Downloaded 19 times
ทฤษฎีเศษเหลือ
- 1. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ทฤษฎีเศษเหลือ ทฤษฎีบท1. (ขั้นตอนวิธีการหาร) ให้ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามใดๆ ซึ่ง Q(x) ไม่เป็นพหุนามศูนย์ แล้ว จะมีพหุนาม S(x) และ R(x) เพียงชุดเดียวเท่านั้นที่สอดคล้องกับสมการ P(x) = Q(x)S(x) + R(x) โดยที่ดีกรีของพหุนาม R(x) ต้องน้อยกว่าดีกรีของพหุนาม Q(x) หรือ R(x) = 0 ข้อที่1. จงหาพหุนามS(x) และR(x) ที่สอดคล้องกับขั้นตอนวิธีการหารโดยมีP(x) เป็นตัวตั้ง และ Q(x) เป็นตัวหาร 1. P(x) = x3 + x2 + x + 1 และ Q(x) = x − 1 2. P(x) = 2x3 − 7x + 6 และ Q(x) = x + 2 Created by Teraporn Thongsiri 1
- 2. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ 3.P(x) = 2x4 − 5x3 + 3x − 18 และ Q(x) = 2x + 1 4. P(x) = 9x5 + 4x3 − 6x และ Q(x) = 3x − 2 5. P(x) = x4 + 1 และ Q(x) = x2 + x − 1 Created by Teraporn Thongsiri 2
- 3. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ 6.P(x) = x5 + 3x3 − 2x2 − 14 และ Q(x) = x2 + 1 7. P(x) = 4x6 − 2x5 + 6x4 − 5x3 + x2 − x − 3 และ Q(x) = 2x2 + x + 3 8. P(x) = x8 + 4x7 − 2x2 + 3 และ Q(x) = x3 + x − 1 Created by Teraporn Thongsiri 3
- 4. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่2. ถ้าP(x) เป็นพหุนามที่หารด้วยx2 +x−4 แล้วได้ผลลัพธ์เป็นx3 −2x+4 และเหลือเศษ 2x + 3 แล้ว P(x) หารด้วย x − 2 จะเหลือเศษเท่าไร ข้อที่ 3. คูณ 3x2 − 4x + 6 ด้วยเศษที่ได้จากการหาร x4 − 2x2 + 3x − 1 ด้วย 1 − 2x + x2 ได้ผลลัพท์เท่าไร ข้อที่ 4. ถ้า x2 − 3x + 2 หาร x3 − 2x2 + 8x + 4 เหลือเศษ ax + b จงหาต่าของ (a + b)2 Created by Teraporn Thongsiri 4
- 5. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่5. (สพฐ 1/2551) ถ้า 4x3 − 7x2 + Ax − 6 4x − 3 = Bx2 + Cx + D เมื่อ A, B, C, D เป็นค่าคงตัว แล้ว B2 + C2 + D2 มีค่าเท่าใด ข้อที่ 6. (สพฐ 2/2558) ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริง ถ้า x3 + ax2 + bx + c หารด้วย x2 + 5x − 3 ลงตัว แล้ว a + b + 2c มีค่าเท่าใด Created by Teraporn Thongsiri 5
- 6. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่7. จงแสดงว่า xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + xn−3 + · · · + x3 + x2 + x + 1) สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n Created by Teraporn Thongsiri 6
- 7. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ทฤษฎีบท2. (ทฤษฎีเศษเหลือ) กำหนดให้ P(x) เป็นพหุนามใดๆและ a เป็นจำนวนใดๆ เศษเหลือที่เกิดจากการหาร P(x) ด้วย x − a คือ P(a) ข้อที่ 8. จงหาเศษเหลือจากการหาร P(x) ด้วย x − a โดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือ 1. P(x) = x3 + x2 + x + 1 และ Q(x) = x − 1 2. P(x) = x4 − x2 − 8 และ Q(x) = x + 2 3. P(x) = 3x4 − 5x3 + 4x − 12 และ Q(x) = x + 2 4. P(x) = x5 − x4 + 2x3 − x และ Q(x) = x − 3 Created by Teraporn Thongsiri 7
- 8. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ 5.P(x) = 4x4 − 4x2 + 1 และ Q(x) = 2x − 1 6. P(x) = x4 + x2 − 14 และ Q(x) = 4x + 1 7. P(x) = 9x6 − x4 − 3x3 + x2 + x − 3 และ Q(x) = 3x − 1 8. P(x) = 8x8 + x5 − 2x2 − 4 และ Q(x) = 2x − 1 Created by Teraporn Thongsiri 8
- 9. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่9. (สพฐ 1/2555) เศษจากการหาร x2555 + 2555 ด้วย x + 1 เป็นเท่าใด ข้อที่ 10. จงหาค่า k เมื่อ 1. x2 + kx + 1 หารด้วย x − 2 แล้วเหลือเศษ −3 2. 4kx2 − 4x + 1 หารด้วย x + 1 แล้วเหลือเศษ 4 3. 2x3 − 3x2 + kx − 1 หารด้วย 2x − 1 ลงตัว Created by Teraporn Thongsiri 9
- 10. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ 4.kx3 − 2kx2 + kx − 4 หารด้วย x + 3 แล้วเหลือเศษ 10 5. x4 − kx + k หารด้วย 2x − 3 แล้วเหลือเศษ 4 6. kx4 + kx − 2k หารด้วย x + 1 ลงตัว Created by Teraporn Thongsiri 10
- 11. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่11. กำหนดให้พหุนาม x2 +ax−b หารด้วย x+1 แล้วเหลือเศษ −3 และหารด้วย x−1 แล้วเหลือเศษ 2 แล้วค่าของ a + b มีค่าเท่าไร ข้อที่ 12. พหุนาม ax3 + 2ax2 − 15x + b หารด้วย x + 3 ลงตัวแต่หารด้วย x − 1 เหลือเศษ −12 แล้วค่าของ a − b มีค่าเท่าไร ข้อที่ 13. พหุนาม ax2 + bx + 2 และ bx2 + ax + 1 หารด้วย x + 1 เหลือเศษ 3 และ 8 ตามลำดับแล้วค่าของ a2 + 5b มีค่าเท่าไร Created by Teraporn Thongsiri 11
- 12. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่14. ถ้า x + 2 หาร x3 + 2x2 + 3x + a และ x3 + x2 + 9 เหลือเศษเท่ากัน ค่าของ a เป็นเท่าใด ข้อที่ 15. จงหาค่าของ a และ b เมื่อ x4 − ax3 + (b − 1)x2 + ax − 1 หารด้วย x − 1 และ x − 4 ลงตัว Created by Teraporn Thongsiri 12
- 13. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่16. กำหนดให้ P(x) หารด้วย x − 1 แล้วเหลือเศษ −2 และ P(x) หารด้วย x − 2 แล้วเหลือเศษ 3 แล้ว P(x) หารด้วย (x − 1)(x − 2) แล้วเหลือเศษอะไร ข้อที่17. กำหนดให้P(x) หารด้วยx+2 แล้วเหลือเศษ4 และP(x) หารด้วยx−2 แล้วเหลือเศษ −2 แล้ว P(x) หารด้วย (x + 2)(x − 2) แล้วเหลือเศษอะไร Created by Teraporn Thongsiri 13
- 14. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่18. กำหนดให้ P(x) หารด้วย 2x − 1 แล้วเหลือเศษ 4 และ P(x) หารด้วย 3x + 1 แล้วเหลือเศษ 3 แล้ว P(x) หารด้วย (2x − 1)(3x + 1) แล้วเหลือเศษอะไร ข้อที่ 19. จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ 1. xn − 1 หารด้วย x − 1 ลงตัว เมื่อ n เป็นจำนวนนับใดๆ 2. xn − 2n หารด้วย x − 2 ลงตัว เมื่อ n เป็นจำนวนนับใดๆ Created by Teraporn Thongsiri 14
- 15. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ 3.xn − cn หารด้วย x − c ลงตัว เมื่อ n เป็นจำนวนนับใดๆ และ c เป็นจำนวนจริง 4. xn + cn หารด้วย x + c ลงตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ และ c เป็นจำนวนจริง 5. xnd − 1 หารด้วย xd − 1 ลงตัว เมื่อ n และ d เป็นจำนวนนับ ข้อที่ 20. (สพฐ 2/2550) ให้ P(x) เป็นพหุนามโดยที่ P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d ถ้า P(1) = 6, P(−2) = 3, P(3) = −2 และ P(−4) = −9 แล้ว |P(4) + 4| มีค่าเท่าใด Created by Teraporn Thongsiri 15
- 16. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่21. (สพฐ 1/2554) ถ้า f(x) = ax4 + bx2 + 7x + 9 และ f(−7) = 2011 แล้ว f(7) มีค่าเท่าใด ข้อที่ 22. (สพฐ 2/2554) กำหนดพหุนาม p(x) = a(x−3)2 +bx+1 และ q(x) = 2x2 +c(x− 2) + 13 ถ้า p(x) = q(x) ทุกค่าชอง x แล้วค่าของ a + b + c มีค่าเท่าใด ข้อที่ 23. (สพฐ 2/2554) ให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับ n โดยที่ n ≥ 3 ถ้า P(x) หารด้วย x − 1, x − 2, x − 3 แล้วเหลือเศษ 1, 2, 3 ตามลำดับ ถ้า P(x) หารด้วย (x − 1)(x − 2)(x − 3) จะเหลือเศษเท่าใด Created by Teraporn Thongsiri 16
- 17. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่24. (สพฐ 2/2554) ถ้าหาร x2010 −x2009 +(x+2)2 ด้วย x2 −1 แล้วจะเหลือเศษเท่าใด ข้อที่ 25. (สพฐ 2/2556) กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ ถ้าพหุนาม p(x) = x3 − ax2 + bx − c มีตัวประกอบเป็น (x − a)(x − b)(x − c) แล้ว p(2) มีค่าเท่าใด ข้อที่ 26. (สพฐ 2/2558) Find the number of positive integer n such that n + 2n2 + 3n3 + · · · + 2015n2015 is divisible by n − 1 Created by Teraporn Thongsiri 17
- 18. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่27. (TMO 1st ) ให้ P(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 จงหาเศษเหลือจากการหาร P(x7 ) ด้วย f(x) ข้อที่ 28. (TMO 2nd ) ให้ P(x) เป็นพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์ของ x4 เท่ากับ 1 และ x−k หาร P(x) เหลือเศษ k เมื่อ k = 1, 2, 3 จงหาค่าของ P(4) + P(0) Created by Teraporn Thongsiri 18
- 19. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ บทนิยาม1. (ตัวประกอบของพหุนาม) ให้ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามใดๆ เราจะกล่าวว่า Q(x) เป็น ตัวประกอบของ P(x) เมือเราสามารถหา พหุนาม S(x) ซึ่งทำให้ P(x) = Q(x)S(x) ข้อสังเกต 1. degP(x) = degQ(x) + degS(x) 2. ถ้าdegP(x) = n แล้วP(x) สามารถเขียนในรูปของผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่งได้ไม่เกิน n ตัว 3. ถ้า x − a1, x − a2, x − a3, . . . , x − an เป็นตัวประกอบของ P(x) และ degP(x) = n แล้ว P(x) = a(x − a1)(x − a2)(x − a3) . . . (x − an) เมื่อ a เป็นสัมประสิทธิ์นำของพหุนาม P(x) ทฤษฎีบท 3. (ทฤษฎีตัวประกอบ) กำหนดให้ P(x) เป็นพหุนามใดๆและ a เป็นจำนวนใดๆ P(a) = 0 ก็ต่อเมื่อ x − a เป็นตัวประกอบของ P(x) ข้อที่ 29. จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ 1. x − 1 เป็นตัวประกอบของ x7 − x5 + x3 − 1 2. x + 1 เป็นตัวประกอบของ x6 + x5 + x4 + x3 + x2 − 1 Created by Teraporn Thongsiri 19
- 20. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ 3.x + 2 เป็นตัวประกอบของ x6 + 2x5 + 4x4 + 7x3 − 2x2 − 5x − 10 4. 2x − 3 เป็นตัวประกอบของ 2x7 − 3x6 − 8x5 + 10x4 + 3x3 + 2x2 + x − 6 5. 3x + 1 เป็นตัวประกอบของ 3x4 − 14x3 − 23x2 − 39x − 11 6. x2 − 1 เป็นตัวประกอบของ 2x6 − 5x4 + 5x3 − 20x2 − 5x + 23 7. x2 − 4 เป็นตัวประกอบของ 3x5 + 5x4 − 8x3 − 16x − 80 Created by Teraporn Thongsiri 20
- 21. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่30. จงหาค่าของ k ที่ทำให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง 1. x − 1 เป็นตัวประกอบของ x2 + kx − 1 2. x + 3 เป็นตัวประกอบของ x2 + 4x + k 3. x − 3 เป็นตัวประกอบของ x3 − kx − 12 4. x + 3 เป็นตัวประกอบของ 2x3 − kx2 − 8kx + 3 5. 2x − 5 เป็นตัวประกอบของ 4x3 + kx2 + 34x − 15 Created by Teraporn Thongsiri 21
- 22. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ 6.3x + 1 เป็นตัวประกอบของ 3kx3 + 6x2 − 2kx + 10 ข้อที่ 31. จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้พหุนาม x2 − x − 2 เป็นตัวประกอบของ xn + (x − 1)n + (2x − 1)n − (3n + 2n + 1) Created by Teraporn Thongsiri 22
- 23. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่32. (สพฐ 1/2552) ถ้า p(x) = (x + 1)3 − 2(x + 1)2 − 3(x + 1) − 5 และ q(x) = a(x + 1)3 + b(x + 1)2 + c(x + 1) + d โดยที่ p(2) = q(2), p(4) = q(4), p(7) = q(7), p(−3) = q(−3) แล้ว a2 +b2 +c2 +d2 มีค่าเท่าใด ข้อที่ 33. (สพฐ 1/2557) ถ้า p(x) เป็นพหุนามดีกรีสามที่ p(−3) = p(−1) = p(2) = 0 และ p(0) = 6 แล้ว p(1) มีค่าเท่าใด Created by Teraporn Thongsiri 23
- 24. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่34. (สพฐ 2/2557) ให้ f(x) และ g(x) เป็นพหุนามดีกรีสองที่ต่างกัน มีสัมประสิทธิ์ของ พจน์ที่มีดีกรีสูงสุดเป็น 1 เท่ากัและสอดคล้องกับสมการ f(1) + f(3) + f(5) = g(1) + g(3) + g(5) ถ้า f(a) = g(a) จงหาค่าของ a ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ข้อที่ 35. จงหาจำนวนเต็ม a, b, c ซึ่งทำให้ (x − a)(x − 10) + 1 = (x + b)(x + c) Created by Teraporn Thongsiri 24
- 25. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ ข้อที่36. (สพฐ 2/2551) กำหนดให้ P(x) = x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f เมื่อ a, b, c, d, e, f เป็นค่าคงตัว ถ้า P(1) = 15, P(2) = 22, P(3) = 29, P(4) = 36, P(5) = 43, P(6) = 50 แล้ว P(7) มีค่าเท่าไร Created by Teraporn Thongsiri 25