ΚΥΚΛΟΣ, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ , ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ , ΜΙΚΡΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ 2020, ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ,

1. 1
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΚΥΚΛΟΣ
Ορισμός : Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα
σταθερό σημείο το οποίο ονομάζεται κέντρο του κύκλου.
Συμβολισμός : (Κ , ρ) , όπου Κ το κέντρο και ρ το μήκος της ακτίνας του κύκλου.
Εξίσωση Κύκλου με κέντρο το (0,0)
Έστω Μ(x,y) τυχαίο σημείο του κύκλου. Από τον
ορισμό του κύκλου έχω : 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥, 𝑦)
 = ρ 
√𝑥2 + 𝑦2 = 𝜌
Άρα : x2 + y2 = ρ2
Παράδειγμα : Λύστε την άσκηση 1, σελίδα 87.
ΛΥΣΗ
ι ) Έστω x2 + y2 = ρ2 (1) η ζητούμενη εξίσωση του κύκλου , θυμήσου έχει
κέντρο το (0,0).
Αρκεί να βρω το ρ. Επίσης προσοχή ρ > 0.
Μου δίνεται ότι διέρχεται απ το Α. Άρα το σημείο Α επαληθεύει την (1).
Αντικαθιστώντας βρίσκω το ρ .
12 + 3 = ρ2⇔ ρ2 = 4. Η ζητούμενη εξίσωση του κύκλου είναι : x2+y2 = 4.
ιι ) Ομοίως (α-β)2 +(α+β)2 = ρ2⇔ 2α2 + 2β2 = ρ2
Η ζητούμενη εξίσωση του κύκλου είναι : x2+y2 = 2α2 + 2β2

2. 2
ΛΥΣΕΙΣ
iii )Έστω x2 + y2 = ρ2 (1) η ζητούμενη εξίσωση του κύκλου , θυμήσου έχει
κέντρο το (0,0).
Αρκεί να βρω το ρ. Επίσης προσοχή ρ > 0.
Αφού εφάπτεται στον κύκλο άρα ακτίνα και εφαπτομένη κάθετες και
ρ = d((0,0), x- y=2)=
|0−0−2|
√12+(−1)2
=
2
√2
=
2√2
(√2)2 = √2
Η ζητούμενη εξίσωση του κύκλου είναι : x2+y2 = 2.
iv) Έστω x2 + y2 = ρ2 (1) η ζητούμενη εξίσωση του κύκλου , θυμήσου έχει
κέντρο το (0,0).
Αρκεί να βρω το ρ. Επίσης προσοχή ρ > 0.
Αφού εφάπτεται στον κύκλο άρα ακτίνα και εφαπτομένη κάθετες και
ρ = d((0,0), αx+βy=α2+β2)=
|−𝛼2−𝛽2|
√𝛼2+𝛽2
=
𝛼2+𝛽2
√𝛼2+𝛽2
=
(𝛼2+𝛽2)√𝛼2+𝛽2
(√𝛼2+𝛽2)2
= √𝛼2 + 𝛽2
Η ζητούμενη εξίσωση του κύκλου είναι : x2+y2 = (𝛼2
+ 𝛽2
)
Εφαπτομένη Κύκλου με κέντρο το (0,0)
Το σημείο Α(x1,y1) είναι το σημείο επαφής της
εφαπτομένης και του κύκλου.
Έστω Μ τυχαίο σημείο της εφαπτομένης. Τότε :
 = 0 
𝑂𝛢⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1, 𝑦1) , : 𝛢𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 𝑥1, 𝑦 − 𝑦1)
x1(x-x1) + y1(y-y1) = 0
x1x – 𝑥1
2
+ y1y - 𝑦1
2
= 0
x1x+ y1y = 𝑥1
2
+ 𝑦1
2

3. 3
x1x + y1y = ρ2γιατί το Α ανήκει στον κύκλο άρα τον επαληθεύει.
Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ;
λ = −
𝐱1
𝐲 𝟏
, y1 ≠ 0
Παράδειγμα :Λύστε την άσκηση 2 σελίδα 87.
ΛΥΣΗ
ι ) Η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η : x1x + y1y = 5 (1) , ρ = √𝟓 , ο κύκλος
δίνεται !
Αρκεί να βρω x1 , y1 . (Δυο άγνωστοι !!)
Το (x1 , y1) είναι το σημείο επαφής Εφαπτομένης και Κύκλου.
Άρα x12 + y12 = 5 (2)
Η (1) είναι // στην y = 2 x + 3, άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της (1) είναι: λ = 2
−
𝐱1
𝐲 𝟏
= 2 ⇔ -2y1 = x1 (3)
Λύνω το Σύστημα των (2) και (3) με αντικατάσταση !
4y12 + y12 = 5 ⇔ 5y12 = 5 ⇔y1 = 1 ή y1 = -1
Αν y1 = 1 , τότε x1 = - 2 και η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : -2x+y = 5
Αν y1 = -1 , τότε x1 = 2 και η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : 2x - y = 5

4. 4
ΛΥΣΕΙΣ
ιι ) Η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η : x1x + y1y = 5 (1) , ρ = √5 , ο κύκλος
δίνεται !
Αρκεί να βρω x1 , y1 . (Δυο άγνωστοι !!)
Το (x1 , y1) είναι το σημείο επαφής Εφαπτομένης και Κύκλου.
Άρα x12 + y12 = 5 (2)
Η (1) είναι κάθετη στην y =
𝟏
𝟐
x, άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της (1) είναι:
λ = -2
−
𝐱1
𝐲 𝟏
= −2 ⇔2y1 = x1 (3)
Λύνω το Σύστημα των (2) και (3) με αντικατάσταση !
4y12 + y12 = 5 ⇔ 5y12 = 5 ⇔y1 = 1 ή y1 = -1
Αν y1 = 1 , τότε x1 = 2 και η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : 2x+y = 5
Αν y1 = -1 , τότε x1 = -2 και η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : -2x - y = 5
ιιι ) Η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η : x1x + y1y = 5 (1) , ρ = √5 , ο κύκλος
δίνεται !
Αρκεί να βρω x1 , y1 . (Δυο άγνωστοι !!)
Το (x1 , y1) είναι το σημείο επαφής Εφαπτομένης και Κύκλου.
Άρα x12 + y12 = 5 (2)
Η (1) διέρχεται απ το Α (5,0) άρα επαληθεύεται απ αυτό: 5x1 + 0y1 = 5 ⇔
5 x1 = 5 ⇔x1 = 1
Αντικαθιστώ στην (2) και βρίσκω το y1
x1 = 1 , τότε : 12 + y12 = 5 ⇔y12 = 4 ⇔y1 = 2 ή y1 = -2.
Βρήκα λοιπόν δυο σημεία επαφής : (1,2) και (1,-2)
Οι εξισώσεις των ζητούμενων εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται δηλαδή
απ το (5,0) ,

5. 5
είναι : x+2y = 5 και x -2y = 5,
ΑΣΚΗΣΗ 3 σχολικού σελίδα 87
Δίνεται ο κύκλος :
x2 + y2 = 2
Τα Α(1,1), Β(-1,1) ,
Γ(-1,-1) και Δ(1,-1)
είναι σημεία του.
Απαντήστε στα
παρακάτω :
ι) Βρείτε την εξίσωση
της εφαπτομένης του
κύκλου στο Α.
ΛΥΣΗ
x1x + y1y= 2 ⇔ x + y =
2 ⇔ y = -x + 2, λΕΖ = -1
ιι) Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Ε , Ζ

6. 6
ΛΥΣΗ
Για x = 0 , y = 2 , άρα Ε = (0,2)
Για y = 0 , x = 2 ,άρα Ζ = (2,0)
𝛦𝛧⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-0, 0-2) = (2,-2)
|𝛦𝛧⃗⃗⃗⃗⃗ | = 2√2
ιιι ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο Γ.
ΛΥΣΗ
x1x + y1y= 2 ⇔-x + -y = 2 ⇔ y = -x - 2 , λΘΗ = -1
ιν ) Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Θ , Η.
ΛΥΣΗ
Για x = 0 , y = -2 , άρα Η = (0,-2)
Για y = 0 , x = -2 ,άρα Θ = (-2,0)
𝛩𝛨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0+2, -2-0) = (2,-2)
|𝛩𝛨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 2√2
ν ) Αποδείξτε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.
ΛΥΣΗ
Όλες οι πλευρές του είναι ίσες, άρα Ρόμβος ( Παραλληλόγραμμο).
λΕΖ =-1 ΚΑΙ λΕΘ = 1 , άρα κάθετες , συνεπώς Ορθογώνιο.
Ε= (0,2) , Θ=(-2,0) , 𝛦𝛩⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-0, 0-2) = (-2,-2).
νι ) Βρείτε το εμβαδόν (ΕΖΗΘ)=|𝛩𝛨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2= 8

7. 7
ΑΣΚΗΣΗ 4 σχολικού σελίδα 87
ΛΥΣΗ
Δινόταν ο κύκλος x2 + y2 = 4και το σημείο Μ = (1,-1) και ζητείται η
χορδή που διέρχεται απ το Μ.
Η ευθεία ΟΜ είναι κάθετη στη ζητούμενη, μπορώ να βρω τον λΟΜ της;
Ο=(0,0) , Μ=(1,-1) , λΟΜ = -1
Άρα ο λ της ζητούμενης ευθείας είναι λ = 1
Και ξέρω και το Μ άρα : y – (-1) = 1∙(x – 1) ⇔y + 1 = x – 1⇔ y = x-2
ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ
i )x2 + 4x = x2 + 4x +4 – 4 = (x+2)2 – 4
ii )x2 + 5x = x2 +𝟐 ∙
𝟓
𝟐
x = x2 +𝟐 ∙
𝟓
𝟐
x + (
𝟓
𝟐
)2 – (
𝟓
𝟐
)2 = (x+
𝟓
𝟐
)2 –(
𝟓
𝟐
)2
iii )x2 + Ax = x2 +𝟐 ∙
𝑨
𝟐
x = x2 +𝟐 ∙
𝑨
𝟐
x + (
𝑨
𝟐
)2 – (
𝑨
𝟐
)2 = (x+
𝑨
𝟐
)2 –(
𝑨
𝟐
)2
Παραδείγματα για εσάς
x2 + 6x = x2 + 2∙ x + ………..= (x+2)2 – 4
x2 + 3x = x2 + 2∙..x + ……….= (x+2)2 – 4

8. 8
Κύκλος με κέντρο το (x0,yo) και ακτίνα ρ
Βρείτε την εξίσωση του κύκλου (Κ,ρ)
|𝛫𝛭⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝜌
𝛫𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 𝑥 𝜊, 𝑦 − 𝑦𝜊)
Άρα η εξίσωση του κύκλου με Κ(xo, yo) είναι : (x-xo)2+(y-yo)2 = ρ2
Η οποία μπορεί μετά από πράξεις (ταυτότητες) να γίνει :
x2+y2-2xΟ∙x-2y∙yo+(xo2+yo2-ρ2) = 0 (1)
Η Εξίσωση : x2 + y2 + Αx+ Βy+ Γ = 0
Κάθε κύκλος έχει εξίσωση αυτής της μορφής . Γιατί ; Η (1) είναι στην μορφή αυτή.
Όπου Α = -2xo, Β =-2yo , Γ = (xo2+yo2-ρ2)
Ισχύει και το αντίστροφο , δηλαδή κάθε εξίσωση της μορφής :
x2+ y2 + Αx+ Βy+ Γ = 0 είναι εξίσωση κύκλου. Η απόδειξη στη σελίδα 84 .
Δηλαδή !
x2+ y2 + Αx+ Βy+ Γ = 0 ⇔ (x –(-
𝑨
𝟐
))2 + (y –(-
𝑩
𝟐
))2 =
𝑨 𝟐+𝑩 𝟐−𝟒𝜞
𝟒
(x - xo)2+(y - yo)2 = ρ2
Τότε όμως το Κ( )
2
,
2
BA
 , και ρ =
2
422
 BA

9. 9
Παράδειγμα : Λύστε την άσκηση 6 και 7 σελίδα 88.
ΛΥΣΗ
ι ) 𝐱 𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟒⏟
(𝐱+𝟐) 𝟐
+ 𝐲 𝟐
− 𝟔 𝒚 + 𝟗⏟
(𝐲−𝟑) 𝟐
– 4 - 9 – 3 = 0 ⇔ (x+2)2 + (y-3)2 = 16
Κ (-2,3) και ρ = 4.
Εναλλακτικά , Α = 4 , Β = -6 , Γ = -3 , Α2 + Β2 – 4Γ = 16 + 36 +12 = 64 >0
Κ(
−𝜜
𝟐
,
−𝜝
𝟐
) ή Κ(-2 , 3) και ρ =
√ 𝜜 𝟐+𝜝 𝟐−𝟒𝜞
𝟐
= 4
ιι ) 𝐱 𝟐
− 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓⏟
(𝐱−𝟓) 𝟐
+ 𝐲 𝟐
+ 𝟏𝟐𝒚 + 𝟑𝟔⏟
(𝐲+𝟔) 𝟐
– 25 - 36 –20 = 0 ⇔ (x-5)2 + (y+6)2 =81
Κ (5,- 6) και ρ = √𝟖𝟏=9
Εναλλακτικά , Α = -10 , Β = +12 , Γ = -20 ,
Α2 + Β2 – 4Γ = 100 + 144 +80 = 324 >0
Κ(
−𝜜
𝟐
,
−𝜝
𝟐
) ή Κ(5 , -6) και ρ =
√ 𝜜 𝟐+𝜝 𝟐−𝟒𝜞
𝟐
= 9
ιιι )(𝐱 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏)⏟
(𝐱+𝟏) 𝟐
+(𝐲 𝟐
− 𝟐 ∙
𝟑
𝟐
𝒚 + (
𝟑
𝟐
) 𝟐
)⏟
(𝐲−
𝟑
𝟐
) 𝟐
– 1 -
𝟗
𝟒
+
𝟏
𝟑
= 0 ⇔ (x+1)2 + (y -
𝟑
𝟐
)2 =
𝟑𝟓
𝟏𝟐
Κ(-1,
𝟑
𝟐
) και ρ = ……

10. 10
ΛΥΣΗ
Το Α είναι σημείο του κύκλου, το λέει άλλωστε !!
1 ) Βρίσκω Κέντρο Κ και ακτίνα του κύκλου
2 ) Βρίσκω συντελεστή του διανύσματος ΚΑ
3 ) Βρίσκω συντελεστή της εφαπτομένης (αντιθετοαντίστροφος)
4 ) Βρίσκω την εφαπτομένη στο Α.
ι ) 𝐱 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟏⏟
(𝐱−𝟏) 𝟐
+ 𝐲 𝟐
+ 𝟒𝒚 + 𝟒⏟
(𝐲+𝟐) 𝟐
- 1 – 4 + 4 = 0 ⇔ (x-1)2 + (y+2)2 = 1
Εναλλακτικά , Α = -2 , Β = +4 , Γ = 4 ,
Α2 + Β2 – 4Γ = 4 + 16 -16 = 4 >0
Κ(
−𝜜
𝟐
,
−𝜝
𝟐
) ή Κ(1 , -2) και ρ =
√ 𝜜 𝟐+𝜝 𝟐−𝟒𝜞
𝟐
= 1
Κύκλος Κ(1,-2) και ρ = 1
Το διάνυσμα ΚΑ έχει συντεταγμένες (1-1 , -1-(-2)) = (0,1) και δεν
ορίζεται συντελεστής άρα // στον yy΄ ή κάθετο στον xx΄
Άρα η ζητούμενη εφαπτομένη έχει συντελεστή λ = 0 και // στον
xx΄
Συνεπώς είναι η y = -1

11. 11
BAΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
α ) κύκλος εφάπτεται στον xx΄ στο δεδομένο σημείο Α(α, 0), α>0
Ισχύουν :
Έστω Ο(xo , yo ) το κέντρο του και ρ
η ακτίνα του.
ι ) ο άξονας xx΄ είναι εφαπτομένη
του κύκλου.
ιι ) η ακτίνα ΟΑ , κάθετη στον xx΄.
ιιι ) xo = α , το Ο ανήκει στην ευθεία
x = α. Άρα Ο(α, yo) , α > 0.
ιν ) Η ακτίνα του κύκλου ρ = |𝑦𝑜|
ιν ) έχει εξίσωση : (x-α)2+(y-yo)2 = yo2( 1 άγνωστος !)
β ) κύκλος εφάπτεται στον yy΄στο δεδομένο σημείο Β(0,β), β<0
Ισχύουν :
Έστω Ο(xo , yo ) το κέντρο του και ρ η
ακτίνα του.
ι ) ο άξονας yy΄ είναι εφαπτομένη του
κύκλου.
ιι ) η ακτίνα ΟΒ , κάθετη στον yy΄.
ιιι ) yo = β , το Ο ανήκει στην ευθεία y = β. Άρα : Ο(xo , β)
ιν ) Η ακτίνα του κύκλου ρ = |x 𝑜|
ιν ) έχει εξίσωση : (x-xο)2+(y+β)2 = xo2 ( 1 άγνωστος !)

12. 12
γ ) Κύκλος που εφάπτεται και στους δυο άξονες.
Ισχύουν :
ι ) οι άξονες xx΄, yy΄ είναι εφαπτομένες
του κύκλου.
ιι ) η ακτίνα ΟΑ , κάθετη στον xx΄.
ιιι ) η ακτίνα ΟΒ κάθετη στον yy΄
ιν ) Η ακτίνα του κύκλου ρ = |𝑦𝑜|=|x 𝑜|
ιν ) Για το 4ο Τεταρτημόριο , ο κύκλος έχει κέντρο (xο , -xο) και
εξίσωση : (x-xο)2+(y+xo)2 = xo2 , για κάθε xο> 0(1 άγνωστος!)
Για το 3ο Τεταρτημόριο , ο κύκλος έχει κέντρο (-xο , -xο)
και εξίσωση : (x+xο)2+(y+xo)2 = xo2 , για κάθε xο> 0.
δ ) Βρείτε Κύκλο που διέρχεται από 2 σημεία. Δίνεται η ρ.
Δίνονται 2 σημεία Α(x1, y1) ,
Β(x2 , y2) και η ακτίνα ρ
και ζητείται «ο κύκλος» που
διέρχεται απ αυτά και έχει
ακτίνα ρ.
Τότε το κέντρο, έστω Κ του
κύκλου βρίσκεται πάνω στη
μεσοκάθετο του ευθ. τμήματος ΑΒ.
Άρα το Κ ισαπέχει απ΄ τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
Συνεπώς, ισχύει :
ΚΑ = ΚΒ = ρ . Οι ζητούμενοι κύκλοι τελικά είναι 2.

13. 13
ε ) Κύκλος που διέρχεται από 3 σημεία
Θυμίζω το κέντρο του είναι το Περίκεντρο , ο κύκλος ονομάζεται
περιγεγραμμένος και το Κέντρο του είναι , το σημείο τομής των
μεσοκαθέτων των πλευρών του τριγώνου .
Ένα π. χ

14. 14
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΗ 5 σχολικού, σελίδα 87
Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις :
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….

15. 15
Λύση Λυσαριού

16. 16
ΛΥΣΗ ΛΥΣΑΡΙΟΥ

17. 17
ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα.
Ενδεικτική λύση (χωρίς το σημείο Δ). Άραγε, από τρία σημεία πόσοι κύκλοι διέρχονται ;
 Βρείτε τις εξισώσεις των μεσοκαθέτων ΑΒ και ΑΓ.
 Υπολογίστε το σημείο τομής Ο (κέντρο του ζητούμενου κύκλου) των
παραπάνω μεσοκαθέτων.
 Να υπολογιστεί το μήκος ΟΑ (η ακτίνα του κύκλου).
 Γράψτε την εξίσωση του ζητούμενου κύκλου.
ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα.
 Βρείτε τις εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ.
 Ο κύκλος εφάπτεται στον xx΄ , άρα το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία
που διέρχεται απ το Α και είναι κάθετη xx΄. Βρείτε αυτήν την ευθεία.
 Υπολογίστε το σημείο τομής Ο (κέντρο του ζητούμενου κύκλου) των
παραπάνω ευθειών.
 Να υπολογιστεί το μήκος ΟΑ (η ακτίνα του κύκλου).
 Γράψτε την εξίσωση του ζητούμενου κύκλου.

18. 18
ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα.
 Βρείτε τις εξισώσεις α) της κάθετης στην 3x+4y = 12 στο Α και β ) της
μεσοκάθετης της χορδής ΑΟ του κύκλου.
 Υπολογίστε το σημείο τομής Κ (κέντρο του ζητούμενου κύκλου) των
παραπάνω ευθειών.
 Να υπολογιστεί το μήκος ΟΚ (η ακτίνα του κύκλου).
 Γράψτε την εξίσωση του ζητούμενου κύκλου.