μαθηματικα_προσανατολισμου_β λυκειου_ν_ράπτης

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος
Αναλυτική Θεωρία
500 Ασκήσεις
Επιμέλεια :
ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ

2. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2

3. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 3
Το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ,
δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
διατεταγμένα .
Ορισμός Διανύσματος
Μηδενικό λέγεται το διάνυσμα όπου η αρχή και το πέρας συμπίπτουν.
Το μηδενικό διάνυσμα παριστάνεται με σημείο και συμβολίζεται με 0�⃗
Αν ΑΒ�����⃗ ένα διάνυσμα , τότε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται μέτρο του διανύσματος και
συμβολίζεται με �ΑΒ�����⃗� .
Το μέτρο ενός διανύσματος είναι θετικός αριθμός , δηλαδή �ΑΒ�����⃗� ≥ 0 .
Το μηδενικό διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με το μηδέν .
Αν ένα διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με 1 , τότε το διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα .
Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα ΑΒ�����⃗
λέγεται φορέας του ΑΒ�����⃗ .
Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος ΑΑ�����⃗ μπορούμε να θεωρήσουμε
οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το Α .
Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ που έχουν τον ίδιον φορέα
ή παράλληλους φορείς , λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα
και τα συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ∥ ΓΔ����⃗ .
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση .
Παράλληλα ή Συγγραμμικά Διανύσματα
Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ λέγονται ομόρροπα όταν :
α) έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς
την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή
β) έχουν τον ίδιο φορέα και μια από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση και
συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ⇈ ΓΔ����⃗
Ομόρροπα και Αντίρροπα Διανύσματα
1. Η Έννοια του Διανύσματος

4. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 4
Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ λέγονται αντίρροπα όταν είναι
συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση
και συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ↑↓ ΓΔ����⃗
Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα αν είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα .
Δηλαδή : ΑΒ�����⃗ = ΓΔ����⃗ ⇔ �
ΑΒ�����⃗ ⇈ ΓΔ����⃗
και
�ΑΒ�����⃗� = �ΓΔ����⃗�
Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους .
Αν Μ το μέσο του διανύσματος ΑΒ�����⃗ τότε ισχύει ΑΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ και αντιστρόφως .
Ίσα Διανύσματα
Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα αν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα .
Δηλαδή : ΑΒ�����⃗ = −ΓΔ����⃗ ⇔ �
ΑΒ�����⃗ ↑↓ ΓΔ����⃗
και
�ΑΒ�����⃗� = �ΓΔ����⃗�
Ειδικότερα έχουμε ΑΒ�����⃗ = −ΒΑ�����⃗ ( αλλάζω την σειρά των γραμμάτων , αλλάζω ταυτόχρονα και το πρόσημο)
Αντίθετα Διανύσματα
Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ και β�⃗ . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε
τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και ΟΒ�����⃗ = β�⃗ .
Την κυρτή γωνία ΑΟ�Β που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ , την ονομάζουμε γωνία
των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και την συμβολίζουμε με �α��⃗ , β�⃗�
� ή �β�⃗ , α��⃗
�
�
Αν θ η γωνία των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ τότε ισχύουν :
α) 0 ≤ θ ≤ π
β) αν θ = 0 τότε α��⃗ ⇈ β�⃗
γ) αν θ = π τότε α��⃗ ↑↓ β�⃗
δ) αν θ =
π
2
τότε α��⃗ ⊥ β�⃗ και θα λέμε τα διανύσματα κάθετα ή ορθογώνια
Γωνία Δύο Διανυσμάτων

5. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 5
Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ και β�⃗ . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε
διάνυσμα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και στη συνέχεια παίρνουμε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ = β�⃗ .
Το διάνυσμα ΟΒ�����⃗ λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των
διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και συμβολίζεται με α��⃗ + β�⃗ .
Πρόσθεση Δύο Διανυσμάτων
Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με τον κανόνα του
παραλληλογράμμου . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα
ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , τότε το άθροισμα α��⃗ + β�⃗ ορίζεται από την
διαγώνιο ΟΜ του παραλληλογράμμου που έχει προσκείμενες πλευρές
τις ΟΑ και ΟΒ .
Αν α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ τρία διανύσματα , τότε ισχύουν :
α) α��⃗ + β�⃗ = β�⃗ + α��⃗ (Αντιμεταθετική Ιδιότητα )
β) � α��⃗ + β�⃗� + γ�⃗ = α��⃗ + �β�⃗ + γ�⃗� (Προσεταιριστική Ιδιότητα )
γ) α��⃗ + 0�⃗ = α��⃗
δ) α��⃗ + (−α���⃗) = 0�⃗
Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων
Η διαφορά α��⃗ − β�⃗ του διανύσματος β�⃗ από το διάνυσμα α��⃗ ,
ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων α��⃗ και −β�⃗ .
Δηλαδή : α��⃗ − β�⃗ = α��⃗ + �−β�⃗�
Αφαίρεση Δύο Διανυσμάτων
Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου . Τότε για κάθε σημείο του χώρου Μ ορίζεται το διάνυσμα ΟΜ������⃗ , το οποίο
λέγεται διάνυσμα θέσης του Μ ή διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ .
Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου , λέγεται
σημείο αναφοράς στο χώρο .
Διάνυσμα Θέσης
2. Πρόσθεση/Αφαίρεση Διανυσμάτων

6. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 6
ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗
Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με την διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον την διανυσματική ακτίνα
της αρχής . Πράγματι :
Έστω Ο σημείο αναφοράς , τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ ισχύει :
ΟΑ�����⃗ + ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ ⇔ ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗
Άρα :
Αν α��⃗ , β�⃗ δύο διανύσματα , τότε για το μέτρο αθροίσματος των διανυσμάτων ισχύει :
Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων
Στο διπλανό σχήμα φαίνεται στο άθροισμα δύο διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗
Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε :
|(ΟΑ) − (ΑΒ)| ≤ (ΟΒ) ≤ (ΟΑ) + (ΑΒ) ⇔ �|α��⃗| − �β�⃗�� ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ |α��⃗| + �β�⃗�
�|α��⃗| − �β�⃗�� ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ |α��⃗| + �β�⃗�

7. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 7
Ασκήσεις
1. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ της πλευράς ΒΓ . Να βρείτε τις γωνίες :
α. �ΑΒ�����⃗, ΑΓ�����⃗� � β. �ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗� � γ. �ΒΔ�����⃗ , ΔΓ����⃗� � δ. �ΒΓ����⃗ , ΓΔ����⃗� �
2. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ . Να βρείτε τις γωνίες :
α. �ΑΒ�����⃗, ΑΓ�����⃗� � β. �ΔΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗� � γ. �ΑΔ�����⃗ , ΓΔ����⃗� �
3. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του . Να βρείτε τις γωνίες :
α. �ΒΑ�����⃗, ΒΓ����⃗� � β. �ΑΒ�����⃗ , ΓΑ����⃗� � γ. �ΒΓ����⃗ , ΔΑ�����⃗� � δ. �ΒΑ�����⃗ , ΑΔ�����⃗� �
4. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα :
α. ΑΒ�����⃗ + ΓΔ����⃗ + ΒΓ����⃗
β. ΚΛ������⃗ + ΜΝ������⃗ + ΛΜ������⃗ + ΝΠ������⃗
γ. ΑΒ�����⃗ + ΔΑ�����⃗ + ΓΔ����⃗ + ΒΓ����⃗
δ. ΑΓ�����⃗ − ΒΔ�����⃗ − ΔΓ����⃗
ε. ΚΛ�����⃗ − ΝΜ������⃗ + ΝΚ�����⃗ − ΜΛ������⃗
5. Να εκφράσετε το διάνυσμα x�⃗ σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις :
6. Να εκφράσετε το διάνυσμα x�⃗ σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις :
7. Αν Ρ1Ρ2Ρ3Ρ4Ρ5Ρ6 ένα εξάγωνο , τότε να δείξετε ότι : Ρ1Ρ3
��������⃗ + Ρ2Ρ4
��������⃗ + Ρ3Ρ5
��������⃗ + Ρ4Ρ6
��������⃗ + Ρ5Ρ1
��������⃗ + Ρ6Ρ2
��������⃗ = 0�⃗
8. Αν ισχύει ΑΝ�����⃗ − ΓΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ + ΓΝ�����⃗ να δείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του ΑΒ .
9. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσο του ΑΓ. Να δείξετε ότι : ΜΒ������⃗ + ΜΔ������⃗ = ΑΒ�����⃗ − ΔΓ����⃗ .
10. Αν ισχύει ότι ΓΔ����⃗ = ΒΕ�����⃗ + ΓΑ����⃗ − ΔΕ�����⃗ να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται .
11. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο του Ο για το οποίο ισχύει ΑΓ�����⃗ + ΒΟ�����⃗ = ΒΔ�����⃗ − ΓΔ����⃗ . Να αποδείξετε ότι
τα σημεία Α και Ο συμπίπτουν .

8. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 8
12. Αν ισχύουν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ + β�⃗� ≥ 5 . Να δείξετε ότι τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ είναι ομόρροπα .
13. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ + β�⃗� = 4 , �β�⃗ + γ�⃗� = 8 . Να βρείτε
α. το �β�⃗� β. το |γ�⃗| γ. το |α��⃗ + γ�⃗|
14. Έστω τα σημεία Ο , Α , Β του επιπέδου . Αν �ΟΑ�����⃗� = 6 , �ΟΒ�����⃗� = 4 να δείξετε ότι 2 ≤ �ΑΒ�����⃗� ≤ 10 .
15. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ = 0�⃗ και
|α��⃗|
5
=
�β��⃗�
3
=
|γ��⃗|
2
.
Να δείξετε ότι : α. α���⃗ ↑↓ β�⃗ β. β�⃗ ↑↑ γ�⃗ .
16. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν α��⃗ + β�⃗ = γ�⃗ και
|α��⃗|
3
=
�β��⃗�
2
=
|γ��⃗|
5
.
Να δείξετε ότι : α. α���⃗ ↑↑ β�⃗ β. β�⃗ ↑↑ γ�⃗ .
17. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 5 , |γ�⃗| = 4 . Να δείξετε ότι :
α. 3 ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ 7
β. α��⃗ + β�⃗ − 2γ�⃗ ≠ 0�⃗
18. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 3κ − 5 , �β�⃗� = 5κ − 8 , �α��⃗ + β�⃗� = κ2
+ 3 .
Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ .

9. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 9
Αν 𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗ δύο διανύσματα με 𝛃𝛃��⃗ ≠ 𝟎𝟎��⃗ , τότε :
𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛂𝛂��⃗ = 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗ , 𝛌𝛌 ∈ ℝ
Έστω λ ένας μη μηδενικός αριθμός και το μη μηδενικό διάνυσμα α��⃗ .
Ονομάζουμε γινόμενο του αριθμού λ με το 𝛂𝛂��⃗ και το συμβολίζουμε με λ ∙ α��⃗ ή λα��⃗ ένα διάνυσμα το οποίο :
α) είναι ομόρροπο του α��⃗ αν λ > 0 , 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼ί𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏 α��⃗ αν λ < 0
β) έχει μέτρο |λ||α��⃗|
Αν είναι λ = 0 ή α��⃗ = 0�⃗ τότε ορίζουμε λα��⃗ = 0�⃗
Ορισμός Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα
Αν α��⃗ , β�⃗ δύο διανύσματα και λ , μ δύο πραγματικοί αριθμοί , τότε ισχύουν οι ιδιότητες :
α) λ�α��⃗ + β�⃗� = λα��⃗ + λβ�⃗
β) (λ + μ)α��⃗ = λα��⃗ + μα��⃗
γ) λ(μα��⃗) = (λμ)α��⃗
Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα
Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗ ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής v�⃗ = κα��⃗ + λβ�⃗ ,
όπου κ , λ πραγματικοί αριθμοί .
Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων
Συνθήκη Παραλληλίας δύο διανυσμάτων
ΠΡΟΣΟΧΗ : Για να αποδείξουμε ότι τρία σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά , αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ ,
δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ�����⃗ = λΒΓ����⃗
3. Πολλαπλασιασμός αριθμού με Διάνυσμα

10. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 10
Αν Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς , τότε 𝚶𝚶𝚶𝚶�������⃗ =
𝚶𝚶𝚶𝚶������⃗ + 𝚶𝚶𝚶𝚶������⃗
𝟐𝟐
Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος
Θεωρούμε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ , το μέσο του Μ , καθώς και ένα σημείο αναφοράς Ο.
Αφού Μ μέσο του ΑΒ�����⃗ τότε θα ισχύει :
ΑΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ ⇔ ΟΜ������⃗ − ΟΑ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΜ������⃗ ⇔ 2ΟΜ������⃗ = ΟΑ�����⃗ + ΟΒ�����⃗ ⇔ ΟΜ������⃗ =
ΟΑ������⃗ + ΟΒ������⃗
2

11. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 11
Ασκήσεις
19. Αν ΟΑ�����⃗ = α��⃗ , ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = 2α��⃗ − 3β�⃗ , να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ , ΓΒ����⃗ με την βοήθεια των α��⃗ , β�⃗ .
20. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ . Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα και ΑΒ�����⃗ = 3α��⃗ , ΑΔ������⃗ = 4β�⃗ ,
να βρεθούν τα διανύσματα ΑΜ������⃗ και ΜΝ������⃗ .
21. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΑΔ . Να εκφράσετε τα διανύσματα ΒΜ������⃗ και ΜΓ������⃗
ως συνάρτηση των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΒΓ����⃗ = β�⃗ .
22. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω σημείο Ε στην πλευρά ΑΒ ώστε ΑΕ = 3ΒΕ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΔ������⃗ = β�⃗
να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ�����⃗ , ΔΕ�����⃗ , ΓΕ����⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ .
23. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ευθείας ΒΓ ώστε τα Δ , Γ να βρίσκονται εκατέρωθεν του Β και να
ισχύει 3ΒΔ = 2ΒΓ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ������⃗ = β�⃗ , να εκφράσετε το διάνυσμα ΑΔ������⃗ ως συνάρτηση
των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ .
24. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ , ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ και ΟΔ�����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ . Να δείξετε ότι ΑΓ�����⃗ + ΔΒ�����⃗ ∥ ΑΒ�����⃗ .
25. Αν ισχύει ότι ΑΔ�����⃗ = 3ΑΒ�����⃗ + 5ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 3ΑΓ�����⃗ να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ .
26. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 8ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 3ΑΒ�����⃗ + 10ΑΓ�����⃗ .
Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ .
27. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 2ΑΒ�����⃗ + 5ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 2ΑΓ�����⃗ .
α. Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ�����⃗ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ�����⃗ και ΑΓ�����⃗
β. Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 4ΑΒ�����⃗ − 9ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = ΑΒ�����⃗ − 6ΑΓ�����⃗ .
Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ .
29. Θεωρούμε τα διανύσματα u�⃗ = 4α��⃗ − 3β�⃗ και v�⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ . Να αποδείξετε ότι :
α. το διάνυσμα γ�⃗ = u�⃗ + 3v�⃗ είναι ομόρροπο με το α��⃗
β. το διάνυσμα δ�⃗ = u�⃗ − 2v�⃗ είναι αντίρροπο με το β�⃗ .
30. Αν οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α , Β , Γ , Δ είναι αντίστοιχα α��⃗ , β�⃗ , 4α��⃗ − β�⃗ , α��⃗ + 2β�⃗ να δείξετε ότι
τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ είναι ομόρροπα .
31. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΔΓ����⃗ = α��⃗ , ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + β�⃗ και ΒΔ�����⃗ = −2α��⃗ + β�⃗ είναι τραπέζιο .
32. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = β�⃗ , ΑΔ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ είναι τραπέζιο .
33. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = β�⃗ , ΑΔ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ . Να αποδείξετε ότι :
α. το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο .
β. το διάνυσμα u�⃗ = ΒΓ����⃗ − ΑΔ�����⃗ είναι ομόρροπο με το β�⃗ .
34. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ − 3β�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ και ΟΔ�����⃗ = 6α��⃗ + 7β�⃗ . Να δείξετε ότι
τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ είναι ομόρροπα .

12. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 12
35. Δίνεται στο παρακάτω σχήμα ότι ΑΒ�����⃗ = α��⃗ , ΒΓ������⃗ = β�⃗ , ΓΔ����⃗ = 2α��⃗ και ΔΕ�����⃗ = 2β����⃗ .
Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Γ , Ε είναι συνευθειακά .
36. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ , ΟΓ������⃗ = 3α��⃗ − 5β�⃗.
Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
37. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 5α��⃗ + 3β�⃗ + 4γ��⃗ , ΟΓ������⃗ = 13α��⃗ + 7β�⃗ + 10γ�⃗ .
Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
38. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ + 5γ�⃗ , ΟΒ�����⃗ = −α��⃗ + 3β�⃗ + 4γ��⃗ , ΟΓ������⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ + 6γ�⃗ .
Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
39. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ , ΑΓ�����⃗ = 5α��⃗ − β�⃗ . Αν Δ σημείο τέτοιο ώστε ΑΔ�����⃗ = 11α��⃗ − 5β�⃗ , να δείξετε
ότι τα σημεία Β , Γ , Δ είναι συνευθειακά .
40. Αν ισχύει 4ΜΑ������⃗ + 5ΜΒ������⃗ − 9ΜΓ������⃗ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
41. Αν ισχύει 9ΟΑ�����⃗ − 7ΟΒ�����⃗ − 2ΟΓ�����⃗ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
42. Αν ισχύει ΜΑ������⃗ + 5ΡΑ����⃗ = 3ΡΜ������⃗ + 2ΡΒ�����⃗ − 4ΓΜ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
43. Αν ισχύει 2ΑΛ�����⃗ + 3ΒΛ�����⃗ + 2ΜΒ������⃗ = ΑΚ�����⃗ + ΑΜ������⃗ + ΒΚ�����⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ , Λ , Μ είναι συνευθειακά .
44.Αν ισχύει 5ΡΛ����⃗ = 2ΡΚ�����⃗ + 3ΡΜ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ ,Λ ,Μ είναι συνευθειακά .( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
45. Αν ισχύει (κ + 2)ΜΑ������⃗ + 3ΜΒ������⃗ = (κ + 5)ΜΓ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
46. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε , Ζ σημεία τέτοια ώστε ΑΕ�����⃗ =
2
5
ΑΔ�����⃗ , ΑΖ�����⃗ =
2
7
ΑΓ�����⃗ .
α. Να γράψετε τα διανύσματα ΕΖ����⃗ , ΖΒ����⃗ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ�����⃗ και ΑΔ�����⃗
β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β , Ζ , Ε είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
47. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΔ������⃗ = β�⃗ . Θεωρούμε σημεία Ε , Ζ στην ΑΔ και στην διαγώνιο ΑΓ
αντίστοιχα τέτοια , ώστε ΑΕ�����⃗ =
1
3
ΑΔ�����⃗ , ΑΖ�����⃗ =
1
4
ΑΓ�����⃗ . Να αποδείξετε ότι :
α. ΑΖ�����⃗ =
1
4
�α��⃗ + β�⃗�
β. ΕΖ����⃗ =
1
4
�α��⃗ −
1
3
β�⃗� και να υπολογίσετε το ΕΒ�����⃗ με την βοήθεια των α��⃗ , β�⃗ .
γ. τα σημεία Ε , Ζ , Β είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
48. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΒΓ������⃗ = β�⃗ και ΓΔ = 3 ΑΒ . Αν Ε σημείο της διαγωνίου ΑΓ ώστε ΕΓ = 3ΕΑ
α. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ , ΒΕ�����⃗ και ΒΔ������⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ .
β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β , Δ , Ε είναι συνευθειακά .

13. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 13
49. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ .Πάνω στα τμήματα ΑΒ , ΑΜ και ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Δ , Ε ,Ζ
αντίστοιχα ώστε ΑΔ =
1
2
ΑΒ , ΑΕ =
1
3
ΑΜ , ΑΖ =
1
4
ΑΓ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ������⃗ = β�⃗ τότε :
α. Να εκφράσετε συναρτήσει των α��⃗ , β�⃗ τα διανύσματα ΔΕ�����⃗ , ΔΖ����⃗
β. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ , Ε , Ζ είναι συνευθειακά .
50. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε , Ζ μέσα των ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΑΕ�����⃗ + ΑΖ�����⃗ =
3
2
ΑΓ�����⃗
51. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Δ στη ΒΓ . Αν Κ , Λ , Μ μέσα των ΒΔ , ΔΓ και ΒΓ αντίστοιχα τότε
να δείξετε ότι ΑΚ�����⃗ + ΑΛ�����⃗ − ΑΜ������⃗ = ΑΔ�����⃗ .
52. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ , Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα .
Να δείξετε ότι ΑΒ�����⃗ + ΑΔ�����⃗ + ΓΒ����⃗ + ΓΔ����⃗ = 4ΜΝ������⃗ . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )
53. Έστω ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΔΓ ) με ΔΓ =
4
3
ΑΒ . Θεωρούμε το σημείο Ε με ΑΕ�����⃗ =
1
3
ΑΒ�����⃗ και ονομάζουμε Ζ
το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΔΕ . Να δείξετε ότι ΑΖ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ .
54. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ΔΕ = 2ΕΒ .
α .Να εκφράσετε συναρτήσει των α��⃗ , β�⃗ τα διανύσματα ΔΒ�����⃗ , ΕΒ�����⃗ , ΓΒ����⃗ , ΑΕ�����⃗ , ΕΓ����⃗
β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Ε , Γ είναι συνευθειακά . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )
55. Δίνονται τα σημεία Α , Β , Γ . Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα 3ΜΑ������⃗ − 5ΜΒ������⃗ + 2ΜΓ������⃗
είναι σταθερό . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )

14. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 14
Αν σε μια ευθεία x’x επιλέξουμε δύο σημεία Ο και Ι ώστε το διάνυσμα ΟΙ����⃗ = i⃗ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται
στην ημιευθεία Οx , τότε λέμε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα 𝐢𝐢⃗
Άξονας
Οι ημιευθείες Οx και Οx’ λέγονται αντίστοιχα
θετικός και αρνητικός ημιάξονας .
Για κάθε σημείο Μ του άξονα x’x ισχύει ΟΜ������⃗ ∥ i⃗ , οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παραλληλίας θα υπάρχει
μοναδικός πραγματικός αριθμός x έτσι ώστε να ισχύει ΟΜ������⃗ = x ∙ i⃗
Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του σημείου Μ και το σημείο το συμβολίζουμε με M(x)
Θεωρούμε σε ένα επίπεδο δύο κάθετους άξονες x’x και y’y με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα i⃗και j⃗
αντίστοιχα . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ή ένα ορθοκανονικό
σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy .
Καρτεσιανό Επίπεδο
Αν Μ τυχαίο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου και φέρουμε παράλληλη
στον y’y που τέμνει τον x’x στο Μ1 και παράλληλη στον x’x που τέμνει
τον y’y στο Μ2 , τότε η τετμημένη x του Μ1 λέγεται τετμημένη του Μ και
η τετμημένη y του Μ2 λέγεται τεταγμένη του Μ .
Οι μοναδικοί αριθμοί x , y λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ και
συμβολίζονται με Μ(x , y)
Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α��⃗ ένα
διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο παίρνουμε ΟΑ�����⃗ = α��⃗ .
Αν Α1 και Α2 οι προβολές του Α πάνω στους άξονες , τότε ισχύει :
ΟΑ�����⃗ = ΟΑ1
�������⃗ + ΟΑ2
��������⃗ ⇔ α��⃗ = x ∙ i⃗ + y ∙ j⃗
Τα διανύσματα x ∙ i⃗ και y ∙ j⃗ λέγονται συνιστώσες του 𝛂𝛂��⃗ κατά την
διεύθυνση των i⃗και j⃗ αντίστοιχα .
Οι αριθμοί x , y λέγονται συντεταγμένες του 𝛂𝛂��⃗
Συντεταγμένες Διανύσματος
4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο
𝛂𝛂��⃗ = 𝐱𝐱 ∙ 𝐢𝐢⃗ + 𝐲𝐲 ∙ 𝐣𝐣⃗ ⇔ 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱 , 𝐲𝐲)

15. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 15
Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες Μ �
𝐱𝐱 𝟏𝟏+𝐱𝐱 𝟐𝟐
𝟐𝟐
,
𝐲𝐲𝟏𝟏+𝐲𝐲𝟐𝟐
𝟐𝟐
�
Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε 𝚨𝚨𝚨𝚨�����⃗ = (𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏)
Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες .
Ίσα Διανύσματα
Δηλαδή : Αν α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) τότε ∶ α��⃗ = β�⃗ ⇔ �
x1 = x2
y1 = y2
Αν α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) τότε έχουμε :
α) α��⃗ + β�⃗ = (x1 + x2 , y1 + y2 )
β) α��⃗ − β�⃗ = (x1 − x2 , y1 − y2 )
γ) λα��⃗ = (λx1 , λy1)
δ) λα��⃗ + μβ�⃗ = (λx1 + μx2 , λy1 + μy2 )
Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων
Συντεταγμένες μέσου τμήματος
Έστω M(x , y) μέσο του ΑΒ .
Τότε θα ισχύει ΟΜ������⃗ =
ΟΑ������⃗ + ΟΒ������⃗
2
(1) με ΟΜ������⃗ = (x , y) , ΟA�����⃗ = (x1 , y1)
και ΟΒ�����⃗ = (x2 , y2) .
Η (1)⇒ (x , y) =
(x1 ,y1)+(x2 ,y2)
2
⇔ (x , y) =
(x1+x2 , y1+y2)
2
⇔ (x , y) = �
x1+x2
2
,
y1+y2
2
� ⇔ �
x =
x1+x2
2
και
y =
y1+y2
2
Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα
Πράγματι : ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗ ⇔ ΑΒ�����⃗ = (x2 , y2) − (x1 , y1) ⇔ ΑΒ�����⃗ = (x2 − x1 , y2 − y1)

16. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 16
Αν 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱 , 𝐲𝐲) τότε |𝛂𝛂��⃗| = �𝐱𝐱𝟐𝟐 + 𝐲𝐲 𝟐𝟐
Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε η απόσταση των δύο σημείων είναι : (𝐀𝐀𝐀𝐀) = �(𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏)𝟐𝟐 + (𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏)𝟐𝟐
Αν 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και 𝛃𝛃��⃗ = (𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε ισχύει η ισοδυναμία :
𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝� 𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗� = 𝟎𝟎 ⇔ �
𝐱𝐱𝟏𝟏 𝐲𝐲𝟏𝟏
𝐱𝐱𝟐𝟐 𝐲𝐲𝟐𝟐
� = 𝟎𝟎
Μέτρο διανύσματος
Έστω το διάνυσμα α��⃗ = (x , y) και Α σημείο με ΟA�����⃗ = α��⃗ .
Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΑ1 έχουμε :
(ΟΑ)2
= (ΟΑ1)2
+ (ΑΑ1)2
⇔ (ΟΑ)2
= (ΟΑ1)2
+ (ΟΑ2)2
⇔ |α��⃗|2
= x2
+ y2
⇔ |α��⃗| = �x2 + y2
Απόσταση δύο σημείων
Έστω τα σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) , τότε οι συντατεγμένες του διανύσματος
ΑΒ�����⃗ = (x2 − x1 , y2 − y1) , άρα θα έχει μέτρο :
�ΑΒ�����⃗� = (ΑΒ) = �(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων

17. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 17
Συντελεστής διεύθυνσης Διανύσματος
Έστω το διάνυσμα α��⃗ = (x , y) και Α σημείο με ΟA�����⃗ = α��⃗ .
Τη γωνία φ που διαγράφει ο θετικός ημιάξονας Ox αν στραφεί γύρω
από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ ,
την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα 𝛂𝛂��⃗ με τον άξονα x’x .
Από τον ορισμό της γωνίας προκύπτει ότι 0 ≤ φ < 2𝜋𝜋
Το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος α��⃗ = (x , y) με x ≠ 0 ,
το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του α��⃗ και τον συμβολίζουμε με λα��⃗ ή λ .
Ισχύουν :
α) α��⃗ ∥ x′
x ⇔ λα��⃗ = 0 αφού y = 0
β) α��⃗ ∥ y′
y ⇔ λα��⃗ = δεν ορίζεται , αφού x = 0
Κριτήριο Παραλληλίας Διανύσματος
Θεωρούμε τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) . Τότε έχουμε :
α��⃗ ∥ β�⃗ ⇔ det�α��⃗ , β�⃗� = 0 ⇔ �
x1 y1
x2 y2
� = 0 ⇔ x1 ∙ y2 − x2 ∙ y1 = 0 ⇔ x1 ∙ y2 = x2 ∙ y1 ⇔
y1
x1
=
y2
x2
⇔ λ1 = λ2 .
𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ =
𝐲𝐲
𝐱𝐱
𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ = 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗

18. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 18
Ασκήσεις
56. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 , 4) , β�⃗ = (−1 , 3).
Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α��⃗ + β�⃗ , α��⃗ − β�⃗ , 2α��⃗ − 3β�⃗ , 3α��⃗ + 4β�⃗ .
1. Πράξεις με Συντεταγμένες
57. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (3 , 1) , β�⃗ = (5 , 1) και γ�⃗ = (−1 , 1) .
Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v�⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ + γ�⃗
58. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (−2 , 3) , β�⃗ = (1 , − 1) και γ�⃗ = (3 , −2)
Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α��⃗ + 2β�⃗ , 2α��⃗ − γ�⃗ και α��⃗ − β�⃗ +
1
2
γ�⃗ .
2. Μηδενικό Διάνυσμα
59. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε το διάνυσμα u�⃗ = (κ2
+ κ − 2 , 3λ − 3)
να είναι το μηδενικό διάνυσμα .
60. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε το διάνυσμα u�⃗ = (κ2
− 5κ + 6 , κ − 2)
να είναι το μηδενικό διάνυσμα .
61. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (κ , 2κ − λ) , β�⃗ = (2λ , 4)
να είναι ίσα .
3. Ισότητα Διανυσμάτων – Αντίθετα Διανύσματα
62. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (κ − 1 , λ − 2) , β�⃗ = (λ , 2κ − 1)
να είναι αντίθετα .
63. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (λ2
− 3λ + 2 , 2λ2
− 3λ − 2) και
β�⃗ = (λ2
− 5λ + 6 , −3λ2
+ 7λ − 2) να είναι ίσα . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )
64. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί λ , μ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (2λ + μ)i⃗ + (λ − 3μ + 1)j⃗ και
β�⃗ = (2μ + 5)i⃗ + (4λ − μ + 1)j⃗ να είναι ίσα .
65. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ2
− 4 , λ + 2) , λ ∈ ℝ . Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε :
α. α��⃗ = 0�⃗ β. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x γ. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ y′y
4. Παραλληλία Διανύσματος με Άξονες
66. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ2
− 4 , λ2
− 3λ + 2 ) , λ ∈ ℝ . Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε :
α. α��⃗ = 0�⃗ β. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )
67. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (x , 1) και β�⃗ = (−y2
+ 4y − 5 , x + 2) . Να βρείτε τις τιμές των x , y αν :
α. α��⃗ − β�⃗ ∥ x′x β. α��⃗ + 2β�⃗ = −20i⃗ + 9j⃗
68. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (λ2
+ 3λ , λ2
− 9) και β�⃗ = (λ − 5 , 3λ − 1) με λ ∈ ℝ . Να βρείτε τις τιμές του λ αν :
α. τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ είναι αντίθετα
β. το διάνυσμα α��⃗ είναι το μηδενικό διάνυσμα
γ. είναι α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x
δ. είναι α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ y′y

19. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 19
69. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (κ − 1 , −2) και β�⃗ = (λ − 2 , κ) . Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ , λ
ώστε να ισχύει 3α��⃗ − 2β�⃗ = 0�⃗
5. Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων
70. Δίνονται τα διανύσματα u�⃗ = (−1 ,3) , v�⃗ = (2 , 1) . Να γραφεί το διάνυσμα w���⃗ = (4 , 16) σαν γραμμικό
συνδυασμό των διανυσμάτων u�⃗ και v�⃗ .
71. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 ,3) , β�⃗ = (−1 , 2) . Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = (4 , 13) σαν γραμμικό
συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ .
72. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2λ + 1 , −2) , β�⃗ = (1 , 2) και γ�⃗ = (λ , μ) με λ , μ ∈ ℝ . Να βρεθούν τα λ , μ
ώστε να ισχύει α��⃗ + 2β�⃗ − γ�⃗ = 0�⃗ .
73. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = xi⃗ + yj⃗ και β�⃗ = (y − 2)i⃗ + (x + 6)j⃗ με x , y ∈ ℝ
για τα οποία ισχύει 2α��⃗ − 3β�⃗ = (−7 , −6) .
α. Να βρείτε τις τιμές των x , y
β. Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = −10 i⃗+ 4 j⃗σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ .
74. Δίνονται τα σημεία Α(2 , 8) και Β(6 , −4) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ .
6. Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος
75. Δίνεται το τμήμα ΚΛ με Λ(4 , 3) και το μέσο Ν(−2 , 6) του ΚΛ . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Κ .
76. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(1 , −2) ως προς το Β(−1 , 3) .
77. Δίνονται τα σημεία Α(λ , 2κ − 4) , Β(−2λ − κ , 3λ − κ) και Μ(κ , λ − 1) με κ , λ ∈ ℝ .
Να βρείτε τις τιμές των κ , λ ώστε το Μ να είναι το μέσο του ΑΒ .
78. Δίνονται οι κορυφές Α(1 , 3) , Β(5 ,3) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ . Αν το σημείο τομής των διαγωνίων του
είναι το Κ(3 , 7) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ .
79. Δίνονται οι κορυφές Α(2 , 3) , Β(4 , −1) και Γ(0 , 5) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ
80. Δίνεται κύκλος με κέντρο Κ(−3 , 2) , διαμέτρου ΑΒ με Α(1 , 3) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β .
81. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(1 , 2) , Λ(3 , 5) και Μ(2 , −4) . Να βρεθούν οι
συντεταγμένες των κορυφών Α , Β , Γ του τριγώνου ΑΒΓ .
82. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(−2 , −2) , Λ(−1 , 0) και Μ(2 , −1) . Να βρεθούν
οι συντεταγμένες των κορυφών Α , Β , Γ του τριγώνου ΑΒΓ .
83. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης
x2
− (λ2
+ 3λ − 5)x − 10 = 0 . Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ , ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ
να έχει τετμημένη ίση με −
1
2
.

20. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 20
84. Αν Λ(2 , −5) και Μ(3 , 4) να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΛΜ������⃗
7. Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα
85. Αν ΚΛ�����⃗ = (−1 , 4) και Λ(2 , 5) να βρείτε τις συντεταγμένες του Κ .
86. Έστω το σημείο Α(−1 , 2) . Να βρείτε :
α. το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ όταν Β(−3 , 0)
β. το Γ αν είναι ΑΓ�����⃗ = (−3 , −5)
γ. το Δ όταν ισχύει 2ΑΔ�����⃗ − 3ΔΕ�����⃗ = 0���⃗ και Ε(3 , −1)
86. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 2) και Β(3 , 8) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ ώστε να είναι ΑΓ�����⃗ = 2ΑΒ�����⃗
87. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 1) , Β(2 , 0) και Γ(2 , −3) . Να βρεθούν οι συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ������⃗
καθώς και του σημείου Δ για το οποίο ισχύει ΒΔ�����⃗ = ΑΓ�����⃗ .
88. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−2 , 0) , Β(1 , −3 ) και Γ(2 , 1) . Αν ΑΜ������⃗ = 2ΜΒ������⃗ και ΑΔ διάμεσος , να βρείτε τις
συντεταγμένες του διανύσματος ΜΔ������⃗ .
88. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1 , 5) , Β(7 , 3) και ΑΚ�����⃗ = (1 , −4) όπου Κ το κέντρο του . Να βρείτε τις
συντεταγμένες των Κ , Γ και Δ .
89. Δίνονται τα σημεία Α(λ , 3μ+2) , Β(μ , λ − 6) και το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ = (4 , −14) . Να βρείτε :
α. τα λ , μ
β. ένα σημείο Μ ώστε να ισχύει ΑΜ������⃗ = 3ΒΜ������⃗ .
90. Δίνονται τα σημεία Α(x , y) , Β(x+2y , x+1) και Γ(y − 3 , 2x − 4) .
α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x , y αν ισχύει AB�����⃗ + AΓ�����⃗ = (−12 , 10)
β. Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = (−4 , 14) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων ΑΓ�����⃗ και ΒΓ����⃗
91. Αν α��⃗ = (−1 , 2) και β�⃗ = (3 , −2) να υπολογίσετε τα μέτρα |−2α��⃗| και �3α��⃗ − 2β�⃗�
8. Μέτρο Διανύσματος – Απόσταση Δύο Σημείων
92.Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ αν για το διάνυσμα β�⃗ = (1 − λ , λ − 3) ισχύει �β�⃗� = 10 .
93. Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ αν για το διάνυσμα α��⃗ = (λ , λ + 1) ισχύει |−3α��⃗| = 15 .
94. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α��⃗ για το οποίο ισχύει α��⃗ = (|α��⃗| − 4 , 8)
95. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2 , 1) , Β(3 , −2) , Γ(7 , −4) .
α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος v�⃗ = −4ΑΓ�����⃗ + 7ΒΓ����⃗
β. Αν Μ μέσο του ΒΓ να βρείτε το μέτρο της διαμέσου ΑΜ������⃗
96. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−2 , −2) , Β(3 , 0) , Γ(−1 , 3) . Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του καθώς και τα
μήκη των διαμέσων του .
97. Έστω τα σημεία Α(8 , −2) , Β(0 , 6) και Γ(2 , 0) . Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές
και να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΔ .
98. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−3 , −3) , Β(−1 , 3) και Γ(11 , −1 ) είναι ορθογώνιο .
99. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1 , 1) , Γ(4 , 3) , Δ(2 , 3) . Να βρείτε :
α. τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ
β. συντεταγμένες του κέντρου Κ του ΑΒΓΔ καθώς και της κορυφής Β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )

21. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 21
100. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , 6) και Β(−9 , −2) . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x’x το οποίο να ισαπέχει
από τα Α και Β .
101. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , 2) και Β(3 , 1) . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα y’y το οποίο να ισαπέχει
από τα Α και Β .
102. Δίνονται τα σημεία Α(−2 , −5) και Β(3 , −4 ). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x’x τέτοιο ώστε το
τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ .
103. Δίνονται τα σημεία Α(x , −2) , Β(16 , x + 2) και Γ(5 , x) . Να βρείτε το x ∈ ℝ αν ισχύει �2ΑΒ�����⃗ + 3ΒΓ����⃗� = �ΑΓ�����⃗�
104. Δίνονται τα σημεία A(λ , 1) και Β(−1 , λ + 3) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ αν ισχύει (ΑΒ)=5 .
105. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (−6 , 8) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , παράλληλο του α��⃗ , με �β�⃗� = 5
106. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (2 , −1) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , αντίρροπο του α��⃗ , με �β�⃗� = 4√3
107. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (2 , −3) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , αντίρροπο του α��⃗ , με �β�⃗� = 3
108. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 1 , 3) και β�⃗ = (2λ − 2 , λ) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ∥ β�⃗
9. Παραλληλία Διανυσμάτων
109. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 1 , 1) και β�⃗ = (1 , 2λ − 1) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ∥ β�⃗
110. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ , −8) και β�⃗ = (−1 , λ − 2) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ↑↑ β�⃗
111. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (1 , λ − 1) και β�⃗ = (λ − 1 , 9) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ↑↓ β�⃗
112. Έστω τα σημεία Α(−3 , −2) , Β(2 , κ) , Γ(5 , −3) και Δ(4 , κ) . Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε ΑΒ�����⃗ ∥ ΓΔ����⃗
113. Έστω τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ για τα οποία ισχύουν 3α��⃗ + 2β�⃗ = (−2 , 9) και α��⃗ − 2β�⃗ = (10 , −5) .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α��⃗ και β�⃗
β. Να γραφεί το διάνυσμα γ�⃗ = (4 , 7) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗
γ. Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (λ , 6 − λ) να είναι παράλληλο στο διάνυσμα α��⃗ − β�⃗ .
114. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ , 1 − λ) , β�⃗ = (λ + 1 , 2) και γ�⃗ = (6 , −10) . Αν ισχύει �α��⃗ + β�⃗� ∥ γ�⃗ τότε :
α. να βρείτε τον αριθμό λ
β. να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5α��⃗ − 6β�⃗
γ. να γράψετε το διάνυσμα u�⃗ = 3 j⃗ σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗
115. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (2 , 3) , β�⃗ = (−10 , 2) και γ�⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ . Να βρείτε :
α. το μέτρο του διανύσματος γ�⃗
β. τον αριθμό λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (λ , 1 − λ) να είναι παράλληλο στο γ�⃗
10. Συνευθειακά Σημεία
116. Να δείξετε ότι τα σημεία Α(−1 , 2) , Β(1 , 1) και Γ(−3 , 3) είναι συνευθειακά .
117. Δίνονται τα σημεία Α(8 , −6) , Β(−2 , −2) και Γ(−7 , 0) .
α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .
β. Να βρεθούν τα κ , λ ∈ ℝ ώστε να ισχύουν ΑΓ�����⃗ = λΓΒ����⃗ και ΑΒ�����⃗ = κΑΓ�����⃗

22. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 22
118. Δίνονται τα σημεία Α(0 , 4) , Β(κ , −2) και Γ(−2 , 2) . Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ
να είναι συνευθειακά .
119. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , λ − 1) , Β(3 , λ + 3) και Γ(λ2
, 2) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ
να είναι συνευθειακά .
120. Δίνονται τα σημεία Α(1 , −4) και Β(4 , 2) . Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x’x ώστε τα σημεία Α , Β , Γ
να είναι συνευθειακά .
121. Δίνονται τα σημεία Α(α + 1 , 3) , Β(α , 4) και Γ(−4 , 5α + 4) , α ∈ ℝ .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗
β. Να βρείτε για ποια τιμή του α τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά
γ. Για α = 1 , να βρείτε τον αριθμό λ ώστε να ισχύει ΑΓ�����⃗ = λ ΑΒ�����⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
122. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1 , −1) , Β(2 , 1) και Γ(−1 , 5) είναι κορυφές τριγώνου
123. Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = 2i⃗+ 4j⃗, ΟΒ�����⃗ = 3i⃗+ j⃗ , ΟΓ�����⃗ = 5i⃗ − 5j⃗ .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗
β. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α , Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
124. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 1) , Β(−3 , 3) και Γ(3 , 1) .
α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι κορυφές τριγώνου .
β. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ από το Β , όπου ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ
125. Δίνονται τα σημεία Α(λ − 1 , −2) , Β(−1 , 0) και Γ(λ − 3 , 2λ) .
α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ να σχηματίζουν τρίγωνο .
β. Για λ = −1 , να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ
126. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 2) , Β(7 , 0) και Γ(1 , 4) . Αν Δ μέσο της διαμέσου ΑΜ και σημείο Ε για το
οποίο ισχύει 2 ΑΕ�����⃗ = ΕΓ����⃗ , τότε :
α. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Δ και Ε
β. να δείξετε ότι τα σημεία Β , Δ , Ε είναι συνευθειακά .
127. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης :
α. του διανύσματος α��⃗ = (2 , −6)
β. του διανύσματος ΑΒ�����⃗ με Α(2 , −4) και Β(−3 , 6)
11. Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος
128. Δίνονται τα σημεία Α(λ , λ − 1) , Β(5 , −2λ) με λ ≠ 5 . Να βρείτε το λ ∈ ℝ αν το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ έχει
συντελεστή διεύθυνσης ίσο με −4 .
129. Τα διανύσματα α��⃗ = (κ , μ + 4) και β�⃗ = (μ , κ − 9) με κ , μ ≠ 0 έχουν συντελεστές διεύθυνσης 2 και −3
αντίστοιχα . Να βρείτε :
α. τις τιμές των κ και μ
β. τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος γ�⃗ = 3α��⃗ − 2β�⃗
130. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα α��⃗ = �√3 , 3�
131. Αν Α(7 , −1) , Β(4 , 2) να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα ΑΒ�����⃗
132. Αν Α(3 , 0) , Β�0 , −√3� να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα ΑΒ�����⃗

23. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 23
133. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ , λ2
− 6) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα α��⃗ να σχηματίζει γωνία
3π
4
με
τον άξονα x’x .
134. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (λ , λ − 5) , β�⃗ = (λ − 3 , 6) για τα οποία ισχύει �α��⃗ + β�⃗� = √5 .
α. Να δείξετε ότι λ = 1
β. Θεωρούμε επίσης το διάνυσμα γ�⃗ = 4α��⃗ + 3β�⃗
β1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα γ�⃗
β2. Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (κ , κ − 6) να είναι παράλληλο στο γ�⃗

24. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 24
𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ = |𝛂𝛂��⃗| ∙ �𝛃𝛃��⃗� ∙ 𝛔𝛔𝛔𝛔𝛔𝛔�𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗�
𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ = 𝐱𝐱𝟏𝟏 ∙ 𝐱𝐱𝟐𝟐 + 𝐲𝐲𝟏𝟏 ∙ 𝐲𝐲𝟐𝟐
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και το συμβολίζουμε με α��⃗ ∙ β�⃗
τον πραγματικό αριθμό :
Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου
Αν α��⃗ = 0�⃗ ή β�⃗ = 0�⃗ τότε ορίζουμε α��⃗ ∙ β�⃗ = 0
− Άμεσες συνέπειες του ορισμού :
α) α��⃗ ∙ β�⃗ = β�⃗ ∙ α��⃗
β) α��⃗ ⊥ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = 0
γ) α��⃗ ↑↑ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = |α��⃗| ∙ �β�⃗�
δ) α��⃗ ↑↓ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = −|α��⃗| ∙ �β�⃗�
ε) α��⃗2
= |α��⃗|2
αφού α��⃗2
= α��⃗ ∙ α��⃗ = |α��⃗| ∙ |α��⃗| ∙ συν(α��⃗ , α��⃗) = |α��⃗|2
∙ 1 = |α��⃗|2
Θεωρούμε τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε : α��⃗ ∙ β�⃗ = x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2
Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου
α) (𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗) ∙ 𝛃𝛃��⃗ = 𝛂𝛂��⃗ ∙ �𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗� = 𝛌𝛌�𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗�
Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου
Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε :
(λα��⃗) ∙ β�⃗ = (λx1 , λy1) ∙ (x2 , y2) = (λx1)x2 + (λy1)y2 = λ(x1x2 + y1y2) = λ�α��⃗ ∙ β�⃗�
α��⃗ ∙ �λβ�⃗� = (x1 , y1) ∙ (λx2 , λy2) = x1(λx2) + y1(λy2) = λ(x1x2 + y1y2) = λ�α��⃗ ∙ β�⃗�
Άρα (λα��⃗) ∙ β�⃗ = α��⃗ ∙ �λβ�⃗� = λ�α��⃗ ∙ β�⃗�
3. Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

25. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 25
β) 𝛂𝛂��⃗ ∙ �𝛃𝛃��⃗ + 𝛄𝛄��⃗� = 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ + 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛄𝛄��⃗
Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) , β�⃗ = (x2 , y2) και γ�⃗ = (x3 , y3) , τότε :
α��⃗ ∙ �β�⃗ + γ�⃗� = (x1 , y1) ∙ (x2 + x3 , y2 + y3) = x1 ∙ (x2 + x3) + y1 ∙ (y2 + y3) = (x1x2 + x1x3) + (y1y2 + y1y3)
= (x1x2 + y1y2) + (x1x3 + y1y3) = α��⃗ ∙ β�⃗ + α��⃗ ∙ γ�⃗
γ) 𝛂𝛂��⃗ ⊥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗ = −𝟏𝟏
Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε :
α��⃗ ⊥ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = 0 ⇔ (x1 , y1) ∙ (x2 , y2) = 0 ⇔ x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 = 0 ⇔ y1 ∙ y2 = −x1 ∙ x2
⇔
y1
x1
∙
y2
x2
= −1 ⇔ λα��⃗ ∙ λβ��⃗ = −1 .

26. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 26
Ασκήσεις
135. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 4 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
, τότε να βρείτε :
α. α��⃗ ∙ β�⃗
β. β�⃗2
γ. 3α��⃗ ∙ �−4β�⃗�
δ. 2α��⃗�3α��⃗ − 4β�⃗�
ε. �2α��⃗ − β�⃗��3α��⃗ + 5β�⃗�
1. Εύρεση Εσωτερικού Γινομένου
136. Αν το διάνυσμα α��⃗ είναι μοναδιαίο , �β�⃗� = 2 και �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
, τότε να βρείτε :
α. α��⃗ ∙ β�⃗
β. �α��⃗ − 2β�⃗��α��⃗ − β�⃗�
γ. �α��⃗ − 3β�⃗�
2
137. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
6
, τότε να βρείτε :
α. α��⃗ ∙ β�⃗
β. α��⃗2
+ β�⃗2
γ. �α��⃗ + β�⃗�
2
δ. �2α��⃗ + 3β�⃗��4α��⃗ − 5β�⃗�
138. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν �β�⃗� = √12 , α��⃗ ∙ β�⃗ = −12 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 150°
να βρείτε :
α. το μέτρο του διανύσματος α��⃗
β. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ + β�⃗��α��⃗ − β�⃗�
139. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 4 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
και α��⃗ ∙ �α��⃗ + 2β�⃗� = 28 τότε να βρείτε :
α. το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗
β. το μέτρο του διανύσματος β�⃗
γ. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ − 2β�⃗��2α��⃗ + β�⃗�
140. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗ στις παρακάτω περιπτώσεις :
α. Αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα και |α��⃗| = 5 , �β�⃗� = 6
β. Αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα και |α��⃗| = 8 , �β�⃗� = 3
141. Αν α��⃗ + β�⃗ + 2γ�⃗ = 0���⃗ και |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , |γ�⃗| = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗
142. Αν α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ = 0���⃗ και |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , |γ�⃗| = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ + γ�⃗ ∙ α��⃗
143. Αν α��⃗ + β�⃗ − 3γ�⃗ = 0���⃗ και 2|α��⃗| = �β�⃗� = 4|γ�⃗| = 4 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ + γ�⃗ ∙ α��⃗
144. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ίση με 2 . Αν ΑΔ το ύψος του , να υπολογίσετε
τα εσωτερικά γινόμενα ΑΒ�����⃗ ∙ ΑΓ�����⃗ , ΑΒ�����⃗ ∙ ΒΓ����⃗ , ΑΔ�����⃗ ∙ ΑΓ�����⃗ και ΑΓ�����⃗ ∙ ΔΒ�����⃗

27. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 27
145. Αν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 6 , να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v�⃗ = 3α��⃗ + λβ�⃗ και u�⃗ = 3α��⃗ − λβ�⃗ να είναι κάθετα .
2. Κάθετα Διανύσματα – Εύρεση Μέτρου Διανύσματος
146. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού
αριθμού λ ώστε να ισχύει �α��⃗ + λβ�⃗� ⊥ �α��⃗ − 4β�⃗�
147. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = √3 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
6
τότε να βρεθούν τα μέτρα
�α��⃗ + β�⃗� , �α��⃗ − β�⃗� και �α��⃗ + 2β�⃗�
148. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
τότε :
α. Αν τα διανύσματα 2α��⃗ + β�⃗ και κα��⃗ + β�⃗ είναι κάθετα , να βρείτε την τιμή του κ
β. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2α��⃗ + β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
149. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν 2|α��⃗| = �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
τότε :
α. Να αποδείξετε ότι α��⃗ ∙ β�⃗ = 2
β. Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων α��⃗ + β�⃗ και α��⃗ − β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
150. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = √2 και �α��⃗ , β�⃗�
� =
5π
6
και u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ τότε :
α. Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α��⃗ ∙ β�⃗ και α��⃗ ∙ u�⃗
β. Να βρείτε το μέτρο του u�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
151. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν 3|α��⃗| + �β�⃗� = 9 και 2|α��⃗| − �β�⃗� = 1 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
α. Να βρείτε τα μέτρα των α��⃗ , β�⃗ και το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗
β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u�⃗ = 2α��⃗ − 3β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
152. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
και γ�⃗ =
κ
2
α��⃗ − β�⃗ και β�⃗ ∙ γ�⃗ = κ
α. Να δείξετε ότι κ = −2
β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ�⃗
γ. Να δείξετε ότι τα διανύσματα 3α��⃗ + 2γ�⃗ και β�⃗ − γ�⃗ είναι κάθετα ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
153. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
και �3α��⃗ − 2β�⃗� = √13 , τότε να βρείτε το �β�⃗�
154. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √8 , �β�⃗� = 3 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 45°
, τότε να βρείτε το �3α��⃗ − 2β�⃗�
155. Αν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 1 και �α��⃗ − β�⃗� = 2 τότε να βρείτε το μέτρο �α��⃗ − 2β�⃗� .
156. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 3 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
και �α��⃗ + 2β�⃗� = 7
α. Να αποδείξετε ότι �β�⃗� = 4
β. Να βρείτε το μέτρο �4α��⃗ + 3β�⃗�
157. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 4 και �4α��⃗ − β�⃗� = �α��⃗ − 2β�⃗� .
α. Να αποδείξετε ότι α��⃗ ∙ β�⃗ = 3
β. Να βρείτε το μέτρο �3α��⃗ − 2β�⃗�
158. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 3β�⃗� και �α��⃗ − β�⃗� = 2 να βρείτε τα μέτρα |α��⃗| , �β�⃗�

28. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 28
159. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
, �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − β�⃗� και �3α��⃗ + 2β�⃗� = 7 , να βρείτε τα
μέτρα |α��⃗| , �β�⃗�
160. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 4β�⃗� και �2α��⃗ + 3β�⃗� = 5 .
α. Να αποδείξετε ότι |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1
β. Να βρείτε το μέτρο �3α��⃗ + 8β�⃗�
161. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + 2β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 3β�⃗� και |α��⃗| = √6 . Να δείξετε ότι �2α��⃗ − β�⃗� = 5
162. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
. Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = α��⃗ − β�⃗
και ΒΓ����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ . Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ .
163. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 3 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
. Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΓΑ����⃗ = α��⃗ − 4β�⃗ και
ΓΒ����⃗ = 4α��⃗ − 6β�⃗ , για το οποίο ισχύει �ΑΒ�����⃗� = √91
α. Να αποδείξετε ότι �β�⃗� = 5
β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ
164. Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ που κατασκευάζεται με τα
διανύσματα 3α��⃗ + 2β�⃗ και α��⃗ − β�⃗ αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = √2 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 135°
.
165. Να αποδείξετε ότι �α��⃗ + β�⃗�
2
+ �α��⃗ − β�⃗�
2
= 2|α��⃗|2
+ 2�β�⃗�
2
166. Αν ισχύει |α��⃗| = �β�⃗� = �α��⃗ + β�⃗� τότε να αποδείξετε ότι �α��⃗ − β�⃗� = |α��⃗| ∙ √3 .
167. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
. Να βρείτε διάνυσμα x�⃗ ώστε να ισχύουν
x�⃗ ∥ �α��⃗ + β�⃗� και β�⃗ ⊥ ( α��⃗ + x�⃗ ) .
168. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
. Να βρείτε διάνυσμα x�⃗ ώστε να ισχύουν
x�⃗ ∥ �α��⃗ − β�⃗� και α��⃗ ⊥ ( β�⃗ + x�⃗ ) .
169. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 , α��⃗ ⊥ β�⃗ και u�⃗ = 3α��⃗ + 2β�⃗ , να βρείτε την γωνία �α��⃗ , u�⃗� �
3. Γωνία Δύο Διανυσμάτων
170. Αν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 1 και �2α��⃗ + β�⃗� ⊥ �3α��⃗ − 5β�⃗� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�
171. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗�
� = 45°
, να βρείτε τη γωνία �β�⃗ − α��⃗ , α��⃗
�
�
172. Αν |α��⃗| = 5 , �β�⃗� = 3 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
, να βρείτε τη γωνία �α��⃗ + β�⃗ , α��⃗ − β�⃗�
�
173. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
και δ�⃗ = 3α��⃗ + 2β�⃗ , να βρείτε την γωνία �β�⃗ , δ�⃗�
�
174. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �β�⃗� = 2|α��⃗| . Αν α��⃗ ⊥ �α��⃗ − β�⃗� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�

29. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 29
175. Αν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
και �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �5α��⃗ − 2β�⃗�
α. Να βρείτε το μέτρο του β�⃗
β. Αν γ�⃗ = −2α��⃗ + β�⃗ να βρείτε τη γωνία φ� = �α��⃗ , γ�⃗� �
176. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
και u�⃗ = 2α��⃗ + 3β���⃗ και v�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗ . Να βρείτε το συν�u�⃗ , v�⃗� �
177. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
2π
3
και u�⃗ = 2α��⃗ + β���⃗ και v�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗ . Να βρείτε το συν�u�⃗ , v�⃗� �
178. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 5 και �α��⃗ − 2β�⃗� ∙ �α��⃗ + β�⃗� = −46 .
α. Να βρείτε το συν�α��⃗ , β�⃗�
�
β. Θεωρούμε τα διανύσματα v�⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ και u�⃗ = α��⃗ − β���⃗. Να βρείτε τη γωνία �u�⃗ , v�⃗� �
179. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 και �3α��⃗ + 7β�⃗� ⊥ �6α��⃗ + β�⃗� .
α. Να βρείτε τη γωνία των α��⃗ , β�⃗
β. Θεωρούμε το διάνυσμα γ�⃗ = λα��⃗ + β�⃗ το οποίο είναι κάθετο στο β�⃗ . Να βρείτε :
β1. την τιμή του λ
β2. το μέτρο του διανύσματος γ�⃗
β3. τη γωνία των διανυσμάτων α��⃗ και γ�⃗
180. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �α��⃗ , β�⃗�
� = 60°
. Θεωρούμε επίσης το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ
με ΑΒ�����⃗ = 4α��⃗ + β�⃗ και ΑΔ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ με (ΑΓ) = 6 και ισχύει ΑΓ�����⃗ ∙ ΔΒ�����⃗ = 36 .
α. Να αποδείξετε ότι |α��⃗| = 1 και �β�⃗� = 4 .
β. Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΔΒ .
γ. Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ
δ. Να βρείτε τη γωνία Α� του ΑΒΓΔ .
181. Αν τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ είναι μοναδιαία και ισχύει α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ = 2 να δείξετε ότι α��⃗ = β�⃗ = γ�⃗
182. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �β�⃗� = 2|α��⃗| = 4 και α��⃗ ∙ β�⃗ = −8 .
α. Να βρείτε τη γωνία των α��⃗ , β�⃗
β. Να δείξετε ότι β�⃗ + 2α��⃗ = 0�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
183. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ και u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ , v�⃗ = 5α��⃗ − 4β�⃗ και u�⃗ ⊥ v�⃗ και |α��⃗| = �β�⃗� = 1 . Να δείξετε ότι :
α. α��⃗ ∙ β�⃗ =
1
2
β. τα διανύσματα u�⃗ − 3v�⃗ και α��⃗ − β�⃗ είναι αντίρροπα και |u�⃗ − 3v�⃗ | = 14 ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
184. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο στις παρακάτω περιπτώσεις :
α. α��⃗ ∙ β�⃗ αν α��⃗ = (2 , −3) και β�⃗ = (4 , 5)
β. ΑΒ�����⃗ ∙ ΓΔ����⃗ αν Α(3 , 1) , Β(2 , −5) , Γ(−4 , 3) , Δ(−1 , −2)
4. Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου
185. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 , λ) και β�⃗ = (λ − 8 , 1) για τα οποία ισχύει α��⃗ ∙ β�⃗ = −1 . Να βρείτε :
α. τον πραγματικό αριθμό λ
β. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ − 2β�⃗� ∙ �α��⃗ + β�⃗�
186. Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ℝ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 3 , 4λ − 1) και β�⃗ = (−3λ + 9 , λ − 3)
να είναι κάθετα .

30. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 30
187. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2x − 1 , x + 1) και β�⃗ = (x + 1 , 2x + 3) . Να βρεθεί το x ∈ ℝ ώστε τα
διανύσματα να είναι κάθετα .
188. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (−1 , 3) και β�⃗ = �−2 , −
1
2
�
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗
β. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u�⃗ και v�⃗ = (x2
, x − 1) είναι κάθετα
( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
189. Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ = (κ2
− 6κ + 9 , κ − 3) και ΑΓ�����⃗ = (1 , 6)
α. Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΑΓ�����⃗ να είναι κάθετα .
β. Για κ = 1 να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΓ����⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
190. Δίνονται τα σημεία Α(3 , 2) , Β(7 , −4). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x’x ώστε ΑΜΒ� = 90°
191. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , λ) και β�⃗ = (−3 , 4 − λ) για τα οποία ισχύουν �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �13α��⃗ + 3β�⃗� .
α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ
β. Να βρείτε για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού μ , το διάνυσμα γ�⃗ = 5α��⃗ + 2β�⃗ είναι κάθετο στο δ�⃗ = (μ , μ − 8)
192. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 4) , Β(−2 , −1) και Γ(5 , 7) . Θεωρούμε σημείο Μ ώστε να ισχύει ΜΓ������⃗ = 2ΒΜ������⃗
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ
β. Να αποδείξετε ότι ΑΜ������⃗ ⊥ ΒΓ����⃗
γ. Να βρείτε σημείο Κ του άξονα x’x ώστε να ισχύει ΑΝ�����⃗ ⊥ ΑΒ�����⃗
193. Αν α��⃗ = �3 , √3� και β�⃗ = �√3 , −1� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�
194. Αν α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (7 , − 1) να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�
195. Αν α��⃗ = (0 , 2) και β�⃗ = �−√3 , 1� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�
196. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , −7) και β�⃗ = (−3 , λ) . Αν �α��⃗ , β�⃗�
� = 135°
, να βρείτε το λ .
197. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1 , 2) , Β(−2 , 1) και Γ(3 , 6) . Να βρείτε τη γωνία Α .
198. Αν Α(4 , 1) , Β(8 , 2) και Γ(1 , 3) , να δείξετε ότι η γωνία των ΑΒ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ είναι αμβλεία .
199. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = (−4 , −6) και ΑΓ�����⃗ = (2 , −8) .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ������⃗
β. Να δείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία
γ. Αν Α(3 , 1) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
200. Θεωρούμε τα σημεία Α , Β , Γ για τα οποία ισχύουν ΑΒ�����⃗ = (−1 , 4) και ΑΓ�����⃗ = (3 , 6) .
α. Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία ή αμβλεία .
β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
201. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(λ − 1 , −1) , Β(λ , 2) και Γ(7 , −λ) . Αν ισχύει ΑΒ�����⃗ ∙ ΒΓ����⃗ = −15 , να βρείτε :
α. τον πραγματικό αριθμό λ
β. τη γωνία Β� του τριγώνου ΑΒΓ
202. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με 2α��⃗ + β�⃗ = (7 , −1) και 3α��⃗ − β�⃗ = (8 , −19) . Να βρείτε :
α. τις συντεταγμένες των α��⃗ , β�⃗
β. τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�

31. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 31
5. Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα
203. Αν α��⃗ = (2 , 3) και β�⃗ = (−1 , 4) , να βρείτε την προβολή του α��⃗ πάνω στο β�⃗
204. Αν α��⃗ = (1 , 3) και β�⃗ = (9 , 7) , να βρείτε την προβολή του β�⃗ πάνω στο α��⃗
205. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
να βρείτε την προβολή του β�⃗ πάνω στο α��⃗
206. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
να βρείτε την προβολή του v�⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ πάνω στο α��⃗
207. Αν τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ είναι μοναδιαία και κάθετα , να βρείτε την προβολή του διανύσματος v�⃗ = α��⃗ − β�⃗
πάνω στο u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗
208. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1 , −3) , Β(−3 , 0) και Γ(4 , 4) . Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ , τότε να
υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΔ�����⃗
209. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (−8 , 6)
α. Να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗ είναι αμβλεία
β. Να βρείτε το μήκος της προβολής του β�⃗ πάνω στο α��⃗
210. Αν α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (−1 , −3) , να υπολογίσετε το μέτρο �προβα��⃗ �2α��⃗ − β�⃗��
211. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , 7) και β�⃗ = (2 , 4)
α. Να βρείτε την προβολή του α��⃗ πάνω στο β�⃗
β. Να αναλύσετε το διάνυσμα α��⃗ σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι
παράλληλη στο β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
212. Να αναλύσετε το διάνυσμα δ�⃗ = (1 , 5) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι
παράλληλη στο α��⃗ = (1 , −1)
213. Να αναλύσετε το διάνυσμα β�⃗ = (1 , 2) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι
παράλληλη στο α��⃗ = (−1 , 1)
214. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 8 , �α��⃗ , β�⃗�
� =
π
3
και προβα��⃗ �x ∙ α��⃗ + β�⃗� = 5 ∙ α��⃗ , να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x .
215. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με προββ��⃗ α��⃗ =
2
3
β�⃗ και προβα��⃗ β�⃗ =
3
4
α��⃗ .
α. Να δείξετε ότι |α��⃗| =
2√2
3
�β�⃗�
β. Να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗�
�
216. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με 2α��⃗ + 3β�⃗ = (4 , −2) και α��⃗ − 3β�⃗ = (−7 , 8) .
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α��⃗ , β�⃗
β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ αν ισχύει �κα��⃗ + β�⃗� ⊥ �2α��⃗ + 3β�⃗�
γ. Να αναλύσετε το διάνυσμα γ�⃗ = (3 , −1) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι
παράλληλη στο α��⃗ = (−1 , 2) .

32. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 32
Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x , y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C , όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C
και μόνο αυτές , την επαληθεύουν .
Εξίσωση Γραμμής
Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και (ε) μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Α .
Γωνία Ευθείας με τον άξονα x’x
Παρατηρήσεις
1) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς τον άξονα x’x τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτόν γωνία ω = 0°
2) Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει 0°
≤ ω < 180°
ή 0 ≤ ω < 𝜋𝜋
3) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα y’y τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτό γωνία 90°
Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας
1) Αν ω = 0°
, δηλαδή η (ε) ∥ x′x τότε η (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0 .
2) Αν ω =
π
2
, δηλαδή η (ε) ⊥ x′x τότε δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης για την (ε) .
3) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι θετικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x’x είναι οξεία .
4) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι αρνητικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x’x είναι αμβλεία .
Συντελεστής Διεύθυνσης Γωνία με τον άξονα x’x
λ > 0 0°
< 𝜔𝜔 < 90°
λ < 0 90°
< 𝜔𝜔 < 180°
λ= 0 ω = 0°
Τη γωνία ω που διαγράφει ο άξονας x’x όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με
την ευθεία (ε) τη λέμε γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x’x .
Ως συντελεστή διεύθυνσης ευθείας ή κλίση ευθείας ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε)
με τον άξονα x’x . Δηλαδή
𝛌𝛌𝛆𝛆 = 𝛆𝛆𝛆𝛆𝛚𝛚�

33. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 33
Έστω διάνυσμα δ�⃗ παράλληλο σε μια ευθεία (ε) . Αν φ και ω οι γωνίες είναι οι γωνίες που σχηματίζουν το δ�⃗ και
η (ε) με τον άξονα x’x , τότε θα ισχύει : φ = ω ή φ = π + ω . Τότεεφφ = εφω ή εφφ = εφ(π + ω) = εφω .
Δηλαδή σε κάθε περίπτωση λδ��⃗ = λε .
Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Παράλληλης σε Διάνυσμα
Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα
σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) με x1 ≠ x2 είναι :
Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία
Πράγματι : Είναι ΑΒ�����⃗ ∥ ε ⇔ λε = λΑΒ������⃗ ⇔ λε =
y2 − y1
x2− x1
Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε1 , ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 αντίστοιχα , τότε ισχύει :
Συνθήκη Παραλληλίας Ευθειών
Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε1 , ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 αντίστοιχα , τότε ισχύει :
Συνθήκη Καθετότητας Ευθειών
Όταν μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα , έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης .
𝛌𝛌 =
𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏
𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏
𝛆𝛆𝟏𝟏 ∥ 𝛆𝛆𝟐𝟐 ⇔ 𝛌𝛌𝟏𝟏 = 𝛌𝛌𝟐𝟐
𝛆𝛆𝟏𝟏 ⊥ 𝛆𝛆𝟐𝟐 ⇔ 𝛌𝛌𝟏𝟏 ∙ 𝛌𝛌𝟐𝟐 = −𝟏𝟏

34. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 34
Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α( x0 , y0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι :
Εξίσωση Ευθείας
Θεωρούμε ένα σημείο M(x , y) της (ε) διαφορετικό του Α( x0 , y0)
Τότε το διάνυσμα ΑΜ������⃗ είναι παράλληλο στην (ε) , άρα θα έχουν
ίσους συντελεστές διεύθυνσης .
Οι συντεταγμένες του ΑΜ������⃗ = (x − x0 , y − y0) άρα λΑΜ�������⃗ =
y − y0
x − x0
Οπότε : λ = λΑΜ�������⃗ ⇔ λ =
y − y0
x − x0
⇔ y − y0 = λ(x − x0) .
Α) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία
Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) είναι
y − y0 =
y2 − y1
x2− x1
(x − x0) αφού λε =
y2 − y1
x2− x1
Ειδικές περιπτώσεις Ευθειών
Β) Η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα y’y στο
σημείο Α(0 , β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι :
Πράγματι :
Είναι y − yΑ = λ(x − xΑ) ⇔ y − β = λ(x − 0)
⇔ y − β = λ ∙ x ⇔ y = λ ∙ x + β
(ε) : 𝐲𝐲 − 𝐲𝐲𝟎𝟎 = 𝛌𝛌 ∙ (𝐱𝐱 − 𝐱𝐱𝟎𝟎)
𝐲𝐲 = 𝛌𝛌 ∙ 𝐱𝐱 + 𝛃𝛃

35. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 35
Γ) Οριζόντια Ευθεία
Η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στον άξονα x’x και
διέρχεται από το σημείο Α( x0 , y0 ) είναι :
Πράγματι :
Αφού (ε) ∥ x′x τότε θα είναι λ=0 , άρα :
y − y0 = λ(x − x0) ⇔ y − y0 = 0 ∙ (x − x0) ⇔ y − y0 = 0 ⇔ y = y0
Δ)
Η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στον άξονα x’x και διέρχεται από
το σημείο Α( x0 , y0 ) είναι :
Κατακόρυφη Ευθεία
− Στην περίπτωση αυτή δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης
Ε)
Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων
και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι :
Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων
Πράγματι :
Αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων το Ο(0 , 0) τότε :
y − y0 = λ(x − x0) ⇔ y − 0 = λ ∙ (x − 0) ⇔ y = λ ∙ x .
𝐲𝐲 = 𝐲𝐲𝟎𝟎
𝐱𝐱 = 𝐱𝐱𝟎𝟎
𝐲𝐲 = 𝛌𝛌 ∙ 𝐱𝐱

36. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 36
Ζ)
Η διχοτόμος των γωνιών xO�y και x′O�y′ έχει εξίσωση :
Διχοτόμος της 1ης και 3ης Γωνίας των Αξόνων
Πράγματι :
Αφού η ευθεία διχοτομεί την 1η γωνία του άξονα , τότε θα
σχηματίζει γωνία 45°
με τους άξονες , άρα λ = εφ45°
= 1 .
Οπότε : y = λ ∙ x ⇔ y = x
H)
Η διχοτόμος των γωνιών x′O�y και xO�y′ έχει εξίσωση :
Διχοτόμος της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων
Πράγματι :
Αφού η ευθεία διχοτομεί την 2η γωνία του άξονα , τότε θα
σχηματίζει γωνία 135°
με τους άξονες , άρα λ = εφ135°
= −1 .
Οπότε : y = λ ∙ x ⇔ y = − x .
Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας
ΟΡΘΟ :
Α) Αν η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Α(0 , β) και έχει
συντελεστή διεύθυνσης λ τότε θα έχει εξίσωση :
y = λ ∙ x + β ⇔ λ ∙ x + (−1)y + β = 0
Άρα για Α = λ , Β = −1 , Γ = β η ευθεία γράφεται στην μορφή
A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Β = −1 ≠ 0 .
Θα αποδείξουμε ότι κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής (1).
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :
𝐲𝐲 = 𝐱𝐱
𝐲𝐲 = − 𝐱𝐱
Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0 (1)
και αντιστρόφως , κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή .