κυκλος

Κώστας Κουτσοβασίλης

Β Λυκείου
Μαθηματι ά
ατεύθυνσης
Ο Κύκλος
Θεωρία –Μεθοδολογία -Ασκήσεις

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Κωνικές Τομές: Κύκλος

Συνοπτική Θεωρία
Ονομασία

Α.
Κύκλος

Εξίσωση
Κύκλου (I)

Σχόλια

Διατύπωση

Σχήμα

 Ορισμός:
Ονομάζεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ
το σύνολο των σημείων του επιπέδου που
απέχουν από το κέντρο Ο απόσταση ίση με την
ακτίνα ρ.
 Ένας κύκλος λέγεται μοναδιαίος όταν έχει
κέντρο το σημείο Ο (0,0) και ακτίνα ρ=1
 Ο κύκλος με κέντρο την αρχή Ο των
αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση:
x2+y2=ρ2
Απόδειξη:
Έστω ο κύκλος C. Έχουμε
2

y
1

C
-1

(0,0)

1

x

-1

y
Μ(x,y)

C
ρ

x

Ο

2

M ( x , y)  C  (OM)    x  y   
x 2  y2  2

Παραμετρικές

Εξισώσεις
Κύκλου

 Όταν οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ(x,y)
της γραμμής C δίνονται ως συναρτήσεις μιας
μεταβλητής t ( η οποία καλείται παράμετρος) ,
τότε λέμε ότι έχουμε τις παραμετρικές
εξισώσεις της γραμμής C
Οι παραμετρικές εξισώσεις έχουν μορφή:
x=x(t) , y=y(t) , όπου η μεταβλητή t ανήκει
σε ένα σύνολο Α

y
C
φ
Ο

x

ρ
Μ(x,y)

 Ο κύκλος με κέντρο την αρχή Ο των
αξόνων και ακτίνα ρ έχει παραμετρικές
εξισώσεις:
x=ρσυνφ και y=ρημφ , όπου φ  [0,2π)
Εφαπτομένη
Κύκλου

 Η εφαπτομένη του κύκλου x2+y2=ρ2 στο
σημείο του Α(x1,y1) έχει εξίσωση:
xx1+yy1=ρ2

http://www.perikentro.blogspot.gr/

-1-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Κύκλου


Απόδειξη:
2
2
Επειδή Α(x1,y1) C είναι: x1  y1  2 (1)





y

Είναι: OA  (x1 , y1 ) , AM  ( x  x1 , y  y1 )

 


Μ(x,y)        OA  AM  0 
(x 1 , y1 ) (x  x1 , y  y1 ) =0 
x1 ( x  x1 )  y1 ( y  y1 )  0 

Μ(x,y)

A(x1,y1)
ε
x

Ο
C

(1)

2
2
xx1  yy1  x1  y1  xx1  yy1   2 ,
Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:
xx1  yy1   2

Παρατήρηση: Ο συντελεστής διεύθυνσης της
εφαπτομένης είναι:
λε= 
Εξίσωση
Κύκλου (II)

x1
y1

, y1  0

 Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(x0,y0) και
ακτίνα ρ έχει εξίσωση:
(x-x0)2+(y-y0)2=ρ2
Απόδειξη:
Έστω ο κύκλος C με κέντρο Κ(x0,y0) και ακτίνα
ρ. Έχουμε:
M ( x , y )  C  ( M )   

y
Μ(x,y)
ρ

C

K(x0, y0)

Ο

x

(x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   
(x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   2
Γενική
Μορφή
Εξίσωσης
Κύκλου

 Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής
x2+y2+Αx+By+Γ=0 , με Α2+Β2-4Γ>0 (I)
 H εξίσωση x2+y2+Αx+By+Γ=0 , με
Α2+Β2-4Γ>0 παριστάνει κύκλο
 
με κέντρο Κ(- , ) και ακτίνα
2 2

 2   2  4
ρ=
2
Απόδειξη:
Θα αποδείξουμε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση
της μορφής (I).
C: (x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   2 
2
2
x 2  y 2  (2x 0 ) x  (2 y 0 ) y  x 0  y 0   2  0


-2-



Γενική
Μορφή
Εξίσωσης
Κύκλου


 x 2  y 2  Ax  By    0 .
2
2
όπου A  2 x 0 , B  2 y 0 και   x 0  y0  2 .

Αντίστροφο:
Θα αποδείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής
(I) παριστάνει κύκλο.
Έχουμε:
x2+y2+Αx+By+Γ=0  x 2  Ax  y 2  By  

 2
A
A2   2
B
B2 
 y  2 y 

 x  2 x 

2
4  
2
4 

 

A 2 B2



4
4
2

2

A 
B
A 2  B2  4

. (1)
x    y  
2 
2
4

Επομένως:
 Αν

A 2  B 2  4  0 ,

η

εξίσωση (1)
 A B
παριστάνει κύκλο με κέντρο K   ,  και
 2 2

A 2  B2  4
ακτίνα  
.
2
 Αν

A 2  B2  4  0 ,

η

εξίσωση (1)
 A B
παριστάνει ένα μόνο σημείο, το K   ,  .
 2 2
 Αν A 2  B 2  4  0 , η εξίσωση (1) είναι
αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία M ( x , y)
των οποίων οι συντεταγμένες να την
επαληθεύουν.


-3-




Μεθοδολογία-Κύκλος
Ονομασία

Σχόλια

Διατύπωση

Σχήμα

Χρήσιμες προτάσεις για την επίλυση
ασκήσεων στον κύκλο

M
ρ

Σχετικές
θέσεις
κύκλου C:
(K, ρ)
και σημείου
Μ

K

 Το σημείο Μ ανήκει στον κύκλο
(ΚΜ)=ρ

 Το σημείο Μ είναι εξωτερικό σημείο

ρ

K

Μ

του κύκλου: (ΚΜ)>ρ
ρ Μ

 Το σημείο Μ είναι εσωτερικό σημείο
του κύκλου : (ΚΜ)<ρ

Κ

Σχετικές
θέσεις κύκλου  Η ευθεία εφάπτεται του κύκλου
C: (K, ρ)
d(K,ε)=ρ
και ευθείας ε

Κ

ρ

ε

 Η ευθεία τέμνει τον κύκλο d(K,ε)<ρ

ρ

Κ
ε

 Η ευθεία δεν έχει κοινό σημείο με

ρ

τον κύκλο d(K,ε)>ρ

Κ
ε

 Για να βρούμε τα κοινά σημεία
μιας ευθείας και ενός κύκλου ,
λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων
τους
 Αν το σύστημα έχει δυο λύσεις (Δ>0)
διαφορετικές η ευθεία τέμνει τον κύκλο
 Αν το σύστημα έχει μια διπλή ρίζα
(Δ=0) η ευθεία εφάπτεται του κύκλου.
 Αν το σύστημα δεν έχει λύση (Δ<0) η
ευθεία δεν τέμνει τον κύκλο.

-4-

Το απόστημα είναι
μεσοκάθετος της χορδής
στην οποία αντιστοιχεί



Ο κύκλος
εφάπτεται
στους άξονες

y

 Ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x x :
ρ=|y0|

y0

Κ(x0,y0)

O

 Ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα yy :

x0

y

ρ=|x0|

K(x0,y0)

y0

 Ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x x
και στον y y :
ρ=|y0|=|x0|

x

x0

y
y0

x

Κ(x0,y0)
x

x0

Σχετικές
θέσεις
κύκλων
C1: (K1, ρ1)
και
C2: (K2, ρ2)

 Οι κύκλοι C1 , C2 εφάπτονται

ρ1

εξωτερικά (Κ1Κ2)=ρ1+ρ2
(Τα κέντρα τους και το σημείο επαφής
τους είναι συνευθειακά σημεία)

C1

 Ο κύκλος C2 εφάπτεται εσωτερικά του

C2

C1 :

(Κ1Κ2)=ρ1-ρ2 , ρ1>ρ2

Κ1

C1
ρ1

K1

|ρ1-ρ2|< (Κ1Κ2)<ρ1+ρ2
(Η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της
κοινής χορδής τους)
 Ο κύκλος C2 εκτός του C1
(Κ1Κ2)>ρ1+ρ2

ρ2

C2

K2

C1
ρ1

K1
C1

 Ο κύκλος C2 εντός του C1
(Κ1Κ2)<ρ1-ρ2 , ρ1>ρ2
Σχόλιο:
Για να βρούμε τα κοινά σημεία δυο
κύκλων λύνουμε το σύστημα των
εξισώσεων τους
 Αν το σύστημα έχει δυο λύσεις (Δ>0)
διαφορετικές οι κύκλοι τέμνονται
 Αν το σύστημα έχει μια διπλή ρίζα
(Δ=0) οι κύκλοι εφάπτονται.
 Αν το σύστημα δεν έχει λύση (Δ<0) οι
κύκλοι δεν έχουν κοινό σημείο.
-5-

Κ2

Κ1 Κ2

 Οι κύκλοι C1 , C2 τέμνονται


ρ2 C2

ρ2 C2

K2

C2
K1 K2
C1
Για να βρούμε την κοινή
χορδή δυο κύκλων
αφαιρούμε κατά μέλη τις
δυο εξισώσεις




Εφαπτόμενες
 Τα εφαπτόμενα τμήματα από ένα
κύκλου
σημείο Ρ προς τον κύκλο , είναι ίσα και
η διακεντρική ευθεία διχοτομεί τη γωνία
τους

K
R
φθ

Ρ

 Οι κοινές εφαπτόμενες δυο κύκλων
Ρ

τέμνονται πάνω στην ευθεία της
διακέντρου τους.

K

Λ

 Όταν ένα κύκλος εφάπτεται σε δυο
παράλληλες ευθείες , τότε το κέντρο του
βρίσκεται στη μεσοπαράλληλο των δυο
ευθειών

K
R

Ρ

Εξίσωση
Κύκλου

 Για να βρούμε την εξίσωση ενός
κύκλου ,αρκεί να βρούμε τις
συντεταγμένες του κέντρου και την
ακτίνα ρ

γ. Αν γνωρίζουμε τρία σημεία Α,Β,Γ του
κύκλου
ος
1 τρόπος
Το κέντρο του είναι το σημείο τομής
των μεσοκαθέτων, των ΑΒ, ΒΓ.
ος
2 τρόπος
Υποθέτουμε ότι η εξίσωση είναι
x2+y2+Ax+By+Γ=0. Επειδή
επαληθεύεται από τις συντεταγμένες
των σημείων αντικαθιστούμε και
προκύπτει σύστημα ως προς Α,Β,Γ.
-6-

ρ

K

β. Αν Α και Β δύο σημεία του κύκλου
τότε το κέντρο βρίσκεται στη
μεσοκάθετο του ΑΒ είναι
d(Κ,Α)=d(K,B)
(Αν τα σημεία Α και Β είναι
αντιδιαμετρικά το κέντρο του κύκλου
είναι το μέσο του ΑΒ )


Μ

C

α. Αν το σημείο Μ(x,y) ανήκει στον
κύκλο C τότε (ΚΜ)=ρ

A

B
K
C

A

B
K
C

Γ




δ. Αν ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία ε
τότε το κέντρο του κύκλου ανήκει
στην κάθετη στη ε στο σημείο επαφής
A. Είναι ρ=(ΚΑ)

K
ρ

Α

ε. Αν ένας κύκλος εφάπτεται γνωστής
ευθείας ε σε γνωστό σημείο Α και
διέρχεται από γνωστό σημείο Β τότε το
κέντρο του είναι η τομή των ε1 και ε2

ε
ε1
K

ε2

Β
ε

Α

στ. Αν ένας κύκλος εφάπτεται δυο
γνωστών ευθειών τότε
d(Κ,ε1)=d(Κ,ε2)

ε2
Β

K
ρ

Α

ζ. Αν ένας κύκλος έχει το κέντρο του σε
γνωστή ευθεία ε και διέρχεται από δυο
γνωστά σημεία Α και Β , τότε
d(Κ,Α)=d(Κ,Β) . Το Κ είναι το σημείο
τομής της ε και της μεσοκάθετης ε1
του ΑΒ.

ε1
Β

K

ε1
Α

ε
Μ

θ. Αν Μ, Α, Β σημεία του κύκλου και
ΑΒ διάμετρος τότε MA  MB

Α

K

ε3
Γ

ι. Αν ένας κύκλος εφάπτεται τριών
γνωστών ευθειών τότε
d(Κ,ε1)=d(Κ,ε2)= d(Κ,ε3)

ε2
Β
K
Α

Μνημονικός
κανόνας για
την εξίσωση
της
εφαπτομένης
του κύκλου

Αν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της
εφαπτομένης του κύκλου c : x2+y2=ρ2
στο σημείο του Α(x1,y1) εργαζόμαστε ως
εξής:
α. Γράφουμε την εξίσωση του κύκλου :
x2+y2=ρ2 (1)
β. Επειδή x 2  x  x και y 2  y  y η (1)
γράφεται x  x  y  y   2
γ. Στο δεύτερο x και y θέτουμε x1 και y1
αντίστοιχα οπότε παίρνουμε
x  x1  y  y1   2
που είναι η ζητούμενη εξίσωση


-7-

Β

ε1

Για να βρούμε την εξίσωση
της εφαπτομένης του
κύκλου που διέρχεται από
ένα σημείο ,εξετάζουμε
πρώτα αν το σημείο ανήκει
στον κύκλο




Για να βρούμε την εφαπτομένη
Εφαπτομένη 
του κύκλου από σημείο εκτός αυτού ,
από σημείο
ονομάζουμε Α(x1,y1) το σημείο επαφής,
Μ(x0,y0)
εκτός κύκλου τότε:
1ος τρόπος
Η εφαπτομένη στο Α έχει εξίσωση:
x  x1  y  y1   2 και επειδή περνά από
το σημείο M(x0,y0), θα επαληθεύεται
δηλαδή x 0  x1  y 0  y1   2 (1)
Το σημείο Α(x1,y1) επαληθεύει τον
2
2
κύκλο, οπότε: x1  y1   2 (2)
Λύνουμε το σύστημα των (1) και (2) και
βρίσκουμε τα x1,y1 και στη συνέχεια την
ρ
εφαπτομένη.
2ος τρόπος
Κάθε ευθεία που περνά από το Μ έχει
εξίσωση y-y0=λ(x-x0) ή x=x0 και επειδή
εφάπτεται του κύκλου πρέπει
d(Ο,ε)=ρ απ’ όπου βρίσκουμε το λ
κύκλου που
έχει γνωστή
διεύθυνση
(γνωστό λ)

 1ος τρόπος
Υποθέτουμε ότι η εφαπτομένη έχει
εξίσωση y=λx+κ (λ γνωστό) και
απαιτούμε το σύστημα
x2+y2=ρ
y=λx+κ
να έχει διπλή πραγματική λύση (Δ=0)
απ’ όπου βρίσκουμε το κ
Υποθέτουμε ότι η εφαπτομένη έχει
εξίσωση y=λx+κ (λ γνωστό) και
χρησιμοποιούμε τη σχέση d(Ο,ε)=ρ

M(x0,y0)
Ο
Α(x1,y1)

Μια ευθεία έχει γνωστή
διεύθυνση όταν:
 Δίνεται το λ
 Είναι παράλληλη σε
γνωστή ευθεία (λ1=λ2)
 Είναι κάθετη σε γνωστή
ευθεία (λ1λ2=-1)
 Σχηματίζει γνωστή
γωνία με τον άξονα
των x( λ= εφω)
 Σχηματίζει γνωστή
γωνία με γνωστή ευθεία

Υποθέτουμε ότι Α(x1,y1) είναι το σημείο
επαφής , τότε x  x1  y  y1   2 , οπότε
x
2
2
   1 . Όμως x1  y1   2 και
y1
βρίσκουμε τα x1,y1.


-8-




Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ (x,y) της

κύκλου όταν


το κέντρο του εφαπτομένης . Επειδή   
είναι

Κ(x0,y0)  O(0,0)   ( x  x , y  y )
1
0 1
0
σε γνωστό του

σημείο
  ( x  x1 , y  y1 ) έχουμε:


Κ(x0,y0)



   0 
(x  x1 )(x1  x 0 )  ( y  y1 )( y1  y 0 )
που είναι η ζητούμενη εξίσωση
εφαπτομένης
Επειδή γνωρίζουμε τα σημεία Α(x1,y1)
και Κ(x0,y0), γνωρίζουμε τον συντελεστή
διεύθυνσης της ΑΚ άρα και της
εφαπτομένης (γιατί είναι κάθετη στην
ΑΚ )
Έτσι η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:
y-y1=λΑΜ(x-x1).
Αν δεν ορίζεται ο συντελεστής
διεύθυνσης της ΑΚ η εφαπτομένη έχει
εξίσωση : y=y1

M(x ,y)

Α(x1,y1)

2
2
2
Βασικό Θέμα  Δίνεται ο κύκλος x +y =ρ και το
σημείο Ρ(x0,y0) εκτός αυτού. Αν ΡΑ ,ΡΒ
Πολική του οι εφαπτόμενες από το Ρ , τότε η ΑΒ
Αν ο κύκλος έχει εξίσωση
σημείου Ρ
έχει εξίσωση xx0+yy0=ρ2
(x-x0)2+(y-y0)2=ρ2
Απόδειξη:
τότε η πολική του Ρ(x1,y1)
είναι:
Η εφαπτομένη ΡΑ έχει εξίσωση
2
(x-x0)(x1-x0)+(y-y0)(y1-y0)=ρ2
xx1+yy1=ρ και επειδή περνά από το Ρ
(ίδια με την εφαπτομένη)
θα είναι x 0 x1  y 0 y1   2 (1)
Όμοια η εξίσωση της ΡΒ είναι
x 0 x 2  y 0 y 2   2 (2)
Η xx0+yy0=ρ2 παριστάνει ευθεία και
λόγω των (1) και (2) περνά από τα Α και
Β άρα είναι η εξίσωση της ΑΒ

Κοινές
εφαπτόμενες
δυο κύκλων

 Υποθέτουμε ότι οι κοινές εφαπτόμενες
έχουν τη μορφή y=λx+β. Αν d η
απόσταση του κέντρου από την ευθεία
γράφουμε d=R για κάθε κύκλο.
Προκύπτουν δυο εξισώσεις με δυο
αγνώστους, τους λ και β


-9-

Ρ
K

Λ




Παραμετρική
Για να δείξουμε ότι μια ¨οικογένεια¨
Εξίσωση
κύκλων διέρχεται από το ίδιο σημείο
Κύκλου
μετατρέπουμε την εξίσωση σε
πολυώνυμο ως προς την παράμετρο και
εξισώνουμε τους συντελεστές με μηδέν
Δίνουμε δυο τιμές στην παράμετρο ,
βρίσκουμε δυο κύκλους από τους Cκ
Στη συνέχεια βρίσκουμε την τομή τους
και αποδεικνύουμε ότι όλοι οι κύκλοι
από το σημείο τομής τους
Εύρεση
Γεωμετρικού
Τόπου

Για να δείξουμε ότι μια
εξίσωση παριστάνει κύκλο
 Την φέρνουμε στη μορφή
x2+y2+Αx+Βy+Γ=0
 Αποδεικνύουμε ότι
Α2+Β2-4Γ>0

 Όταν ζητείται ο Γεωμετρικός Τόπος
σημείου Μ(x,y) του οποίου οι
συντεταγμένες είναι εκφρασμένες
συναρτήσει μιας παραμέτρου κάνουμε
απαλοιφή της παραμέτρου και
βρίσκουμε τη σχέση μεταξύ των
συντεταγμένων x και y του σημείου Μ
 Όταν μας ζητούν ή προκύπτει από την
άσκηση , γεωμετρικός τόπος σημείου με
δυο παραμέτρους , απαλείφουμε
διαδοχικά τις δυο παραμέτρους.
 Όταν ζητείται να βρεθεί το σύνολο
των σημείων Μ που ικανοποιούν κάποια
ιδιότητα ή να βρεθεί ο γεωμετρικός
τόπος των σημείων Μ , τότε: Θεωρούμε
Μ(x,y) το τυχαίο σημείο του τόπου και
από τα δεδομένα της άσκησης
προσπαθούμε να βρούμε μια εξίσωση
μεταξύ των συντεταγμένων x και y .

Γωνία τομής
κύκλων

Γωνία τομής δυο κύκλων είναι η κυρτή
γωνία των εφαπτομένων των κύκλων
στο σημείο τομής αυτών
 Αν (Κ,R1) και (Λ,R2) είναι δυο
κύκλοι και Α το σημείο τομής τους τότε
οι κύκλοι τέμνονται ορθογώνια αν και
2
μόνο αν ΚΛ2= R 1  R 2
2


- 10 -

Όταν οι κύκλοι τέμνονται
ορθογώνια οι ακτίνες στο
σημείο τομής είναι κάθετες




Προτεινόμενες Ασκήσεις
Μαθηματικά
Κατεύθυνσης
Β Λυκείου

Διδακτική Ενότητα:
Εξίσωση Κύκλου

1

1.1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α. έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 2 2
β. έχει κέντρο το σημείο (3, - 1) και ακτίνα 5
γ. έχει κέντρο το σημείο (- 2, 1) και διέρχεται από το σημείο (- 2, 3)
δ. έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α (1, 3) και Β (- 3, 5)
ε. διέρχεται από τα σημεία Α(1,-1), Β(3,1) και Γ(-1,3)
στ. διέρχεται από τα σημεία (3, 1), (- 1, 3) και έχει κέντρο πάνω στην ευθεία
y = 3x - 2
ζ. έχει κέντρο το σημείο (8, - 6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων
η. έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3x + y = 10
θ. έχει ακτίνα 4, εφάπτεται στον άξονα x  x και διέρχεται από το σημείο (5, 4)
ι. έχει κέντρο το σημείο (- 3, 2), εφάπτεται στον άξονα y  y και διέρχεται από το
σημείο (- 6, 2)
ια. έχει κέντρο το σημείο (3, 3) και εφάπτεται των αξόνων x  x και y  y
ιβ. έχει κέντρο το σημείο (- 3, 1) και εφάπτεται στην ευθεία 4x - 3y + 5 = 0
ιγ. εφάπτεται στην ευθεία x+y-5=0 στο σημείο της Α(6,-1) και διέρχεται από το
σημείο Β(6,1)
1.2. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται της y=x στο σημείο
Α(3,3) και έχει το κέντρο του στην ευθεία y=2x.
1.3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στον άξονα y  y στο Α(0,-2)
και ορίζει στον x  x χορδή μήκους 3
1.4. Δίνεται η ευθεία y = λx και ο κύκλος x2 + y2 - 4x + 1 = 0. Να βρεθεί η τιμή του
λ ώστε η ευθεία:
α. να τέμνει τον κύκλο
β. να εφάπτεται του κύκλου
γ. να μην έχει κοινά σημεία με τον κύκλο.


- 11 -



Β Λυκείου


Εξίσωση Κύκλου-Εφαπτομένη Κύκλου

2

2.1. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται των ευθειών
ε1: 3x+2y-1=0 ε2: 2x-3y+5=0 ε3: 2x+3y+1=0
2.2. Να βρείτε τη σχετική θέση του κύκλου (x+1)2+y2=9 και της ευθείας ε: 2x-y-3=0
2.3. Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C1: x2+y2=9 και C2: (x+2)2+(y-1)2=4
2.4. Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι C1: (x - 2)2 + y2 = 4 και C2: x2 - 2x + y2 = 0
εφάπτονται εσωτερικά.
2.5 Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής χορδής των κύκλων : C1: (x-1)2 +(y-3)2 = 4
και C2: (x-2)2 +(y-1)2=2.
2.6. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου (x-3)2+(y-2)2=9 που έχει μέσο
το σημείο Μ(1,3).
2.7. Οι διαγώνιες τετραγώνου έχουν εξισώσεις x+y-1=0 και x-y+3=0. Αν η πλευρά
του τετραγώνου έχει μήκος 2 μονάδες , να βρείτε τις κορυφές του τετραγώνου.
2.8. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x2+y2=4 αν
α. Το σημείο επαφής είναι το Α(1, 3 0
β. Είναι παράλληλη στην ευθεία ε: y=-x+2
1
γ. Είναι κάθετη στην ευθεία ζ: y= x  1
2
δ. Διέρχεται από το σημείο Β(0,4)
2.9. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης
α. του κύκλου (x-1)2+(y+2)2=25 στο σημείο του Α(4,2)
β. του κύκλου x2+y2+4x-6y+1=0 στο σημείο του Α(1, 3  3 )
2.10. Ένας κύκλος C έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται στην ευθεία
ε: x+y-4=0. Να βρείτε ;
α. Την εξίσωση του κύκλου και το σημείο επαφής
β. Την άλλη εφαπτομένη ζ του κύκλου που είναι παράλληλη στην ε
2.11. Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου x2+y2-x+y=0 που ορίζει με τους
θετικούς ημιάξονες ισοσκελές τρίγωνο.

- 12 -



Β Λυκείου


Γενική Μορφή Εξίσωσης Κύκλου

3

3.1. Θεωρούμε την εξίσωση x2+y2+2y+1+2λ(x-y-1)=0 με λ  0 . Να αποδείξετε ότι:
α. Η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο C για κάθε λ  0 , του οποίου να βρείτε το
κέντρο και την ακτίνα.
β. Ο κύκλος C διέρχεται από σταθερό σημείο Σ , καθώς το λ μεταβάλλεται στο
R*
γ. Το κέντρο του κύκλου C κινείται σε μια ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο
R*
δ. Ο κύκλος C εφάπτεται στην ευθεία ε: x-y-1=0 στο σημείο Σ για κάθε λ  0 .
3.2. Δίνεται η εξίσωση C: x2+y2=2(ημθ)x+2(συνθ)y, θ IR
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση C παριστάνει κύκλο.
β. Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα R του κύκλου C
γ. Να αποδείξετε ότι καθώς το θ μεταβάλλεται στο R το κέντρο Κ του κύκλου C
κινείται επίσης σε ένα κύκλο C1
δ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: (ημθ)x+(συνθ)y =2 εφάπτεται στον κύκλο C για
κάθε θ IR
ε. Αφού διαπιστώσετε ότι οι κύκλοι C και C1 τέμνονται για κάθε θ  IR να βρείτε
την εξίσωση της κοινής χορδής των δυο κύκλων.
3.3. Δίνεται η εξίσωση C : x2+y2+2x-y-3+κ(x+y-2)=0, κ IR
α. Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε κ  IR
β. Δείξτε ότι για κάθε κ  IR ο παραπάνω κύκλος διέρχεται από δυο σταθερά
σημεία.
3.4. Δίνεται ο κύκλος x2+y2+Ax+By+Γ=0. Αν Α+Β+Γ=-2 να αποδείξετε ότι
διέρχεται από σταθερό σημείο.
3.5. Δίνεται η εξίσωση C : x2+y2-4λx-2y+4λ=0, λ IR (1)
α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η (1) να παριστάνει κύκλο.
β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων
γ. Δείξτε ότι όλοι οι κύκλοι που παριστάνει η (1) εφάπτονται μεταξύ τους σε
σταθερό σημείο.
3.6. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει:
x=3+συνα, y=-2-ημα, α IR


3.7.Δίνονται τα σταθερά σημεία Α και Β με |  |  8 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο
των σημείων Μ για τα οποία ισχύει:




α.    0





β.    9
- 13 -



Β Λυκείου


Γενική Μορφή Εξίσωσης Κύκλου

4

4.1. Δίνονται οι εξισώσεις C1: x2+y2-2x+4y-11=0 και ε: x-y+1=0.
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση C1 παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρεθεί το
κέντρο και η ακτίνα.
β. Να βρεθούν τα κοινά σημεία του κύκλου C1 και της ευθείας ε.
γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : x2+y2-2x+4y-11+λ(x-y+1)=0 παριστάνει κύκλο
Cλ για κάθε λ IR .
δ. Να βρεθεί το κέντρο Κλ του κύκλου Cλ.
ε. Να αποδειχθεί ότι καθώς το λ μεταβάλλεται στο IR , τα κέντρα Κλ του κύκλου
Cλ κινούνται σε μια ευθεία μ.
στ. Να αποδειχθεί ότι   
ζ. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος Cλ διέρχεται από δυο σταθερά σημεία, για κάθε
λ IR .
η. Έστω ΣΔ και ΣΕ τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο Σ(2004,2005) προς
τους κύκλους C1821 και C1940 αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ΣΔ=ΣΕ.
θ. Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε ο κύκλος Cλ να εφάπτεται στην ευθεία
ζ: x+3y-7=0
4.2. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C1 : x2+y2-2αx-2βy-α2+β2=0 και
C2 : x2+y2-2βx+2αy+α2-β2=0 τέμνονται κατά ορθή γωνία.
4.3. Δίνονται οι κύκλοι C1 : x2+y2=25 και C2 : 25x2+25y2-100x-261=0
α. Να βρείτε την εφαπτομένη ε του κύκλου C1 στο σημείο του Α(3,μ), μ>0
β. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C2
γ. Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται στον κύκλο C2
δ. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται.
ε. Να βρείτε την άλλη κοινή εφαπτομένη των κύκλων C1 και C2.
4.4. Δίνεται ο κύκλος C: x2+y2-4x=0 και το σημείο Α(3,1).
α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου
β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου C που
διέρχονται από το σημείο Α.
4.5. Δίνονται οι τεμνόμενοι κύκλοι x2+y2+Ax+By+Γ=0 και x2+y2+Bx+Ay+Γ=0.
Να αποδείξετε ότι το μήκος της κοινής χορδής τους είναι:
1
d
  2  4
2


- 14 -



Β Λυκείου


Θέματα Εξετάσεων Προηγουμένων Ετών

5

5.1
α. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση C: x2+ y2-2xσυνθ-2yημθ-1=0,
0≤θ<2π. παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την
ακτίνα

β. Αν θ = , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C στο σημείο
2
Α(1,2).
γ. Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω
κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ = 1.
Ιούνιος 2002
5.2.
Α. Δίνεται η εξίσωση x2 + y2 + 6μx + 8λy = 0, όπου μ, λ πραγματικοί αριθμοί
διάφοροι του μηδενός. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των μ, λ, η παραπάνω
εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο.
Β.

Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει η σχέση 3μ + 2λ = 0.
α. Να δείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x2 + y2 +
6μx + 8λy = 0 για τις διάφορες τιμές των μ και λ, έχουν τα κέντρα τους σε
ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β.

Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του
αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία x + y + 2 = 0, να ισχύει OA  OB  0.

γ.

Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα β να υπολογίσετε το
εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ.
Ιούνιος 2001

5.3
Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1999 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από
έναν αριθμό n=1,2,3,....,1999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy
διαγράφοντας μια τροχιά με εξίσωση: (x  1)2  y2  2n(x  y  1) .
Να δείξετε ότι:
α. η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του
κέντρου του
β. κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α
(που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;
γ. οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας x  y  1  0 στο σημείο
Α.

- 15 -


κυκλος

More Related Content

What's hot

Similar to κυκλος

More from Σωκράτης Ρωμανίδης

κυκλος