
11. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(−1 , 2) και Β(4 , 7)
12. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Κ(1 , 4) και Λ(2 , 6)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ
1. Εξίσωση Γραμμής
2. Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας – Γωνία Ευθείας με τον άξονα x’x
3. Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας

40. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 40
13. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(3 , 5) και Β(3 , 6)
14. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Κ(4 , −3) και είναι παράλληλη στο δ�⃗ = (2 , −4)
15. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ(2 , 5) και είναι κάθετη στο η�⃗ = (−12 , 3)
16. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην y = 3x − 1
17. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία που
ορίζεται από τα σημεία Α(−1 , 2) και Β(3 , −2)
18. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(0 , 1) , Β(1 , 6) , Γ(6 , 7) και Δ(4 , 0) , να βρείτε τις εξισώσεις των
διαγωνίων του .
19. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1 , 4) και σχηματίζει γωνία 45°
με τον άξονα x’x
20. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ(1 , 4) και είναι
α. παράλληλη στο διάνυσμα α��⃗ = (1 ,2)
β. παράλληλη στην ευθεία δ: y=2x+5
γ. κάθετη στο διάνυσμα η�⃗ = (8 , 2)
δ. κάθετη στην ευθεία ζ: y=3x+6
21. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Κ(−2 , 3) και είναι
α. παράλληλη στην ευθεία δ: y=5x+2
β. κάθετη στην ευθεία ζ : y=
1
4
x + 6
γ. παράλληλη στον άξονα x’x
δ. παράλληλη στον άξονα y’y
ε. σχηματίζει γωνία 45° με τον άξονα x’x
22. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1 , 2) και είναι :
α. σχηματίζει γωνία 30° με τον άξονα x’x
β. είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ�⃗ = (1 ,3)
γ. είναι κάθετη στο η�⃗ = (1 , 3)
23. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ(4 , −1) και είναι
α. παράλληλη στην ευθεία δ : y= −2x+5
β. κάθετη στην ευθεία ζ : y=
− x + 12
3
γ. παράλληλη στον άξονα x’x
δ. παράλληλη στον άξονα y’y
ε. σχηματίζει γωνία 135° με τον άξονα x’x
στ. είναι παράλληλη στην διχοτόμο της γωνίας xΟ�y
24. Δίνονται τα σημεία Α(−6 , 4) , Β(α , 6α) , Γ(α−3 , α+1). Αν η ευθεία ΒΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 ,
να βρείτε
α. τον πραγματικό αριθμό α
β. την εξίσωση της ευθείας ΒΓ
γ. τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία ΑΒ με τον άξονα x’x
δ. την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στην ευθεία ΒΓ
ε. την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Γ και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ

41. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 41
25. Δίνονται οι ευθείες ε : y=(2α2
+ α + 1)x − 4 και δ : y = (α2
− α + 4)x + α − 5 . Να βρείτε τον πραγματικό
αριθμό α , αν οι ευθείες ε και δ είναι παράλληλες .
26. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α αν η ευθεία ε: y=(α2
− 10)x + 2016 να σχηματίζει με τον άξονα x’x
γωνία 135°
27. Δίνονται οι ευθείες 𝜀𝜀1 : y= αx+α−7 και ε2 : y =
α – 6
9
x+2α . Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α , αν οι
ευθείες είναι κάθετες.
28. Δίνονται τα σημεία Α(6 , −1) και Β(−2 , 3) . Να βρείτε τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
29. Δίνονται τα σημεία Α(−4 , 2) και Β(2 , 0) . Να βρείτε τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
30. Δίνεται το σημείο Α(−2 , 3) και το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ =(6 , −2) . Να βρείτε τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου
τμήματος ΑΒ.
31. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 2) και Β(5 , 6)
α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα Α και Β .
β. Να βρείτε τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ
32. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ε ∶ x + 2y − 10 = 0 και δ ∶ 3x − 2y − 6 = 0
33. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1 , 10) και από το σημείο τομής των
ευθειών ε1 : y= 2x+5 και ε2 : y = −5x − 9
34. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1 : y=x+3 , ε2 : y = −2x+15 και ε3 : y= 3x−5 διέρχονται από το ίδιο σημείο .
35. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 5) ,Β(4 , −1), Γ(3 , 7) , Δ(−1 , −9) . Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ.
36. Δίνονται οι ευθείες ε1 : x −2y+3=0 , ε2 : 2x+3y−1=0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται
από το σημείο τομής των ευθειών και από το μέσο του τμήματος ΑΒ όπου Α(2 , 3) και Β(4 , −1).
37. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε1 : x −2y−8=0 , ε2 : 2x−4y−10=0 και το σημείο Α της (ε1) που έχει
τετμημένη το 4 .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α
β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε1)
γ. Να βρείτε το σημείο τομής της (ε) με την (ε2)
4. Εύρεση Παραμέτρων
5. Εύρεση Εξίσωσης Μεσοκαθέτου Τμήματος
Τράπεζα Θεμάτων
6. Σημεία Τομής Ευθειών
Τράπεζα Θεμάτων

42. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 42
38. Δίνονται τα σημεία Α(2 , 5) και Β(4 , 3) . Να βρείτε
α. την εξίσωση της ευθείας ΑΒ
β. τα σημεία τομής της ευθείας ΑΒ με τους άξονες
γ. τη γωνία που σχηματίζει η ΑΒ με τον άξονα x’x
39. Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο του Μ με Α(1 , −2) και Μ(−2 , 5) . Να βρείτε :
α. το σημείο Β
β. την εξίσωση της μεσοκαθέτου (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ καθώς και τα σημεία τομής αυτής
με τους άξονες
40. Θεωρούμε την ευθεία (ε) που τέμνει τους άξονες x’x , y’y στα σημεία Α(3 , 0) και Β(0 , 6) αντίστοιχα .
α. Να βρείτε την εξίσωση της (ε)
β. Αν (δ) είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην (ε) τότε να βρείτε :
β1. την εξίσωση της ευθείας (δ)
β2. το σημείο τομής των ευθειών (ε) και (δ)
41. Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(1 , 7) και Β(−3 , 5). Να βρείτε
α. τη μεσοκάθετη ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ
β. τα σημεία τομής Γ και Δ της ευθείας ε με τους άξονες y’y και x’x αντίστοιχα
γ. το σημείο τομής των ευθειών ΑΓ και ΒΔ
42. Δίνεται το σημείο Κ(−2 , 7) . Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει άξονες στα Α και Β
με Κ το μέσο του ΑΒ
43. Να βρεθούν τα σημεία τομής της ευθείας ε : y = −x + 5 με τους άξονες και στη συνέχεια να βρείτε τον
πραγματικό αριθμό μ για τον οποίο η ευθεία δ : y = (10μ − 3)x + 2 τέμνει την (ε) στον άξονα x’x .
44. Οι ευθείες ε1 : y=(α−4)x+α , ε2 : y = (14−2α)x−α − 2 είναι παράλληλες . Να βρείτε
α. τον αριθμό α
β. τα σημεία τομής των ευθειών με τους άξονες.
45. Δίνονται τα σημεία Α(α , 2−α) , Β(α+6 , α+9) και Γ(5 , −3). Αν η ευθεία ΑΒ έχει κλίση 1/2 να βρείτε
α. τον αριθμό α
β. τα σημεία τομής της ευθείας ΑΒ με τους άξονες
γ. την εξίσωση της ευθείας ΑΓ και τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x
δ. την εξίσωση της ευθείας ε που είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ στο σημείο Β
ε. το σημείο τομής της ευθείας ε με την ευθεία ΑΓ.
46. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 3) , Β(5 , 1) και έστω (ε) η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ . Να βρείτε:
α. την εξίσωση της ευθείας ε
β. το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ε με τους άξονες
47. Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(12 ,−3) και είναι κάθετη στο διάνυσμα α��⃗ = (3 , 4). Να βρείτε:
α. την εξίσωση της ευθείας ε
β. το εμβαδόν και την περίμετρο που σχηματίζει η ευθεία ε με τους άξονες.
7. Σημεία Τομής Ευθείας με Άξονες
Τράπεζα Θεμάτων
Τράπεζα Θεμάτων
8. Εύρεση Εμβαδού Τριγώνου Ευθείας με Άξονες

43. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 43
48. Δίνονται τα σημεία Α(1 , −2) , Β(2 , 3) . Να βρείτε :
α. την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα Α και Β
β. το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η (ε) με τους άξονες
49. Δίνονται τα σημεία Α(4 , −3) και Β(−2 , 5). Να βρείτε :
α. την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα Α και Β
β. για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού μ , η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Κ(−5 , 2μ+1)
50. Δίνονται τα σημεία Α(α , α−3) και Β(7α , 3α−1). Η ευθεία ε: y= 3x−22 διέρχεται από το μέσο του ΑΒ.
Να βρείτε
α. τον αριθμό α
β. τα σημεία τομής της ευθείας ΑΒ με τους άξονες
51. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α(−1 , 2) και από το σημείο τομής της
ευθείας y = x − 1 με τον άξονα x’x . Μετά να βρείτε το λ ώστε το σημείο Β(λ − 3 , 1) να ανήκει στην (ε) .
52. Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας ε: y= 2x+9 το οποίο ισαπέχει από τα σημεία Α(−3 , 5) και Β(1 , −3)
53. Έστω η ευθεία ε: y= αx+β με α≠ 0.
α. Να βρεθούν τα α , β αν η ευθεία ε διέρχεται από τα σημεία Α(4 ,−3) και Β(−2 , 5)
β. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το σημείο Κ(−3 , 2λ−1) να ανήκει στην ε.
54. Δίνονται οι ευθείες ε1 : 2x+y−2=0 και ε2 : x−5y+23=0.
α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο τομής των ε1 , ε2 και είναι παράλληλη στο
διάνυσμα δ�⃗ = (−2 , −2) .
β. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία ε να διέρχεται από το σημείο Κ(3λ+1 , −5)
γ. την εξίσωση της κάθετης στην ευθεία ε που διέρχεται από το Κ .
55. Δίνεται η ευθεία ε: y=−2x+ρ η οποία διέρχεται από το σημείο Μ(16−ρ , 8−ρ). Να βρείτε
α. τον αριθμό ρ
β. τα σημεία της ευθείας ε τα οποία απέχουν από το σημείο Δ(−1 , 2) απόσταση ίση με 5
56. Δίνονται οι ευθείες ε1 : 2x−3y+1=0 και ε2: −x+4y+3=0 και το σημείο Α(1 , −2) . Να βρεθεί σημείο Μ της ε1
ώστε το μέσο του ΑΜ να ανήκει στην ευθεία ε2
57. Δίνονται οι ευθείες ε1 : y=3x−7 και ε2: y=−2x+13 . Το σημείο Α(α , β) ανήκει στην ε1
και το σημείο Β(α+3 , 2−β) ανήκει στην ε2 . Να βρείτε τις τιμές των α , β
58. Θεωρούμε τα σημεία Α(−1 , 1) και Β(1 , 2) και την ευθεία ε : y=3x−1 . Να βρείτε τα σημεία Μ της ευθείας ε
για τα οποία το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ .
59. Θεωρούμε τα σημεία Α(3 , 2) και Β(−2 , 5) και την ευθεία ε: y=−2x−1 . Να βρείτε τα σημεία Κ της ευθείας ε
για τα οποία το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ.
60. Δίνεται το σημείο Α(−3 , 5) και η ευθεία ε : y= −
1
2
x +1 . Να βρείτε
α. την προβολή του Α στην ευθεία ε
β. το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ε .
Τράπεζα Θεμάτων
9. Σημείο που ανήκει σε Ευθεία
10. Προβολή και Συμμετρικό Σημείο

44. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 44
61. Δίνεται το σημείο Κ(1 , 3) και η ευθεία ε : y= 3 x +5 . Να βρείτε το συμμετρικό του Κ ως προς την ευθεία ε .
62. Δίνεται το σημείο Α(−6 , 4) και η ευθεία ε : 4x − 5y + 3 = 0 . Να βρείτε την προβολή του Α στην ευθεία ε
63. Δίνεται το σημείο Μ(−2 , −1) και η ευθεία ε : x+y−1=0 . Να βρείτε
α. την προβολή του M στην ευθεία ε
β. το συμμετρικό του M ως προς την ευθεία ε .
64. Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Κ(3 , 1) ως προς την ευθεία ε : 2y= x−1
65. Δίνεται η ευθεία ε : y = 1 − x και το σημείο Α(2 , −4) . Να βρείτε :
α. την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε)
β. την προβολή του Α πάνω στην (ε)
66. Δίνεται μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α(6 , −1) εκτός της (ε) . Έστω Μ(2 , 1) η προβολή του Α στην (ε) .
Να βρείτε :
α. την εξίσωση της ευθείας (ε)
β. το συμμετρικό του Α ως προς την (ε)
67. Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΑΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ με Α(4 , 4) , Β(0 , 2) , Γ(0 , 6)
68. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3 , 1) , Β(−1 , 1) , Γ(2 , 4). Να βρείτε τις εξισώσεις :
α. της πλευράς ΑΓ
β. του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ
69. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−2 , 2) , Β(8 , 12) , Γ(−10 , 6). Να βρείτε τις εξισώσεις :
α. των πλευρών του ΑΒ , ΒΓ , ΑΓ
β. του ύψους ΑΔ
γ. της διαμέσου ΑΜ
δ. της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ
70. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3 , 4) , Β(2 , 5) , Γ(6 , 3). Να βρείτε τις εξισώσεις
α. της πλευράς του ΑΒ
β. του ύψους ΑΔ
γ. της διαμέσου ΒΜ
δ. της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ
71. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−3 , 2), ενώ η πλευρά ΒΓ βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση y= x−5 ενώ
το ύψος ΓΔ βρίσκεται πάνω στην ευθεία y=
2
3
x +2 . Να βρείτε
α. τις συντεταγμένες της κορυφής Γ
β. την εξίσωση της πλευράς ΑΓ
γ. την εξίσωση της πλευράς ΑΒ
δ. τις συντεταγμένες της κορυφής Β
ε. την εξίσωση της διαμέσου ΒΜ
στ. την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ
72. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−5 , 4) , Β(2 , 3) , Γ(3 , −7) . Να βρείτε τις εξισώσεις των υψών του .
73. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3 , 5) , Β(3 , −3) , Γ(−6 , 4) . Να βρείτε τις εξισώσεις :
α. του ύψους ΑΔ
β. της διαμέσου ΒΕ
γ. της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ
Τράπεζα Θεμάτων
Τράπεζα Θεμάτων
11. Στοιχεία Τριγώνων - Πολυγώνων
Τράπεζα Θεμάτων

45. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 45
74. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2 , 1). Οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο ύψη του έχουν εξισώσεις
y=−3x+11 και y= x+3 . Να βρείτε
α. τις εξισώσεις των πλευρών ΑΒ , ΑΓ
β. τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ
γ. την εξίσωση της πλευράς ΒΓ
75. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−5, −2) ενώ η διάμεσος του ΒΜ έχει εξίσωση y=x−1 και το ύψος του ΓΔ
έχει εξίσωση y=−2x−2 . Να βρείτε
α. την εξίσωση της πλευράς ΑΒ
β. τις συντεταγμένες της κορυφής Β
γ. τις συντεταγμένες της κορυφής Γ
δ. τη γωνία Γ
76. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3 , 1) , Β(2 , −1) , Γ(4 , −2). Να βρείτε τις εξισώσεις
α. της διαμέσου ΑΔ
β. του ύψους ΒΕ
γ. της μεσοκάθετης της πλευράς ΑΒ
77. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται οι κορυφές του Α(1 , 2) , Β(4 , −1) και το ορθόκεντρό του Η(3 , 5). Να βρεθούν οι
εξισώσεις των πλευρών του .
78. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(−2 , 3) , Β(−3 , 2) , Γ(3 , 1). Να βρείτε τις συντεταγμένες της
κορυφής Δ και τις εξισώσεις των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ.
79. Σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Α(3 , 2) και δύο από τις πλευρές του έχουν εξισώσεις
x + y − 1 = 0 και x − y + 3 = 0 . Να βρεθούν οι άλλες κορυφές του ορθογωνίου .
80. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τις πλευρές ΑΒ και ΑΔ να έχουν εξισώσεις 3x−y=11 και x+y=5
αντίστοιχα. Αν το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι το Κ(−1 , 1) , να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων
πλευρών του.
81. Τετραγώνου ΑΒΓΔ μια πλευρά του εξίσωση x−2y+12=0 , το κέντρο του είναι το Κ(1 , −1) και μια κορυφή
του είναι Α(4 , 8). Να βρεθούν οι άλλες κορυφές του.
82. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με κέντρο του Κ(−1 , −2) του οποίου οι δύο πλευρές του έχουν εξισώσεις
2x+y+6=0 , x−2y−12=0 αντίστοιχα . Να βρείτε τις εξισώσεις πάνω στις οποίες βρίσκονται οι άλλες
δύο πλευρές του.
83. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με τις ευθείες ε1 : y=x+2 και ε2 : y=−x−3 να είναι φορείς των δύο πλευρών του.
Αν Α(−2 , 4) να βρείτε τις συντεταγμένες των υπόλοιπων κορυφών του Β , Γ , Δ.
84. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2 , 6) , Β(−2 , 1) και το ορθόκεντρο Η(
7
3
,
16
3
). Να βρείτε
α. τις συντεταγμένες της κορυφής Γ
β. τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου.
85. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(2 , 3) και σχηματίζουν με τους άξονες
τρίγωνο με εμβαδό ίσο με 1 / 2 τ.μ.
86. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Κ(3 , 2) και σχηματίζουν με τους άξονες
τρίγωνο με εμβαδό ίσο με 4 τ.μ .
87. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(−1 , 2) και σχηματίζουν με τους άξονες
τρίγωνο με εμβαδό ίσο με 3 τ.μ .
12. Εύρεση Ευθείας που διέρχεται από γνωστό σημείο

46. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 46
88. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ( λ−1, 2λ−3) καθώς το λ μεταβάλλεται στο ℝ .
89. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(3 − συν2
θ , 1 − ημ2
θ) καθώς το θ μεταβάλλεται στο ℝ .
90. Δίνονται τα σημεία Α(3λ−1 , 6λ−5) και Β( 4μ−6 , 10−2μ).
α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία ε και το σημείο Β κινείται σε ευθεία ζ.
β. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ζ είναι κάθετες και να βρείτε το σημείο τομής τους.
91. Δίνεται το σημείο Κ(2λ−3 , 6λ−11)
α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία ε
β. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του θ το σημείο Μ(2 − συν2
θ , 1 + 3ημ2
θ) ανήκει στην ευθεία ε.
92. Δίνονται τα σημεία Α( 3λ−4 , 7λ+2) και Β( λ+2 , 5λ−18) . Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ του ευθυγράμμου
τμήματος ΑΒ κινείται σε ευθεία.
93. Δίνεται η ευθεία ε : 3x+y−1=0 . Να βρείτε
α. ευθεία ζ που είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το σημείο Α(−2 ,−3)
β. το σημείο τομής των ευθειών ε και ζ
94. Δίνεται η ευθεία ε : 6x−2y+5=0 . Να βρείτε
α. ευθεία ζ που είναι παράλληλη στην ε και διέρχεται από το σημείο Α(2 , −3)
β. το σημείο τομής της ευθείας ζ με τους άξονες
95. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών ε1: 2x−y−4=0 ,
ε2 : 3x−8y+7=0 και από το σημείο Μ(1 , 4) .
96. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών ε1: 2x−3y+3=0 ,
ε2: x−4y+9=0 και είναι κάθετη στην δ: x−2y+1=0
97. Δίνονται οι ευθείες ε : x − 3y + 5 = 0 , δ ∶ 3x + y − 5 = 0 .
α. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους .
β. Να βρείτε το σημείο τομής Α των ευθειών ε και δ .
γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και την αρχή των αξόνων
98. Δίνονται οι ευθείες ε : 3x + y + 3 = 0 , δ ∶ x + 2y − 4 = 0 .
α. Να βρείτε το σημείο τομής Α των ευθειών ε και δ
β. Αν η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Β και η ευθεία (δ) τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Γ τότε :
β1. τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ
β2. την εξίσωση της ευθείας ΒΓ
13. Γεωμετρικός Τόπος Σημείων
ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ
14. Βασικές Γενικές Ασκήσεις
Τράπεζα Θεμάτων
Τράπεζα Θεμάτων

47. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 47
99. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι πλευρές του ΑΒ και ΑΔ βρίσκονται πάνω στις ευθείες
2x + y + 2 = 0 και x − 2y + 6 = 0 αντίστοιχα . Αν το κέντρο του είναι το Κ(−1 , −2) , να βρείτε :
α. τις συντεταγμένες του Α και του Γ
β. την εξίσωση της πλευράς ΓΔ και την κορυφή Δ .
100. Έστω η εξίσωση (2λ−1)x+(λ + 2)y+5=0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός. Να δείξετε ότι
α. για κάθε λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία .
β. οι ευθείες της (1) διέρχονται από σταθερό σημείο.
101. Έστω η εξίσωση (3−λ)x+(4−λ)y+λ = 0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός.
α. Να δείξετε ότι για κάθε λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία .
β. Να δείξετε ότι οι ευθείες της (1) διέρχονται από σταθερό σημείο.
γ. Να βρείτε το λ ώστε η ευθεία που έχει εξίσωση την (1) να είναι παράλληλη στην ευθεία δ: 4x+2y+13=0.
102. Έστω η εξίσωση (3+λ)x+λy+λ−4=0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός.
α. Να δείξετε ότι για κάθε λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία .
β. Να δείξετε ότι οι ευθείες της (1) διέρχονται από σταθερό σημείο.
γ. Να βρείτε το λ ώστε η ευθεία που έχει εξίσωση την (1) να είναι κάθετη στην ευθεία δ: x−3y−7=0.
103. Έστω η εξίσωση (λ+2)x+(3λ−1)y+2λ−10=0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός. Να δείξετε ότι
α. για κάθε λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία .
β. οι ευθείες της (1) διέρχονται από σταθερό σημείο.
104. Έστω η εξίσωση (λ2
− 3λ + 2)x + (2λ2
− λ − 1)y − (3λ2
− 4λ + 1)=0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός.
α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία .
β. Να δείξετε ότι οι ευθείες της (1) διέρχονται από σταθερό σημείο.
105. Έστω η εξίσωση (x + y − 5) + λ(2x + y − 7) = 0 όπου λ πραγματικός αριθμός.
α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία .
β. Να δείξετε ότι οι ευθείες της (1) διέρχονται από σταθερό σημείο.
106. Έστω η εξίσωση (λ2
− 4)x + (λ2
+ 2λ − 8)y + λ2
− 3λ + 2=0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός . Να βρείτε τις
τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει
α. ευθεία
β. ευθεία παράλληλη στον άξονα x’x
γ. ευθεία παράλληλη στον άξονα y’y
δ. ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
107. Δίνεται η εξίσωση μ ( 2x+y+2) +2y−x =0 . Να δείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού αριθμού
μ η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για ποιες τιμές του μ είναι παράλληλη στον άξονα x’x και για ποιες τιμές του μ
είναι παράλληλη στον άξονα y’y ; Πότε διέρχεται από την αρχή των αξόνων ;
108. Έστω η εξίσωση (λ2
− 3λ + 2)x + (λ2
− 4λ − 5)y +λ2
− 9=0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός . Να βρείτε τις
τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει
α. ευθεία
β. ευθεία παράλληλη στον άξονα x’x
γ. ευθεία παράλληλη στον άξονα y’y
δ. ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Τράπεζα Θεμάτων
15. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας

48. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 48
109. Έστω η εξίσωση 2λx−(λ+1)y−3λ+1=0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός.
α. Να δείξετε ότι για κάθε λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία .
β. Να δείξετε ότι οι ευθείες της (1) διέρχονται από σταθερό σημείο.
γ. Να βρείτε το λ ώστε η ευθεία που έχει εξίσωση την (1) να διέρχεται από το μέσο του ΑΒ
όπου Α( 1 , 5) και Β(5 , −1).
110. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx+ (λ+3)y−6=0 και ε2 : (λ−1)x+ (λ+2)y−3=0
α. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1 , ε2 έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε λ πραγματικό αριθμό.
β. Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του λ ,το σημείο τομής Μ των ε1 , ε2 κινείται πάνω σε ευθεία .
111. Δίνονται οι ευθείες ε1 : (λ−1)x+ λy−2=0 και ε2 : (λ−2)x+ (λ−1)y−1=0
α. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1 , ε2 έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε λ πραγματικό αριθμό.
β. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ , το σημείο τομής των ε1 , ε2 απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 5
112. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx+ (λ+1)y−3=0 και ε2 : (λ−2)x+ λy−1=0 .
α. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1 , ε2 έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε λ πραγματικό αριθμό.
β. Να βρείτε το λ , ώστε η ευθεία ζ : 3x+2y+3=0 να διέρχεται από το μοναδικό κοινό σημείο των ε1 , ε2 .
113. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx+ (λ−3)y−5=0 και ε2 : (λ−3)x+(λ−4)y+2=0 .
Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ ℝ ισχύει
α. ε1 ∥ ε2 β. ε1 ⊥ ε2
114. Δίνονται οι ευθείες ε1:(λ−1)x+ λy+3=0 και ε2: (λ2
−1)x−(λ+2)y−3λ+2=0 .
Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ ℝ ισχύει ε1∥ ε2
115. Δίνονται οι ευθείες ε1 :(3λ+2)x+(λ+1)y+λ−7=0 και ε2: (λ+1)x−4λy+2λ=0 .
Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ ℝ ισχύει ε1⊥ ε2
116. Δίνονται οι ευθείες ε1 :(2λ+1)x−3λy−2=0 και ε2: 3λx+(λ + 2)y+1=0 .
Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ ℝ ισχύει ε1⊥ ε2
117. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx+ (λ−3)y−3=0 και ε2 : (λ−4)x+(2−λ)y+14=0 οι οποίες είναι κάθετες . Να βρείτε
α. τον πραγματικό αριθμό λ
β. το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε2
118. Δίνονται οι ευθείες ε1 : (λ+1)x+ (λ−4)y−4=0 και ε2 : λx+(5−λ)y−7=0 οι οποίες είναι κάθετες .
α. Να βρείτε τον αριθμό λ
β. Θεωρούμε την εξίσωση (μ2
−3μ+2)x + (μ2
− 11)y − 2μ2
+ 2μ=0 (1)
β1 . Να βρείτε για ποιές τιμές του μ ∈ ℝ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία
β2 . Να βρείτε τον αριθμό μ , ώστε η ευθεία της εξίσωσης (1) να διέρχεται από το σημείο τομής των ε1 , ε2
119. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 : 4x−3y−5=0 και ε2 : 7x +y−10=0
120. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 : 3x+4y−1=0 και ε2 : x −7y+5=0
121. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 : y=2x−5 και ε2 : y=−3x−1
16. Σχετική Θέση δύο Ευθειών
17. Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθετο σε Ευθεία
18. Γωνία δύο Ευθειών

49. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 49
122. Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 : x+7y−5=0 και ε2 : 3x−4y+10=0
123. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx+(λ−6)y−2=0 και ε2 : (λ+5)x+(λ−7)y+13=0 οι οποίες είναι παράλληλες.
Να βρείτε
α. τον αριθμό λ
β. την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε3 : 3x+2y−5=0
124. Οι ευθείες ε1 : λx+ (λ−1)y−1=0 και ε2 : μx+(μ+1)y+6=0 τέμνονται στο σημείο Κ( 1 , −2). Να βρείτε
α. τους αριθμούς λ και μ
β. την οξεία γωνία των ευθειών ε1 και ε2 .
125. Δίνονται οι ευθείες ε1: αx+y+3=0 και ε2 : 5x−3y+8=0 . Να βρείτε τον αριθμό α ∈ ℝ ώστε οι ευθείες ε1 και ε2
να σχηματίζουν οξεία γωνία ίση με 45°.
126. Θεωρούμε την εξίσωση (2λ − 1)x + (18 − 11λ)y + 9λ − 17 = 0 , λ∈ ℝ (1)
α. Να δείξετε ότι για κάθε λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία .
β. Αν (ε) , (δ) οι ευθείες που προκύπτουν από την (1) για λ = 1 , λ = 2 αντίστοιχα , να βρείτε την οξεία γωνία
που σχηματίζουν οι ευθείες .
127. Δίνεται η εξίσωση 2x2
−2y2
−3xy−7x−y+3=0 (1) .
α. Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο ευθείες , οι οποίες είναι κάθετες.
β. Να βρείτε το σημείο τομής των δύο ευθειών του προηγούμενου ερωτήματος.
128. Δίνεται η εξίσωση 3x2
+2y2
+7xy+2x−y−1=0 (1) .
α. Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο ευθείες , των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις.
β. Να βρείτε την οξεία γωνία των δύο ευθειών του προηγούμενου ερωτήματος.
129. Δίνεται η εξίσωση x2
− y2
−2x−4y−3=0 (1) . Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο ευθείες και να
εξετασθεί η θέση των ευθειών αυτών.
130. Δίνεται η εξίσωση x2
− y2
+ 10x−4y+21=0 (1) . Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο ευθείες και να
εξετασθεί η θέση των ευθειών αυτών.
131. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
−2xy−2x+2y−3=0 (1) .
α. Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2
β. Έστω ότι οι ευθείες ε1 και ε2 τέμνουν τον άξονα y’y στα σημεία Α και Β και έστω Μ το μέσο του ΑΒ. Να βρείτε
την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από το Μ και είναι παράλληλη στις ε1 και ε2 .
132. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α(−1 , 3) ισαπέχει από τις ευθείες ε1 :12x+5y+10=0 , ε2 :3x+4y−14=0.
133. Δίνονται τα σημεία Α(4 , −2) , Β(2 , −8), Γ(−1 , 13). Να βρείτε
α. την εξίσωση της ευθείας ΑΓ
β. την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ΒΓ.
134. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(3 , 2) , Β(−3 , 1) , Γ(4 , 0) . Να βρείτε :
α. την εξίσωση της πλευράς ΑΒ
β. το μήκος του ύψους ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας που βρίσκεται πάνω αυτό.
Τράπεζα Θεμάτων
19. Εξισώσεις της μορφής 𝚨𝚨𝐱𝐱𝟐𝟐
+ 𝚩𝚩𝐲𝐲 𝟐𝟐
+ 𝚪𝚪𝐱𝐱𝐱𝐱 + 𝚫𝚫𝐱𝐱 + 𝚬𝚬𝐲𝐲 + 𝚭𝚭 = 𝟎𝟎
20. Απόσταση Σημείου από Ευθεία
Τράπεζα Θεμάτων

50. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 50
135. Δίνονται οι ευθείες ε1 :5x+y−9=0 , ε2 :3x−2y−8=0 και δ:λx+3y−3λ−6=0. Να βρείτε για ποια τιμή του λ το
σημείο τομής των ευθειών ε1 , ε2 απέχει από την ευθεία δ απόσταση ίση με √10 .
136. Οι ευθείες ε1 :λx+(λ−14)y+λ+2=0 και ε2 : (λ−3)x+(λ−10)y+4−2λ=0 είναι παράλληλες. Να βρείτε
α. τον αριθμό λ
β. σε ποια από τις ευθείες ε1 και ε2 βρίσκεται πλησιέστερα το σημείο Α(3,2).
137. Το σημείο Α(3 , 1) απέχει από την ευθεία ε : λx−4y+8−λ=0 απόσταση ίση με 2 . Να βρείτε
α. τον αριθμό λ
β. τα σημεία της ευθείας ζ : y=x−3 , τα οποία απέχουν από την ευθεία ε απόσταση ίση με 3.
138. Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ με Α(−1 , 2)και η εξίσωση μιας πλευράς του είναι x − 2y + 1 = 0 .
Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου .
139. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε1 : y=3x−1 , ε2 : y=3x+9 . Να βρείτε
α. την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ε1 , ε2
β. την απόσταση των ευθειών ε1 , ε2
140. Δίνεται η εξίσωση 4x2
+ y2
−4xy−6x+3y−4=0 (1)
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 .
β. Να βρείτε την απόσταση των ε1 , ε2
γ. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ε1 , ε2
141. Δύο πλευρές ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε1 :3x−y−13=0 , ε2 :3x−y+7=0.
Να βρείτε το εμβαδό του τετραγώνου.
142. Οι ευθείες ε1 : λx+(2−λ)y−24=0 και ε2 :(λ−4)x+(5−λ)y+18=0 είναι παράλληλες. Να βρείτε
α. τον αριθμό λ
β. την απόσταση των ε1 , ε2
γ. την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ε1 , ε2
143. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ 2xy−6x−6y+8=0 (1)
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 .
β. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ε1 , ε2
144. Δύο παράλληλες ευθείες απέχουν απόσταση ίση με 8 και έχουν ως μεσοπαράλληλη την ευθεία
ζ :3x−4y+12=0. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών.
145. Δίνονται οι ευθείες ε1 :3x−4y+1=0 , ε2 :8x−6y+5=0. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών
που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε2. Ποια από τις παραπάνω διχοτόμους αντιστοιχεί στην οξεία γωνία που
σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε2 .
146. Δίνονται οι ευθείες ε1 :8x−6y+3=0 , ε2 :3x−4y+5=0. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών
που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε2.
147. Θεωρούμε τα σημεία Α(λ − 1 , λ + 2) και Β(μ + 3 , μ) με μ , λ ∈ ℝ
α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία κινούνται πάνω στις ευθείες y = x + 3 και y = x − 3 αντίστοιχα .
β. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών
21. Μεσοπαράλληλη – Απόσταση Παραλλήλων - Διχοτόμος
Τράπεζα Θεμάτων
Τράπεζα Θεμάτων

51. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 51
148. Δίνονται τα σημεία Α(−2 , 1) , Β(3 , 4) , Γ(1 , −6) . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ .
149. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ με κορυφές Α(2 , −3) , Β(−1 , 7) , Γ(−2 , −5) , Δ(7 , 0)
150. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 2) και Β(−2 , 3). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα y’y ώστε να ισχύει (ΜΑΒ) = 5 τ. μ.
151. Δίνονται τα σημεία Κ(8 , 3) και Λ(6 , −1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x’x ώστε να ισχύει (ΜΚΛ) = 7 τ. μ.
152. Θεωρούμε τα σημεία Α(2 , −1) , Β(4 , 5) και έστω σημείο Γ της ευθείας ε : 2x − y − 1 = 0 . Να βρείτε τις
συντεταγμένες του Γ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να έχει εμβαδόν ίσο με 4 τ.μ.
153. Θεωρούμε τα σημεία Α(2 , −1) , Β(1 , 3) και έστω σημείο Κ της ευθείας ε : x − y + 1 = 0 . Να βρείτε τις
συντεταγμένες του Κ ώστε το τρίγωνο ΑΒΚ να έχει εμβαδόν ίσο με 2 τ.μ.
154. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(1 , 2) , Β(3 , 5) . Αν η κορυφή Γ κινείται στην ευθεία ε : 2x − y + 3 = 0
και το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι 5 τ.μ. να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του .
155. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3 , 7) με ΒΓ : 4x − 3y − 11 = 0 και το σημείο Μ(5 , 3) το μέσο της ΒΓ . Αν το
εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 40 τ.μ. , να βρείτε :
α. την απόσταση του Α από την ευθεία ΒΓ
β. το μήκος της πλευράς ΒΓ
γ. τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ
156. Δίνεται η ευθεία ε : x − 4y − 7 = 0 και τα σημεία Α(−2 , 4) , Β(2 , 6)
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ της ευθείας (ε) το οποίο ισαπέχει από τα Α και Β
β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ
γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Κ(x , y) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ)=(ΜΑΒ)
157. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(6 , 6) , Β(−3 , 0) και Γ(3μ − 1 , 2μ + 3) , μ∈ ℝ
α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ
β. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό .
158. Θεωρούμε τα σημεία Α(1 , −2) , Β(3 , 4) . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου ώστε
το τρίγωνο ΑΜΒ να έχει εμβαδόν ίσο με 4 τ.μ.
159. Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία 3x − 4y + 3 = 0 και απέχει από το
σημείο Α(1 , −2) απόσταση ίση με 3 μονάδες .
160. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι κάθετες στην ευθεία δ : 3x − 2y + 5 = 0 και σχηματίζουν με
τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 3 τ.μ.
161. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το Μ(3 , 1) και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο
με εμβαδόν ίσο με 8 τ.μ.
162. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες στην ευθεία δ : 3x+y+2017 = 0 και απέχουν
από το σημείο Κ(−4 , 2) απόσταση ίση με 2√10
22. Εμβαδόν Τριγώνου
Τράπεζα Θεμάτων
23. Προσδιορισμός Ευθείας με χρήση Απόστασης ή Εμβαδού

52. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 52
163. Δίνεται η ευθεία δ : x + 2y − 25 = 0 και το σημείο Μ(3 , 1) . Να βρείτε :
α. την απόσταση του Μ από την ευθεία (δ)
β. τις ευθείες που είναι κάθετες στην (δ) και απέχουν από το Μ απόσταση ίση με √20
164. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία δ : 6x − 3y − 13 = 0 και ισαπέχει από
τα σημεία Α(1 , −4) και Β(5 , 2)
165. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(−1 , 3) και απέχει από το σημείο Μ(2 , 1)
απόσταση ίση με 3 μονάδες .
166. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(−1 , 2) και ισαπέχει από τα
σημεία Κ(−3 , 0) και Λ(1 , 3)
167. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία δ : x + 2y − 1 = 0 και σχηματίζει με τους
άξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 1 τ.μ.
168. Δίνεται η ευθεία ε : x + 2y − 6 = 0 . Να βρείτε :
α. την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας (ε) από την αρχή των αξόνων
β. ποιο σημείο της ευθείας (ε) απέχει την μικρότερη απόσταση από το σημείο Μ(2 , −3)
169. Δίνονται τα σημεία Κ(−2 , 4) και Λ(8 , −1) . Να βρείτε :
α. την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Κ , Λ
β. ποιο σημείο της ευθείας (ε) απέχει την μικρότερη απόσταση από το σημείο Μ(5 , 3)
170. Θεωρούμε τα σημεία Κ(λ − 4 , 3λ − 2) , λ ∈ ℝ . Να βρείτε :
α. την εξίσωση της ευθείας (ε) πάνω στην οποία κινούνται τα σημεία Κ
β. την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας (ε) από την αρχή των αξόνων .
171. Οι ευθείες ε ∶ λx + (λ − 1)y − 5 = 0 και δ ∶ (λ + 1)x − (λ + 4)y − 15 = 0 είναι κάθετες . Να βρείτε :
α. τον αριθμό λ
β. το σημείο τομής των ευθειών (ε) και (δ)
γ. την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας (ε) από την αρχή των αξόνων , καθώς και ποιο είναι
το σημείο αυτό .
172. Δίνεται η ευθεία ε : x + y − 4 = 0 . Να βρείτε :
α. ποιο σημείο της ευθείας (ε) απέχει την μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων
β. την ελάχιστη απόσταση που απέχει το σημείο της ευθείας (ε) από την αρχή των αξόνων
24. Ευθεία και Ελάχιστο

53. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 53
Ο Κύκλος
Εξίσωση Κύκλου με Κέντρο την Αρχή των Αξόνων
Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0 , 0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση :
𝐱𝐱𝟐𝟐
+ 𝐲𝐲𝟐𝟐
= 𝛒𝛒𝟐𝟐
Εξίσωση Κύκλου με Κέντρο Τυχαίο Σημείο
Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (𝐱𝐱𝟎𝟎, 𝐲𝐲𝟎𝟎) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση :
(𝐱𝐱 − 𝐱𝐱𝟎𝟎)𝟐𝟐
+ (𝐲𝐲 − 𝐲𝐲𝟎𝟎)𝟐𝟐
= 𝛒𝛒𝟐𝟐
Κύκλος είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από σταθερό σημείο του
επιπέδου αυτού .
Το σταθερό σημείο λέγεται κέντρο και η σταθερή απόσταση ακτίνα του κύκλου .
Πράγματι :
Θεωρούμε σημείο Μ(x , y) του κύκλου , τότε θα απέχει από
το κέντρο Ο απόσταση ίση με την ακτίνα ρ . Δηλαδή :
(ΟΜ) = ρ ⇔ �x2 + y2 = ρ ⇔ x2
+ y2
= ρ2
.
Πράγματι :
Θεωρούμε σημείο Μ(x , y) του κύκλου , τότε θα απέχει από
το κέντρο Κ απόσταση ίση με την ακτίνα ρ . Δηλαδή :
(ΚΜ) = ρ ⇔ �(x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ ⇔ (x − x0)2
+ (y − y0)2
= ρ2

54. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 54
Η Εξίσωση 𝐱𝐱𝟐𝟐
+ 𝐲𝐲𝟐𝟐
+ 𝐀𝐀𝐀𝐀 + 𝐁𝐁𝐁𝐁 + 𝚪𝚪 = 𝟎𝟎
Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής
𝐱𝐱𝟐𝟐
+ 𝐲𝐲𝟐𝟐
+ 𝐀𝐀𝐀𝐀 + 𝐁𝐁𝐁𝐁 + 𝚪𝚪 = 𝟎𝟎 με 𝚨𝚨𝟐𝟐
+ 𝚩𝚩𝟐𝟐
− 𝟒𝟒𝟒𝟒 > 0 (1)
και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει κύκλο .
Εξίσωση Εφαπτομένης Κύκλου με Κέντρο την Αρχή των Αξόνων
Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου 𝐱𝐱𝟐𝟐
+ 𝐲𝐲𝟐𝟐
= 𝛒𝛒𝟐𝟐
στο σημείο του Α(𝐱𝐱𝟏𝟏, 𝐲𝐲𝟏𝟏)
είναι :
:
𝐱𝐱 ∙ 𝐱𝐱𝟏𝟏 + 𝐲𝐲 ∙ 𝐲𝐲𝟏𝟏 = 𝛒𝛒𝟐𝟐
ΟΡΘΟ : Θεωρούμε τον κύκλο με εξίσωση (x − x0)2
+ (y − y0)2
= ρ2
. Θα αποδείξουμε ότι γράφεται όπως η (1) .
Είναι : (x − x0)2
+ (y − y0)2
= ρ2
⇔ x2
− 2xx0 + x0
2
+ y2
− 2yy0 + y0
2
= ρ2
⇔
⇔ x2
+ y2
− 2x0x − 2y0y + ( x0
2
+y0
2
− ρ2) = 0
Άρα o κύκλος για A = −2x0 , B = −2y0 και Γ = x0
2
+y0
2
− ρ2
παίρνει την μορφή x2
+ y2
+ Ax + By + Γ = 0
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ : Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση x2
+ y2
+ Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο . Πράγματι :
x2
+ y2
+ Ax + By + Γ = 0 ⇔ (x2
+ Ax) + (y2
+ By) = −Γ ⇔ �x2
+ 2
A
2
x +
A2
4
� + �y2
+ 2
B
2
y +
B2
4
� = −Γ +
Α2
4
+
Β2
4
⇔ �x +
A
2
�
2
+ �y +
B
2
�
2
=
Α2+Β2−4Γ
4
. Επομένως :
α) Αν Α2
+ Β2
− 4Γ > 0 τότε η (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ �−Α
2
,−Β
2
� και ακτίνα ρ =
√Α2+Β2−4Γ
2
β) Αν Α2
+ Β2
− 4Γ = 0 τότε η (1) παριστάνει ένα μόνο σημείο, το Κ �−Α
2
,−Β
2
�
γ) Αν Α2
+ Β2
− 4Γ < 0 τότε η (1) είναι αδύνατη .
Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Μ(x , y) της εφαπτομένης (ε)
Τότε θα είναι : ΟΑ�����⃗ ⊥ ΑΜ������⃗ ⇔ ΟΑ�����⃗ ∙ ΑΜ������⃗ = 0 (1)
Επίσης ΟΑ�����⃗ = (x1 , y1) και ΑΜ������⃗ = (x − x1 , y − y1)
Άρα (1) ⇒ (x1 , y1) ∙ (x − x1 , y − y1) = 0 ⇔
⇔ x1 ∙ (x − x1) + y1 ∙ (y − y1) = 0 ⇔ x ∙ x1 − x1
2
+ y ∙ y1 − y1
2
= 0
⇔ x ∙ x1 + y ∙ y1 = x1
2
+ y1
2
⇔ x ∙ x1 + y ∙ y1 = ρ2
αφού το σημείο Α(x1, y1) ανήκει στον κύκλο x2
+ y2
= ρ2

55. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 55
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Εύρεση Εξίσωσης Κύκλου
1. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις :
α) με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με 6
β) με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με 4
γ) με κέντρο Κ(4 , 6) και ακτίνα 2
δ) με κέντρο Κ(2 , −3) και ακτίνα 4
ε) με κέντρο Κ(2 , 0) και ακτίνα 5
ζ) με κέντρο Κ(−5 , 0) και ακτίνα 7
2. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των παρακάτω κύκλων :
α) x2
+ y2
= 25 β) x2
+ y2
= 49 γ) (x − 4)2
+ (y − 5)2
= 16 δ) (x + 3)2
+ (y − 2)2
= 4
ε) x2
+ (y + 1)2
= 4 ζ) (x − 2)2
+ y2
= 9
3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και
α) διέρχεται από το σημείο Μ(−6 , 8)
β) εφάπτεται στην ευθεία ε : 2x − y + 5 = 0
4. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και
α) διέρχεται από το σημείο Μ(−1 , 2)
β) εφάπτεται στην ευθεία ε : 3x − 4y + 15 = 0
5. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και
α) διέρχεται από το σημείο Μ(−2 , 1)
β) εφάπτεται στην ευθεία ε : 4x − 3y + 10 = 0
6. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου x2
+ y2
= 4 που έχει μέσο το σημείο Μ(1 , −1)
(Σχολικό / 4 / Α / σελ.87)
7. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου x2
+ y2
= 100 που έχει μέσο το σημείο Μ(−3 , 1) και στη
συνέχεια το μήκος της παραπάνω χορδής.
8. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(−2 , 3) και διέρχεται από το σημείο Α(1 , 7)
9. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(−1 , 0) και διέρχεται από το σημείο Α(−2 , −1)
10. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(−4 , 1) και εφάπτεται στην ευθεία ε : 3x − 4y + 1 = 0
11. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(0 , −3) και εφάπτεται στην ευθεία ε : 5x − 12y − 10 = 0
12. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(1 , 2) και εφάπτεται στην ευθεία ε : 4x + 3y + 5 = 0
13. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που είναι ομόκεντρος του κύκλου (x − 1)2
+ (y + 2)2
= 3
και εφάπτεται της ευθείας ε : 3x − 4y + 4 = 0

56. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 56
Η Εξίσωση 𝐱𝐱𝟐𝟐
+ 𝐲𝐲𝟐𝟐
+ 𝐀𝐀𝐀𝐀 + 𝐁𝐁𝐁𝐁 + 𝚪𝚪 = 𝟎𝟎
14. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το τμήμα ΑΒ με Α(−2 , −1) και Β(6 , 3)
15. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το τμήμα ΑΒ με Α(−1 , 3) και Β(5 , 1)
16. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το τμήμα ΑΒ με Α(5 , −1) και Β(−1 , 7)
17. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(5 , −3) και εφάπτεται στον : α) άξονα x’x β) άξονα y’y
18. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου όταν :
α) έχει κέντρο Κ(1 , −3) και εφάπτεται στον άξονα x’x
β) εφάπτεται στον άξονα y’y στο σημείο Α(0 , 3) και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία ε : y = 2x
19. Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ με Α(−2 , 1) , Β(1 , 0) και Γ(1 , 4)
20. Δίνονται τα σημεία Α(−3 , 2) , Β(6 , −4) και Γ(−5 , −1)
α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α
β) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ
21. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 4) , Β(−2 , 3) και Γ(4 , −5)
α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α
β) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ
22. Να βρείτε τι παριστάνει καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις :
α) x2
+ y2
+ 8x − 2y + 1 = 0 β) x2
+ y2
− 6x + 10y + 34 = 0 γ) x2
+ y2
− 4x + 2y + 10 = 0
23. Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα τους .
α) x2
+ y2
− 10x + 2y + 22 = 0 β) x2
+ y2
+ 6x + 8 = 0 γ) 2x2
+ 2y2
− 4x + 1 = 0
24.Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα τους .
α) x(x − 1) + (y + 1)(y − 3) = 0 β) (2x − 1)2
+ (2y + 3)2
= 4
25. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη διάκεντρο των κύκλων C1:4x2
+ 4y2
= 1
και C2: (x − 1)(x + 3) + y(y − 2) = 0
26. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Δ(1 , 1) , Ε(0 , 2) και Ζ(−1 , 1) και να
αποδείξετε ότι ο κύκλος αυτός εφάπτεται στον άξονα x’x
27. Να αποδείξετε ότι καθένας από τους κύκλους C1:x2
+ y2
− 6x − 2y − 15 = 0 , C2: x2
+ y2
+ 6y − 16 = 0
διέρχεται από το κέντρο του άλλου .
28. Να βρεθεί η εξίσωση ενός κύκλου που είναι ομόκεντρος με τον C : x2
+ y2
− 2x + 4y − 5 = 0 και :
α) έχει διπλάσια ακτίνα από αυτόν
β) εφάπτεται της ευθείας y = −x + 1
γ) διέρχεται από το σημείο Α(3 , 4)
29. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 2x + 4y = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να βρείτε την ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται η διάμετρος του προηγούμενου κύκλου που είναι κάθετη
στην ζ :2x + y + 2017 = 0
γ) Να βρείτε τα άκρα της παραπάνω διαμέτρου
30. Να βρείτε τις τιμές του λ , ώστε καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει κύκλο και μετά , να βρείτε
το κέντρο και την ακτίνα τους .
α) x2
+ y2
+ 2λx − 4λy + 6λ2
− 1 = 0 β) x2
+ y2
+ 2λy − λ − 1 = 0

57. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 57
31. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 2λx + 2λ − 1 = 0 (1)
α) Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ ώστε η (1) να παριστάνει κύκλο
β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την (1)
32. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ λx + (λ + 2)y + λ − 1 = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ∈ ℝ
β) Να βρείτε για ποια τιμή του λ ∈ ℝ το κέντρο του κύκλου της (1) ανήκει στην ευθεία ε : 2x − 5y − 8 = 0
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ ℝ η ακτίνα του κύκλου της (1) είναι 2√5
33. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ (λ − 1)x + (3 − λ)y − 2λ − 1 = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ∈ ℝ
β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων της (1) για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ℝ ανήκουν σε ευθεία
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ ℝ ο κύκλος της (1) έχει ακτίνα ίση με 4
34. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ λx + (2 − λ)y + λ + 7 = 0 (1)
α) Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ ώστε η (1) να παριστάνει κύκλο
β) Έστω ότι η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου το κέντρο Κ απέχει από την ε : 3x + 4y + 5 = 0 απόσταση
2
5
Να βρείτε το λ , καθώς και την εξίσωση του κύκλου C που είναι ομόκεντρος με τον κύκλο της εξίσωσης (1)
και διέρχεται από το σημείο Α(−5 , 2)
35. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ 4λ2
= 4λ(x + y) (1)
α) Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ ώστε η (1) να παριστάνει κύκλο . Ποιο το κέντρο και ποια η ακτίνα του κύκλου ;
β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων της (1) για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ℝ ανήκουν σε ευθεία
γ) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται στους άξονες x’x και y’y
36. Δίνεται η εξίσωση (x − 1)2
+ (y + 3)2
− 20 + λ(3x + y − 10) = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ∈ ℝ
β) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι της εξίσωσης (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β
γ) Έστω ότι το κέντρο Κ του κύκλου C που παριστάνει η εξίσωση (1) ανήκει στην ευθεία ζ : 2x + y + 8 = 0 .
Να βρείτε το λ και στη συνέχεια το εμβαδό του τριγώνου ΑΚΒ .
37. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 4λx + 2λy − 5 = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ∈ ℝ του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων
γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι της εξίσωσης (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία
δ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής όλων των κύκλων της (1)
38. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 2λx − 2λy + 4λ − 2 = 0 (1)
α) Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ ώστε η (1) να παριστάνει κύκλο
β) Να δείξετε ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από ένα σταθερό σημείο , το οποίο και να βρείτε .
39. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 5 = 2λ(x − 1) , λ ∈ ℝ (1)
α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ∈ ℝ του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι της εξίσωσης (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία
γ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής όλων των κύκλων της (1)

58. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 58
Εύρεση Εφαπτομένης Κύκλου
40. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x2
+ y2
= 25 στα σημεία του Α(−2 , 3) και Β(1 , 4)
41. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x2
+ y2
= 5 σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α) όταν είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x + 3
β) όταν είναι κάθετη στην ευθεία y =
1
2
x
γ) όταν διέρχεται από το σημείο Α(5 , 0) (Σχολικό / 2 / Α / σελ.87)
42. Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου x2
+ y2
= 5 που είναι κάθετες στην ευθεία δ : x + 2y − 21 = 0
43. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται στην ευθεία δ : 3x − 4y − 50 = 0 .
Να βρείτε :
α) την εξίσωση του κύκλου C
β) τις εφαπτόμενες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Κ(−10 , 20)
44. Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου x2
+ y2
= 20 όταν :
α) είναι παράλληλες στην ευθεία δ : 2x + y − 2017 = 0
β) διέρχονται από το σημείο Μ(−2 , 6)
45. Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου x2
+ y2
= 10 όταν :
α) είναι παράλληλες στην ευθεία δ : 3x − y + 7 = 0
β) διέρχονται από το σημείο Μ(10 , 0)
46. Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου x2
+ y2
= 20 που σχηματίζουν με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο
με εμβαδό ίσο με 25 τ.μ.
47. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x2
+ y2
− 2x + 4y + 4 = 0 στο σημείο του Α(1 , −1)
(Σχολικό / 7 / Α / σελ.88)
48. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x2
+ y2
− 2y − 24 = 0 στο σημείο του Α(−3 , 5)
49. Δίνονται τα σημεία Α(−4 , 3) και Β(4 , −3). Να βρείτε :
α) την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την ΑΒ
β) την εξίσωση της εφαπτομένης του προηγούμενου κύκλου στο σημείο Α
50. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 6x + 8y − 24 = 0
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο Α(10 , −4)
51. Δίνεται ο κύκλος C : (x − 3)2
+ (y − 2)2
= 25. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης του κύκλου C
στο σημείο του Α(−1 , 5)
52. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 2x − 6y + 6 = 0
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Αν το σημείο Α(μ ,3) με μ < 0 ανήκει στον κύκλο , τότε να βρείτε το μ και την εξίσωση της εφαπτομένης του
κύκλου στο Α .
53. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 6x − 8y = 0
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β του παραπάνω κύκλου με τον άξονα y’y
γ) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία αυτά καθώς και το σημείο τομής των δύο εφαπτομένων

59. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 59
54. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 4x + 2y + 3 = 0
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Μ(2 , 1)
55. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ 2x − 4y − 20 = 0
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ(−6 , −8) είναι εξωτερικό του κύκλου
γ) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Μ
56. Δίνονται τα σημεία Α(0 , 5) και Β(−2 , −1). Να βρείτε :
α) την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την ΑΒ
β) τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που είναι παράλληλες στην ευθεία ΑΒ
57. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 2x − 4y + 3 = 0
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που είναι κάθετες στην ευθεία ε : x − 2y − 1 = 0
58. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C : (x − 2)2
+ (y + 1)2
= 5 που είναι παράλληλη
στην ευθεία δ : y = 2x + 2017
59. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ λx + (4 − λ)y − 2λ − 14 = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ∈ ℝ
β) Έστω ότι το κέντρο του κύκλου που παριστάνει η (1) ανήκει στην ευθεία ε : 5x + 3y + 4 = 0 . Να βρείτε :
β1) τον αριθμό λ καθώς και το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C
β2) τις εφαπτόμενες του κύκλου C που είναι παράλληλες στην ευθεία δ : 4x + 2y − 2017 = 0
β3) τις εφαπτόμενες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Ρ(−1 , 3)
60. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ λx + (2λ − 4)y − 4λ − 1 = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ∈ ℝ
β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων της (1) για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ℝ ανήκουν σε ευθεία ε .
γ) Αν ο κύκλος C που παριστάνει η (1) διέρχεται από το σημείο Α(1 , 2) τότε να βρείτε :
γ1) τον αριθμό λ καθώς και το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλου C
γ2) την εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Α
γ3) τις εφαπτόμενες του κύκλου C που είναι κάθετες στην ευθεία ε
61. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y = x − 4 εφάπτεται του κύκλου C : x2
+ y2
− 4x + 2 = 0 και να βρείτε το
σημείο επαφής .
62. Να αποδείξετε ότι η ευθεία xσυνφ + yημφ = 4ημφ − 2συνφ + 4 εφάπτεται του κύκλου
x2
+ y2
+ 4x − 8y + 4 = 0 (Σχολικό / 2 / Β / σελ.88)
63. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ 10y + 16 = 0
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του
παραπάνω κύκλου ( Τράπεζα Θεμάτων )
64. Να βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες των κύκλων C1 ∶ x2
+ y2
= 4 και C2 ∶ (x − 5)2
+ y2
= 25
65. Να βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες των κύκλων C1 ∶ x2
+ y2
= 1 και C2 ∶ (x − 4)2
+ y2
= 4
66. Να βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες των κύκλων C1 ∶ x2
+ y2
= 25 και C2 ∶ (x − 3)2
+ (y − 6)2
= 4

60. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 60
Σχετικές Θέσεις Κύκλων – Ευθειών - Σημείων
67. Να βρείτε τη σχετική θέση του κύκλου C : x2
+ y2
= 4 ως προς :
α) το σημείο Μ(1 , 3)
β) την ευθεία ε : 3x + 4y − 5 = 0
γ) τον κύκλο C1 ∶ (x − 3)2
+ y2
= 1
68. Να βρείτε τη σχετική θέση του κύκλου C : x2
+ y2
− 4y = 0 ως προς τα σημεία Α�√3 , 3� , Β(1 , 3) , Γ(2 , 1)
69. Να βρείτε τη σχετική θέση του κύκλου C : x2
+ y2
− 2x = 0 ως προς τις ευθείες :
α) ε : 3x − 4y + 3 = 0 β) δ : 3x − 4y + 1 = 0 γ) ζ : 3x − 4y + 2 = 0
70. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
− 6x + 8y = 0 και C2 ∶ x2
+ y2
− 8x − 6y + 16 = 0
α) Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των δύο κύκλων
β) Να δείξετε ότι οι δύο κύκλοι τέμνονται
γ) Να βρείτε την κοινή χορδή των δύο κύκλων
71. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
+ 2x + 6y − 6 = 0 και C2 ∶ x2
+ y2
− 2x − 4y − 4 = 0
α) Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των δύο κύκλων
β) Να δείξετε ότι οι δύο κύκλοι τέμνονται
γ) Να βρείτε την κοινή χορδή των δύο κύκλων
72. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
+ 2x + 6y + 1 = 0 και C2 ∶ x2
+ y2
− 4x − 2y + 1 = 0
α) Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των δύο κύκλων
β) Να δείξετε ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά
γ) Να βρείτε το σημείο επαφής των δύο κύκλων
δ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης των δύο κύκλων
73. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
− 2x − 2y = 0 και C2 ∶ x2
+ y2
− 10x − 10y + 32 = 0
α) Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των δύο κύκλων
β) Να δείξετε ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά
γ) Να βρείτε το σημείο επαφής των δύο κύκλων
δ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης των δύο κύκλων
74. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
− 6x − 8y = 0 και ο κύκλος C2 που έχει κέντρο το σημείο Κ(−6 , −8) και
εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο C1 . Να βρείτε :
α) την εξίσωση του κύκλου C2
β) το σημείο επαφής των δύο κύκλων
γ) την εξίσωση της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης των δύο κύκλων
75. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
+ 10x − 2y + 6 = 0 και ο κύκλος C2 που έχει κέντρο το σημείο Κ(1 , 4) και
εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο C1 . Να βρείτε :
α) την εξίσωση του κύκλου C2
β) το σημείο επαφής των δύο κύκλων
γ) την εξίσωση της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης των δύο κύκλων
76. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
+ 10x − 20y + 120 = 0 και ο κύκλος C2 που έχει κέντρο την αρχή των
αξόνων και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου C1 . Να βρείτε :
α) το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C1
β) την εξίσωση του κύκλου C2
γ) τις κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων

61. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 61
Γεωμετρικοί Τόποι
Μέγιστο – Ελάχιστο στον Κύκλο
77. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
+ 2x + 16y + 20 = 0 και ο κύκλος C2 που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο
τμήμα ΑΒ με Α(−1 , 2) και Β(1 , −2) .
α) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C1
β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C2
γ) Να αποδείξετε ότι οι δύο κύκλοι τέμνονται
δ) Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων
78. Δίνονται τα σημεία Μ(ημθ − 4 , συνθ + 2) με θ ∈ ℝ . Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά κινούνται σε κύκλο
του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
79. Δίνονται τα σημεία Μ(2ημθ , −2συνθ) με θ ∈ ℝ . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ .
80. Δίνονται τα σημεία Μ(1 + 3ημθ , 3συνθ + 2) με θ ∈ ℝ . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ .
81. Δίνονται τα σημεία Μ(1 + 2συνθ , 3 − 2ημθ) με θ ∈ ℝ . Να βρείτε που κινούνται τα σημεία Μ .
82. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων C : x2
+ y2
+ (4λ + 8)x − (12λ − 28)y − 15 = 0
83. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 2) και Β(3 , 2) . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα
οποία ισχύει : �ΜΑ������⃗�
2
+ �ΜΒ������⃗�
2
= 4
84. Δίνονται τα σημεία Α(4 , −3) και Β(−2 , −5). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου
για τα οποία ισχύει : �ΜΑ������⃗�
2
+ �ΜΒ������⃗�
2
= 70
85. Δίνονται τα σημεία Α(4 , −1) και Β(−2 , 7). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου ,
για τα οποία το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ορθογώνιο στο Μ .
86. Δίνονται τα σημεία Α(x , y) , Β(3 , 2) και Γ(1 , 0 ). Αν τα σημεία αυτά σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με
υποτείνουσα τη ΒΓ , τότε :
α) να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε κύκλο
β) να βρείτε το Α ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές ( Τράπεζα Θεμάτων )
87. Δίνονται τα σημεία Α(−2 , 0) και Β(2 , 0). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για
τα οποία ισχύει : ΑΜ������⃗2
+ ΒΜ������⃗2
= 3 ∙ ΑΜ������⃗ ∙ ΒΜ������⃗ ( Τράπεζα Θεμάτων )
88. Δίνεται ο κύκλος C : x2
+ y2
+ 6x + 2y + 6 = 0 . Να βρείτε :
α) το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C
β) τη μέγιστη απόσταση που μπορούν να απέχουν δύο σημεία του κύκλου C
γ) τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση που απέχει το σημείο Α(1 , 2) από ένα σημείο του κύκλου C
89. Δίνεται ο κύκλος C : x2
+ y2
− 6x − 8y + 16 = 0 . Να βρείτε :
α) το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C
β) τη μέγιστη απόσταση που μπορούν να απέχουν δύο σημεία του κύκλου C
γ) τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση που απέχει η αρχή των αξόνων από ένα σημείο του κύκλου C

62. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 62
90. Δίνεται ο κύκλος C : (x − 2)2
+ (y + 1)2
= 9 . Να βρείτε :
α) τη μέγιστη απόσταση που μπορούν να απέχουν δύο σημεία του κύκλου C
β) τη σχετική θέση του σημείου Α(1 , 2) ως προς τον κύκλο C και μετά τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση
του σημείου Α από ένα σημείο του κύκλου C
γ) τη σχετική θέση της ευθείας ε : 3x + 4y + 18 = 0 ως προς τον κύκλο C και μετά τη μέγιστη και την ελάχιστη
απόσταση ενός σημείου του κύκλου C από την ευθεία (ε)
91. Δίνεται ο κύκλος C : x2
+ y2
− 2x + 4y + 4 = 0 και η ευθεία ε : 3x + 4y − 10 = 0 . Να βρείτε :
α) το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C
β) τη σχετική θέση της ευθείας (ε) ως προς τον κύκλο C
γ) τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση ενός σημείου του κύκλου C από την ευθεία (ε)
92. Δίνεται ο κύκλος C : x2
+ y2
= 1 και η ευθεία ε : 3x + 4y − 25 = 0 . Να βρείτε :
α) το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C
β) τη σχετική θέση της ευθείας (ε) ως προς τον κύκλο C
γ) την ελάχιστη απόσταση ενός σημείου του κύκλου C από την ευθεία (ε)
93. Δίνεται ο κύκλος C : x2
+ y2
− 6x + 8 = 0 και η ευθεία ε : y = −x . Να βρείτε :
α) το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C
β) τη σχετική θέση της ευθείας (ε) ως προς τον κύκλο C
γ) την ελάχιστη απόσταση ενός σημείου του κύκλου C από την ευθεία (ε)
94. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
= 4 και C2 ∶ x2
+ y2
− 6x − 8y + 21 = 0 . Να βρείτε :
α) τη σχετική θέση των δύο κύκλων
β) τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση ενός σημείου του C1από ένα σημείο του C2
95. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
+ 2y = 8 και C2 ∶ x2
+ y2
− 4x − 6y − 12 = 0 . Να βρείτε :
α) τη σχετική θέση των δύο κύκλων
β) τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση ενός σημείου του C1από ένα σημείο του C2
96. Δίνεται ο κύκλος C : x2
+ y2
− 2x + 4y − 4 = 0 καθώς και τα σημεία Α(−7 , 9) και Β(9 , −3) . Να βρείτε :
α) το κέντρο Κ και την ακτίνα του κύκλου C
β) το εμβαδόν του τριγώνου ΚΑΒ
γ) την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Α και Β
δ) τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση ενός σημείου του κύκλου C από την ευθεία (ε)
97. Δίνονται οι κύκλοι C1 ∶ x2
+ y2
− 4x + 3 = 0 και ο κύκλος C2 που έχει κέντρο Λ(−2 , 3) ο οποίος εφάπτεται
στον άξονα y’y
α) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C1
β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C2
γ) Να αποδείξετε ότι καθένας από τους κύκλους είναι εξωτερικός του άλλου
δ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη του κύκλου C1 στο σημείο του Α(2 , 1) εφάπτεται και στον κύκλο C2
ε) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση ενός σημείου του C1από ένα σημείο του C2

63. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 63
Γενικά Θέματα στον Κύκλο
98. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 2xσυνθ − 2yημθ − 1 = 0 , 0 ≤ θ < 2π
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε θ του οποίου να βρείτε το κέντρο και
την ακτίνα
β) Αν θ =
π
2
, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης του κύκλου στο σημείο Μ(1 , 2)
γ) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με
κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με 1 ( Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων )
99. Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1999 μυρμήγκια . Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό
n = 1 , 2 , 3 , . . . ,1999 και κινείται πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy διαγράφοντας μια τροχιά με εξίσωση :
(x − 1)2
+ y2
= 2n(x + y − 1) . Να αποδείξετε ότι :
α) η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του
β) κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α ( που είναι η φωλιά τους ) του
οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες .
γ) οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας x + y − 1 = 0 στο σημείο Α
( Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων )
100. α) Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ 6μx + 8λy = 0 όπου μ , λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός .
Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή των μ , λ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή
των αξόνων Ο .
β) Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς λ , μ ισχύει η σχέση 3μ + 2λ = 0
β1) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των προηγούμενων κύκλων βρίσκονται σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή
των αξόνων
β2) Να βρείτε τα λ , μ έτσι , ώστε αν Α , Β τα σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία x + y + 2 = 0
να ισχύει : ΟΑ�����⃗ ∙ ΟΒ�����⃗ = 0
β3) Για τιμές των μ , λ που βρήκατε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ
( Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων )
101. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(2λ − 1 , 3λ + 2) , Β(1 , 2) και Γ(2 , 3) με λ ≠ −2
α) Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ .
β) Αν λ = 1 να βρείτε :
β1) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ
β2) την εξίσωση του κύκλου , που έχει κέντρο την κορυφή Α(1 , 5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ
( Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων )
102. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− (λ + 3)x + μy + λ = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C για κάθε λ , μ ∈ ℝ
β) Έστω ότι ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο Α(6 , −1) και το κέντρο του ανήκει στην ε : 3x + y − 7 = 0 .
Να βρείτε :
β1) τις τιμές των λ και μ
β2) την εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Α
β3) τα σημεία Β και Γ του κύκλου C και της ευθείας (ε) , καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ
103. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : 3x + 4y + 6 = 0 και δ : 3x + 4y + 16 = 0 . Να βρείτε :
α) την απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε και δ
β) την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ε και δ
γ) την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευθείας ε με τον άξονα x’x και αποκόπτει από την
ευθεία δ χορδή μήκους d = 4√3 ( Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων )

64. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 64
104. Δίνονται τα μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα α��⃗ και β�⃗ και η εξίσωση
x2
+ y2
− 4|α��⃗|x + 6�β�⃗�y + 12α��⃗ ∙ β�⃗ = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C με ακτίνα ρ = �2α��⃗ − 3β�⃗�
β) Αν το κέντρο του κύκλου C ανήκει στην ευθεία ζ : 2x + 3y + 2 = 0 και η εφαπτομένη του (ε) στο σημείο του
Λ�|α��⃗| , −6�β�⃗�� έχει συντελεστή διεύθυνσης −
2
3
τότε :
β1) να αποδείξετε ότι |α��⃗| = 4 , �β�⃗� = 2 και �α���⃗, β���⃗�
�
= 60°
β2) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα v�⃗ = 3α��⃗ − β�⃗ και u�⃗ = 2α��⃗ − 11β�⃗ είναι κάθετα
β3) να βρείτε το μέτρο του διανύσματος w���⃗ = α��⃗ − 2β�⃗
β4) να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου C στα σημεία που τέμνει τον άξονα x’x
105. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
+ 4x + 2yσυνθ − 4συνθ = 0 , 0 < 𝜃𝜃 < 2π
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε θ
β) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου
γ) Να βρείτε την τιμή του θ για την οποία το εμβαδό του κύκλου γίνεται ελάχιστο
δ) Για θ = π να βρείτε :
δ1) τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που άγονται από την αρχή των αξόνων
δ2) τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση της αρχής των αξόνων από τον κύκλο
106. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 2xημθ − 2yσυνθ − 3 = 0 , θ ∈ ℝ
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε θ του οποίου να βρείτε το κέντρο
και την ακτίνα
β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων
γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : xημθ + yσυνθ − 3 = 0 εφάπτεται στον κύκλο
107. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 2λx − 2(λ + 1)y = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ∈ ℝ
β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων της (1) για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ℝ είναι συνευθειακά σημεία
γ) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε ο κύκλος της (1) να είναι μοναδιαίος
δ) Αν η ευθεία ε : x + y − 3 = 0 τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία Δ και Ε τέτοια , ώστε ΟΔ�����⃗ ∙ ΟΕ�����⃗ = 0 , όπου Ο
η αρχή των αξόνων , να αποδείξετε ότι λ = 1
108. Δίνεται η εξίσωση (x − 1)2
+ (y − 2)2
= 2λ(x + 2y − 5) = 0 (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ∈ ℝ∗
β) Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των κύκλων της (1) και να αποδείξετε ότι τα κέντρα ανήκουν σε ευθεία
γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι της εξίσωσης (1) διέρχονται από το ίδιο σταθερό σημείο
δ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι εφάπτονται της ευθείας ε : x + 2y − 5 = 0
109. Δίνεται η εξίσωση x2
+ y2
− 2 = 2xlnθ + ln2
θ + 4lnθ , θ > 0 (1)
α) Για ποιες τιμές του θ η (1) παριστάνει κύκλο ;
β) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των παραπάνω κύκλων
γ) Να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του θ για την οποία η ευθεία ζ : x − y + 4 = 0 να εφάπτεται του κύκλου
110. Η εξίσωση 4x2
− 4(α + 1)x − β(β − 2) = 0 έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες . Να βρείτε :
α) τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(α , β)
β) την εφαπτόμενη του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου , η οποία άγεται από το σημείο Α(0 , 2)

65. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 65