Επιμέλεια: Αγωγιάτης Δημήτρης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΜΙΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ
ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 13

2. 1
ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ…
•Τα συστήματα δεν θα μας δυσκολέψουν ιδιαίτερα και φέτος. Έχουμε τις
επιλογές να αντιμετωπίσουμε το συγκεκριμένο κεφάλαιο καθαρά με αλγεβρικές
τεχνικές με κίνδυνο όμως να βαρεθούμε γρήγορα, ή να το συσχετίσουμε με όσο
το δυνατόν ευρύτερο φάσμα των μαθηματικών και της καθημερινής ζωής και
έτσι να μας φανούν χρήσιμα. Ελάχιστα πάνω σε αυτό αποσκοπεί αυτή η εργασία.
…ΚΑΙ ΑΛΛΑ 2 ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ
• Η εργασία αποτελείται από 12 ερωτήσεις κατανόησης και 22 θέματα εκ των
οποίων τα 8 είναι προβλήματα.
• Υπάρχει προσπάθεια να δοθεί έμφαση στη γεωμετρική ερμηνεία και
αναπαράσταση, για αυτό προσπαθήστε όσο είναι δυνατό να μην την αποφύγετε.
• Στο θέμα 2* και θέμα 12* να συμβουλευτείτε το σχολικό βιβλίο της άλγεβρας
Ά Λυκείου (σελ 153)
•Ο σκοπός της εργασίας δεν είναι η βαθμολογία, παρόλα αυτά η παρούσα θα
βαθμολογηθεί με άριστα το 100 και ίσως γίνει αναγωγή στα 20. (Οι ερωτήσεις
κατανόησης αποτελούν το 30%)
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 13

3. 2
Η ευθεία −2𝜒 = 6 τέμνει τον άξονα χ΄χ στο σημείο
Α.(0,3) Β.(3,0) Γ.( 0,-3) Δ. (-3,0) Ε.(-3,3)
Οι ευθείες 𝜒 = 3 και 𝑦 = − 2 τέμνονται στο σημείο
Α. (3,0) Β. (0, −2) Γ. ( 3, −2) Δ (−2,3) Ε(−3,2)
Αν το (Σ): {
−3𝜒 + 2𝑦 = 𝑎
6𝑥 − 4𝑦 = 𝜅𝛼
𝜅, 𝛼 ∈ 𝑅∗
έχει άπειρες λύσεις, το κ παίρνει την τιμή
Α.0 Β. 1 Γ. 2 Δ. -2 Ε. -1
Το πλήθος των ζευγών (χ,y) που επαληθεύουν ταυτόχρονα τις εξισώσεις:
( 𝑥 + 𝑦 − 2)(2𝑥 + 𝑦) = 0 𝜅𝛼𝜄 (−6𝜒 − 3𝑦)( 𝑥 − 4𝑦 − 1) = 0 είναι
Α.1 Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε. Κανένα
Αν 𝐷 ≠ 0 𝜅𝛼𝜄 𝐷 𝑥 + 𝐷 𝑦 = 𝐷 𝜅𝛼𝜄 𝜒 = 𝑦 τότε η λύση του συστήματος είναι :
Α.(1,1) Β. (
1
2
,
1
2
) Γ. (−1, −1) Δ.(0,0) Ε. (-2,2)
Αν 𝐷2
+ | 𝐷 𝑥 − 5| = 0 τότε για το σύστημα ισχύει :
Α. έχει λύση το (5,0) Β. έχει λύση το (-5,0) Γ. έχει άπειρες λύσεις
Δ. είναι αδύνατο Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε.
Η γραμμική εξίσωση που επαληθεύεται με κάθε ζεύγος της μορφής χ=κ-2 και
y=k+1 , k ε R είναι :
Α.𝑦 − 2𝑥 = 5 Β. 𝑥 − 𝑦 = −3 Γ.𝑥 − 𝑦 = 2 Δ. 𝑥 − 𝑦 = 1 E. 2𝑥 + 𝑦 = 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 13

4. 3
Το σύστημα {
𝛼𝜒 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑎𝑦 = 0
έχει λύση:
Α. (χ,y) =(
1
𝑎
, 0) Β. Μόνο την (𝜒, 𝑦) = (0,0) Γ. Άπειρες λύσεις
Δ. Είναι αδύνατο Ε. Δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα
Αν για το σύστημα {
𝛼𝜒 + 𝛽𝑦 = 𝛾
𝛿𝜒 + 𝜀𝑦 = 𝑧
γνωρίζουμε 2 λύσεις του, τότε τι
συμπέρασμα θα βγάζατε για την D ;
Οι χ, y,λ είναι πραγματικοί αριθμοί και ισχύει 𝛘 = 𝟐 − 𝟑𝛌 και 𝐲 = 𝛌 − 𝟏 .
Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα χ και y
Ένα διαστημόπλοιο με εξωγήινους κινείται πάνω στην ευθεία 𝒚 = 𝟎 · 𝒙 + 𝟐
και το αεροπλάνο της Ολυμπιακής κινείται ευθύγραμμα από το σημείο
Ο(0,0) προς το σημείο Α(3,0).
i) Θα συναντήσει ο πιλότος του αεροπλάνου τους εξωγήινους, και αν ναι, σε ποιες
ακριβώς συντεταγμένες;
ii) Πάνω στην εξίσωση ποιας ευθείας θα λέγατε ότι κινείται ο πιλότος;
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
8.
9.
10.
11.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 13

5. 4
. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η παραβολή 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟐
+ 𝟐 ,η γνωστή μας 𝒈(𝒙) = 𝒙
καθώς και 2 παραλλαγές της.
i) Πως θα αποδείξετε αλγεβρικά, ότι η Cg και η Cf, δεν έχουν κοινό σημείο;
ii) Για να ΄΄πλησιάζει΄΄ και αντίστοιχα να ΄΄απομακρύνεται΄΄ η Cg από την παραβολή,
τι τιμές θα βάλετε στην παράμετρο λ, δηλαδή σε ποια περίπτωση θετικές και σε ποια
αρνητικές; Να το δοκιμάσετε με παραδείγματα και να βγάλετε ένα συμπέρασμα.
iii) Για ποια ακριβώς τιμή του λ, η ευθεία θα συναντήσει για πρώτη φορά την
παραβολή;
12.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 13

6. 5
…
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 13

7. 6
Θέμα 1
Να λυθεί χωρίς αντικατάσταση, το (Σ): {
𝜒2
+ 𝑦2
= 25
𝑥𝑦 = 12
Θέμα 2*
Κατασκευάστε ένα μη γραμμικό σύστημα (2𝜒2) του οποίου η μία εξίσωση να
είναι υπερβολή και το (𝛴) να έχει λύση τα ζεύγη: (2, −1) και (−1,2). Να υπάρχει
και γεωμετρική κατασκευή. Τι είναι αυτά τα σημεία μεταξύ τους;
Θέμα 3
Σας δίνονται 2 παραμετρικές ευθείες, 𝜀1: 𝜆𝜒 + 2𝜒 − 𝑦 = 𝜆 𝜅𝛼𝜄 𝜀2: 3𝜒 + 𝜆𝑦 − 2𝑦 = 1
με λ∈ 𝑅. Να διερευνήσετε την σχετική θέση των ευθειών για τα διάφορα λ.
Στην περίπτωση που υπάρχει μοναδικό σημείο τομής (χ0,y0),να εξετάσετε αν υπάρχει
λ ώστε το σημείο αυτό να είναι πάνω στην παραβολή 𝑦 = −2𝑥2
. Nα δικαιολογήσετε
την απάντηση σας.
Θέμα 4
Έστω οι ευθείες 𝜀1: 𝑥 − 2𝑦 = −2 , 𝜀2: 𝜆𝜒 − 2𝑦 = −2.
i) Nα βρείτε το λ, ώστε οι 𝜀1, 𝜀2 να τέμνονται κάθετα.
ii) Aν 𝜆 = − 4, ποιο είναι το εμβαδό που σχηματίζουν οι 𝜀1, 𝜀2 με τον 𝜒΄𝜒;
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 13

8. 7
Θέμα 5
Να σχεδιάσετε ,στο ίδιο σύστημα αξόνων 2 ευθείες 𝜀1, 𝜀2, που οι εξισώσεις τους να
αντιπροσωπεύουν σύστημα με ορίζουσα D, σε καθεμιά από τις περιπτώσεις:
i) 𝐷3
= 8 ii) 𝐷4
+ 16 = 0 iii) 𝐷8
+ 𝐷𝑥
6
+ 𝐷 𝑦
2
+ 1 = (𝐷 𝑦 − 2019)
0
, 𝐷 𝑦 ≤ 0
Θέμα 6
Έστω το (Σ): {
𝑥 − 2𝑦 = 9
𝑎𝑥 + 𝛽𝑦 = 𝛾
με παραμέτρους α,β,γ στο R.
α) Επιλέξτε τιμές για τις α,β,γ ώστε το (Σ) να έχει μοναδική λύση το (1, −4)
β) Επιλέξτε τώρα τιμές για τις α,β,γ ώστε να έχει άπειρες λύσεις. Επιβεβαιώνεται
γραφικά αυτή η επιλογή σας;
Θέμα 7
Οι ευθείες 𝜺 𝟏: 𝜒 + 𝛼𝑦 = 33, 𝜺 𝟐: 3𝑥 − 2𝑦 = −1, 𝜺 𝟑: 𝜒 + 2𝑦 = 13 διέρχονται από
το ίδιο σημείο ή αλλιώς συντρέχουν. Να βρείτε την τιμή του α.
Θέμα 8
Ένας χορογράφος σχεδιάζοντας τις θέσεις των χορευτών σε μία χορογραφία, θέλει να
τους διατάξει σε τετράγωνο. Αν σχηματίσει x σειρές με x χορευτές σε κάθε σειρά, θα
του περισσέψουν 10 χορευτές.
Αν προσθέσει 2 χορευτές σε κάθε σειρά για να σχηματίσει ένα νέο τετράγωνο, θα του
λείπουν 10 χορευτές.
Να βρεθεί ο αριθμός 𝒙 των χορευτών μιας σειράς του πρώτου τετραγώνου και ο
συνολικός αριθμός 𝒚 των χορευτών.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 13

9. 8
Θέμα 9
Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας παραβολής
𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝛽𝜒 + 𝛾 και της ευθείας 𝑔( 𝑥) = −𝑥 + 2
Να βρείτε τα 𝛼, 𝛽, 𝛾 καθώς και τα κοινά σημεία ευθείας και παραβολής.
Θέμα 10
2 πλοία κινούνται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις: 𝜀1: 2𝑥 + 𝑦 = 4 𝜅𝛼𝜄 𝜀2: 𝑥 + 2𝑦 = 6
i) Ποια τα σημεία τομής με τους άξονες;
ιι) Nα αποδείξετε ότι τα πλοία θα διέλθουν από το ίδιο σημείο.
iii) Στο σημείο 𝑀(3,1) όμως υπάρχει ένας ύφαλος. Να ελέγξετε αν κάποιο από τα
πλοία κινδυνεύει και πρέπει να αλλάξει πορεία.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 13

10. 9
Θέμα 11
Να λύσετε το σύστημα: {
( 𝑥 − 2𝑦)2
− | 𝑥 − 2𝑦| − 6 = 0
𝑥 + 2𝑦 = 1
Θέμα 12*
Έστω ο κύκλος C: 𝑥2
+ 𝑦2
= 5 και η ευθεία που τον τέμνει στα σημεία 𝛢(1,2) 𝛣(−1, −2).
Τι αποτελεί αυτή η ευθεία για τον κύκλο;
Θέμα 13
Δίνεται το (Σ) : {
𝛼𝜒 + 𝛽𝑦 = 2𝑎𝛽
𝛽𝜒 + 𝛼𝑦 = 𝑎2
+ 𝛽2 με α,β στο R. Να αποδείξετε ότι:
|
𝐷 𝑥 𝑎 · 𝐷
𝑎 · 𝐷 𝐷 𝑥
|+|
𝐷 𝑦 𝛽 · 𝐷
𝛽 · 𝐷 𝐷 𝑦
| = 0
Θέμα 14
Να λυθεί το γραμμικό σύστημα : {
( 𝐷 − 2) 𝑥 − 𝐷 𝑦 = 3
𝑥 − 3𝑦 = 1
αν D η ορίζουσά του.
Θέμα 15
Αν το σύστημα : {
𝜆𝜒 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 𝜆𝑦 = 𝜆2
i) είναι αδύνατο, να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας 𝑥 + 𝑦 = −2𝜆 και της
υπερβολής 𝑦 =
3
𝑥
ii) έχει άπειρες λύσεις, να λύσετε το σύστημα {
𝜒 − 𝑦 + 𝑧 = 𝜆 − 2
𝜆𝜒 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝜆𝑦 + 𝑧 = 0
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 13

11. 10
Θέμα 16
Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ.
Θέμα 17
Για τις ηλικίες των μελών μιας τριμελούς οικογένειας ισχύουν τα παρακάτω:
→Η ηλικία της μητέρας είναι τριπλάσια από την ηλικία του παιδιού.
→Ο λόγος της ηλικίας του πατέρα προς την ηλικία του παιδιού ισούται με
11
3
→ Επιπλέον το άθροισμα των ηλικιών και των τριών ισούται με 115 χρόνια.
ι)Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους.
ii ) Να βρείτε την ηλικία του καθενός
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 13

12. 11
Θέμα 18
Δίνεται το σύστημα {
𝑥 + 𝑦 = 𝜆2
17𝜒 + 13𝑦 = 15𝜆2
i) Να δείξετε ότι έχει μοναδική λύση και να το λύσετε για λ=10
ii) Για να συσκευάσουμε 1,5 τόνο ελαιόλαδο σε 100 δοχεία των 17 και 13 κιλών ,πόσα
δοχεία θα χρησιμοποιήσουμε από κάθε είδος;
Θέμα 19
Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τα α,β,γ ∈ 𝑅
i) Οι ευθείες y = (2α + 2β − 5)χ − α + 3β − 4 και η y=5x+3 να ταυτίζονται
ii) Η παράσταση |𝛼 + 2𝛽 − 5| + |2𝛼 + 2𝛽 − 3| να γίνεται ελάχιστη
Θέμα 20
Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο
Μάρκος είναι μεγαλύτερος από τον Βασίλη.
i) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός ;
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια.
Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός.
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 13

13. 12
ΚΑΙ ΤΩΡΑ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑΣ
Πρόβλημα 1 (Αποδίδεται στον Ευκλείδη)
Μια γαϊδουρίτσα και ένα μουλαράκι προχωρούσαν στο δρόμο, φορτωμένα με
σιτάρι.
Όμως η γαϊδουρίτσα από το βάρος του φορτίου αναστέναζε.
Το μουλαράκι, σαν την είδε να βαριαναστενάζει της είπε:
« Γιατί, μανούλα μου, θρηνείς κι οδύρεσαι, σαν κοριτσάκι; (sic). Αν μου έδινες
μια ποσότητα από το φορτίο σου, θα σήκωνα το διπλάσιο από σένα. Αν πάλι μου
πάρεις την ίδια ποσότητα, θα διατηρήσεις τη μεταξύ μας ισότητα »
Βρες μου, πόσο είναι αυτή η ποσότητα, εσύ που είσαι άριστος γνώστης της
άλγεβρας.
Πρόβλημα 2
Δώσε μου δέκα μνες και θα έχω τριπλάσιο βάρος από σένα.
Και εγώ αν πάρω από εσένα το ίσο ποσό των δέκα μνων, θα έχω πενταπλάσιο
βάρος από σένα.
Πόσες μνες έχει ο καθένας μας;
Δύο αγάλματα μιλούν για το βάρος τους.
(Η μνα (αρχ. ελλ. μνᾶ, λατ. mina) είναι μονάδα μέτρησης της μάζας (υποδιαίρεση του
ταλάντου) που χρησιμοποιήθηκε στην αρχαιότητα και σαν νόμισμα).
29.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 13