ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

1. 1
การหาร
•การหารลงตัว
•การหารเหลือเศษ
•จํานวนคี่,จํานวนคู
การหาห.ร.ม.
•การหาห.ร.ม.โดยวิธีการแยกตัว
ประกอบ
•การหาห.ร.ม.โดยวิธีของยุคลิค
การหาค.ร.น.
•การหาค.ร.น.โดยวิธีการแยกตัว
ประกอบ
•การหาค.ร.น.โดยการใชห.ร.ม.
การพิสูจนทางทฤษฎีจํานวนโจทยปญหา

2. 2
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
1. การหาร
กําหนดให a,b เปนจํานวนเต็ม ( , )a b I∈ a หาร b ลงตัว เราเขียนสัญลักษณ |a b
หมายความวา b เปนพหุคูณของ a หรือเขียนไดวา
a หาร b ไมลงตัว เราเขียนสัญลักษณ |a b/ หมายความวา b ไมเปนพหุคูณของ a หรือ a
หาร b แลวเหลือเศษ r เขียนไดวา
เราเรียก a วาตัวหาร
b วาตัวตั้ง
n วาผลหาร
และ r วาเศษจากการหาร
( ) +
ตัวอยาง เชน
1. จงพิจารณาการหารตอไปนี้
1.1) 3 หาร 7
|a b b an= เมื่อ n I∈
|a b/ b an r= + เมื่อ n I∈ และ 0 r a< <
ตัวตั้ง = ตัวหาร × ผลหาร เศษ

3. 3
ตัวตั้ง คือ 7
ตัวหารคือ 3
หาผลหารกับเศษ โดยการเขียน 3 หาร 7 ใหอยูในรูป b an= หรือ b an r= +
เพราะฉะนั้น ผลหารคือ 2 และ เศษคือ 1
1.2) -3 หาร 7
ตัวตั้ง คือ 7
ตัวหารคือ -3
หาผลหารกับเศษ โดยการเขียน -3 หาร 7 ใหอยูในรูป b an= หรือ b an r= +
เพราะฉะนั้น ผลหารคือ -2 และ เศษคือ 1
1.3) 3 หาร -7
ตัวตั้ง คือ -7
ตัวหารคือ 3
หาผลหารกับเศษ โดยการเขียน 3 หาร -7 ใหอยูในรูป b an= หรือ b an r= +
เพราะฉะนั้น ผลหารคือ -3 และ เศษคือ 2
1.4) -3 หาร -7
ตัวตั้ง คือ -7
ตัวหารคือ -3
หาผลหารกับเศษ โดยการเขียน -3 หาร -7 ใหอยูในรูป b an= หรือ b an r= +
เพราะฉะนั้น ผลหารคือ 3 และ เศษคือ 2
7=3(2)+1
7=-3(-2)+1
-7=3(-3)+2
-7=-3(3)+2

4. 4
2. ให a,b และ c เปนจํานวนเต็ม โดยที่ 0a ≠ และ 0b ≠ จงพิสูจนวา ถา |a b
และ |b c และ |a c
วิธีทํา
1. |a b b an⇒ = เมื่อ n I∈
2. | ,b c c bm m I⇒ = ∈
3. จาก (1) และ (2)
( )
( ),
|
c an m
c a nm nm I
a c
=
= ∈
∴
3. ให m และ n เปนจํานวนเต็มบวก ถา 5 หาร m เหลือเศษ 4 และ 5 หาร n เหลือเศษ 2
แลว 5 หาร m+n เหลือเศษเทาใด
วิธีทํา
1) ตีความหมายของ 5 หาร m เหลือเศษ 4
2) 5 หาร n เหลือเศษ 2
3) 1 2(5 4) (5 2)m n k k+ = + + +
1 2
1 2
1 2
5 5 6
5( ) 5 1
5( 1) 1
k k
k k
k k
= + +
= + + +
= + + +
4) 1 2 1 25( 1) 1,( 1)m n k k k k I+ = + + + + + ∈
……………แสดงวา 5 หาร m+n เหลือเศษ 1
1 15 4,m k k I= + ∈
2 25 2,n k k I= + ∈

5. 5
4. จงหาจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 500 ที่หารดวย 3 หรือ 5 ลงตัว วามีกี่จํานวน
วิธีทํา ใชเรื่องเซตมาอธิบายวิธีทําขอนี้
1) ใหเซต A = เซตของจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 500 ที่ หารดวย 3 ลงตัว
เซต B = เซตของจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 500 ที่หารดวย 5 ลงตัว
A B∪ = เซตของจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 500 ที่หารดวย 3 หรือ 5 ลงตัว
2) จาก ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩
{3,6,9,15,...,498} ( ) 166
{5,10,15,20,...,500} ( ) 100
{15,30,45,60,...,495} ( ) 33
( ) 166 100 33 233
A n A
B n B
A B n A B
n A B
= ⇒ =
= ⇒ =
∩ = ⇒ ∩ =
∴ ∪ = + − =
5. ให A,B และ C เปนจํานวนเต็ม จงแสดงวา
ถา |a b และ |a c แลว | ( )a bm cn+ เมื่อ ,m n I∈
วิธีทํา
1) 1 1| ,a b b ak k I⇒ = ∈
2) 2 2| ,a c c ak k I⇒ = ∈
3) 1 2( ) ( )bm cn ak m ak n+ = +
1 2
1 2
( ) ( )
( )
k m a k n a
k m k n a
= +
= +
4) 1 2 1 2( ) ,bm cn k m k n a k m k n I+ = + + ∈
| ( )a bm cn∴ + ลงตัว
6. จงพิสูจนวา ถา a เปนจํานวนเต็มแลว
2
2 | ( )a a−
วิธีทํา
1) กรณีที่ a เปนจํานวนคู 2 ,a n n I⇒ = ∈
2 2
2
2
2 2 2 2
(2 ) (2 )
4 2
2(2 )
2(2 ),2 2 | ( )
a a n n
n n
n n
a a n n n n I a a
− = −
= −
= −
∴ − = − − ∈ ⇒ −

6. 6
2) กรณีที่ a เปนจํานวนคี่ 2 1,a n n I⇒ = + ∈
2 2
2
2
2
2 2 2 2
(2 1) (2 1)
4 4 1 2 1
4 2
2(2 )
2(2 ),2 2 | ( )
a a n n
n n n
n n
n n
a a n n n n I a a
− = + − +
= + + − −
= +
= +
∴ − = + + ∈ ⇒ −
2. การหาตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.)
การหา ห.ร.ม. ของ a และ b เขียนแทนดวย (a,b) คือ การหาจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่
สามารถหารจํานวนเต็ม a และ b ลงตัว เมื่อ , 0a b ≠ มีวิธีการหา 2 วิธีคือ
2.1 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีการแยกตัวประกอบ
คือ การนําจํานวนเต็ม a และ b มาแยกตัวประกอบเปนจํานวนเฉพาะ แลวพิจารณาวา มี
จํานวนเฉพาะรวมกันใดบาง
ตัวอยาง เชน
1. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 168
วิธีทํา
30 2 3 5
168 2 3
= × ×
= × × 3 × 3 × 3
จะเห็นวา ทั้ง 30 และ 168 มีตัวประกอบเฉพาะรวมกัน คือ 2 และ 3
∴ห.ร.ม.ของ 30 และ 168 คือ 2 3× เทากับ 6
2. จงหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 180
วิธีทํา
0 2 2 5
180 2
4 = × 2 × ×
= × 2 × 3 × 3 × 5
∴ห.ร.ม.ของ 40 และ 180 คือ 2 2 5 20× × =

7. 7
3. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 73
วิธีทํา
0 2 5
73 1 73
3 = × 3 ×
= ×
ทั้ง 30 และ 73 ไมมีจํานวนเฉพาะรวมกันเลย
∴ห.ร.ม.ของ 30 และ 73 คือ 1
ขอสังเกต
จํานวนเต็ม a และ b ที่ห.ร.ม.ของ a และ b เทากับ (a,b)=1 เราเรียกวา “จํานวนเฉพาะ
สัมพัทธ”
4. ให a เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 2|a และ 5|a ถา a และ 7 เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ
แลว จงหา ห.ร.ม. ของ a และ 70
วิธีทํา
1) 2|a a=2k1, 1k I∈
5|a a=5k2, 2k I∈
2) a และ 7 เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ หมายความวา ห.ร.ม.ของ a และ 7 เทากับ 1 คือ
a และ 7 ไมมีจํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวมกัน ซึ่งก็หมายความวา a ไมใชพหุคูณ
ของ 7
3) 3 32 5 ,a k k= × × ไมใชพหุคูณของ 7
70 2 5 7= × ×
∴ห.ร.ม. ของ a และ 70 คือ 2x5=10
2.2 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีของยุคลิค
คือการหา ห.ร.ม. โดยใชวิธีการหารเหลือเศษตอๆกันไปเรื่อยๆ ตัวอยาง เชน
1. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 กับ 168
วิธีทํา 168 30(5) 18= + ⇒
3 32 5 ,a k k I= × × ∈
30 18(1) 12
18 12(1) 6
12 6(2)
= + ⇒
= + ⇒
= ⇒
30 หาร 168 ไมลงตัว
18 หาร 30 ไมลงตัว18 หาร 30 ไมลงตัว
12 หาร 18 ไมลงตัว
6 หาร 12 ลงตัว
เปน ห.ร.ม.ของ 30 กับ 168

8. 8
มีเทคนิคในการหา ห.ร.ม. โดยวิธีของยุคลิคดังนี้
2. จงหา ห.ร.ม.ของ 85 และ 20
วิธีทํา
4 85 20 4
80 20
5 0
3. จงหา ห.ร.ม.ของ 85 และ -20
วิธีทํา ให หา ห.ร.ม. ของ จํานวนบวกคือ 85 และ 20 ซึ่งก็คือ 5
∴ห.ร.ม.ของ 85 และ -20 ก็คือ 5
4. ถุงใบหนึ่งมีสมอยู 126 ผล และถุงอีกใบหนึ่งมีมังคุด 198 ผล ถาตองการแบงผลไม
เปนกองๆ โดยที่แตละกองตองเปนผลไมชนิดเดียวกัน และแตละกองตองมีจํานวนเทากัน
อยากทราบวาแตละกองจะมีผลไมไดมากที่สุดกี่ผลและจะแบงไดกี่กอง
วิธีทํา
ทําไดโดยการหา ห.ร.ม. ของผลไมทั้ง 2 ชนิด⇒ ซึ่งก็คือ การหาห.ร.ม.ของ 126 กับ 198
ซึ่งในที่นี้จะใชวิธีของยุคลิค
30 168
18 150
12
12
18
12
0 6
5
1
1
คือ ห.ร.ม.ของ 30 กับ 168
คือ ห.ร.ม.ของ 85 กับ 20

9. 9
1 126 198 1
72 126
3 54 72 1
54 54
0 18
∴จะแบงผลไมไดมากที่สุดกองละ 18 ผล และแบงไดสม 7 กอง และแบงไดมังคุด 11 กอง
3. การหาตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.)
การหา ค.ร.น. สามารถทําได 2 วิธี
3.1) การหา ค.ร.น. โดยวิธีการแยกตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบทําเหมือนการหา ห.ร.ม. โดยมีตัวอยางดังนี้
1) จงหา ค.ร.น.ของ 30 กับ 50
วิธีทํา แยกตัวประกอบของ 30 และ 50 ไดดังนี้
30 2 3 5
50 2
= × ×
= × 5 × 5
∴ตัวประกอบที่ซ้ํากันเอามาแคตัวเดียว⇒ค.ร.น.ของ 30 และ 50 คือ 2 5 3 5× × ×
การแยกตัวประกอบ ค.ร.น.
ห.ร.ม.
วิธีการแยกตัวประกอบ
วิธีการของยุคลิค
ตัวซ้ํา

10. 10
2) จงหา ค.ร.น.ของ 100 กับ 150
วิธีทํา
0 2 5 5
50 2
10 = × 2 × ×
1 = × 3 × 5 × 5
∴ตัวประกอบที่ซ้ํากันเอามาแคตัวเดียว⇒ค.ร.น.ของ 100 และ 150 คือ
2 5 5 2 3× × × ×
3.2) การหา ค.ร.น. โดยวิธีการหาห.ร.ม.กอน
ใชหลักการที่วาการใชวิธีการหา ห.ร.ม.กอน โดยอาจใชวิธีของยุคลิค แลวใชกฎที่วา
ผลคูณของเลข 2 จํานวน เทากับ ห.ร.ม.ของ เลข 2 จํานวนนั้น×ค.ร.น.ของเลข 2 จํานวนนั้น
ตัวอยาง เชน
1. จงหา ค.ร.น.ของ 12 และ 20
วิธีทํา
1) หาห.ร.ม. ของ 12 และ 20 กอน โดยใชวิธีของยุคลิค
1 12 20 1
8 12
4 8 2
8
0
2) ผลคูณของเลข 2 จํานวน = ห.ร.ม. x ค.ร.น.
12x20 = 4 x ค.ร.น.
240 = 4 x ค.ร.น.
ค.ร.น. =
240
4
ค.ร.น. = 60
ตัวซ้ํา

11. 11
แบบฝกหัด
1. จงใหเหตุผลการหารลงตัวและไมลงตัวในแตละขอตอไปนี้
1.1) 4 | 20
1.2) 5| 35
1.3) 7 | 49
1.4) 3 | 25/
1.5) 8 | 52/
1.6) 12 | 13/

12. 12
2. ใหเติมผลหารและเศษเหลือตอไปนี้
2.1) 5 8(..........) 5= +
2.2) 28 4(..........) 0= +
2.3) 43 5(8) .............= +
2.4) 24 7( 4) .........− = − +
2.5) 75 9(..........) .........− = +
2.6) 33 5(..........) ...........− = +
2.7) 50 10(..........) .........= +
2.8) 39 40(..........) .........− = +
2.9) 66 3(..........) ..........= +
3. เมื่อหารจํานวนเต็มบวก x ดวย 5 มีเศษเหลือเปน 3 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 3x ดวย 5

13. 13
4. เมื่อหารจํานวนเต็มบวก x ดวย 9 มีเศษเหลือเปน 5 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 7x ดวย 9
5. ให n เปนจํานวนเต็มบวก จงหาเศษเหลือเมื่อหาร n(n+1)(n+2) ดวย 3

14. 14
6. เมื่อหารจํานวนเต็มบวก x ดวย 7 มีเศษเหลือเปน 3 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 5x ดวย 7
7. จงแสดงวา “กําลังสองของจํานวนคี่เปนจํานวนคี่”
8. จงแสดงวา ถา a เปนจํานวนเต็มแลว 2
a a− เปนจํานวนคู

15. 15
9. จงแสดงวา ถา a เปนจํานวนคี่แลว
2
4| ( 1)a −
10. ให n เปนจํานวนเต็มบวก จงหาเศษเหลือเมื่อหาร n(n+1)(n+2) ดวย 3

16. 16
11. จงหาจํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 406 และ 379 แลวมีเศษเหลือเทากัน
12. จงหาจํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 830 และ 1,118 แลวมีเศษเหลือเทากัน

17. 17
13. จงหาห.ร.ม. ของ 3348 และ 2592 โดยใชขั้นตอนของยุคลิค
14. จงหาห.ร.ม. ของ 2244 และ 418 โดยใชขั้นตอนของยุคลิค

18. 18
15. จงหาจํานวนเต็มที่มีคามากที่สุดที่หาร 325 , 229 และ 157 แลวมีเศษเหลือเทากัน
16. จงหาจํานวนเต็มที่มีคามากที่สุดที่หาร 2479 , 1998 และ 1073 แลวมีเศษเหลือเทากัน
พรอมทั้งหาเศษเหลือ

19. 19
17. จงหาจํานวนเต็มบวกที่มีคามากที่สุดที่หาร 4770 แลวมีเศษเหลือเปน 13 และหาร 3970
มีเศษเหลือเปน 17
18. นักเรียนคนหนึ่งมีเหรียญบาท 198 เหรียญ เหรียญหาบาท 180 เหรียญ และเหรียญสิบบาท
126 เหรียญ ตองการแบงเหรียญแตละชนิดเปนกองใหมีจํานวนมากที่สุด จงหาวาจะไดเหรียญ
ทั้งหมดกี่กองและกองละกี่เหรียญ

20. 20
19. จงหาจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุดที่หารดวย 6,9 และ 10 มีเศษเหลือเปน 1
20. จงหาจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุดที่หารดวย 26,36 และ 39 มีเศษเหลือเปน 5

21. 21
21. จงหาจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุดที่หารดวย 7,11 และ 13 แลวมีเศษเหลือเปน 2,6
และ 8 ตามลําดับ
22. ที่สถานีรถโดยสารแหงหนึ่ง จะปลอยรถไปจังหวัด A ทุกๆ 15 นาที และปลอยรถไป
จังหวัด B ทุกๆ 25 นาที ถาสถานีนี้เริ่มปลอยรถไปจังหวัด A และจังหวัด B พรอมกัน เมื่อเวลา
8.00 น. จงหาวาอีกนานเทาไร สถานีนี้จะปลอยรถไปสองจังหวัดนี้พรอมกันอีกครั้ง

22. 22
23. จงหาเศษที่เหลือจากการหาร 10
2 ดวย 23
24. จงหาเศษที่เหลือจากการหาร 30
5 ดวย 31

23. 23
25. จงแสดงวา 10
3 9+ หารดวย 51 ลงตัว
26. จงแสดงวา ถา (n,7)=1 แลว 6
1n − หารดวย 7 ลงตัว