SlideShare a Scribd company logo
ΜΙΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ
ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 13
1
ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ…
•Τα συστήματα δεν θα μας δυσκολέψουν ιδιαίτερα και φέτος. Έχουμε τις
επιλογές να αντιμετωπίσουμε το συγκεκριμένο κεφάλαιο καθαρά με αλγεβρικές
τεχνικές με κίνδυνο όμως να βαρεθούμε γρήγορα, ή να το συσχετίσουμε με όσο
το δυνατόν ευρύτερο φάσμα των μαθηματικών και της καθημερινής ζωής και
έτσι να μας φανούν χρήσιμα. Ελάχιστα πάνω σε αυτό αποσκοπεί αυτή η εργασία.
…ΚΑΙ ΑΛΛΑ 2 ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ
• Η εργασία αποτελείται από 12 ερωτήσεις κατανόησης και 22 θέματα εκ των
οποίων τα 8 είναι προβλήματα.
• Υπάρχει προσπάθεια να δοθεί έμφαση στη γεωμετρική ερμηνεία και
αναπαράσταση, για αυτό προσπαθήστε όσο είναι δυνατό να μην την αποφύγετε.
• Στο θέμα 2* και θέμα 12* να συμβουλευτείτε το σχολικό βιβλίο της άλγεβρας
Ά Λυκείου (σελ 153)
•Ο σκοπός της εργασίας δεν είναι η βαθμολογία, παρόλα αυτά η παρούσα θα
βαθμολογηθεί με άριστα το 100 και ίσως γίνει αναγωγή στα 20. (Οι ερωτήσεις
κατανόησης αποτελούν το 30%)
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 13
2
Η ευθεία −2𝜒 = 6 τέμνει τον άξονα χ΄χ στο σημείο
Α.(0,3) Β.(3,0) Γ.( 0,-3) Δ. (-3,0) Ε.(-3,3)
Οι ευθείες 𝜒 = 3 και 𝑦 = − 2 τέμνονται στο σημείο
Α. (3,0) Β. (0, −2) Γ. ( 3, −2) Δ (−2,3) Ε(−3,2)
Αν το (Σ): {
−3𝜒 + 2𝑦 = 𝑎
6𝑥 − 4𝑦 = 𝜅𝛼
𝜅, 𝛼 ∈ 𝑅∗
έχει άπειρες λύσεις, το κ παίρνει την τιμή
Α.0 Β. 1 Γ. 2 Δ. -2 Ε. -1
Το πλήθος των ζευγών (χ,y) που επαληθεύουν ταυτόχρονα τις εξισώσεις:
( 𝑥 + 𝑦 − 2)(2𝑥 + 𝑦) = 0 𝜅𝛼𝜄 (−6𝜒 − 3𝑦)( 𝑥 − 4𝑦 − 1) = 0 είναι
Α.1 Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε. Κανένα
Αν 𝐷 ≠ 0 𝜅𝛼𝜄 𝐷 𝑥 + 𝐷 𝑦 = 𝐷 𝜅𝛼𝜄 𝜒 = 𝑦 τότε η λύση του συστήματος είναι :
Α.(1,1) Β. (
1
2
,
1
2
) Γ. (−1, −1) Δ.(0,0) Ε. (-2,2)
Αν 𝐷2
+ | 𝐷 𝑥 − 5| = 0 τότε για το σύστημα ισχύει :
Α. έχει λύση το (5,0) Β. έχει λύση το (-5,0) Γ. έχει άπειρες λύσεις
Δ. είναι αδύνατο Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε.
Η γραμμική εξίσωση που επαληθεύεται με κάθε ζεύγος της μορφής χ=κ-2 και
y=k+1 , k ε R είναι :
Α.𝑦 − 2𝑥 = 5 Β. 𝑥 − 𝑦 = −3 Γ.𝑥 − 𝑦 = 2 Δ. 𝑥 − 𝑦 = 1 E. 2𝑥 + 𝑦 = 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 13
3
Το σύστημα {
𝛼𝜒 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑎𝑦 = 0
έχει λύση:
Α. (χ,y) =(
1
𝑎
, 0) Β. Μόνο την (𝜒, 𝑦) = (0,0) Γ. Άπειρες λύσεις
Δ. Είναι αδύνατο Ε. Δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα
Αν για το σύστημα {
𝛼𝜒 + 𝛽𝑦 = 𝛾
𝛿𝜒 + 𝜀𝑦 = 𝑧
γνωρίζουμε 2 λύσεις του, τότε τι
συμπέρασμα θα βγάζατε για την D ;
Οι χ, y,λ είναι πραγματικοί αριθμοί και ισχύει 𝛘 = 𝟐 − 𝟑𝛌 και 𝐲 = 𝛌 − 𝟏 .
Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα χ και y
Ένα διαστημόπλοιο με εξωγήινους κινείται πάνω στην ευθεία 𝒚 = 𝟎 · 𝒙 + 𝟐
και το αεροπλάνο της Ολυμπιακής κινείται ευθύγραμμα από το σημείο
Ο(0,0) προς το σημείο Α(3,0).
i) Θα συναντήσει ο πιλότος του αεροπλάνου τους εξωγήινους, και αν ναι, σε ποιες
ακριβώς συντεταγμένες;
ii) Πάνω στην εξίσωση ποιας ευθείας θα λέγατε ότι κινείται ο πιλότος;
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
8.
9.
10.
11.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 13
4
. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η παραβολή 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟐
+ 𝟐 ,η γνωστή μας 𝒈(𝒙) = 𝒙
καθώς και 2 παραλλαγές της.
i) Πως θα αποδείξετε αλγεβρικά, ότι η Cg και η Cf, δεν έχουν κοινό σημείο;
ii) Για να ΄΄πλησιάζει΄΄ και αντίστοιχα να ΄΄απομακρύνεται΄΄ η Cg από την παραβολή,
τι τιμές θα βάλετε στην παράμετρο λ, δηλαδή σε ποια περίπτωση θετικές και σε ποια
αρνητικές; Να το δοκιμάσετε με παραδείγματα και να βγάλετε ένα συμπέρασμα.
iii) Για ποια ακριβώς τιμή του λ, η ευθεία θα συναντήσει για πρώτη φορά την
παραβολή;
12.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 13
5
…
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 13
6
Θέμα 1
Να λυθεί χωρίς αντικατάσταση, το (Σ): {
𝜒2
+ 𝑦2
= 25
𝑥𝑦 = 12
Θέμα 2*
Κατασκευάστε ένα μη γραμμικό σύστημα (2𝜒2) του οποίου η μία εξίσωση να
είναι υπερβολή και το (𝛴) να έχει λύση τα ζεύγη: (2, −1) και (−1,2). Να υπάρχει
και γεωμετρική κατασκευή. Τι είναι αυτά τα σημεία μεταξύ τους;
Θέμα 3
Σας δίνονται 2 παραμετρικές ευθείες, 𝜀1: 𝜆𝜒 + 2𝜒 − 𝑦 = 𝜆 𝜅𝛼𝜄 𝜀2: 3𝜒 + 𝜆𝑦 − 2𝑦 = 1
με λ∈ 𝑅. Να διερευνήσετε την σχετική θέση των ευθειών για τα διάφορα λ.
Στην περίπτωση που υπάρχει μοναδικό σημείο τομής (χ0,y0),να εξετάσετε αν υπάρχει
λ ώστε το σημείο αυτό να είναι πάνω στην παραβολή 𝑦 = −2𝑥2
. Nα δικαιολογήσετε
την απάντηση σας.
Θέμα 4
Έστω οι ευθείες 𝜀1: 𝑥 − 2𝑦 = −2 , 𝜀2: 𝜆𝜒 − 2𝑦 = −2.
i) Nα βρείτε το λ, ώστε οι 𝜀1, 𝜀2 να τέμνονται κάθετα.
ii) Aν 𝜆 = − 4, ποιο είναι το εμβαδό που σχηματίζουν οι 𝜀1, 𝜀2 με τον 𝜒΄𝜒;
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 13
7
Θέμα 5
Να σχεδιάσετε ,στο ίδιο σύστημα αξόνων 2 ευθείες 𝜀1, 𝜀2, που οι εξισώσεις τους να
αντιπροσωπεύουν σύστημα με ορίζουσα D, σε καθεμιά από τις περιπτώσεις:
i) 𝐷3
= 8 ii) 𝐷4
+ 16 = 0 iii) 𝐷8
+ 𝐷𝑥
6
+ 𝐷 𝑦
2
+ 1 = (𝐷 𝑦 − 2019)
0
, 𝐷 𝑦 ≤ 0
Θέμα 6
Έστω το (Σ): {
𝑥 − 2𝑦 = 9
𝑎𝑥 + 𝛽𝑦 = 𝛾
με παραμέτρους α,β,γ στο R.
α) Επιλέξτε τιμές για τις α,β,γ ώστε το (Σ) να έχει μοναδική λύση το (1, −4)
β) Επιλέξτε τώρα τιμές για τις α,β,γ ώστε να έχει άπειρες λύσεις. Επιβεβαιώνεται
γραφικά αυτή η επιλογή σας;
Θέμα 7
Οι ευθείες 𝜺 𝟏: 𝜒 + 𝛼𝑦 = 33, 𝜺 𝟐: 3𝑥 − 2𝑦 = −1, 𝜺 𝟑: 𝜒 + 2𝑦 = 13 διέρχονται από
το ίδιο σημείο ή αλλιώς συντρέχουν. Να βρείτε την τιμή του α.
Θέμα 8
Ένας χορογράφος σχεδιάζοντας τις θέσεις των χορευτών σε μία χορογραφία, θέλει να
τους διατάξει σε τετράγωνο. Αν σχηματίσει x σειρές με x χορευτές σε κάθε σειρά, θα
του περισσέψουν 10 χορευτές.
Αν προσθέσει 2 χορευτές σε κάθε σειρά για να σχηματίσει ένα νέο τετράγωνο, θα του
λείπουν 10 χορευτές.
Να βρεθεί ο αριθμός 𝒙 των χορευτών μιας σειράς του πρώτου τετραγώνου και ο
συνολικός αριθμός 𝒚 των χορευτών.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 13
8
Θέμα 9
Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας παραβολής
𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝛽𝜒 + 𝛾 και της ευθείας 𝑔( 𝑥) = −𝑥 + 2
Να βρείτε τα 𝛼, 𝛽, 𝛾 καθώς και τα κοινά σημεία ευθείας και παραβολής.
Θέμα 10
2 πλοία κινούνται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις: 𝜀1: 2𝑥 + 𝑦 = 4 𝜅𝛼𝜄 𝜀2: 𝑥 + 2𝑦 = 6
i) Ποια τα σημεία τομής με τους άξονες;
ιι) Nα αποδείξετε ότι τα πλοία θα διέλθουν από το ίδιο σημείο.
iii) Στο σημείο 𝑀(3,1) όμως υπάρχει ένας ύφαλος. Να ελέγξετε αν κάποιο από τα
πλοία κινδυνεύει και πρέπει να αλλάξει πορεία.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 13
9
Θέμα 11
Να λύσετε το σύστημα: {
( 𝑥 − 2𝑦)2
− | 𝑥 − 2𝑦| − 6 = 0
𝑥 + 2𝑦 = 1
Θέμα 12*
Έστω ο κύκλος C: 𝑥2
+ 𝑦2
= 5 και η ευθεία που τον τέμνει στα σημεία 𝛢(1,2) 𝛣(−1, −2).
Τι αποτελεί αυτή η ευθεία για τον κύκλο;
Θέμα 13
Δίνεται το (Σ) : {
𝛼𝜒 + 𝛽𝑦 = 2𝑎𝛽
𝛽𝜒 + 𝛼𝑦 = 𝑎2
+ 𝛽2 με α,β στο R. Να αποδείξετε ότι:
|
𝐷 𝑥 𝑎 · 𝐷
𝑎 · 𝐷 𝐷 𝑥
|+|
𝐷 𝑦 𝛽 · 𝐷
𝛽 · 𝐷 𝐷 𝑦
| = 0
Θέμα 14
Να λυθεί το γραμμικό σύστημα : {
( 𝐷 − 2) 𝑥 − 𝐷 𝑦 = 3
𝑥 − 3𝑦 = 1
αν D η ορίζουσά του.
Θέμα 15
Αν το σύστημα : {
𝜆𝜒 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 𝜆𝑦 = 𝜆2
i) είναι αδύνατο, να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας 𝑥 + 𝑦 = −2𝜆 και της
υπερβολής 𝑦 =
3
𝑥
ii) έχει άπειρες λύσεις, να λύσετε το σύστημα {
𝜒 − 𝑦 + 𝑧 = 𝜆 − 2
𝜆𝜒 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝜆𝑦 + 𝑧 = 0
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 13
10
Θέμα 16
Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ.
Θέμα 17
Για τις ηλικίες των μελών μιας τριμελούς οικογένειας ισχύουν τα παρακάτω:
→Η ηλικία της μητέρας είναι τριπλάσια από την ηλικία του παιδιού.
→Ο λόγος της ηλικίας του πατέρα προς την ηλικία του παιδιού ισούται με
11
3
→ Επιπλέον το άθροισμα των ηλικιών και των τριών ισούται με 115 χρόνια.
ι)Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους.
ii ) Να βρείτε την ηλικία του καθενός
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 13
11
Θέμα 18
Δίνεται το σύστημα {
𝑥 + 𝑦 = 𝜆2
17𝜒 + 13𝑦 = 15𝜆2
i) Να δείξετε ότι έχει μοναδική λύση και να το λύσετε για λ=10
ii) Για να συσκευάσουμε 1,5 τόνο ελαιόλαδο σε 100 δοχεία των 17 και 13 κιλών ,πόσα
δοχεία θα χρησιμοποιήσουμε από κάθε είδος;
Θέμα 19
Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τα α,β,γ ∈ 𝑅
i) Οι ευθείες y = (2α + 2β − 5)χ − α + 3β − 4 και η y=5x+3 να ταυτίζονται
ii) Η παράσταση |𝛼 + 2𝛽 − 5| + |2𝛼 + 2𝛽 − 3| να γίνεται ελάχιστη
Θέμα 20
Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο
Μάρκος είναι μεγαλύτερος από τον Βασίλη.
i) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός ;
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια.
Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 13
12
ΚΑΙ ΤΩΡΑ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑΣ
Πρόβλημα 1 (Αποδίδεται στον Ευκλείδη)
Μια γαϊδουρίτσα και ένα μουλαράκι προχωρούσαν στο δρόμο, φορτωμένα με
σιτάρι.
Όμως η γαϊδουρίτσα από το βάρος του φορτίου αναστέναζε.
Το μουλαράκι, σαν την είδε να βαριαναστενάζει της είπε:
« Γιατί, μανούλα μου, θρηνείς κι οδύρεσαι, σαν κοριτσάκι; (sic). Αν μου έδινες
μια ποσότητα από το φορτίο σου, θα σήκωνα το διπλάσιο από σένα. Αν πάλι μου
πάρεις την ίδια ποσότητα, θα διατηρήσεις τη μεταξύ μας ισότητα »
Βρες μου, πόσο είναι αυτή η ποσότητα, εσύ που είσαι άριστος γνώστης της
άλγεβρας.
Πρόβλημα 2
Δώσε μου δέκα μνες και θα έχω τριπλάσιο βάρος από σένα.
Και εγώ αν πάρω από εσένα το ίσο ποσό των δέκα μνων, θα έχω πενταπλάσιο
βάρος από σένα.
Πόσες μνες έχει ο καθένας μας;
Δύο αγάλματα μιλούν για το βάρος τους.
(Η μνα (αρχ. ελλ. μνᾶ, λατ. mina) είναι μονάδα μέτρησης της μάζας (υποδιαίρεση του
ταλάντου) που χρησιμοποιήθηκε στην αρχαιότητα και σαν νόμισμα).
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 13

More Related Content

What's hot

'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
Θανάσης Δρούγας
 
Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019
Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019
Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγνωστικό τεστ από την Α΄ στη Β΄ λυκείου
Διαγνωστικό τεστ από την Α΄ στη Β΄ λυκείουΔιαγνωστικό τεστ από την Α΄ στη Β΄ λυκείου
Διαγνωστικό τεστ από την Α΄ στη Β΄ λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Οι λύσεις στις 18 μαθηματικές προκλήσεις
Οι λύσεις στις 18 μαθηματικές προκλήσειςΟι λύσεις στις 18 μαθηματικές προκλήσεις
Οι λύσεις στις 18 μαθηματικές προκλήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_teamDiagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Μάκης Χατζόπουλος
 
4ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου
4ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου4ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου
4ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου
Konstantinos Georgiou
 
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseis
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseisEpan pan eks_2015_gen_paid_luseis
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseis
Μάκης Χατζόπουλος
 
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Livadeia 2019
Livadeia 2019Livadeia 2019
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Άλγεβρα Β Γυμνασίου Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις
Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - ΕξισώσειςΑ΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις
Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Lyseis sxol math_kat
Lyseis sxol math_katLyseis sxol math_kat
Lyseis sxol math_kat
Christos Loizos
 
μαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα απολυτηριων εξετασεων
μαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα  απολυτηριων εξετασεωνμαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα  απολυτηριων εξετασεων
μαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα απολυτηριων εξετασεων
Μάκης Χατζόπουλος
 
Και όμως είναι σωστό!
Και όμως είναι σωστό!Και όμως είναι σωστό!
Και όμως είναι σωστό!
MakisChatzopoulos1
 
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Άσκηση σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β Λυκείου / Α7 σελ. 22
Άσκηση σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β Λυκείου / Α7 σελ. 22Άσκηση σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β Λυκείου / Α7 σελ. 22
Άσκηση σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β Λυκείου / Α7 σελ. 22
Μάκης Χατζόπουλος
 
Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
Μάκης Χατζόπουλος
 
Thalis 2014 15_solutions
Thalis 2014 15_solutionsThalis 2014 15_solutions
Thalis 2014 15_solutions
Μάκης Χατζόπουλος
 

What's hot (20)

'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
 
Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019
Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019
Σημειώσεις Β Γυμνασίου με ερωτήσεις - απαντήσεις 2019
 
Διαγνωστικό τεστ από την Α΄ στη Β΄ λυκείου
Διαγνωστικό τεστ από την Α΄ στη Β΄ λυκείουΔιαγνωστικό τεστ από την Α΄ στη Β΄ λυκείου
Διαγνωστικό τεστ από την Α΄ στη Β΄ λυκείου
 
Οι λύσεις στις 18 μαθηματικές προκλήσεις
Οι λύσεις στις 18 μαθηματικές προκλήσειςΟι λύσεις στις 18 μαθηματικές προκλήσεις
Οι λύσεις στις 18 μαθηματικές προκλήσεις
 
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_teamDiagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
 
4ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου
4ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου4ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου
4ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου
 
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseis
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseisEpan pan eks_2015_gen_paid_luseis
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseis
 
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
18 μικρές μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
 
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]
 
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
 
Livadeia 2019
Livadeia 2019Livadeia 2019
Livadeia 2019
 
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Άλγεβρα Β Γυμνασίου Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
 
Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις
Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - ΕξισώσειςΑ΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις
Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις
 
Lyseis sxol math_kat
Lyseis sxol math_katLyseis sxol math_kat
Lyseis sxol math_kat
 
μαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα απολυτηριων εξετασεων
μαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα  απολυτηριων εξετασεωνμαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα  απολυτηριων εξετασεων
μαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα απολυτηριων εξετασεων
 
Και όμως είναι σωστό!
Και όμως είναι σωστό!Και όμως είναι σωστό!
Και όμως είναι σωστό!
 
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
 
Άσκηση σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β Λυκείου / Α7 σελ. 22
Άσκηση σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β Λυκείου / Α7 σελ. 22Άσκηση σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β Λυκείου / Α7 σελ. 22
Άσκηση σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β Λυκείου / Α7 σελ. 22
 
Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
 
Thalis 2014 15_solutions
Thalis 2014 15_solutionsThalis 2014 15_solutions
Thalis 2014 15_solutions
 

Similar to Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015
Michael Magkos
 
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
Μάκης Χατζόπουλος
 
Εισαγωγή στους Μιγαδικούς Αριθμούς
Εισαγωγή στους Μιγαδικούς ΑριθμούςΕισαγωγή στους Μιγαδικούς Αριθμούς
Εισαγωγή στους Μιγαδικούς Αριθμούς
Math Studies
 
Συναρτήσεις, επανάληψη
Συναρτήσεις, επανάληψη Συναρτήσεις, επανάληψη
Συναρτήσεις, επανάληψη
Θανάσης Δρούγας
 
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια ΕκπαίδευσηOι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Athanasios Kopadis
 
Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word
Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε wordΣημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word
Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word
Μάκης Χατζόπουλος
 
Math gen themata_lyseis_2017
Math gen themata_lyseis_2017Math gen themata_lyseis_2017
Math gen themata_lyseis_2017
Christos Loizos
 
Epanalhptika algevra a lykeiou#
Epanalhptika algevra a lykeiou#Epanalhptika algevra a lykeiou#
Epanalhptika algevra a lykeiou#
Μάκης Χατζόπουλος
 
θέματα επαναληπτικά-θεωρία-ασκήσεις
θέματα επαναληπτικά-θεωρία-ασκήσειςθέματα επαναληπτικά-θεωρία-ασκήσεις
θέματα επαναληπτικά-θεωρία-ασκήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Α΄ ΛυκείουΤράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
ygoumas
 
Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016
Christos Loizos
 
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Christos Loizos
 
Β Γυμν Μαθηματικά .pdf
Β Γυμν Μαθηματικά .pdfΒ Γυμν Μαθηματικά .pdf
Β Γυμν Μαθηματικά .pdf
zohsschool
 
Taxinomisi algevra b
Taxinomisi algevra bTaxinomisi algevra b
Taxinomisi algevra b
evagtheo
 
Επανάληψη στη Β Γυμνασίου 2017
Επανάληψη στη Β Γυμνασίου 2017Επανάληψη στη Β Γυμνασίου 2017
Επανάληψη στη Β Γυμνασίου 2017
Μάκης Χατζόπουλος
 

Similar to Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20 (20)

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015
 
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
 
Εισαγωγή στους Μιγαδικούς Αριθμούς
Εισαγωγή στους Μιγαδικούς ΑριθμούςΕισαγωγή στους Μιγαδικούς Αριθμούς
Εισαγωγή στους Μιγαδικούς Αριθμούς
 
Συναρτήσεις, επανάληψη
Συναρτήσεις, επανάληψη Συναρτήσεις, επανάληψη
Συναρτήσεις, επανάληψη
 
επανάληψη μιγαδικών 2013-2014
επανάληψη μιγαδικών 2013-2014επανάληψη μιγαδικών 2013-2014
επανάληψη μιγαδικών 2013-2014
 
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια ΕκπαίδευσηOι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
 
Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word
Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε wordΣημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word
Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word
 
Math gen themata_lyseis_2017
Math gen themata_lyseis_2017Math gen themata_lyseis_2017
Math gen themata_lyseis_2017
 
Epanalhptika algevra a lykeiou#
Epanalhptika algevra a lykeiou#Epanalhptika algevra a lykeiou#
Epanalhptika algevra a lykeiou#
 
θέματα επαναληπτικά-θεωρία-ασκήσεις
θέματα επαναληπτικά-θεωρία-ασκήσειςθέματα επαναληπτικά-θεωρία-ασκήσεις
θέματα επαναληπτικά-θεωρία-ασκήσεις
 
Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Α΄ ΛυκείουΤράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
 
Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016
 
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
 
Συν - μετρία
Συν - μετρία Συν - μετρία
Συν - μετρία
 
194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
194 ασκήσεις επανάληψης για την Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
 
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
 
Β Γυμν Μαθηματικά .pdf
Β Γυμν Μαθηματικά .pdfΒ Γυμν Μαθηματικά .pdf
Β Γυμν Μαθηματικά .pdf
 
Taxinomisi algevra b
Taxinomisi algevra bTaxinomisi algevra b
Taxinomisi algevra b
 
Επανάληψη στη Β Γυμνασίου 2017
Επανάληψη στη Β Γυμνασίου 2017Επανάληψη στη Β Γυμνασίου 2017
Επανάληψη στη Β Γυμνασίου 2017
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Μάκης Χατζόπουλος
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
Μάκης Χατζόπουλος
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Μάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Μάκης Χατζόπουλος
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Μάκης Χατζόπουλος
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
Μάκης Χατζόπουλος
 

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 

Recently uploaded

Σημειώσεις Σεμιναρίου Επιπεδο Αρχαρίων LG.pdf
Σημειώσεις Σεμιναρίου Επιπεδο Αρχαρίων LG.pdfΣημειώσεις Σεμιναρίου Επιπεδο Αρχαρίων LG.pdf
Σημειώσεις Σεμιναρίου Επιπεδο Αρχαρίων LG.pdf
Tassos Karampinis
 
Ημερολόγιο διάσημων προσώπων
Ημερολόγιο                    διάσημων προσώπωνΗμερολόγιο                    διάσημων προσώπων
Ημερολόγιο διάσημων προσώπων
Dimitra Mylonaki
 
Εγκατάσταση Arduino - R4- Egkatastasi_Arduino_IDE.pdf
Εγκατάσταση Arduino - R4- Egkatastasi_Arduino_IDE.pdfΕγκατάσταση Arduino - R4- Egkatastasi_Arduino_IDE.pdf
Εγκατάσταση Arduino - R4- Egkatastasi_Arduino_IDE.pdf
Tassos Karampinis
 
7. Οι μεγάλες επενδύσεις στον 20ο αιώνα
7.  Οι μεγάλες επενδύσεις στον 20ο αιώνα7.  Οι μεγάλες επενδύσεις στον 20ο αιώνα
7. Οι μεγάλες επενδύσεις στον 20ο αιώνα
Vassiliki Yiannou
 
Σπασμένο τηλέφωνο
Σπασμένο                               τηλέφωνοΣπασμένο                               τηλέφωνο
Σπασμένο τηλέφωνο
Dimitra Mylonaki
 
Η τράπεζα της Ελλάδος & Η οικονομική κρίση του 1929.ppt
Η τράπεζα της Ελλάδος & Η οικονομική κρίση του 1929.pptΗ τράπεζα της Ελλάδος & Η οικονομική κρίση του 1929.ppt
Η τράπεζα της Ελλάδος & Η οικονομική κρίση του 1929.ppt
Vassiliki Yiannou
 
5. & 6 Οι οικονομικές εξελίξεις 1920-1930 Μεσοπόλεμος.pptx
5. & 6 Οι οικονομικές εξελίξεις 1920-1930 Μεσοπόλεμος.pptx5. & 6 Οι οικονομικές εξελίξεις 1920-1930 Μεσοπόλεμος.pptx
5. & 6 Οι οικονομικές εξελίξεις 1920-1930 Μεσοπόλεμος.pptx
Vassiliki Yiannou
 

Recently uploaded (7)

Σημειώσεις Σεμιναρίου Επιπεδο Αρχαρίων LG.pdf
Σημειώσεις Σεμιναρίου Επιπεδο Αρχαρίων LG.pdfΣημειώσεις Σεμιναρίου Επιπεδο Αρχαρίων LG.pdf
Σημειώσεις Σεμιναρίου Επιπεδο Αρχαρίων LG.pdf
 
Ημερολόγιο διάσημων προσώπων
Ημερολόγιο                    διάσημων προσώπωνΗμερολόγιο                    διάσημων προσώπων
Ημερολόγιο διάσημων προσώπων
 
Εγκατάσταση Arduino - R4- Egkatastasi_Arduino_IDE.pdf
Εγκατάσταση Arduino - R4- Egkatastasi_Arduino_IDE.pdfΕγκατάσταση Arduino - R4- Egkatastasi_Arduino_IDE.pdf
Εγκατάσταση Arduino - R4- Egkatastasi_Arduino_IDE.pdf
 
7. Οι μεγάλες επενδύσεις στον 20ο αιώνα
7.  Οι μεγάλες επενδύσεις στον 20ο αιώνα7.  Οι μεγάλες επενδύσεις στον 20ο αιώνα
7. Οι μεγάλες επενδύσεις στον 20ο αιώνα
 
Σπασμένο τηλέφωνο
Σπασμένο                               τηλέφωνοΣπασμένο                               τηλέφωνο
Σπασμένο τηλέφωνο
 
Η τράπεζα της Ελλάδος & Η οικονομική κρίση του 1929.ppt
Η τράπεζα της Ελλάδος & Η οικονομική κρίση του 1929.pptΗ τράπεζα της Ελλάδος & Η οικονομική κρίση του 1929.ppt
Η τράπεζα της Ελλάδος & Η οικονομική κρίση του 1929.ppt
 
5. & 6 Οι οικονομικές εξελίξεις 1920-1930 Μεσοπόλεμος.pptx
5. & 6 Οι οικονομικές εξελίξεις 1920-1930 Μεσοπόλεμος.pptx5. & 6 Οι οικονομικές εξελίξεις 1920-1930 Μεσοπόλεμος.pptx
5. & 6 Οι οικονομικές εξελίξεις 1920-1930 Μεσοπόλεμος.pptx
 

Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20

  • 1. ΜΙΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 13
  • 2. 1 ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ… •Τα συστήματα δεν θα μας δυσκολέψουν ιδιαίτερα και φέτος. Έχουμε τις επιλογές να αντιμετωπίσουμε το συγκεκριμένο κεφάλαιο καθαρά με αλγεβρικές τεχνικές με κίνδυνο όμως να βαρεθούμε γρήγορα, ή να το συσχετίσουμε με όσο το δυνατόν ευρύτερο φάσμα των μαθηματικών και της καθημερινής ζωής και έτσι να μας φανούν χρήσιμα. Ελάχιστα πάνω σε αυτό αποσκοπεί αυτή η εργασία. …ΚΑΙ ΑΛΛΑ 2 ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ • Η εργασία αποτελείται από 12 ερωτήσεις κατανόησης και 22 θέματα εκ των οποίων τα 8 είναι προβλήματα. • Υπάρχει προσπάθεια να δοθεί έμφαση στη γεωμετρική ερμηνεία και αναπαράσταση, για αυτό προσπαθήστε όσο είναι δυνατό να μην την αποφύγετε. • Στο θέμα 2* και θέμα 12* να συμβουλευτείτε το σχολικό βιβλίο της άλγεβρας Ά Λυκείου (σελ 153) •Ο σκοπός της εργασίας δεν είναι η βαθμολογία, παρόλα αυτά η παρούσα θα βαθμολογηθεί με άριστα το 100 και ίσως γίνει αναγωγή στα 20. (Οι ερωτήσεις κατανόησης αποτελούν το 30%) 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 13
  • 3. 2 Η ευθεία −2𝜒 = 6 τέμνει τον άξονα χ΄χ στο σημείο Α.(0,3) Β.(3,0) Γ.( 0,-3) Δ. (-3,0) Ε.(-3,3) Οι ευθείες 𝜒 = 3 και 𝑦 = − 2 τέμνονται στο σημείο Α. (3,0) Β. (0, −2) Γ. ( 3, −2) Δ (−2,3) Ε(−3,2) Αν το (Σ): { −3𝜒 + 2𝑦 = 𝑎 6𝑥 − 4𝑦 = 𝜅𝛼 𝜅, 𝛼 ∈ 𝑅∗ έχει άπειρες λύσεις, το κ παίρνει την τιμή Α.0 Β. 1 Γ. 2 Δ. -2 Ε. -1 Το πλήθος των ζευγών (χ,y) που επαληθεύουν ταυτόχρονα τις εξισώσεις: ( 𝑥 + 𝑦 − 2)(2𝑥 + 𝑦) = 0 𝜅𝛼𝜄 (−6𝜒 − 3𝑦)( 𝑥 − 4𝑦 − 1) = 0 είναι Α.1 Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε. Κανένα Αν 𝐷 ≠ 0 𝜅𝛼𝜄 𝐷 𝑥 + 𝐷 𝑦 = 𝐷 𝜅𝛼𝜄 𝜒 = 𝑦 τότε η λύση του συστήματος είναι : Α.(1,1) Β. ( 1 2 , 1 2 ) Γ. (−1, −1) Δ.(0,0) Ε. (-2,2) Αν 𝐷2 + | 𝐷 𝑥 − 5| = 0 τότε για το σύστημα ισχύει : Α. έχει λύση το (5,0) Β. έχει λύση το (-5,0) Γ. έχει άπειρες λύσεις Δ. είναι αδύνατο Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε. Η γραμμική εξίσωση που επαληθεύεται με κάθε ζεύγος της μορφής χ=κ-2 και y=k+1 , k ε R είναι : Α.𝑦 − 2𝑥 = 5 Β. 𝑥 − 𝑦 = −3 Γ.𝑥 − 𝑦 = 2 Δ. 𝑥 − 𝑦 = 1 E. 2𝑥 + 𝑦 = 7 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 13
  • 4. 3 Το σύστημα { 𝛼𝜒 − 𝑦 = 0 𝑥 + 𝑎𝑦 = 0 έχει λύση: Α. (χ,y) =( 1 𝑎 , 0) Β. Μόνο την (𝜒, 𝑦) = (0,0) Γ. Άπειρες λύσεις Δ. Είναι αδύνατο Ε. Δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα Αν για το σύστημα { 𝛼𝜒 + 𝛽𝑦 = 𝛾 𝛿𝜒 + 𝜀𝑦 = 𝑧 γνωρίζουμε 2 λύσεις του, τότε τι συμπέρασμα θα βγάζατε για την D ; Οι χ, y,λ είναι πραγματικοί αριθμοί και ισχύει 𝛘 = 𝟐 − 𝟑𝛌 και 𝐲 = 𝛌 − 𝟏 . Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα χ και y Ένα διαστημόπλοιο με εξωγήινους κινείται πάνω στην ευθεία 𝒚 = 𝟎 · 𝒙 + 𝟐 και το αεροπλάνο της Ολυμπιακής κινείται ευθύγραμμα από το σημείο Ο(0,0) προς το σημείο Α(3,0). i) Θα συναντήσει ο πιλότος του αεροπλάνου τους εξωγήινους, και αν ναι, σε ποιες ακριβώς συντεταγμένες; ii) Πάνω στην εξίσωση ποιας ευθείας θα λέγατε ότι κινείται ο πιλότος; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 8. 9. 10. 11. 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 13
  • 5. 4 . Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η παραβολή 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟐 + 𝟐 ,η γνωστή μας 𝒈(𝒙) = 𝒙 καθώς και 2 παραλλαγές της. i) Πως θα αποδείξετε αλγεβρικά, ότι η Cg και η Cf, δεν έχουν κοινό σημείο; ii) Για να ΄΄πλησιάζει΄΄ και αντίστοιχα να ΄΄απομακρύνεται΄΄ η Cg από την παραβολή, τι τιμές θα βάλετε στην παράμετρο λ, δηλαδή σε ποια περίπτωση θετικές και σε ποια αρνητικές; Να το δοκιμάσετε με παραδείγματα και να βγάλετε ένα συμπέρασμα. iii) Για ποια ακριβώς τιμή του λ, η ευθεία θα συναντήσει για πρώτη φορά την παραβολή; 12. 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 13
  • 6. 5 … 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 13
  • 7. 6 Θέμα 1 Να λυθεί χωρίς αντικατάσταση, το (Σ): { 𝜒2 + 𝑦2 = 25 𝑥𝑦 = 12 Θέμα 2* Κατασκευάστε ένα μη γραμμικό σύστημα (2𝜒2) του οποίου η μία εξίσωση να είναι υπερβολή και το (𝛴) να έχει λύση τα ζεύγη: (2, −1) και (−1,2). Να υπάρχει και γεωμετρική κατασκευή. Τι είναι αυτά τα σημεία μεταξύ τους; Θέμα 3 Σας δίνονται 2 παραμετρικές ευθείες, 𝜀1: 𝜆𝜒 + 2𝜒 − 𝑦 = 𝜆 𝜅𝛼𝜄 𝜀2: 3𝜒 + 𝜆𝑦 − 2𝑦 = 1 με λ∈ 𝑅. Να διερευνήσετε την σχετική θέση των ευθειών για τα διάφορα λ. Στην περίπτωση που υπάρχει μοναδικό σημείο τομής (χ0,y0),να εξετάσετε αν υπάρχει λ ώστε το σημείο αυτό να είναι πάνω στην παραβολή 𝑦 = −2𝑥2 . Nα δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Θέμα 4 Έστω οι ευθείες 𝜀1: 𝑥 − 2𝑦 = −2 , 𝜀2: 𝜆𝜒 − 2𝑦 = −2. i) Nα βρείτε το λ, ώστε οι 𝜀1, 𝜀2 να τέμνονται κάθετα. ii) Aν 𝜆 = − 4, ποιο είναι το εμβαδό που σχηματίζουν οι 𝜀1, 𝜀2 με τον 𝜒΄𝜒; 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 13
  • 8. 7 Θέμα 5 Να σχεδιάσετε ,στο ίδιο σύστημα αξόνων 2 ευθείες 𝜀1, 𝜀2, που οι εξισώσεις τους να αντιπροσωπεύουν σύστημα με ορίζουσα D, σε καθεμιά από τις περιπτώσεις: i) 𝐷3 = 8 ii) 𝐷4 + 16 = 0 iii) 𝐷8 + 𝐷𝑥 6 + 𝐷 𝑦 2 + 1 = (𝐷 𝑦 − 2019) 0 , 𝐷 𝑦 ≤ 0 Θέμα 6 Έστω το (Σ): { 𝑥 − 2𝑦 = 9 𝑎𝑥 + 𝛽𝑦 = 𝛾 με παραμέτρους α,β,γ στο R. α) Επιλέξτε τιμές για τις α,β,γ ώστε το (Σ) να έχει μοναδική λύση το (1, −4) β) Επιλέξτε τώρα τιμές για τις α,β,γ ώστε να έχει άπειρες λύσεις. Επιβεβαιώνεται γραφικά αυτή η επιλογή σας; Θέμα 7 Οι ευθείες 𝜺 𝟏: 𝜒 + 𝛼𝑦 = 33, 𝜺 𝟐: 3𝑥 − 2𝑦 = −1, 𝜺 𝟑: 𝜒 + 2𝑦 = 13 διέρχονται από το ίδιο σημείο ή αλλιώς συντρέχουν. Να βρείτε την τιμή του α. Θέμα 8 Ένας χορογράφος σχεδιάζοντας τις θέσεις των χορευτών σε μία χορογραφία, θέλει να τους διατάξει σε τετράγωνο. Αν σχηματίσει x σειρές με x χορευτές σε κάθε σειρά, θα του περισσέψουν 10 χορευτές. Αν προσθέσει 2 χορευτές σε κάθε σειρά για να σχηματίσει ένα νέο τετράγωνο, θα του λείπουν 10 χορευτές. Να βρεθεί ο αριθμός 𝒙 των χορευτών μιας σειράς του πρώτου τετραγώνου και ο συνολικός αριθμός 𝒚 των χορευτών. 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 13
  • 9. 8 Θέμα 9 Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας παραβολής 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝛽𝜒 + 𝛾 και της ευθείας 𝑔( 𝑥) = −𝑥 + 2 Να βρείτε τα 𝛼, 𝛽, 𝛾 καθώς και τα κοινά σημεία ευθείας και παραβολής. Θέμα 10 2 πλοία κινούνται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις: 𝜀1: 2𝑥 + 𝑦 = 4 𝜅𝛼𝜄 𝜀2: 𝑥 + 2𝑦 = 6 i) Ποια τα σημεία τομής με τους άξονες; ιι) Nα αποδείξετε ότι τα πλοία θα διέλθουν από το ίδιο σημείο. iii) Στο σημείο 𝑀(3,1) όμως υπάρχει ένας ύφαλος. Να ελέγξετε αν κάποιο από τα πλοία κινδυνεύει και πρέπει να αλλάξει πορεία. 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 13
  • 10. 9 Θέμα 11 Να λύσετε το σύστημα: { ( 𝑥 − 2𝑦)2 − | 𝑥 − 2𝑦| − 6 = 0 𝑥 + 2𝑦 = 1 Θέμα 12* Έστω ο κύκλος C: 𝑥2 + 𝑦2 = 5 και η ευθεία που τον τέμνει στα σημεία 𝛢(1,2) 𝛣(−1, −2). Τι αποτελεί αυτή η ευθεία για τον κύκλο; Θέμα 13 Δίνεται το (Σ) : { 𝛼𝜒 + 𝛽𝑦 = 2𝑎𝛽 𝛽𝜒 + 𝛼𝑦 = 𝑎2 + 𝛽2 με α,β στο R. Να αποδείξετε ότι: | 𝐷 𝑥 𝑎 · 𝐷 𝑎 · 𝐷 𝐷 𝑥 |+| 𝐷 𝑦 𝛽 · 𝐷 𝛽 · 𝐷 𝐷 𝑦 | = 0 Θέμα 14 Να λυθεί το γραμμικό σύστημα : { ( 𝐷 − 2) 𝑥 − 𝐷 𝑦 = 3 𝑥 − 3𝑦 = 1 αν D η ορίζουσά του. Θέμα 15 Αν το σύστημα : { 𝜆𝜒 + 2𝑦 = 4 2𝑥 + 𝜆𝑦 = 𝜆2 i) είναι αδύνατο, να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας 𝑥 + 𝑦 = −2𝜆 και της υπερβολής 𝑦 = 3 𝑥 ii) έχει άπειρες λύσεις, να λύσετε το σύστημα { 𝜒 − 𝑦 + 𝑧 = 𝜆 − 2 𝜆𝜒 + 𝑦 − 𝑧 = 0 𝑥 − 𝜆𝑦 + 𝑧 = 0 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 13
  • 11. 10 Θέμα 16 Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. Θέμα 17 Για τις ηλικίες των μελών μιας τριμελούς οικογένειας ισχύουν τα παρακάτω: →Η ηλικία της μητέρας είναι τριπλάσια από την ηλικία του παιδιού. →Ο λόγος της ηλικίας του πατέρα προς την ηλικία του παιδιού ισούται με 11 3 → Επιπλέον το άθροισμα των ηλικιών και των τριών ισούται με 115 χρόνια. ι)Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους. ii ) Να βρείτε την ηλικία του καθενός 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 13
  • 12. 11 Θέμα 18 Δίνεται το σύστημα { 𝑥 + 𝑦 = 𝜆2 17𝜒 + 13𝑦 = 15𝜆2 i) Να δείξετε ότι έχει μοναδική λύση και να το λύσετε για λ=10 ii) Για να συσκευάσουμε 1,5 τόνο ελαιόλαδο σε 100 δοχεία των 17 και 13 κιλών ,πόσα δοχεία θα χρησιμοποιήσουμε από κάθε είδος; Θέμα 19 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τα α,β,γ ∈ 𝑅 i) Οι ευθείες y = (2α + 2β − 5)χ − α + 3β − 4 και η y=5x+3 να ταυτίζονται ii) Η παράσταση |𝛼 + 2𝛽 − 5| + |2𝛼 + 2𝛽 − 3| να γίνεται ελάχιστη Θέμα 20 Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από τον Βασίλη. i) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός. 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 13
  • 13. 12 ΚΑΙ ΤΩΡΑ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑΣ Πρόβλημα 1 (Αποδίδεται στον Ευκλείδη) Μια γαϊδουρίτσα και ένα μουλαράκι προχωρούσαν στο δρόμο, φορτωμένα με σιτάρι. Όμως η γαϊδουρίτσα από το βάρος του φορτίου αναστέναζε. Το μουλαράκι, σαν την είδε να βαριαναστενάζει της είπε: « Γιατί, μανούλα μου, θρηνείς κι οδύρεσαι, σαν κοριτσάκι; (sic). Αν μου έδινες μια ποσότητα από το φορτίο σου, θα σήκωνα το διπλάσιο από σένα. Αν πάλι μου πάρεις την ίδια ποσότητα, θα διατηρήσεις τη μεταξύ μας ισότητα » Βρες μου, πόσο είναι αυτή η ποσότητα, εσύ που είσαι άριστος γνώστης της άλγεβρας. Πρόβλημα 2 Δώσε μου δέκα μνες και θα έχω τριπλάσιο βάρος από σένα. Και εγώ αν πάρω από εσένα το ίσο ποσό των δέκα μνων, θα έχω πενταπλάσιο βάρος από σένα. Πόσες μνες έχει ο καθένας μας; Δύο αγάλματα μιλούν για το βάρος τους. (Η μνα (αρχ. ελλ. μνᾶ, λατ. mina) είναι μονάδα μέτρησης της μάζας (υποδιαίρεση του ταλάντου) που χρησιμοποιήθηκε στην αρχαιότητα και σαν νόμισμα). 29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 13