2. 1.เอกนาม
4.การ
หารพหุ 2.พหุนาม
นาม
พหุนามและ
5.เศษส่วน เศษส่วนของพหุ 3.การคูณ
ของพนุ
นาม พหุนาม
นาม

3. •

4. 1.เอกนาม

10. •

12. ข้อสังเกต

29. 3. การคูณพหุนาม
พิจารณาการคูณพหุนามกับพหุนามต่อไปนีโ้ ดยใช้สมบัตการแจกแจง
ิ
1. (4x+5)(3x-4) = (4x+5)[(3x)+(-4)]
= [(4x+5)(3x)]+[(4x+5)(-4)
= (4x)(3x)+(5)(3x)+(4x)(-4)+(5)(-4)
= 12x2+15x-16x-20
= 12x2-x-20
ข้อสังเกต ใช้สมบัตการแจกแจงโดยนา (4x+5) ไปคูณแต่ละพจน์
ิ
ของ (3x)+(-4)

30. ข้อสังเกต ใช้สมบัตการแจกแจงโดยนา (3x+4) ไป
ิ
คูณแต่ละพจน์ของ 2x2+6x+(-4)
การคูณพห ุนาม ทาได้โดยคูณแต่ละพจน์ของพห ุนามหนึ่งกับ
ท ุกๆ พจน์ของอีกพห ุนามหนึ่ง แล้วนาผลค ูณเหล่านันมาบวก
้
กัน

31. เราสามารถหาผลคูณของพหุนาม โดยเขียนการคูณใน
แนวตัง ดังตัวอย่างต่อไปนี้
้
• ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณของ (2x2+4x-3)(x3+3x-7)
• วิธีทา วิธีทาที่ 1 ใช้สมบัตการแจกแจง
ิ
• (2x2+4x-3)(x3+3x-7)
• = (2x2)(x3+3x-7)+(4x)(x3+3x-7)+(-3)(x3+3x-
7)
• =(2x2)(x3)+(2x2)(3x)+(2x2)(-7)
+(4x)(x3)+(4x)(3x)+(4x)(-7)+(-3)(x3)+(-
3)(3x)+ (-3)(-7)
• =2x5+6x3-14x2+4x4+12x2-28x-3x3-9x+21
• =2x5+4x4+3x3-2x2-37x+21

32. ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลคูณของ (x+y)(x+y)
• วิธีทา(x+y)(x+y) = (x+y)2
= x2+2xy+y2

33. ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลคูณของ(x+y+z)
(x+y+z)
• วิธีทา(x+y+z) (x+y+z) = [(x+y)+z]
[(x+y)+z]
= [(x+y)+z]2
= (x+y)2+2(x+y)z+z2
=
x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2
=
x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

34. ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลคูณของ (x+y-z)(x+y-z)
• วิธีทา (x+y-z)(x+y-z) = [(x+y)-z] [(x+y)-z]
• = [(x+y)-z]2
• = (x+y)2-2(x+y)z+z2
• = x2+2xy+y2-2xz-
2yz+z2
• = x2+y2+z2+2xy-2xz-
2yz
ตอบ x2+y2+z2+2xy-2xz-2yz

35. ตัวอย่างที่ 6 ต้องการสร้างกล่องฝาเปิ ดจากแผ่นสังกะสี
กว้าง 24 นิว ยาว 28 นิว โดยตัดมุม ทังสี่เป็ นรูป
้ ้ ้
สี่เหลี่ยมจัตรส ซึ่งแต่ละด้านยาว x หน่วย และพับขึน
ุั ้
ตามรอยประ จงเขียนพหุนามแสดงปริมาตรของกล่อง
ฝาเปิ ด
• วิธีทา กล่องฝาเปิ ดกว้าง 24-2x นิว ยาว 28-2x นิว และสูง x
้ ้
นิว
้
• ปริมาตร = ความกว้าง × ความยาว × ความสูง
• = (24-2x)(28-2x)x ลูกบาศก์นว ิ้
• = (672-48x-56x+4x2)x ลูกบาศก์นว ิ้
• = 672x-104x2+4x3 ลูกบาศก์นว ิ้
ตอบ 672x-104x2+4x3 ลูกบาศก์นว
ิ้

36. 4. การหารพห ุนาม
พิจารณาการหารต่อไปนี้
15 ÷ 3 = 5
กรณีน้ ีเรียกว่าการหารลงตัว
17 ÷ 3 ได้ 5 เศษ 2
กรณีน้ ีเรียกว่าการหารไม่ลงตัว ซึ่งเขียนในรูปการค ูณได้เปน
็
• 17 = (5×3)+2
• ดังตัง = (ผลหาร×ตัวหาร)+เศษ
้
• ในกรณีของพห ุนามหารด้วยพห ุนามก็มีทงการหารลงตัว และการหาร
ั้
ไม่ลงตัว เช่นเดียวกัน ดังนี้
• ถ้า P,Q,A และ R เปนพห ุนาม P หารด้วย Q เขียนแทนด้วย
็
P÷Q เมื่อ Q ≠ 0

37. ถ้า P ÷ Q = A กรณีนเี้ ป็ นการหารลงตัว เรียก
P,Q และ A ว่าตัวตัง ตัวหาร และผลหาร
้
ตามลาดับ
ถ้า P ÷ Q ได้ A เศษ R เมือ R มีดกรีนอยกว่าดี
่ ี ้
หรีของ Q กรณีนเี้ ป็ นการหารไม่ลงตัว ซึ่งอยูใน
่
รูปการคูณได้เป็ น
P = (Q×A)+R
ตัวตัง = (ตัวหาร×ผลหาร)+เศษ
้

38. พิจารณาการหารพหุนามด้วยเอกนามต่อไปนี้
1. (3x2-6)÷3 = 3x2-6
3
= 3x2- 6
3 3
= x2-2
เป็ นตัวหารลงตัว มีพหุนาม 3x2-6 เป็ นตัวตัง 4x เป็ น
้
ตัวหาร และมี x2-2 เป็ นผลหาร

39. ข้อสังเกต การหารเอกนามด้วยเอกนาม ให้นาตัวหารไป
หารทุกพจน์ของตัวตัง แล้วนาผลลัพธ์ที่ได้มารวมกัน
้
• การหารพหุนามด้วยพหุนามที่ไม่เป็ นศูนย์ ในที่นี้
กล่าวถึงเฉพาะกรณีที่ทงตัวตังและตัวหารเป็ นพหุนาม
ั้ ้
ที่มตวแปรหนึงตัวและเป็ นตัวแปรเดียวกัน เช่น มี x
ี ั ่
เป็ นตัวแปรเพียงหนึงตัว ในการเขียนพหุนามที่มตว
่ ี ั
แปรหนึงตัวนิยมเขียนเรียงพจน์ โดยเรียงพจน์จากเลข
่
ชีกาลังมากไปน้อย
้

40. เช่น พหุนาม 6x2-8x+4x3+12
เมือเขียนเรียงพจน์จากเลขชีกาลังจากมากไปน้อย
่ ้
จะได้
4x 3+6x2-8x+12

41. การหารพหุนามด้วยพหุนาม มีขนตอนดังนี้
ั้
• 1. เรียงพจน์ของพหุนามตัวตังและพหุนามตัวหารจากพจน์ที่มดกรี
้ ี ี
มากไปพจน์ที่มดกรีนอย ถ้าดีกรีของพจน์ตวตังใดขาดหายไปนัน
ี ี ้ ั ้ ้
จะต้องมีสมประสิทธิ์เป็ น 0 เช่น
ั
3x+5x4-x2+26
เขียนเรียงลาดับดีกรีจากมากไปน้อยจะได้
5x4+(0)x3-x2+3x+26
2. นาตัวแรกของตัวหารไปหารพจน์แรกของตัวตัง จะได้ผลหาร
้
ตัวแรก เขียนผลหารที่ได้ไว้ที่บรรทัดเหนือตัวตัง
้

42. 3. นาผลหารที่ได้จากข้อ 2 ไปคูณตัวหารทุก
พจน์ เขียนผลคูณที่ได้ไว้ที่บรรทัดใต้ตวตัง
ั ้
4. นาผลหารที่ได้จากข้อ 3 ไปลบออกจากตัว
ตัง ผลลบที่ได้จะเป็ นตัวตังใหม่ในการหารครัง
้ ้ ้
ต่อไป

43. 5. สาหรับตัวตังใหม่ให้พิจารณาที่ดกรีว่าน้อยกว่า
้ ี
ตัวหารหรือไม่ ถ้ายังมากกว่าหรือเท่ากันก็ให้หาร
เช่นเดียวกับข้อ 2,3 ต่อไปจนกว่าจะได้ดกรีของตัวตัง
ี ้
ใหม่นอยกว่าดีกรีของตัวหาร
้
*ขันตอนการหารจะสินสุดลงเมือตัวตังใหม่มดกรีนอย
้ ้ ่ ้ ี ี ้
กว่าตัวหารซึ่งถือว่าเป็ นเศษ

44. ถ้าหารพหุนามแล้วได้เศษเป็ นศูนย์ เรียกว่า หารลง
ตัว
ถ้าหารพหุนามแล้วได้เศษไม่เป็ นศูนย์ เรียกว่า หาร
ไม่ลงตัว

45. ตัวอย่างที่ 2 จงหาร x4-9x2-36 ด้วย x+4
วิธีทา 1.เรียงพจน์ของพหุนามตัวตังและพหุนามตัวหาร
้
จากพจน์ที่มดกรีมากไปพจน์ที่มดกรีนอย และจะเห็นว่า
ี ี ี ี ้
ไม่มพจน์ที่มีเลขชีกาลัง 3 และ 1 จึงใส่ 0 ไว้ (หรืออาจ
ี ้
เว้นที่ว่างไว้ก็ได้) แล้วเขียนการตังหาร
้
2. นาพจน์แรกของตัวหารคือ x ไปหารพจน์แรกของตัว
ตัง คือ x4 จะได้ผลหารเป็ น x3 เขียน x3 ไว้ที่บรรทัด
้
เหนือตัวตัง ้

46. 3. นาผลหารที่ได้จากข้อ 2 คือ x3 ไปคูณตัวหารทุกพจน์
ได้ผลคูณเป็ น x4+4x3 เขียนผลคูณที่ได้ไว้ที่บรรทัดเหนือตัว
ตัง
้
4. นาผลหารที่ได้จากข้อ 3 คือ x4+4x3 ไปลบออกจากตัว
ตัง ้
ได้เป็ นผลลบเป็ น -4x3-9x2 ซึ่ง -4x3-9x2 จะเป็ นตัวตัง้
ใหม่ใรการหารครังต่อไป
้
5. จากข้อ 4 ได้ตวตังใหม่คือ -4x3-9x2 นาพจน์แรกของ
ั ้
ตัวหารคือ x ไปหารพจน์แรกของตัวตังใหม่คอ -4x3 จะได้
้ ื
ผลหารเป็ น -4x2 นาผลหารนี้ (-4x2) ไปบวกกับผลหารที่
ได้ในข้อ 2 เป็ น x3 -4x2

47. 6. นาผลหารจากข้อ 5 คือ -4x2 ไปคูณตัวหารทุก
พจน์ ได้ผลคูณเป็ น -4x3-16x2 นาผลคูณที่ได้ไปลบ
ออกจากตัวตังใหม่
้
ได้ผลลบเป็ น 7x2 +(0)x ซึ่ง 7x2+0(x) จะเป็ น
ตัวตังใหม่ในการหารครังต่อไป กระทาเช่นนีไปเรื่อยๆ
้ ้ ้
จนกว่าเลขชีกาลังของตัวตังใหม่นอยกว่าเลขชชีกาลัง
้ ้ ้ ้
ของตัวหารจึงหยุดการหารเขียนขันตอนการหาร
้
แบบต่อเนืองกันได้ดงนี้ ดังนัน ผลหารคือ x3-
่ ั ้
4x2+7x-28 เศษ 76

48. หมายเหต ุ
โดยทัวไป ตัวตัง ตัวหาร ผลหาร และเศษ มี
่ ้
ความสัมพันธ์กนดังนี้
ั
ตัวตัง = (ตัวหาร×ผลหาร)+เศษ
้

49. 5. เศษส่วนของพห ุ
นาม

50. • ถ้า P และ Q แทนพหุนาม โดยที่ Q ≠ 0 แล้ว จะ
เรียก P ส่วน Q ว่า เศษส่วนของพหุนาม ที่มี P เป็ น
ตัวเศษ และ Q เป็ นตัวส่วน
หมายเหต ุ
นิพจน์ 2x5, 4x+3 เป็ นเศษส่วนของพหุนามเช่นกัน
เพราะ สามารถเขียน 2x5 ได้เป็ น 2x5 ยกกาลัง 1
และเขียน 4x+3 ได้เป็ น 4x+3 ยกกาลัง 1 ซึ่งอยู่ใน
รูปเศษส่วนของพหุนาม

51. เนืองจากตัวแปรในพหุนามแทนจานวนจริง ดังนัน
่ ้
พหุนามและเศษส่วนของพหุนามจึงเป็ นจานวนจริง เมือ ่
กล่าวถึงเศษส่วนของพหุนาม พหุนามที่เป็ นตัวส่วนต้อง
ไม่เป็ นศูนย์ และเราจะใช้หลักการบวก ลบ คูณ หาร
จานวนจริง กับเศษส่วนของพหุนามเช่นเดียวกัน จึงจะได้
กล่าวถึงการบวก ลบ คูณ หาร เศาส่วนก่อนที่จะ
กล่าวถึงเศษส่วนของพหุนาม ดังนี้

52. 5.1 การบวก ลบ คูณ หารเศษส่วน
กฎเกณฑ์การบวก ลบ คูณ หารเศษส่วน
ก่อนที่จะกล่าวถึงการบวกและการลบเศษส่วนของ
พหุนาม จะได้กล่าวถึงการคูณและการหารเศษส่วนของ
พหุนามก่อน เนืองจากจะนาไปใช้ในการหาผลบวกและผล
่
ลบเศษส่วนของพหุนามด้วย

53. 5.2 การคูณและการหารเศษส่วนของพหุ
นาม
ในการหาผลคูณและผลหารของเศษส่วนของพหุ
นามใช้หลักการเดียวกับการหาผลคูณและผลหารของ
เศษส่วนของจานวนจริง
การคูณเศษส่วนของพหุนาม
หลักการคูณ นาตัวเศษคูณตัวเศษ
และนาตัวส่วนคูณตัวส่วน

54. หลักการคูณ นาตัวเศษ
คูณตัวเศษ และนาตัวส่วนคูณตัวส่วน

55. การหารเศษส่วนของพหุ
นาม

56. หลักการหาร เปลี่ยน
เครื่องหมาย ÷ เป็ นเครื่องหมาย × และ
กลับเศษที่เป็ นตัวหารให้ตวเศษเป็ นตัว
ั
ส่วนและตัวส่วนเป็ นตัวเศษ แล้ว
ดาเนินการเหมือนการคูณพหุนาม

57. 5.3การบวกและการลบ
เศษส่วนของพหุนาม

58. การบวกและการลบเศษส่วน
ของพหุนามใช้หลักการเดียวกับ
การบวกและการลบเศษส่วนซึ่ง
แบ่งเป็ น 2 กรณี ดังนี้

59. กรณีที่ 1 ถ้าเศษส่วนของพหุ
นามที่นามาหาผลลัพธ์มตวส่วน
ี ั
เท่ากัน ให้นาตัวเศษมาบวกหรือ
ลบกัน โดยตัวส่วนคงเดิม

60. กรณีที่ 2 ถ้าเศษส่วนของพหุ
นามที่นามาหาผลลัพธ์มตวส่วนไม่
ี ั
เท่ากัน ให้ทาเศษส่วนให้มตวส่วน
ี ั
เท่ากันก่อนโดยการหา ค.ร.น.
ของตัวส่วน

61. รายชือ
่
1.ด.ช.จิรายุ จิตรวงศ์นนท์ ั ม.2/1 เลขที่ 2
2.ด.ช.โชคทวี อภิลา ม.2/1 เลขที่ 3
3.ด.ช.ณัฐพงษ์ ศรีวิชยั ม.2/1 เลขที่ 4
4.ด.ช.นรวัฒน์ วรรณทอง ม.2/1 เลขที่ 6
5.ด.ช.นฤเทพ หาญอยู่คม ุ้ ม.2/1 เลขที่ 7
6.ด.ช.นาซานเนียร วาเรีย ม.2/1 เลขที่ 8
7.ด.ช.รัชพงศ์ ภูรีสิทธิ์ ม.2/1 เลขที่ 9
8.ด.ช.สิทธิพร สุขเสถียร ม.2/1 เลขที่ 10
9.ด.ช.โสฬส โพธิระ ม.2/1 เลขที่ 11
10.ด.ช.กฤษฎิ์ อาทร ม.2/1 เลขที่ 13