Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το 1o ΓΕΛ Αμαρουσίου

1. Αποκλειστικά στο μαθηματικό ιστότοπο lisari.blogspot.com
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
1ο ΓΕΛ Αμαρουσίου
Εισαγωγή
Αφορμή γι’ αυτή την άσκηση στάθηκε η εφαρμογή του σχολικού βιβλίου (από την παράγραφο 3.1) για μια
πλήρη μελέτη της παραγράφου 3.1 (και όχι μόνο) για τις τελικές εξετάσεις. Προφανώς και τα ερωτήματα
μπορεί να είναι δεκάδες, αλλά καταγράφουμε αυτά που είναι πιο βασικά και απαραίτητα να γνωρίζει ο
μαθητής της Β Λυκείου (εκτός από τα όρια) στη κατεύθυνση.
Επαναληπτική άσκηση Β΄ Λυκείου Κατεύθυνση
Δίνονται οι εξισώσεις
   
2 2
1C : 2 x y 3 25 0     και 2 2
2C : x y 2y 8 0   
1) Να αποδείξετε ότι παριστάνουν κύκλο των οποίων να βρείτε τα κέντρα 1 2K ,K και τις
ακτίνες τους 1 2ρ ,ρ αντίστοιχα.
2) Να βρείτε την εξίσωση της διακέντρου 1 2Κ Κ .
3) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι 1 2C ,C τέμνονται, χωρίς να βρείτε τα σημεία τομής τους.
4) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής τους.
5) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) του κύκλου 1C στο σημείο  Α 5, 1 .
6) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται και του κύκλου 2C .
7) Να βρείτε το σημείο επαφής Β της ευθείας (ε) και του κύκλου 2C .
8) Να βρείτε την εφαπτομένη του 1C στο αντιδιαμετρικό σημείο του  Α 5, 1 .
9) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται
στην ευθεία (ε).
10) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ζ) που διέρχεται από το σημείο  4,0 και
αποκόπτει τον κύκλο 2C χορδή μήκους 6 μονάδων.
11) Να αποδείξετε αρχικά ότι η διάκεντρος και η εφαπτομένη (ε) τέμνονται στο σημείο
 Γ 3, 7  και στη συνέχεια να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας Γ .
12) Να βρείτε και την δεύτερη ευθεία που διέρχεται από το σημείο Γ και εφάπτεται στο
κύκλο 1C και 2C .
13) Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου του οποίου οι τρεις κορυφές είναι 1Α,Κ
και 2Κ .
1

2. Αποκλειστικά στο μαθηματικό ιστότοπο lisari.blogspot.com
Υπόδειξη
1)    
2 2 2
1C : x 2 y 3 5    άρα  1 1Κ 2,3 , ρ 5 και για την εξίσωση 2C έχουμε:
2 2 2
Α Β 4Γ 0 4 32 6 0       άρα από τους τύπους 2
Α Β
Κ ,
2 2
 
  
 
και
2 2
Α Β 4Γ
ρ
2
 
 έχουμε:  2 2Κ 0, 1 , ρ 3 
2) 1 2Κ Κ
3 1
λ 2
2 0

 

άρα  y 1 2 x 0 y 2x 1      1 2:Κ Κ
3)      
2 2
1 2 1 2 1 2ρ ρ 5 3 2 4 Κ Κ 2 0 3 1 20 ρ ρ 8 64              
άρα οι κύκλοι τέμνονται.
4) Τα σημεία τομής τους θα επαληθεύουν την εξίσωση:
2 2
2 2
x y 4x 6y 12 0
4x 8y 4 0 x 2y 1 0
x y 2y 8 0
     
       
   
άρα η εξίσωση της κοινής χορδής τους είναι η: x 2y 1 0  
5) Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία ότι ένα σημείο  Μ x,y ανήκει στην ε, αν και μόνο αν 1ΑΜ ΑΚ δηλαδή,
αν και μόνο αν
   1ΑΜ ΑΚ 0 x 5,y 1 3,4 0 3x 4y 19 0           
Άρα, η εξίσωση της ε είναι: 3x 4y 19 0  
6) Είναι,  
 
2 2
3 0 4 1 19 15
d K ,ε 3 ρ
59 16
    
   

7) Λύνουμε το σύστημα:  2 2
3x 4y 19 0 9 17
x,y ,
x y 2y 8 0 5 5
    
         
8) Έστω Ε το αντιδιαμετρικό του Α, άρα το κέντρο 1K είναι μέσο του ΑΕ, οπότε
E
E
x 5
2 x 1
2

    και E
E
y 1
3 y 7
2

   οπότε  E 1,7
Η εφαπτομένη του 1C διέρχεται από το  E 1,7 και είναι παράλληλο στην ευθεία 3x 4y 19 0  
οπότε είναι της μορφής: 3x 4y γ 0   . Με αντικατάσταση βρίσκουμε: 3x 4y 31 0  
9) Η εξίσωση του κύκλου είναι
2 2 2
x y ρ  . Είναι,
  3 2
3 0 4 0 19 19
d O,ε ρ ρ ρ
53 4
   
    

άρα
2
2 2 19
x y
5
 
   
 
.
2

3. Αποκλειστικά στο μαθηματικό ιστότοπο lisari.blogspot.com
10) Για να αποκόπτει τον κύκλο 2C σε χορδή μήκους 26 2 3 2ρ   σημαίνει ότι είναι διάμετρος του κύκλου
άρα διέρχεται από το κέντρο  2Κ 0, 1 . Άρα η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία  0, 1 και
 4,0 είναι η x 4y 4 0  
11) Λύνουμε το σύστημα
3x 4y 19 0
y 2x 1
  

 
και βρίσκουμε τις συντεταγμένες  Γ 3, 7  .
Έστω τα διανύσματα  1δ 4,3 / /3x 4y 19 0    και  2δ 1,2 / /2x y 1 0    τότε
  1 2
1 2
1 2
δ δ 4 6 2 5
συν δ ,δ
55 5δ δ
 
  

άρα 0
Γ 26,57
12) Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο  Γ 3, 7  είναι
 y 7 λ x 3   ή x 3 
Έστω ότι είναι η ευθεία  y 7 λ x 3 λx y 3λ 7 0        τότε πρέπει:
  2 2
2 2 2
1 3λ 7
d K ,ε ρ 3 3λ 6 3 λ 1 λ 2 λ 1
λ 1
 
           

  2 2
1 1 2
2λ 3 3λ 7
d K ,ε ρ 5 5λ 10 5 λ 1 λ 2 λ 1
λ 1
  
           

που είναι 2 2 2 3
λ 2 λ 1 λ 4λ 4 λ 1 λ
4
          και δίνει την ευθεία (ε) που την γνωρίζαμε.
Επίσης για την ευθεία x 3 x 3 0     έχουμε:
 2 2
0 3
d K ,ε 3 ρ
1 0

   

και  1 1
2 3
d K ,ε 5 ρ
1 0

   

που είναι η δεύτερη ευθεία που διέρχεται από το σημείο Γ και εφάπτεται στους κύκλους 1 2C ,C .
13) Έχουμε,
   παραλληλογράμμου 1 2 2 1 2
2 41
Ε 2 ΑΚ Κ 2 det K K ,K A | | 20
5 02
   
3

4. Αποκλειστικά στο μαθηματικό ιστότοπο lisari.blogspot.com
Ένα σχήμα που συνοψίζει όλα τα παραπάνω και παρατίθεται για διδαχτικούς σκοπούς είναι το είναι το
εξής:
4