1. การประยุกตของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
1. ทบทวนการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
ความหมายของสมการ
สมการ เปนประโยคที่แสดงการเทากันของจํานวน โดยมีสัญลักษณ = บอกการเทากัน
สมการอาจมีตัวแปรหรือไมมีตัวแปรก็ได เชน 4x – 2 = 15 เปนสมการที่มี x เปนตัวแปร
และ 12 – 25 = – 13 เปนสมการที่ไมมีตัวแปร
det ทย
สมการซึ่งมี x เปนตัวแปรและมีรูปทั่วไปเปน ax + b = 0 เมื่อ a, b เปนคาคงตัว และ a ≠ 0
เรียกวา “สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว”
ica ้อยไ
.org
ตอไปนี้เปนตัวอยางของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
.tha ายร
1
1.) 4x = 0 2.) x – 4 = 0 3.) –1.5y + 1.5 = 0 4.) 2 – 3x = 0
3
www ซต์น
* สมการเชิงเสนตัวแปรเดียวบอกอะไรแกเรา ?
ตอบ จริง ๆ แลว เราใชอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพเล็ก เชน a, b, c, ..., x, y, z แทนตัวแปร แตที่เราพบเห็นอยูเสมอ ๆ คือ
ไ
ตัวแปร x และ y เพราะสามารถเขียนกราฟของสมการในระบบพิกดฉาก XY ได ั
เว็บ
ตัวอยางเชน 1. 4x = 0
นํา 4 มาหารทั้งสองขางของสมการ พิจารณาสมการ x = 0 จะเห็นวาไมวาคา y จะเปนเทาใด
4x 0 จะไดคา x = 0 เสมอ
=
4 4 เชน ..., (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), ...
x =0 เขียนกราฟเสนตรงในระบบพิกัดฉาก XY ไดดังนี้
Y
X=0
3
2
1
X
-1
-2
-3
จะเห็นวา สมการ x = 0 ก็คือแกน Y นั่นเอง
เพราะทุกพิกัดบนแกน Y มีคา x = 0

2. 1
2. x–4=0
3
นํา 4 มาบวกทั้งสองขางของสมการ พิจารณาสมการ x = 12 จะเห็นวาไมวาคา y จะเปนเทาใด
1 จะไดคา x = 12 เสมอ
x–4+4 = 0+4
3 เชน ..., (12, -2), (12, -1), (12, 0), (12, 1), (12, 2), ...
1
x =0 เขียนกราฟเสนตรงในระบบพิกัดฉาก XY ไดดังนี้
3 Y
นํา 3 มาคูณทังสองขางของสมการ
้
x = 12
1
x (3) = 4 (3) X
3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x = 12
จะเห็นวา สมการ x = 12 ขนานแกน Y
det ทย
3. –1.5y + 1.5 = 0
ica ้อยไ
นํา 1.5 มาลบทั้งสองขางของสมการ
.org
–1.5y + 1.5 – 1.5 = 0 – 1.5 พิจารณาสมการ y = 1 จะเห็นวาไมวาคา x จะเปนเทาใด
.tha ายร
–1.5y = –1.5 จะไดคา y = 1 เสมอ
นํา –1.5 มาหารทั้งสองขางของสมการ เชน ..., (-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), ...
เขียนกราฟเสนตรงในระบบพิกัดฉาก XY ไดดังนี้
www ซต์น
( −1.5) y ( −1.5)
=
( −1.5) ( −1.5)
y =1 4
ไ
3
เว็บ
2
1 y=1
-1
-2
-3
จะเห็นวา สมการ y = 12 ขนานแกน X
จากทั้งสามตัวอยางขางตน แสดงใหเห็นวา
−1
• สมการ x = จํานวนจริงใด ๆ เชน x = 2, x = 5, x = เปนกราฟเสนตรงที่ขนานแกน Y
4
และสมการ x = 0 คือแกน Y นั่นเอง
−1
• สมการ y = จํานวนจริงใด ๆ เชน y = 2, y = 5, y = เปนกราฟเสนตรงที่ขนานแกน X
4
และสมการ y = 0 คือแกน X นั่นเอง
“มองภาพไดงายขึ้นแลวใชไหมครับ การที่เราสามารถมองภาพรวมของสมการ และรูวิธีแกสมการที่ถูกวิธี ทําใหเราหา

คําตอบไดอยางรวดเร็ว และประหยัดเวลาในการคิดไดมากทีเดียว” ☺

3. คําตอบของสมการ คือ จํานวนที่แทนตัวแปรในสมการแลว ทําใหสมการเปนจริง
ซึ่งการแกสมการ คือ การหาคําตอบของสมการนั่นเอง
สามารถใชสมบัติของการเทากัน ไดแก สมบัติสมมาตร สมบัติถายทอด สมบัติการบวก และสมบัติการคูณ
เพื่อหาคําตอบของสมการได
สมบัติของการเทากัน มีดังนี้
1. สมบัติสมมาตร ถา a = b แลว b = a
เชน 68 = 4x
∴ 4x = 68
2. สมบัติถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c
det ทย
เชน ถา x = 6 – 4 และ 6 – 4 = 2 แลว x = 2
4 4
ica ้อยไ
ถา y = x และ x = 7 แลว y = 7
5 5
.org
.tha ายร
3. สมบัติการบวก ถา a = b แลว a + c = b + c
เชน ถา a = 5 แลว a + 7 = 5 + 7
www ซต์น
ถา 2 – b = 4 แลว 2 – b – 2 = 4 – 2
4. สมบัติการคูณ ถา a = b แลว ac = bc
ไ
เว็บ
เชน ถา 3 + n = 4m แลว 4 (3 + n) = 4(4m)
ถา 8n – 2 = 12 แลว 2 (4n – 1) = 2 (6) การแยกตัวประกอบ
ซึ่งเปนบทกลับของสมบัติการคูณ
แตที่กลาวมาขางตนนั้นมันแคหลักการครับ เวลาแกสมการจริง ๆ แลว วิธีคิด “ใหไว” และ “ไดผล” ดังตอไปนี้ครับ
1. จัดรูปสมการไมใหติดเศษสวนหรือทศนิยม
2. จัดรูปสมการในขอ 1. ใหเปนรูปอยางงาย
4. ยายขางตัวเลขอยูสวนตัวเลข ตัวแปรอยูสวนตัวแปร โดยอาศัยหลักการเครื่องหมายตรงขาม ดังนี้

ยายขาง + ใหเปน –
ยายขาง – ใหเปน + จํางายไหมครับ เครื่องหมายตรงขามนั่นเอง
ยายขาง × ใหเปน ÷ ลองดูตัวอยางตอไปนี้ครับ
ยายขาง ÷ ใหเปน ×

4. 1 2 1
ตัวอยางที่ 1 จงแกสมการ − y + =
2 3 2
วิธีทํา วิธีตามหนังสือ วิธีของเรา
1 2 1 1 2 1
− y+ = − y+ =
2 3 2 2 3 2
2 2
นํา มาลบทั้งสองขางของสมการ ยาย + จากบวกเปนลบ (ยายตัวเลขใหอยูฝงเดียวกัน)

3 3
1 2 2 1 2 1 1 2 1
จะได − y + – = – − y = – = −
2 3 3 2 3 2 2 3 6
1 1 ยาย – 2 จากหารเปนคูณ
− y = −
2 6 1 1
นํา –2 มาคูณทั้งสองขางของสมการ y = − (– 2) =
6 3
1 1
จะได ⎛ − y ⎞ (– 2) = − (– 2)
⎜ ⎟
det ทย
⎝ 2 ⎠ 6 ขอนี้มันสั้นครับ ดูขอตอไปจะเห็นความแตกตางอยางชัดเจน
1
y =
ica ้อยไ 3
.org
.tha ายร
1
ตัวอยางที่ 2 จงแกสมการ (p – 5) = 2p – 1
3
www ซต์น
วิธีทํา วิธีตามหนังสือ วิธีของเรา
1 1
(p – 5) = 2p – 1 (p – 5) = 2p – 1
3 3
ไ
นํา 3 มาคูณทังสองขางของสมการ
้ p–5 = 3 (2p – 1) = 6p – 3 (ยาย 3 จากหารเปนคูณ)
เว็บ
1 –5 + 3 = 6p – p (ยายเลขมาฝงเลข ตัวแปรมาฝงตัวแปร)
จะได (p – 5) (3) = 3 (2p – 1)
3 –2 = 5p
p – 5 = 6p – 3 5p = –2 (สมบัติสมมาตร)
นํา –6 มาบวกทั้งสองขางของสมการ −2
จะได –6p + p – 5 = 6p – 3 – 6p p = (ยาย 5 จากคูณเปนหาร)
5
–5p – 3 = –3
6 บรรทัด สั้นและเร็วกวาไหมครับ?
นํา 5 มาบวกทั้งสองขางของสมการ
จะได –5p – 5 + 5 = –3 + 5
–5p = 2
นํา –5 มาหารทั้งสองขางของสมการ
− 5p 2
จะได =
−5 −5
−2
p =
5
13 บรรทัด ซึ่งยาวนะครับ.

5. 8 6
ตัวอยางที่ 3 จงแกสมการ x = x + 22
3 5
8
วิธีทํา จากโจทยจะเห็นวา เรายาย 5 จากหารไปคูณกับ x ไมได เพราะ 5 ไมใชตัวหารของเลขทั้งหมด
3
ตองยายชุดตัวแปรมาฝงเดียวกัน
8 6
จะได x – x = 22
3 5
8 6
x⎛ − ⎞ =
⎜ ⎟ 22 (ดึง x ที่เปนตัวประกอบรวมออกมา)
⎝3 5⎠
40 − 18 ⎞
x⎛ ⎜ ⎟ = 22 (หา ค.ร.น. ของ 3 และ 5 เพื่อลบเศษสวน)
⎝ 15 ⎠
15
x = 22 × (ยายขางหารเปนคูณ; คูณเปนหาร)
22
det ทย
x = 15
ขอนี้เราทํา 5 บรรทัดครับ แตหนังสือทํา 11 บรรทัด
ica ้อยไ ตอบ
.org
.tha ายร
ตัวอยางที่ 4 จงแกสมการ 3 (y – 6) – 2 (5 + 3y) = 5
วิธีทํา คูณตัวประกอบรวมเขาไปใหไดเอกนามแตละตัว แลวจับตัวเลขคูตัวเลข ตัวแปรคูตวแปร
ั
www ซต์น
3y – 18 – 10 – 6y – 5 = 0 (ยาย 5 มาดวย เปน –5)
–3y – 33 =0 บางคนเกงแลวทําอยางนีไดเลย ยาย –3y เปน 3y
้
จะได 0 = –3y – 33 –33 = 3y
ไ
− 33
เว็บ
3y = –33 =y
3
− 33
y = = –11 y = –11 ตอบ
3
x 2(x − 1) 4 − 5x
ตัวอยางที่ 5 จงแกสมการ − =
9 3 6
วิธีทํา แกปญหาเศษสวนกอนเลยครับ หา ค.ร.น. ของ 9, 3 และ 6 ได 18
นํา 18 มาคูณทั้งสองขางของสมการ
x (18)2(x − 1) (4 − 5x)
(18) – = (18)
9 3 6
2x – 12x + 12 = 12 – 15x
2x – 12x + 15x = 12 – 12 ยายตัวเลขมาฝงตัวเลข ตัวแปรไปฝงตัวแปร
5x = 0
x = 0 ตอบ

6. a+7 a −5
ตัวอยางที่ 6 จงแกสมการ − (2 − a ) =
3 6
วิธีทํา กําจัดตัวสวนโดยการคูณดวย ค.ร.น. ของ 3 และ 6 ทั้งสองขางของสมการ
a+7⎞ a −5 ⎞
(6) ⎛
⎜ ⎟ – 6 (2 – a) = 6⎛⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠
2a + 14 – 12 + 6a = a–5
2a + 6a – a = –5 – 14 + 12 ยายตัวเลขมาฝงตัวเลข ตัวแปรไปฝงตัวแปร
7a = –7
−7
a = = –1 ตอบ
7
2x x + 6 3
ตัวอยางที่ 7 จงแกสมการ + = (x + 15)
15 12 10
det ทย
วิธีทํา กําจัดตัวสวนโดยการคูณดวย ค.ร.น. ของ 15, 12 และ 10 นั่นคือ 60 ทั้งสองขางของสมการ
2x (x + 6)
ica ้อยไ 3
(60) + 60 = (60) (x + 15)
15 12 10
.org
8x + 5x + 30 = 18x + 270
.tha ายร
8x + 5x – 18x = 270 – 30
–5x = 240
www ซต์น
240
x = = –48 ตอบ
−5
ไ
ตัวอยางที่ 8 จงแกสมการ 4.5 (2 – 3x) + 0.8x = 2.3 (x + 30)
เว็บ
วิธีทํา คูณตัวประกอบเขาไป เพื่อใหไดเอกนามแตละตัว
(4.5) (2) – (4.5) (3x) + 0.8x = 2.3x + (2.3) (30)
9 – 13.5x + 0.8x = 2.3x + 69
–13.5x + 0.8x – 2.3x = 69 – 9 ยายตัวเลขมาฝงตัวเลข ตัวแปรไปฝงตัวแปร
–15x = 60
60
x = = –4 ตอบ
− 15
ตัวอยางที่ 9 จงแกสมการ 0.12y – 1.6 (y – 2) = 6.8 – 1.28y
วิธีทํา คูณตัวประกอบเขาไป เพื่อใหไดเอกนามแตละตัว
0.12y – 1.6y + 3.2 = 6.8 – 1.28y
0.12y – 1.6y + 1.28y = 6.8 – 3.2 ยายตัวเลขมาฝงตัวเลข ตัวแปรไปฝงตัวแปร
–0.2y = 3.6
3.6
y = = –18 ตอบ
− 0.2

7. 2x − 5 5 + 3x 2x − 1 5x − 2
ตัวอยางที่ 10 จงแกสมการ − = −
2 4 2 8
วิธีทํา กําจัดตัวสวนโดยการคูณดวย ค.ร.น. ของ 2, 4 และ 8 นั่นคือ 8 ทั้งสองขางของสมการ
8(2x − 5) 8(5 + 3x) 8(2x − 1) 8(5x − 2)
− = −
2 4 2 8
8x – 20 – 10 – 6x = 8x – 4 – 5x + 2
8x – 6x – 8x + 5x = –4 + 2 + 20 + 10 ยายตัวเลขมาฝงตัวเลข ตัวแปรไปฝงตัวแปร
–x = 28
28
x = = –28 ตอบ
−1
2. การนําไปใช
det ทย
ขั้นตอนการแกสมการจากประโยคสัญลักษณเปนดังนี้
ica ้อยไ ไมจริง
.org
วิเคราะหเงื่อนไขในโจทย
เริ่มตน → อานและวิเคราะหโจทย → กําหนดตัวแปร → → แกสมการ
และเขียนสมการ
.tha ายร
www ซต์น
ตรวจคําตอบของสมการ
จบ ← แสดงคําตอบ ←
ตามเงื่อนไขโจทย
ไ
เว็บ
2.1 ปญหาเกี่ยวกับจํานวน
ตัวอยางที่ 11 ผลบวกของจํานวนสองจํานวน คือ 14 ถาจํานวนหนึ่งนอยกวาอีกจํานวนหนึ่งอยู 40 จงหาจํานวนสองจํานวนนั้น
วิธีทํา ให x แทนจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง
อีกจํานวนหนึงนอยกวาจํานวนแรกอยู 40 แทนดวย x – 40
่
เนื่องจากผลบวกของทั้งสองจํานวน คือ 14
จะไดสมการเปน x + (x – 40) = 14
x + x – 40 = 14
2x = 14 + 40 = 54
54
x = = 27
2
ดังนั้น จํานวนเต็มตัวแรก คือ 27 และจํานวนเต็มตัวที่สอง คือ 27 – 40 = –13
ตรวจคําตอบ โจทยกําหนดใหผลบวกของจํานวนสองจํานวน คือ 14
แทนคา 27 + (–13) = 27 – 13 = 14 จริง
ดังนั้น จํานวนเต็มทั้งสองจํานวน คือ 27 และ –13 ตอบ

8. ตัวอยางที่ 12 ผลบวกของจํานวนคูสี่จํานวนเรียงติดกันเทากับ 212 จงหาจํานวนทั้งสี่
วิธีทํา พิจารณาจํานวนคูเรียงติดกัน เชน 2, 4, 6, ...
เราจะเขียนแทนจํานวนเหลานี้ไดวา 2, 2+2, 2+4, ...
นั่นคือ ถาสมมติใหจํานวนแรกเปน x จะได x, x+2, x+4, ...
ดังนั้น แปลงโจทยเปนประโยคสัญลักษณได x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 212
x+x+2+x+4+x+6 = 212
4x + 12 = 212
4x = 212 – 12 = 200
200
x = = 50
4
ดังนั้น จํานวนคูที่เรียงติดกัน x, x + 2, x + 4 และ x + 6
คือ 50, 52, 54 และ 56 ตอบ
det ทย
ica ้อยไ
.org
อยางที่พี่เคยบอกวา
.tha ายร
การจะประสบความสําเร็จในการสอบได
ตองตะลุยทําโจทยใหมาก ๆ
www ซต์น
งั้น...เรามาตะลุยทําโจทยกนดีกวาครับ.
ั
ไ
เว็บ
1. จงหาจํานวนเต็มสามจํานวนเรียงติดกัน ซึ่งมีผลบวกเปน –255
วิธีทํา สมมติใหจํานวนเต็มตัวแรก คือ x
ดังนั้น จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงติดกัน คือ x, x + 1, x + 2
เขียนประโยคสัญลักษณ x + (x + 1) + (x + 2) = –255
x+x+1+x+2 = –255
3x + 3 = –255
3x = –255 – 3 = –258
− 258
x = = –86
3
ดังนั้น จํานวนเต็มสามจํานวน x, x + 1, x + 2
คือ –86, –86 + 1, –86 + 2 หรือ –86, –85, –84 ตอบ

9. 2. จงหาจํานวนคี่สามจํานวนที่เรียงติดกัน ซึ่งมีผลบวกเปน –87
วิธีทํา สมมติใหจํานวนคี่ตวแรก คือ x
ั
ดังนั้น จํานวนคี่สามจํานวนเรียงติดกัน คือ x, x + 2, x + 4
จากโจทยเขียนประโยคสัญลักษณ x + (x + 2) + (x + 4) = –87
x+x+2+x+4 = –87
3x + 6 = –87
3x = –87 – 6 = –93
− 93
x = = –31
3
ดังนั้น จํานวนเต็มสามจํานวน x, x + 2, x + 4
คือ –31, –31 + 2, –31 + 4 หรือ –31, –29, –27 ตอบ
det ทย
จะเห็นวา แนวคิดของขอ 1 และ ขอ 2 นั้นเหมือนกัน ถาจํานวนเต็มเรียงติดกัน คือ x, x + 1, x + 2. ...
ถาจํานวนเต็มคู หรือจํานวนเต็มคี่เรียงติดกัน คือ x, x+2, x+4, ... เพราะจํานวนคูหรือจํานวนคี่ที่เรียงติดกัน จะมีคาหางกัน 2 หนวย
ica ้อยไ
.org
.tha ายร
3. ผลบวกของจํานวนเต็มสองจํานวนเปน –61 ถาจํานวนหนึ่งนอยกวาสามเทาของอีกจํานวนหนึงอยู 17 จงหาจํานวนสองจํานวนนัน
่ ้
วิธีทํา กําหนดใหจํานวนเต็มตัวแรก คือ x, ดังนั้น อีกจํานวนหนึ่ง คือ –61 – x
www ซต์น
เพราะ จํานวนสองจํานวนบวกกัน = –61
หมายถึง x + (–61 – x) = x – 61 – x = –61 จริง
กําหนดใหจํานวนที่มากกวา คือ x และจํานวนทีนอยกวา คือ –61 – x
่
ไ
เว็บ
ดังนั้น เขียน “จํานวนหนึ่งนอยกวาสามเทาของอีกจํานวนหนึ่งอยู 17” เปนประโยคสัญลักษณได 3x – (–61–x) = 17
จาก 3x – (–61 – x) = 17
3x + 61 + x = 17
4x = 17 – 61 = –44
x = –11
ถาจํานวนแรกคือ –11 อีกจํานวนหนึง คือ –61 – x
่ หรือ –61 – (–11) = –61 + 11 = –50 ตอบ
ขอสังเกต ถาเรากําหนดให –61 – x เปนจํานวนทีมากกวา
่ และ x เปนจํานวนทีนอยกวา
่
ลองคํานวณแบบนี้ดูนะครับ ; 3 (–61 – x) – x = 17
–183 – 3x – x = 17
–4x = 17 + 183 = 200
200
x = = –50
−4
เมื่อ x = –50 ดังนั้น –61 – x คือ –61 – (–50) = –61 + 50 = –11 เชนกัน

10. Hint : คําถามลักษณะใครมากกวาใคร ใครนอยกวาใคร มากหรือมากนอยกวาอยูเทาไร ... นากลัวมาก!!!
เพราะนอง ๆ ตีความกันไมเปน
คนทั่วไปตีความอยางนี้ → พี่มีเงินมากกวาฉันอยู 3 บาท ตีความเปน พี่ > ฉัน = 3 บาท
ซึ่งประโยคสัญลักษณ พี่ > ฉัน = 3 บาท นั้น มันใชแกปญหาไมไดครับ
เพราะมีทั้งเครืองหมาย > และ = อยูในประโยคเดียวกัน
่
คนคิดเกงตีความอยางนี้ → พี่มีเงินมากกวาฉันอยู 3 บาท แปลวา เงินพี่ลบเงินฉันเทากับ 3 บาท
เขียนเปนประโยคสัญลักษณได พี่ – ฉัน = 3 บาท
อยางนี้จึงจะเรียกไดวา “คิดได” และ “คิดเปน” ครับ
4. จํานวนคูสองจํานวนเรียงติดกัน เมื่อนํา 6 มาลบออกจากจํานวนที่มากกวา แลวคูณดวย 3 จะไดผลลัพธเทากับเมื่อนํา 4 มาบวก
กับจํานวนที่นอยกวา แลวคูณดวย 7 จงหาจํานวนคูสองจํานวนนั้น

det ทย
วิธีทํา จํานวนคูสองจํานวนเรียงติดกัน ใหจํานวนแรก คือ x ดังนั้น อีกจํานวนหนึ่งคือ x + 2
ใหจํานวนที่มากกวา คือ x + 2 จํานวนที่นอยกวา คือ x
ica ้อยไ
จากประโยคภาษาขางตน เขียนเปนประโยคสัญลักษณไดดังนี้
.org
[(x + 2) – 6] × 3 = [4 + x] × 7
.tha ายร
แกสมการคา x ไดดังนี้
จาก [(x + 2) – 6] × 3 = [4 + x] × 7
www ซต์น
(x – 4) (3) = (x + 4) 7 ; [4 + x = x + 4]
3x – 12 = 7x + 28
–12 – 28 = 7x – 3x
ไ
เว็บ
4x = –40
− 40
x = = –10
4
ถาจํานวนแรก คือ x = –10 ดังนั้น อีกจํานวนหนึ่ง คือ x + 2 = –10 + 2 = –8 ตอบ
5. ถาผลบวกของจํานวนเต็มสองจํานวนเทากับ 20 และผลตางของสองจํานวนนั้นเทากับ 2 จงหาจํานวนสองจํานวนนั้น
วิธีทํา สมมติใหจํานวนเต็มตัวแรก คือ x ดังนั้น จํานวนเต็มอีกตัวหนึ่ง คือ 20 – x
จากโจทยเขียนเปนประโยคสัญลักษณได x – (20 – x) = 2
x – 20 + x = 2
2x = 2 + 20 = 22
22
x = = 11
2
ถาจํานวนแรก คือ 11 ดังนั้น อีกจํานวนหนึ่ง คือ 20 – x = 20 – 11 = 9 ตอบ

11. 6. จํานวนเต็มสองจํานวน จํานวนแรกนอยกวาจํานวนที่สองอยู 15 ถาคูณจํานวนแรกดวย 3 และบวกดวยสองเทาของจํานวนที่สอง
จะไดผลลัพธเปน 80 จงหาจํานวนสองจํานวนนั้น
วิธีทํา โจทยกําหนดใหจํานวนแรกนอยกวาจํานวนที่สองอยู 15 สมมติใหจํานวนแรก คือ x จํานวนที่สอง คือ 15 + x
จากโจทยเขียนเปนประโยคสัญลักษณได 3x + 2 (15 + x) = 80
แกสมการได 3x + 2 (15) + 2x = 80
5x = 80 – 30 = 50
50
x = = 10
5
ถาจํานวนแรก คือ 10 ดังนั้น อีกจํานวนหนึ่ง คือ 15 + x = 15 + 10 = 25 ตอบ
7. นตท.ผานฟา สอบแขงขันคณิตศาสตรสองครั้ง แตละครั้งคะแนนเต็ม 100 คะแนน ครั้งแรกเขาสอบได 75 คะแนน
det ทย
เขาตองสอบครั้งที่สองใหไดคะแนนเทาใด จึงจะไดคะแนนเฉลี่ยของการสอบทั้งสองครั้งเปน 80 คะแนน
คะแนนสอบครั้งแรก + คะแนนสอบครั้งที่สอง
วิธีทํา คะแนนเฉลี่ยของการสอบทั้งสองครั้ง =
ica ้อยไ 2
.org
75+ คะแนนสอบครั้งที่สอง
แทนคาได 80 =
.tha ายร
2
ดังนั้น คะแนนสอบครั้งที่สอง = 80 (2) – 75 = 85
∴ เขาตองทําคะแนนสอบครั้งที่สองใหได 85 คะแนน
www ซต์น
จึงจะไดคะแนนเฉลี่ยของการสอบทั้งสองครั้งเปน 80 คะแนน ตอบ
ไ
เว็บ
8. นักเรียนหองหนึ่งมีจํานวนนักเรียนหญิงเปนสองเทาของจํานวนนักเรียนชาย ถามีนักเรียนชายยายมาเพิ่ม 6 คน
และนักเรียนหญิงยายออก 5 คน แลวนักเรียนชายกับนักเรียนหญิงจะมีจํานวนเทากัน จงหาจํานวนนักเรียนในหองนี้
วิธีทํา กําหนดใหมีจานวนนักเรียนชาย x คน
ํ
ดังนั้น มีจํานวนนักเรียนหญิง 2x คน
นักเรียนชายเพิม 6 คน หมายถึง
่ x+6
นักเรียนหญิงลด 5 คน หมายถึง 2x – 5
โจทยกําหนดให x+6 = 2x – 5
แกสมการได 6+5 = 2x – x
x = 11
ดังนั้น นักเรียนในหองนี้มีจานวน x + 2x =
ํ 11 + 2 (11) = 11 + 22 = 33 คน ตอบ

12. 9. ลวดหนามขดหนึ่งยาว 36 เมตร นําไปลอมรั้วรอบพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่มีดานกวางสั้นกวาดานยาว 4 เมตร ไดพอดี

จงหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผานี้
วิธีทํา x+4
x x
x+4
ถาสมมติใหความกวางของรูปสี่เหลี่ยมผืนผายาว x เมตร
ดังนั้น ใหความยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผายาว x+4 เมตร
จากรูปและโจทย x + x + (x + 4) + (x + 4) = 36 เมตร
x+x+x+4+x+4 = 36
4x + 8 = 36
det ทย
36 − 8 28
x = = = 7 เมตร
4 4
ica ้อยไ
ดังนั้น สี่เหลี่ยมผืนผารูปนี้ กวาง 7 เมตร ยาว 7 + 4 หรือ 11 เมตร ตอบ
.org
.tha ายร
2
10. แมแบงทีนาใหลกสองคน คนแรกไดรับ ของที่มีอยู คนที่สองไดนอยกวาคนแรก 5 ไร ปรากฏวาแมยงเหลือทีนาอยูอก 15 ไร
่ ู  ั ่ ี
www ซต์น
5
จงหาวาเดิมแมมีที่นากี่ไร
วิธีทํา ถาที่นาถูกแบงใหลูกสองคน
ไ
2 2
เว็บ
สมมติใหที่นาทั้งหมดมี x ไร ลูกคนแรกไดรับ x ไร คนที่สองไดรับ x – 5 ไร
5 5
2 ⎛2
จากโจทยเขียนเปนประโยคสัญลักษณได x = x + ⎜ x −5 ⎞ + 15
⎟
5 ⎝5 ⎠
2 2
x = x + x – 5 + 15
5 5
2 2
x– x– x = –5 + 15 = 10
5 5
2 2
x ⎛1 − − ⎞
⎜ ⎟ = 10
⎝ 5 5⎠
1
x = 10
5
x = 10 (5) = 50
ดังนั้น เดิมแมมีที่นารวม 50 ไร ตอบ

13. 11. สามปที่แลวบุตรมีอายุเทากับหนึ่งในหาของอายุปจจุบันของบิดา อีกหาปขางหนาบิดาจะมีอายุมากกวาอายุของบุตร 25 ป
จงหาอายุปจจุบันของบิดาและบุตร

x
วิธีทํา กําหนดใหปจจุบันบิดาอายุ x ป ทําใหสามปที่แลวบุตรมีอายุ ป
5
x
ดังนั้น ปจจุบันบุตรอายุ + 3 ป
5
x x
ทําใหอีกหาปขางหนาบิดาอายุ x + 5 ป และบุตรอายุ ⎛ + 3 ⎞ + 5 =
⎜ ⎟ + 8 ป
⎝5 ⎠ 5
x
จากโจทยเขียนเปนประโยคสัญลักษณไดวา  (x + 5) – ⎛ + 8 ⎞
⎜ ⎟ = 25
⎝5 ⎠
x
x+5– –8 = 25
5
x
x– = 25 – 5 + 8 = 28
det ทย
5
4
ica ้อยไ x = 28
5
5
.org
x = 28 × = 35 ป
4
.tha ายร
x 35
ถาปจจุบันบิดาอายุ 35 ป ดังนั้น บุตรอายุ + 3 = +3 = 10 ป ตอบ
5 5
www ซต์น
12. ทอประปาทอหนึ่งวัดเสนผานศูนยกลางภายในได 6 เซนติเมตร ถาทอประปาทอนี้จุน้ําได 1,386 ลูกบาศกเซนติเมตร
ไ
จะมีความยาวเทาใด (ใชสูตร V = πr2ℓ เมื่อ V แทนปริมาตรของทรงกระบอก
เว็บ
r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก
22
ℓ แทนความยาวของทรงกระบอก และกําหนดให π = )
7
วิธีทํา จากสูตร V = πr2ℓ
D 6
จากโจทย r = = = 3 cm
2 2
22
แทนคา V = 1,386 cm3, π= , r = 3 และเราตองหาคา ℓ
7
จาก V = πr2ℓ
V 1,386 1,386 × 7
ดังนั้น ℓ = = 22 = = 49 cm
πr 2 × 32 22 × 9
7
ดั้งนั้น ทอน้ํานี้มีความยาว 49 เซนติเมตร ตอบ

14. 2.2 ปญหาเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ
นอง ๆ เคยแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละมาแลว แตในกรณีที่โจทยมความซับซอนยุงยาก ถาใชสมการ
ี
ชวยอาจทําไดรวดเร็วและงายกวา ดังตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยางที่ 13 พอคาซื้อแปงสองชนิดมาผสมกันใหได 50 กิโลกรัม เขาซื้อแปงชนิดแรกกิโลกรัมละ 15 บาท ซื้อแปงชนิดที่สอง
กิโลกรัมละ 25 บาท เมื่อนํามาผสมกันแลวเขาขายไปไดกําไร 25% คิดเปนเงินทั้งหมด 1,312.50 บาท
อยากทราบวาพอคาซื้อแปงมาแตละชนิดอยางละกีกิโลกรัม
่
วิธีทํา ถาซื้อแปงชนิดแรก x กิโลกรัม
ตองซื้อแปงชนิดที่สอง 50 – x กิโลกรัม
แปงชนิดแรกราคากิโลกรัมละ 15 บาท คิดเปนเงิน 15x บาท
แปงชนิดที่สองราคากิโลกรัมละ 25 บาท คิดเปนเงิน 25 (50 – x) บาท
det ทย
เขาขายไปไดกาไรํ 25% คิดเปนเงินรวมทั้งหมด 1,312.50 บาท
แสดงวา ไดเงิน 125 บาท จากทุน 100 บาท
ica ้อยไ 1,312.50 ×100
.org
ไดเงิน 1,312.50 บาท จากทุน = 1,050 บาท
125
.tha ายร
ทุน 1,050 บาท ก็คือทุน 15x + 25 (50 – x) บาท
เขียนเปนสมการได 1,050 = 15x + 25 (50 – x)
www ซต์น
15x + 1,250 – 25x = 1,050
–10x = 1,050 – 1,250
–10x = –200
ไ
เว็บ
− 200
x = = 20
− 10
ดังนั้น เขาซื้อแปงชนิดแรกมา 20 กิโลกรัม
และ เขาซื้อแปงชนิดที่สองมา 50 – x = 50 – 20 = 30 กิโลกรัม ตอบ
ตัวอยางที่ 14 มีน้ําเกลืออยูสองชนิด ชนิด A มีเกลือ 20% ชนิด B มีเกลือ 35% ตองการน้ําเกลือสองชนิดมาผสมกันใหได
น้ําเกลือผสม 20 ลิตร และมีเกลือ 25% จงหาวาตองใชนาเกลือชนิด A และชนิด B อยางละเทาใด
้ํ
20 – x
x ลิตร
ลิตร
ชนิด A ชนิด B

15. วิธีทํา น้ําเกลือชนิด A ; น้ําเกลือ 20% คือ มีน้ําเกลือ 100 ลิตร คิดเปนเกลือ 20 ลิตร
20x
ดังนั้น มีน้ําเกลือ x ลิตร คิดเปนเกลือ = 0.2x ลิตร
100
น้ําเกลือชนิด B ; น้ําเกลือ 35% คือ มีน้ําเกลือ 100 ลิตร คิดเปนเกลือ 35 ลิตร
35( 20 − x ) 7
ดังนั้น มีน้ําเกลือ 20 – x ลิตร คิดเปนเกลือ = (20 – x) ลิตร
100 20
25
น้ําเกลือผสม 20 ลิตร มีเกลือ 25% ดังนั้น มีเกลือ × 20 = 5 ลิตร
100
7
จะไดสมการเปน 0.2x + (20 – x) = 5
20
7
0.2x + 7 – x = 5
20
0.2x – 0.35x = 5–7
det ทย
– 0.15x = –2
−2
ica ้อยไx = = 13.33
− 0.15
.org
ดังนั้น น้ําเกลือชนิด A มี 13.33 ลิตร
น้ําเกลือชนิด B มี 20 – 13.33 = 6.66 ลิตร ตอบ
.tha ายร
www ซต์น
ทีนี้...พี่จะทําแบบฝกหัดใหดูเปนตัวอยางนะครับ
ไ
1. โรงเรียนเตรียมทหารมีจานวนนักเรียนในระดับชั้นตาง ๆ ดังนี้ ชั้นปที่ 1 คิดเปน 50% ของนักเรียนทั้งหมด ชั้นปที่ 2 คิดเปน
ํ
เว็บ
80% ของนักเรียนชั้นปที่ 1 และที่เหลืออีก 118 คน เปนนักเรียนชั้นปที่ 3 จงหาจํานวนนักเรียนทั้งหมดของโรงเรียนนี้
วิธีทํา ใหโรงเรียนเตรียมทหารมีนกเรียนทั้งหมด
ั x คน
50
นักเรียนชั้นปที่ 1 คิดเปน 50% ของนักเรียนทั้งหมด นันคือ่ x = 0.5x คน
100
80 50
นักเรียนชั้นปที่ 2 คิดเปน 80% ของนักเรียนชั้นปที่ 1 นันคือ
่ × x = 0.4x คน
100 100
นักเรียนชั้นปที่ 3 คิดเปน 118 คน
เขียนเปนสมการไดวา นักเรียนทั้งหมด = ชั้นปที่ 3 + ชั้นปที่ 1 + ชั้นปที่ 2
x = 118 + 0.5x + 0.4x
x = 118 + 0.9x
x – 0.9x = 118
0.1x = 118
118
x = = 1,180 คน
0.1
ดังนั้น นักเรียนทั้งหมดของโรงเรียนเตรียมทหารมี 1,180 คน ตอบ

16. 2. แมคานําลูกชื้นเนื้อและลูกชิ้นหมูมาขายรวม 60 กิโลกรัม ลูกชื้นเนื้อกิโลกรัมละ 60 บาท ลูกชิ้นหมูกิโลกรัมละ 50 บาท
ปรากฏวาอัตราสวนของจํานวนเงินที่ซื้อลูกชื้นเนื้อตอจํานวนเงินที่ซื้อลูกชิ้นหมูเปน 6 : 7 จงหาวาแมคาซื้อลูกชิ้นแตละชนิด
มาอยางละกีกโลกรัม
่ิ
วิธีทํา กําหนดใหลกชิ้นเนื้อ เปนลูกชิ้น A
ู
กําหนดใหลกชิ้นหมู เปนลูกชิ้น B
ู
ซื้อลูกชิ้นทั้งสองชนิดรวมกัน 60 กิโลกรัม ถาซื้อชนิด A มา x กิโลกรัม จะซื้อชนิด B มา 60 – x กิโลกรัม
ลูกชิ้น A ; จํานวน 1 กิโลกรัม ราคา 60 บาท
ดังนั้น จํานวน x กิโลกรัม ราคา 60x บาท
ลูกชิ้น B ; จํานวน 1 กิโลกรัม ราคา 50 บาท
จํานวน 60 – x กิโลกรัม ราคา 50 (60 – x) บาท
ดังนั้น เขาตองจายเงินซื้อลูกชิ้นตามอัตราสวนดังนั้น
คาลูกชิ้นA 6 60x
= =
det ทย
คาลูกชิ้นB 7 50(60 − x)
จะไดสมการ 6 × 50 (60 – x) =
ica ้อยไ 7 (60x)
18,000 – 300x = 420x
.org
18,000 = 420x + 300x = 720x
.tha ายร
720x = 18,000
18,000
x = = 25
www ซต์น
720
ดังนั้น พอคาซื้อลูกชื้นเนื้อมา 25 กิโลกรัม
พอคาซื้อลูกชิ้นหมูมา 60 – x = 60 – 25 = 35 กิโลกรัม ตอบ
ไ
เว็บ
3. ดารุณเี ปดรานขายกระเปาและรองเทา เธอติดราคาขายกระเปาไวโดยคิดกําไร 25% แตเมื่อมีเพื่อนมาซื้อ ดารุณีจงลดราคาให 10%
ึ
และขายไปในราคา 900 บาท อยากทราบวาตนทุนของกระเปาใบนี้เปนเทาใด
วิธีทํา สมมติใหกระเปาใบนี้มีตนทุน x บาท
ขายของคิดกําไร 25% หมายความวา ซื้อมา 100 บาท ตองการขายใหไดเงิน 125 บาท
125x
แสดงวา ซื้อมา x บาท ตองการขายใหไดเงิน = 1.25x บาท
100
แตพอเพื่อนมาซื้อ ลดให 10% หมายความวา ของราคา 100 บาท ตองการขายใหไดเงิน 90 บาท
(90 )
แสดงวา ของราคา 1.25x บาท ตองการขายใหไดเงิน (1.25x) × = 1.125x บาท
100
และเมื่ออานโจทยแลวทําใหทราบวา 1.125x บาท ก็คือ 900 บาท
จะได 1.125x = 900
900
x = = 800 บาท
1.125
แสดงวาตนทุนของกระเปาใบนี้คือ 800 บาท ตอบ

17. 4. สนามหญารูปสี่เหลี่ยมผืนผาแหงหนึงมีอัตราสวนความยาวตอความกวางเปน 5 : 3 ถาเพิ่มความยาวแตละดานอีก 20%
่
ของความยาวเดิม จะทําใหความยาวรอบสนามเทากับ 268.8 เมตร จงหาวาเดิมแตละดานของสนามยาวกี่เมตร
วิธีทํา เขียนรูปสี่เหลียมผืนผาสมมติ ที่อัตราสวนความยาวตอความกวางเปน 5 : 3
่
5
3
120
ถาความยาวเพิม 20% จะไดความยาวใหม 120% ก็คอ
่ ื ×5 = 6
100
120
ถาความกวางเพิ่ม 20% จะไดความกวางใหม 120% ก็คือ × 3 = 3. 6
100
อัตราสวนความยาวตอความกวางใหมจะเปน 6 : 3.6
จากสนามสมมติ กับอัตราสวนความยาวใหม ความยาวรอบรูปสมมติจะได 6 + 6 + 3.6 + 3.6 = 19.2
det ทย
ให x เปนจํานวนเทาที่เปนตัวคูณกับความยาวสมมติ แลวไดความยาวจริง
ica ้อยไ (19.2)x = 268.8
268.8
.org
x = = 14
19.2
.tha ายร
ดังนั้น สนามจริง ๆ มิติใหมมีความกวาง 3.6 × 14 = 50.4 เมตร
มีความยาว 6 × 14 = 84.0 เมตร
www ซต์น
เปรียบเทียบเปนเปอรเซ็นต ความกวาง 120% คือ 50.4 เมตร
50.4 ×100
ดังนั้น ความกวาง 100% คือ = 42 เมตร
120
ไ
ความยาว 120% คือ 84 เมตร
เว็บ
84×100
ดังนั้น ความยาว 100% คือ = 70 เมตร
120
แสดงวา แตเดิมสนามกวาง 42 เมตร และยาว 70 เมตร ตอบ
5. นตท.อิศระ ซอมวิ่งมาราธอนวันแรกวิงไป 20% ของระยะทางทั้งหมด วันที่สองวิ่งไปอีก 64 กิโลเมตร วันที่สามวิ่งตอไป
่
อีก 50% ของระยะทางที่เหลือ ปรากฏวาเขาวิ่งสามวันรวมกันไดระยะทาง 200 กิโลเมตร ระยะทางชวงสุดทายจะวิ่งในวันที่สี่
จงหาวาระยะทางที่ นตท.อิศระ ตองวิ่งทั้งหมดยาวกีกิโลเมตร
่
วิธีทํา สมมติใหเขาตองวิ่งระยะทางทั้งหมด x กิโลเมตร
20
วันแรกเขาจึงวิงไปไดระยะทาง
่ x = 0.2x กิโลเมตร
100
วันที่สองเขาวิงไปไดระยะทาง
่ 64 กิโลเมตร
* แปลวาสองวันแรกเขาวิ่งไปไดระยะทาง 0.2x + 64 กิโลเมตร
* เหลือระยะทางเทากับ x – 0.2x – 64 = 0.8x – 64 กิโลเมตร

18. 50
วันที่สามเขาวิงไปไดระยะทาง 50% ของระยะทางที่เหลือ คือ
่ (0.8x − 64) กิโลเมตร
100
= 0.5 (0.8x − 64) กิโลเมตร
= 0.4x – 32 กิโลเมตร
ระยะทางที่วิ่งรวมสามวัน คือ 0.2 + 64 + (0.4x – 32) = 200 กิโลเมตร
แกสมการหาคา x จะได 0.2 + 64 + 0.4x – 32 = 200 กิโลเมตร
0.6x + 32 = 200 กิโลเมตร
0.6x = 200 – 32 กิโลเมตร
168
x = กิโลเมตร
0.6
x = 280 กิโลเมตร
ดังนั้น ระยะทางที่ นตท.อิศระ ตองวิ่งทั้งหมดเทากับ 280 กิโลเมตร ตอบ
det ทย
ica ้อยไ
6. ถาตองการผสมน้ําเชื่อมใหมีน้ําตาล 40% โดยการผสมน้ําเชื่อมสองขวด ขวดแรกเปนน้ําเชื่อมที่มีน้ําตาล 90% และมีน้ําเชือม ่
.org
อยูในขวด 250 ลูกบาศกเซนติเมตร น้ําเชื่อมขวดที่สองเปนน้าเชื่อมที่มีน้ําตาล 20% จะตองใชน้ําเชื่อมจากขวดที่สองปริมาณเทาใด
ํ
วิธีทํา ตองการน้ําเชือมผสมที่มีน้ําตาล 40% หมายความวา
่
.tha ายร
น้ําเชื่อมผสมปริมาณ 100 cm3 จะมีน้ําตาล 40 cm3
40x
www ซต์น
ดังนั้น น้ําเชื่อมผสมปริมาณ x cm3 จะมีน้ําตาล = 0.4x cm3
100
3
น้ําเชื่อมผสมปริมาณ x cm เกิดจากการผสมน้ําเชื่อมสองขวด
พิจารณาน้ําเชือมขวดแรก
่ มีน้ําตาล 90% หมายความวา
ไ
เว็บ
โจทยกําหนดให น้ําเชื่อมปริมาณ 100 cm3 จะมีน้ําตาล 90 cm3
90× 250
น้ําเชื่อมปริมาณ 250 cm3 จะมีน้ําตาล = 225 cm3
100
พิจารณาน้ําเชือมขวดที่สอง
่ น้ําเชื่อมผสม = น้ําเชื่อมขวดแรก + น้ําเชื่อมขวดที่สอง
x = 250 + น้ําเชื่อมขวดที่สอง
ดังนั้น น้ําเชื่อมขวดทีสองมีปริมาณ = x – 250
่ cm3
โจทยกําหนดให น้ําเชื่อมปริมาณ 100 cm3 จะมีน้ําตาล 20 cm3
20(x − 250)
น้ําเชื่อมปริมาณ x – 250 cm3 จะมีน้ําตาล
100
= 0.2 (x – 250)
= 0.2x - 50 cm3
มองภาพรวมแลว น้ําตาลผสม = น้ําตาลขวดแรก + น้ําตาลขวดที่สอง
= 225 + 0.2x – 50 = 0.2x + 175 cm3

19. ซึ่งน้ําตาลผสมเปนปริมาณ 40% ของน้ําเชื่อมผสม
น้ําตาลผสม 40 สวน จากน้ําเชื่อม 100 สวน
100
น้ําตาลผสม 0.2x + 175 สวน จากน้ําเชื่อม (0.2x + 175)
40
= 2.5 (0.2x + 175)
= 0.5x + 437.5 สวน
ซึ่งน้ําเชื่อม 100
สวน (หรือ 100%) ก็คือน้ําเชื่อมปริมาณ x cm3
จะไดสมการ x = 0.5x + 437.5
x – 0.5x = 437.5
0.5x = 437.5
437.5
x = = 875
det ทย
0.5
แสดงวา น้ําเชื่อมผสมมีปริมาณ x
ica ้อยไ cm3 หรือ 875 cm3
ตองใชน้ําเชื่อมจากขวดที่สองเทากับ x – 250 = 875 – 250 = 625 cm3 ตอบ
.org
.tha ายร
2.3 ปญหาเกี่ยวกับอัตราเร็ว
www ซต์น
โจทยปญหาเกียวกับระยะทาง อัตราเร็ว และเวลา เปนอีกเรื่องหนึ่งที่เราสามารถหาคําตอบได โดยใชความรูเรื่องสมการ
่
ความเกียวของกันของปริมาณทั้งสามเปนดังนี้
่
ไ
เว็บ
ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา
ซึ่งอัตราเร็วที่กลาวถึงขางตนนั้น คือ อัตราเร็วเฉลี่ย
ถาทราบแลว...ลองมาทําแบบฝกหัดตอไปนีนะครับ
้

20. 1. ตอและติ๊กนัดพบกับเพือนที่หนาโรงเรียนนายเรือ ซึ่งอยูกึ่งกลางของระยะทางระหวางบานของตอและติ๊กพอดี ตอขี่จักรยานยนต
่
สวนติ๊กขับอีแตน ซึ่งอัตราเร็วของรถจักรยานยนตของตอมากกวาอัตราเร็วของรถอีแตนของติ๊ก 24 กิโลเมตรตอชั่วโมง
ตอใชเวลาเดินทาง 12 นาที และติ๊กใชเวลาเดินทาง 20 นาที จงหา
1.) อัตราเร็วของรถทั้งสองคัน 2.) ระยะทางระหวางบานของทั้งสองคน
วิธีทํา 1.) มาทําความเขาใจสูตรกอนนะครับ
1
ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา ; 12 นาที = ชั่วโมง
5
ระยะทาง 1
ดังนั้น อัตราเร็ว = 20 นาที = ชั่วโมง
เวลา 3
ถาระยะทางจากบานตอไปโรงเรียนนายเรือ = ระยะทางจากบานติ๊กไปโรงเรียนนายเรือ
โจทยกําหนดใหอัตราเร็วของตอมากกวาอัตราเร็วของติ๊ก 24 กิโลเมตร / ชั่วโมง
นั่นคือ อัตราเร็ว (ตอ) – อัตราเร็ว (ติก) =
๊ 24 km / hr
det ทย
ทําให อัตราเร็ว (ติ๊ก) = อัตราเร็ว (ตอ) – 24
ถาให ica ้อยไ อัตราเร็ว (ตอ) = x km / hr
อัตราเร็ว (ติ๊ก) = x – 24 km / hr
.org
พิจารณาการเดินทางของตอ ระยะทาง = อัตราเร็ว (ตอ) × เวลา
.tha ายร
1
= x⎛ ⎞
⎜ ⎟ ----------①
⎝5⎠
www ซต์น
พิจารณาการเดินทางของติ๊ก ระยะทาง = อัตราเร็ว (ติ๊ก) × เวลา
1
= (x – 24) ⎛ ⎞ - - - - - - - - - - ②
⎜ ⎟
⎝3⎠
ไ
เว็บ
เนื่องจากทั้งสองเดินทางดวยระยะทางที่เทากัน ดังนั้น ① = ②
1 1
x = (x – 24)
5 3
3x = 5 (x – 24)
3x = 5x – 120
120 = 5x – 3x
2x = 120
x = 60 km / hr ตอบ 1.)
แสดงวา อัตราเร็วของตอ คือ 60 km / hr
และ อัตราเร็วของตอ คือ x – 24 = 60 – 24 = 36 km / hr
2.) ตอไปหาระยะทางระหวางบานของทั้งสอง
= ระยะทางจากบานตอไปโรงเรียนนายเรือ + ระยะทางจากบานติ๊กไปโรงเรียนนายเรือ
= [ความเร็ว (ตอ) × เวลา] + [ความเร็ว (ติ๊ก) × เวลา]
= ⎛ 60 × 1 ⎞ + ⎛ 36 × 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 5⎠ ⎝ 3⎠
= 12 + 12 = 24 km
ดังนั้น ระยะทางระหวางบานของคนทั้งสอง = 24 กิโลเมตร ตอบ 2.)

21. 2. นตท.รวิน วิ่งดวยอัตราเร็ว 13 กิโลเมตรตอชั่วโมง นตท.ปรีชา วิ่งดวยอัตราเร็ว 11 กิโลเมตรตอชัวโมง และวิ่งนานกวา นตท.รวิน
่
1
20 นาที ไดระยะทางไกลกวา นตท.รวิน 2 กิโลเมตร จงหาวา นตท.ปรีชา วิ่งไดระยะทางเทาใด (20 นาที = ชั่วโมง)
3
วิธีทํา จากสูตร ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา
1
ถาให นตท.รวิน วิ่งนาน x ชั่วโมง ปรีชาจะวิ่งนาน x + ชั่วโมง
3
พิจารณา นตท.รวิน ; ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา
= 13x km
พิจารณา นตท.ปรีชา ; ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา
1
= 11 (x + ) km
3
เพราะ นตท.ปรีชา วิ่งไดไกลกวา นตท.รวิน 2 km
ดังนั้น ระยะทาง (นตท.ปรีชา) – ระยะทาง (นตท.รวิน) = 2 km
det ทย
1
11 (x + ) – 13x = 2
3
ica ้อยไ
11
.org
11x + – 13x = 2
3
.tha ายร
11
–2x = 2–
3
−5
www ซต์น
–2x =
3
−5 1
x = ×
3 −2
ไ
5
เว็บ
= ชั่วโมง
6
5
เมื่อแกสมการแลวจะไดวา นตท.รวิน วิ่งไดนาน ชั่วโมง หรือ 50 นาที
6
1 5 1
นตท.ปรีชา วิงไดนาน x + = +
่
3 6 3
7
= ชั่วโมง หรือ 70 นาที
6
1
ดังนั้น นตท.ปรีชา วิ่งไดระยะทาง = 11⎛ x + ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
5 1
= 11⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝6 3⎠
7
= 11⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝6⎠
77
=
6
5
= 12 กิโลเมตร ตอบ
6

22. 3. รถบดถนนสองคันอยูหางกัน 66 เมตร บนถนนสายหนึ่งและเคลื่อนสวนทางกัน คันหนึ่งเคลื่อนที่ดวยความเร็ว 10 เมตรตอนาที

อีกคันหนึ่งเคลื่อนที่ดวยความเร็ว 12 เมตรตอนาที ถาใหรถบดทั้งสองคันเริ่มเคลื่อนเวลา 07.00 น. พรอมกัน รถทั้งสอง
จะเคลื่อนที่มาพบกันเมื่อเวลาผานไปกี่นาที และเปนเวลาเทาใด
วิธีทํา จากโจทยขอนี้ แมรถทั้งสองคันจะมีความเร็วไมเทากัน ทําใหไดระยะทางไมเทากัน
แตรถทั้งสองใชเวลาในการเคลื่อนที่เทากัน
จากสูตร ระยะทาง = อัตราความเร็ว × เวลา
12x = 10 (66 – x) = 660 – 10x
12x + 10x = 660
22x = 660
660
x = = 30 เมตร
22
x 30
ดังนั้น รถคันแรกใชเวลาในการเคลื่อนที่ = = = 3 นาที
det ทย
10 10
66 − x 66 − 30 36
เทากับ รถคันที่สองใชเวลาในการเคลื่อนที่ =
ica ้อยไ = = = 3 นาที เชนกัน
12 12 12
ดังนั้น รถบดทั้งสองคันจะใชเวลา 3 นาที ในการเคลื่อนที่มาเจอกัน และจะเจอกันเวลา 07.03 น.
.org
ตอบ
.tha ายร
4. นตท.รักชาติ ออกเดินดวยอัตราเร็ว 5 กิโลเมตรตอชั่วโมง เมื่อเวลา 09.00 อีก 2 ชั่วโมงตอมา นตท.นักรบ เดินตามมาดวย
www ซต์น
อัตราเร็ว 10 กิโลเมตรตอชั่วโมง เมื่อเวลาเทาไร ชายทั่งสองจึงจะเดินทางทันกันพอดี (โจทยขอนี้เหมือนขอสอบเรียนตอ

ปริญญาเอก ของมหาวิทยาลัยมหิดล ป 48 เปะ ๆ เลยครับ)
ไ
วิธีทํา การที่ นตท. ทังสองคนเดินทันกัน ในขณะที่ นตท.รักชาติ ออกเดินกอน แมจะมีความเร็วชากวา
้
เว็บ
* แต นตท. ทังสองคนใชระยะทางในการเดินเทากัน
้
จากสูตร ระยะทาง = ความเร็ว × เวลา
พิจารณา นตท.รักชาติ สมมติใหเขาใชเวลาเดิน x ชั่วโมง
ดังนั้น ระยะทางของ นตท.รักชาติ = ความเร็ว × เวลา
= 5x กิโลเมตร ---------①
พิจารณา นตท.นักรบ สมมติใหเขาใชเวลาเดิน x – 2 ชั่วโมง (เพราะออกเดินหลัง นตท.รักชาติ 2 ชั่วโมง)
ดังนั้น ระยะทางของ นตท.นักรบ = ความเร็ว × เวลา
= 10 (x – 2) ---------②
เนื่องจากทั้งสองเดินดวยระยะทางที่เทากัน หรือ ① – ②
ดังนั้น 5x = 10 (x – 2)
แกสมการได 5x = 10x – 20
20 = 10x – 5x = 5x
20
x = = 4 ชั่วโมง
5
ถา นตท.รักชาติ ออกเดินเวลา 09.00 ดังนั้น เขาจะเจอกันเวลา 09.00 + 4 ชั่วโมง = 13.00 น. ตอบ

23. 5. นักกีฬาขีจักรยานทางไกลในระยะทาง 57 กิโลเมตร โดยใชอัตราเร็วชวงแรก 12 กิโลเมตรตอชั่วโมง และชวงตอไป 16
่
กิโลเมตรตอชั่วโมง ถาเขาใชเวลาในการขี่จกรยานตลอดทางรวม 4 ชั่วโมง จงหาระยะทางและเวลาที่ขี่จักรยานของแตละชวง
ั
วิธีทํา เริ่มตน สิ้นสุด
x km 57 – x km
ชวงอัตราเร็ว 12 km/hr ชวงอัตราเร็ว 16 km/hr
ชวงที่ 1 ชวงที่ 2
ชวงที่ 1 อัตราเร็ว 12 km/hr แสดงวา ระยะทาง 12 km ใชเวลา 1 hr
x
ดังนั้น ระยะทาง x km ใชเวลา hr ---------①
12
ชวงที่ 2 อัตราเร็ว 16 km/hr แสดงวา ระยะทาง 16 km ใชเวลา 1 hr
57 - x
det ทย
ดังนั้น ระยะทาง 57 – x km ใชเวลา hr ---------②
16
จากโจทยจะได เวลาชวงที่ 1 + เวลาชวงที่ 2
ica ้อยไ = 4 hr
x 57 − x
+
.org
จะไดสมการ = 4
12 16
4x + 3(57 − x)
.tha ายร
แกสมการได = 4
48
4x + 171 – 3x = 4 × 48 = 192
www ซต์น
4x – 3x = 192 – 171
x = 21 km
ไ
ดังนั้น ชวงที่ 1 ระยะทางที่เขาขี่จักรยาน คือ 21 กิโลเมตร
เว็บ
และ ชวงที่ 2 ระยะทางที่เขาขี่จักรยาน คือ 57 – x = 57 – 21 = 36 กิโลเมตร ตอบ
6. พรชัยและศรัญมีบานอยูหางกัน 20 กิโลเมตร ทั้งสองคนนัดกันออกจากบานเวลา 07.00 น. พรอมกัน เพื่อไปสมัครสอบที่
โรงเรียนนายเรืออากาศ ซึ่งอยูใกลบานศรัญมากกวาบานพรชัย ถาพรชัย ขับรถดวยความเร็ว 80 กิโลเมตรตอชั่วโมง และศรัญ
ขับรถดวยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอชั่วโมง พรชัย ถึงโรงเรียนนายเรืออากาศกอนศรัญ 10 นาที จงหาวาโรงเรียนนายเรือ
อากาศอยูหางจากบานของศรัญกี่กิโลเมตร
วิธีทํา
x km 20 – x km
บานศรัญ โรงเรียนนายเรืออากาศ บานพรชัย
สมมติ ใหบานศรัญอยูหางจากโรงเรียนฯ x km
ดังนั้น ใหบานพรชัยอยูหางจากโรงเรียนฯ 20 – x km
พิจารณาศรัญ ที่ขับรถดวยอัตราเร็ว 60 km/hr ไปโรงเรียนฯ
ระยะทาง 60 km เขาใชเวลา 1 hr
x
ดังนั้น ระยะทาง x km เขาใชเวลา hr
60

24. พิจารณาพรชัย ที่ขับรถดวยอัตราเร็ว 80 km/hr ไปโรงเรียนฯ
ระยะทาง 80 km เขาใชเวลา 1 hr
20 - x
ดังนั้น ระยะทาง 20 – x km เขาใชเวลา hr
80
โจทยกําหนดให พรชัยถึงโรงเรียนฯ กอนศรัญ 10 นาที
1
หมายความวา ศรัญใชเวลามากกวาพรชัยอยู 10 นาที หรือ ชั่วโมง
6
1
นั่นคือ เวลาศรัญ – เวลาพรชัย = hr
6
x 20 - x 1
– =
60 80 6
x 20 x 1 20 1
– + = ; ⎡ = ⎤
60 80 80 6 ⎢ 80 4 ⎥
⎣ ⎦
det ทย
x x 1 1
+ = +
60 80 6 4
4x + 3x 2+3
ica ้อยไ =
.org
240 12
5
7x = × 240
.tha ายร
12
7x = 100
www ซต์น
100 2
x = = 14 km
7 7
2 5
ดังนัน โรงเรียนนายเรืออากาศอยูหางจากบานศรัญ 14 กิโลเมตร และโรงเรียนนายเรืออากาศอยูหางจากบานพรชัย 5
้  
ไ
7 7
เว็บ
กิโลเมตร “แตทําไม” คําตอบไมตรงกับขอกําหนดของโจทยที่บอกวา โรงเรียนนายเรืออากาศอยูใกลบานศรัญมากกวาบานของ
พรชัย “ขอนี้ตองมีการตรวจคําตอบครับ” ;

ศรัญขับรถ 60 กิโลเมตร ใชเวลา 1 ชั่วโมง
2 2 1 100 1 5
ดังนั้น ศรัญขับรถ 14 กิโลเมตร ใชเวลา 14 × = × = ชั่วโมง
7 7 6 7 6 21
พรชัยขับรถ 80 กิโลกรัม ใชเวลา 1 ชั่วโมง
5 5 1 40 1 1
ดังนั้น พรชัยขับรถ 5 กิโลเมตร ใชเวลา 5 × = × = ชั่วโมง
7 7 80 7 80 14
5 1 10 − 3 7 1
ดังนั้น ศรัญใชเวลามากกวาพรชัย = − = = = ชั่วโมง
21 14 42 42 6
1
ซึ่ง ชั่วโมง ก็คือ 10 นาที จริง
6
ดังนั้น เราคํานวณถูกตองแลวครับ แตพี่เองแหละที่ตั้งโจทยไมถกตอง
ู ตอบ

25. 1
7. ชายคนหนึงขับรถไดระยะทาง 235 กิโลเมตร เขาใชเวลาขับรถในชวงกลางวัน 2 ชั่วโมง และในชวงกลางคืน 1 ชั่วโมง โดย
่
2
ลดอัตราเร็วลงนอยกวากลางวันชัวโมงละ 16 กิโลเมตร จงหา
่
1.) อัตราเร็วเฉลี่ยของรถในชวงกลางวัน
2.) ระยะทางที่เขาขับรถในชวงกลางคืน
1 3
วิธีทํา ระยะทาง 235 กิโลเมตร ใชเวลาขับรถชวงกลางวัน 2 ชั่วโมง และชวงกลางคืน 1 รวม 3 ชั่วโมง
2 2
สมมติใหชวงเวลากลางวัน รถวิ่งดวยอัตราเร็ว x km / hr
ดังนั้น ชวงเวลากลางคืน รถวิ่งดวยอัตราเร็ว x – 16 km / hr
ระยะทางทั้งหมด = ชวงเวลากลางวัน + ระยะทางชวงเวลากลางคืน
= (อัตราเร็ว × เวลาชวงกลางวัน) + (อัตราเร็ว × เวลาชวงกลางคืน)
1
เขียนเปนสมการได 235 = x (2) + (x – 16) ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
det ทย
3
2x + (x − 16) = 235
2
3
ica ้อยไ
.org
2x + x − 24 = 235
2
.tha ายร
7
x = 235 + 24 = 259
2
2
www ซต์น
x = 259× = 37x2 = 74 km / hr
7
และอัตราเร็วเฉลี่ยของรถในชวงกลางคืน คือ x – 16 = 74 – 16 = 58 km / hr
ชวงเวลากลางคืน เวลา 1 ชั่วโมง เขาขับรถไดระยะทาง 58 km
ไ
เว็บ
1 3 3 58
ดังนั้น เวลา 1 หรือ ชั่วโมง เขาขับรถไดระยะทาง × = 87 km
2 2 2 1
ดังนั้น ระยะทางที่เขาขับรถในชวงกลางคืนเทากับ 87 กิโลเมตร ตอบ
8. รถไฟขบวน ก. และขบวน ข. ออกจากสถานีรถไฟหัวหิน โดยแลนตามกันไปยังสถานีปลายทางที่เดี่ยวกัน ถารถไฟขบวน ก.
ออกจากสถานีเมื่อเวลา 0600 น. ดวยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรตอชั่วโมง รถไฟขบวน ข. ออกจากสถานีเมื่อเวลา 0830 น. ดวย
อัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอชั่วโมง จงหาวารถไฟขบวน ข. แลนไปทันรถไฟขบวน ก. เมื่อเวลาใด และจุกที่รถไฟทั้งสองแลน
ทันกันนันอยูหางจากสถานีหัวหินกีกิโลเมตร
้  ่
วิธีทํา ตองพิจารณาใหไดวา รถไฟทั้งสองขบวนแลนไปทันกัน แตออกดวยเวลาไมเทากัน และความเร็วไมเทากันดวย
แตมีสิ่งที่เทากันอยู นั่นคือระยะทางทีแลน
่
ตองใชความสัมพันธตรงจุดนี้ หาคําตอบของโจทยใหได
เวลา 0600 น.
รถไฟขบวน ก.
สถานีหัวหิน ปลายทาง
รถไฟขบวน ข.
เวลา 0830 น.

26. พิจารณารถไฟขบวน ก. ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา
ใหรถไฟใชเวลาวิ่ง x ชั่วโมง จะไดระยะทาง = 40x km ---------①
พิจารณารถไฟขบวน ข. ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา
1 1
ใหรถไฟใชเวลาวิ่ง x – 2 ชั่วโมง จะไดระยะทาง = 60⎛ x − 2 ⎞
⎜ ⎟
2 ⎝ 2⎠
5
= 60⎛ x − ⎞ km
⎜ ⎟ ---------②
⎝ 2⎠
5
เนื่องจาก ① = ② ดังนั้น 40x = 60⎛ x − ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
แกสมการได 40x = 60x – 150
150 = (60 – 40) x
150
ดังนั้น x = = 7.5
det ทย
20
1 1 15
ดังนั้น รถไฟขบวน ก. ใชเวลาวิ่ง 7.5 หรือ 7 ชั่วโมง ; ⎡7 ⎤ = ชั่วโมง
⎢ 2⎥
ica ้อยไ 2 ⎣ ⎦ 2
ถารถไฟขบวน ก. ออกจากสถานีเมื่อ 06.00 น. จะวิ่งทันและเจอกับรถไฟขบวน ข.
.org
1
.tha ายร
ที่เวลา 06.00 + 7 ชั่วโมง = 13.30 น.
2
และรถไฟทั้งสองจะวิ่งทันกัน และเจอกันที่ระยะทาง 40x = 40 (7.5)
www ซต์น
= 300 กิโลเมตรจากจุดเริ่มตน ตอบ
ไ
เว็บ
9. รถไฟขบวน ก. และขบวน ข. แลนสวนทางกัน และมาพบกันที่สถานีบางซื่อ รถไฟขบวน ก. ออกจากสถานีนเี้ มื่อเวลา 0700 น.
ดวยอัตราเร็ว 45 กิโลเมตรตอชั่วโมง รถไฟขบวน ข. ออกจากสถานีนี้หลังจากขบวน ก. ออกไปแลว 3 นาที และไปถึงสถานี
ปลายทางอยุธยา เมื่อเวลา 0815 น. ซึ่งถึงกอนรถไฟขบวน ก. ถึงสถานีปลายทางนครปฐม 5 นาที ถาสถานีปลายทางทั้งสอง
อยูหางกัน 150 กิโลเมตร จงหาวารถไฟขบวน ข. แลนดวยอัตราเร็วเทาใด
วิธีทํา กอนอื่นตองเขียนรูปเพื่อใหงายตอความเขาใจครับ

สถานีอยุธยา สถานีบางซื่อ สถานีนครปฐม
ขบวน ข. ขบวน ข. ขบวน ก. ขบวน ก.
ถึงเวลา 08.15 น. ถึงเวลา 08.20 น.
ออกเวลา 0730 น. ออกเวลา 0700 น.
อัตราเร็ว x km/hr อัตราเร็ว 45 km/hr

27. ดูจากรูปแลว เราสามารถใชขอมูลจากรถไฟขบวน ก. มาคํานวณหาได
รถไฟขบวน ก. ออกเดินทางเวลา 07.00 น. ถึงที่หมายเวลา 08.20 น.
1 4
แสดงวาใชเวลาเดินทาง 1 ชั่วโมง 20 นาที 1 = ชั่วโมง
หรือ
3 3
อัตราเร็ว 45 km / hr แสดงวา 1 hr ไปไดระยะทาง 45 km
4 4
แสดงวา hr ไปไดระยะทาง 45× = 60 km
3 3
แสดงวาสถานีบางซื่อหางจากสถานีหลักสี่เปนระยะทาง 60 กิโลเมตร
โจทยบอกวา สถานีนครปฐมกับสถานีอยุธยาหางกัน 150 กิโลเมตร
แตเราหาไดแลววาสถานีบางซื่อหางจากสถานีนครปฐม 60 กิโลเมตร
ดังนั้น สถานีอยุธยาหางจากสถานีบางซื่อ = 150 – 60 = 90 กิโลเมตร ตอบ
รถไฟขบวน ข. ออกเดินทางเวลา 0703 น. ถึงที่หมายเวลา 08.15 น.
1 6
det ทย
แสดงวาใชเวลาเดินทาง 1 ชั่วโมง 12 นาที หรือ 1 = ชั่วโมง
5 5
6
ica ้อยไ
รถไฟเดินทางระยะทาง 90 กิโลเมตร ภายในเวลา
5
ชั่วโมง
.org
ระยะทาง 90 5
อัตราเร็ว = = = 90 × = 75 km / hr
.tha ายร
เวลา 6 6
5
จะไดวา รถไฟขบวน ข. แลนดวยอัตราเร็ว 75 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตอบ
www ซต์น
จากโจทยรูปแบบตาง ๆ ที่เราไดทํากันมามากมาย นอง ๆ เห็นแนวทางในการแกปญหาไหมครับ อยางงั้น...ลองอาน
ไ
แนวคิดตอไปนี้ครับ
เว็บ
1. โจทยถามอะไร ใหสมมติสิ่งที่โจทยถามเปนตัวแปร
2. มองภาพรวมใหออกวา วิธีจะเขาถึงการแกปญหานี้ตองทําอยางไร บางทีตองเขียนภาพขึ้นมาเพื่อใหตีความงาย ๆ
3. หาความสัมพันธจากสิ่งที่โจทยใหมาใหได
บางที รถสองคันเคลื่อนที่ ไมมีอะไรเหมือนกันเลย แตใชเวลาเทากัน
รถสองคันวิ่งเร็วไมเทากัน เวลาก็ไมเทากัน แตระยะทางเทากัน (ออกชากวา หรือเร็วกวา แตวิ่งทันกัน)
รถคันหนึ่ง ถึงวิงเร็วกวาอีกคันหนึ่ง จะได เวลาของรถที่ถึงชากวา – เวลาของรถที่ถึงเร็วกวา = ผลตางของเวลาของรถทั้งสองคัน
่
4. การคิดเวลาไมเหมือนการคิดเปอรเซ็นตนะครับ
พิจารณาใหดวา 60 นาที คือ
ี 1 ชั่วโมง
1×1 1
ดังนั้น 1 นาที คือ = ชั่วโมง
60 6
20×1 1
20 นาที คือ = ชั่วโมง
60 3
30×1 1
30 นาที คือ = ชั่วโมง
60 2
x(1) x
แสดงวา x นาที คือ = ชั่วโมง
60 60

28. ทั้งนี้ โจทยกําหนดกี่นาที ก็กําหนดแบบขางตนครับ
5. ความสัมพันธระหวางอัตราเร็ว ระยะทาง และเวลา
ระยะทาง
อัตราเร็ว =
เวลา
ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา
ระยะทาง
เวลา =
อัตราเร็ว
ไมตองทองทุกสูตรนะครับ แคเปลี่ยนคูณเปนหาร แตตองทองสูตรแรก ใหได แลวแกสมการเอาก็ไดครับ...งายดี ☺
6. สุดทาย วิธที่จะทําใหแกสมการได “เกง” และ “ดี” คือการทําแบบฝกหัดบอย ๆ ครับ
ี
ทําใหเยอะ ๆ จากของาย ๆ เชน x + 2 = 5 แลวคอยไปดึงขอยาก ๆ อยางแบบทดสอบที่พี่ใหไว
แลวนองจะ “เกงขึ้น เกงขึ้น” อยางไมนาเชือครับ
่
เพราะพี่คนพิมพเองตอนเรียนมัธยมก็ตกเลข แตเมื่อไดพมพบทเรียนบอย ๆ หรืออานตรวจความถูกตองก็ยังเขาใจได
ิ
det ทย
เอาหละครับ...ตัวอยางทั้งหมดที่นอง ๆ ไดอานนี้ ครอบคุลมการแกปญหาสมการในเกือบทุกรูปแบบ (ในระดับชันนี้)
ica ้อยไ ้
นองแกสมการได แตคนอืนทําไมได แคนนอง ๆ ก็สอบติดแลวครับ.
่ ี้
.org
.tha ายร
ไ www ซต์น
เว็บ

29. 1. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
สมการ คือประโยคสัญลักษณที่กลาวถึงความสัมพันธของจํานวน โดยมี “ = ” เปนสัญลักษณแสดงความสัมพันธระหวาง
จํานวนรูปแบบของสมการ มีทั้งแบบมีตัวแปร เชน 3x + 7 = 15; และแบบไมมีตัวแปร เชน 15 + 6 = 21 เปนตน เราแทนคาตัวแปร
แลวทําใหสมการเปนจริง คานั้นจะเปนคําตอบของสมการ
การแกสมการ ตองใชสมบัติของการเทากัน (Properties of Equality) ตอไปนี้
เมื่อกําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจริงใด ๆ
1. สมบัติสมมาตร ถา a = b แลว b = a
2. สมบัติถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c
3. สมบัติการบวก ถา a = b แลว a + c = b + a
4. สมบัติการคูณ ถา a = b แลว ac = bc
สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (Linear Equation with One Variable) คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และตัวแปรนั้นมี
det ทย
degree = 1 เขียนในรูปแบบทั่วไปไดวา ax + b = 0 เมื่อ a และ b เปนคาคงตัว และ a ≠ 0
ica ้อยไ
.org
หลักการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว แยกตามรูปแบบตาง ๆ ไดดงนี้
ั
.tha ายร
1. ถาสัมประสิทธิ์และคาคงตัวเปนจํานวนเต็ม ใหใชการยายขาง โดยพิจารณาเครื่องหมายเปนสําคัญ เมื่อยายขางจํานวนใด
ใหเปลี่ยนเปนเครื่องหมายตรงขาม
ตัวอยางที่ 1 จงหาคา x จากสมการ 9x + 18 = 24 – 3x
www ซต์น
วิธีทํา จาก 9x + 18 = 24 – 3x (ยายตัวเลขมาดานเดียวกัน และยายตัวแปรใหมาดานเดียวกัน)
9x + 3x = 24 – 18
ไ
12x = 6
เว็บ
6 1
x = =
12 2
1
ดังนั้น x = ตอบ
2
2. ถาสมการเปนทศนิยม ใหแกปญหาโดยการยายขางสมการ และทําทศนิยมใหเปนจํานวนเต็ม
ตัวอยางที่ 2 จงแกสมการ 2.25x – 1.25 = 3x + 3.75
วิธีทํา ยายขางสมการ – 1.25 – 3.75 = 3x – 2.25x
–5 = 0.75x
0.75x = –5
−5
x =
0.75
− 500
x =
75
2
ดังนั้น x = −6 ตอบ
3

30. 3. ถาสมการเปนเศษสวน ตองยายขางสมการ เปลี่ยนตัวหารใหเปนตัวคูณ โดยใหพจารณาเทอมการบวก – ลบกันเปนพิเศษ
ิ
3 5x 1 x
ตัวอยางที่ 3 จงแกสมการ x – = + −
4 2 4 2
3 5x 1 x
วิธีทํา ยายตัวแปรมาดานเดียวกัน x– = + −
4 2 4 2
5x x 1 3
x– + = + +
2 2 4 4
2x − 5x + 1x 4
= =1
2 4
− 2x +1
=
2 1
ดังนั้น x = –1 ตอบ
det ทย
2. โจทยสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ica ้อยไ
.org
การแกปญหาโจทยสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว มีขั้นตอนการคิดดังนี้
1. อานโจทย แลววิเคราะหวาโจทยกําหนดอะไร และตองการทราบคาอะไร
.tha ายร
2. สมมติสิ่งที่โจทยตองการทราบคาใหเปนตัวแปรหนึ่ง
3. พิจารณาความสัมพันธของตัวแปร และเงื่อนไขที่โจทยกําหนดให
www ซต์น
4. สรางสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว จากเงือนไขที่โจทยกําหนดมาให
่
5. แกสมการเพื่อหาคาตัวแปร ตามวิธีที่กลาวมาแลว
ไ
เว็บ
ตัวอยางที่ 4 เลขจํานวนคูบวก 5 จํานวนเรียงกัน มีผลรวมได 230 จงหาผลบวกของเลขที่มีคามากเปนลําดับที่สอง และลําดับที่สี่
วิธีทํา ใหจํานวนที่มคานอยที่สุดเปน x
ี
ดังนั้น จํานวนคู 5 จํานวน เรียงกัน จึงไดเปน x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) = 230
เขียนเปนสมการไดวา x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) = 230
5x + 20 = 230
5x = 230 – 20
210
ดังนั้น x = = 42
5
เมื่อ x หรือจํานวนทีนอยที่สดมีคาเทากับ 42 แลว จํานวนทั้งหาเรียงจากนอยไปมากคือ 42, 44, 46, 48 และ 50
่ ุ
ดังนั้น ผลบวกของจํานวนที่มีคามากเปนลําดับทีสอง และลําดับที่สี่คือ 48 + 44
่ = 92 ตอบ

31. ตัวอยางที่ 5 พอคาซื้อผาเช็ดหนามาจํานวนหนึ่ง ถาขายผืนละ 65 บาท จํานวนครึ่งหนึ่งของที่ซื้อมาจะเทาทุนพอดี แตถาขายผืน
ละ 31 บาท ของจํานวนหนึ่งในสีจากจํานวนที่ซื้อมา และขายผืนละ 36 บาท ของที่เหลือ จะไดกําไร 1,440 บาท
่
อยากทราบวาซื้อผาเช็ดหนามาทั้งหมดกี่ผน ื
วิธีทํา ใหกําหนดวา พอคาซื้อผาเช็ดหนามา x ผืน
x x
ถาขายไปผืนละ 65 บาท ในจํานวนครึ่งหนึง หรือ จะไดเงินเทาทุน หรือเงินทุน = (65) บาท
่
2 2
1x 31x 31x 108
ถาขายไปผืนละ 31 บาท ของ จะไดเงิน บาท ซึ่ง + x
4 4 4 4
3x 3x 108x
และ ถาขายไปผืนละ 36 บาท ของ จะไดเงิน 36 × = บาท ทําใหไดกําไร 1,440 บาท
4 4 4
จากสมการที่วา ราคาขาย – ตนทุน = กําไร (หรือขาดทุน)

31x 108x ⎞ 65x
จะไดสมการ ⎛ + ⎜ ⎟− = 1,440
⎝ 4 4 ⎠ 2
det ทย
31x 108x 130x
+ − = 1,440
4
ica ้อยไ 4 4
(31 + 108 + 130)x
= 1,440
.org
4
9x
.tha ายร
= 1,440
4
1,440 × 4
x =
www ซต์น
9
x = 640
ดังนั้น พอคาซื้อผาเช็ดหนามาจํานวน 640 ผืน ตอบ
ไ
เว็บ