ในเอกสารตัวนี้ จะพูดถึง การใช้ขั้นตอนวิธีการหาร ทฤษฎีเศษเหลือ และทฤษฎีตัวประกอบในการแก้ไขโจทย์ปัญหาเรื่องพหุนาม

1. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ทฤษฎีเศษเหลือ
ทฤษฎีบท 1. (ขั้นตอนวิธีการหาร)
ให้ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามใดๆ ซึ่ง Q(x) ไม่เป็นพหุนามศูนย์ แล้ว จะมีพหุนาม S(x)
และ R(x) เพียงชุดเดียวเท่านั้นที่สอดคล้องกับสมการ
P(x) = Q(x)S(x) + R(x)
โดยที่ดีกรีของพหุนาม R(x) ต้องน้อยกว่าดีกรีของพหุนาม Q(x) หรือ R(x) = 0
ข้อที่1. จงหาพหุนามS(x) และR(x) ที่สอดคล้องกับขั้นตอนวิธีการหารโดยมีP(x) เป็นตัวตั้ง
และ Q(x) เป็นตัวหาร
1. P(x) = x3
+ x2
+ x + 1 และ Q(x) = x − 1
2. P(x) = 2x3
− 7x + 6 และ Q(x) = x + 2
Created by Teraporn Thongsiri 1

2. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
3. P(x) = 2x4
− 5x3
+ 3x − 18 และ Q(x) = 2x + 1
4. P(x) = 9x5
+ 4x3
− 6x และ Q(x) = 3x − 2
5. P(x) = x4
+ 1 และ Q(x) = x2
+ x − 1
Created by Teraporn Thongsiri 2

3. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
6. P(x) = x5
+ 3x3
− 2x2
− 14 และ Q(x) = x2
+ 1
7. P(x) = 4x6
− 2x5
+ 6x4
− 5x3
+ x2
− x − 3 และ Q(x) = 2x2
+ x + 3
8. P(x) = x8
+ 4x7
− 2x2
+ 3 และ Q(x) = x3
+ x − 1
Created by Teraporn Thongsiri 3

4. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 2. ถ้าP(x) เป็นพหุนามที่หารด้วยx2
+x−4 แล้วได้ผลลัพธ์เป็นx3
−2x+4 และเหลือเศษ
2x + 3 แล้ว P(x) หารด้วย x − 2 จะเหลือเศษเท่าไร
ข้อที่ 3. คูณ 3x2
− 4x + 6 ด้วยเศษที่ได้จากการหาร x4
− 2x2
+ 3x − 1 ด้วย 1 − 2x + x2
ได้ผลลัพท์เท่าไร
ข้อที่ 4. ถ้า x2
− 3x + 2 หาร x3
− 2x2
+ 8x + 4 เหลือเศษ ax + b จงหาต่าของ (a + b)2
Created by Teraporn Thongsiri 4

5. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 5. (สพฐ 1/2551) ถ้า
4x3
− 7x2
+ Ax − 6
4x − 3
= Bx2
+ Cx + D
เมื่อ A, B, C, D เป็นค่าคงตัว แล้ว B2
+ C2
+ D2
มีค่าเท่าใด
ข้อที่ 6. (สพฐ 2/2558) ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริง ถ้า x3
+ ax2
+ bx + c หารด้วย x2
+ 5x − 3
ลงตัว แล้ว a + b + 2c มีค่าเท่าใด
Created by Teraporn Thongsiri 5

6. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 7. จงแสดงว่า
xn
− 1 = (x − 1)(xn−1
+ xn−2
+ xn−3
+ · · · + x3
+ x2
+ x + 1)
สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n
Created by Teraporn Thongsiri 6

7. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ทฤษฎีบท 2. (ทฤษฎีเศษเหลือ)
กำหนดให้ P(x) เป็นพหุนามใดๆและ a เป็นจำนวนใดๆ
เศษเหลือที่เกิดจากการหาร P(x) ด้วย x − a คือ P(a)
ข้อที่ 8. จงหาเศษเหลือจากการหาร P(x) ด้วย x − a โดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือ
1. P(x) = x3
+ x2
+ x + 1 และ Q(x) = x − 1
2. P(x) = x4
− x2
− 8 และ Q(x) = x + 2
3. P(x) = 3x4
− 5x3
+ 4x − 12 และ Q(x) = x + 2
4. P(x) = x5
− x4
+ 2x3
− x และ Q(x) = x − 3
Created by Teraporn Thongsiri 7

8. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
5. P(x) = 4x4
− 4x2
+ 1 และ Q(x) = 2x − 1
6. P(x) = x4
+ x2
− 14 และ Q(x) = 4x + 1
7. P(x) = 9x6
− x4
− 3x3
+ x2
+ x − 3 และ Q(x) = 3x − 1
8. P(x) = 8x8
+ x5
− 2x2
− 4 และ Q(x) = 2x − 1
Created by Teraporn Thongsiri 8

9. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 9. (สพฐ 1/2555) เศษจากการหาร x2555
+ 2555 ด้วย x + 1 เป็นเท่าใด
ข้อที่ 10. จงหาค่า k เมื่อ
1. x2
+ kx + 1 หารด้วย x − 2 แล้วเหลือเศษ −3
2. 4kx2
− 4x + 1 หารด้วย x + 1 แล้วเหลือเศษ 4
3. 2x3
− 3x2
+ kx − 1 หารด้วย 2x − 1 ลงตัว
Created by Teraporn Thongsiri 9

10. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
4. kx3
− 2kx2
+ kx − 4 หารด้วย x + 3 แล้วเหลือเศษ 10
5. x4
− kx + k หารด้วย 2x − 3 แล้วเหลือเศษ 4
6. kx4
+ kx − 2k หารด้วย x + 1 ลงตัว
Created by Teraporn Thongsiri 10

11. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 11. กำหนดให้พหุนาม x2
+ax−b หารด้วย x+1 แล้วเหลือเศษ −3 และหารด้วย x−1
แล้วเหลือเศษ 2 แล้วค่าของ a + b มีค่าเท่าไร
ข้อที่ 12. พหุนาม ax3
+ 2ax2
− 15x + b หารด้วย x + 3 ลงตัวแต่หารด้วย x − 1 เหลือเศษ
−12 แล้วค่าของ a − b มีค่าเท่าไร
ข้อที่ 13. พหุนาม ax2
+ bx + 2 และ bx2
+ ax + 1 หารด้วย x + 1 เหลือเศษ 3 และ 8
ตามลำดับแล้วค่าของ a2
+ 5b มีค่าเท่าไร
Created by Teraporn Thongsiri 11

12. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 14. ถ้า x + 2 หาร x3
+ 2x2
+ 3x + a และ x3
+ x2
+ 9 เหลือเศษเท่ากัน ค่าของ a
เป็นเท่าใด
ข้อที่ 15. จงหาค่าของ a และ b เมื่อ x4
− ax3
+ (b − 1)x2
+ ax − 1 หารด้วย x − 1 และ x − 4
ลงตัว
Created by Teraporn Thongsiri 12

13. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 16. กำหนดให้ P(x) หารด้วย x − 1 แล้วเหลือเศษ −2 และ P(x) หารด้วย x − 2
แล้วเหลือเศษ 3 แล้ว P(x) หารด้วย (x − 1)(x − 2) แล้วเหลือเศษอะไร
ข้อที่17. กำหนดให้P(x) หารด้วยx+2 แล้วเหลือเศษ4 และP(x) หารด้วยx−2 แล้วเหลือเศษ
−2 แล้ว P(x) หารด้วย (x + 2)(x − 2) แล้วเหลือเศษอะไร
Created by Teraporn Thongsiri 13

14. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 18. กำหนดให้ P(x) หารด้วย 2x − 1 แล้วเหลือเศษ 4 และ P(x) หารด้วย 3x + 1
แล้วเหลือเศษ 3 แล้ว P(x) หารด้วย (2x − 1)(3x + 1) แล้วเหลือเศษอะไร
ข้อที่ 19. จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้
1. xn
− 1 หารด้วย x − 1 ลงตัว เมื่อ n เป็นจำนวนนับใดๆ
2. xn
− 2n
หารด้วย x − 2 ลงตัว เมื่อ n เป็นจำนวนนับใดๆ
Created by Teraporn Thongsiri 14

15. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
3. xn
− cn
หารด้วย x − c ลงตัว เมื่อ n เป็นจำนวนนับใดๆ และ c เป็นจำนวนจริง
4. xn
+ cn
หารด้วย x + c ลงตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ และ c เป็นจำนวนจริง
5. xnd
− 1 หารด้วย xd
− 1 ลงตัว เมื่อ n และ d เป็นจำนวนนับ
ข้อที่ 20. (สพฐ 2/2550) ให้ P(x) เป็นพหุนามโดยที่ P(x) = x4
+ ax3
+ bx2
+ cx + d ถ้า
P(1) = 6, P(−2) = 3, P(3) = −2 และ P(−4) = −9 แล้ว |P(4) + 4| มีค่าเท่าใด
Created by Teraporn Thongsiri 15

16. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 21. (สพฐ 1/2554) ถ้า f(x) = ax4
+ bx2
+ 7x + 9 และ f(−7) = 2011 แล้ว f(7)
มีค่าเท่าใด
ข้อที่ 22. (สพฐ 2/2554) กำหนดพหุนาม p(x) = a(x−3)2
+bx+1 และ q(x) = 2x2
+c(x−
2) + 13 ถ้า p(x) = q(x) ทุกค่าชอง x แล้วค่าของ a + b + c มีค่าเท่าใด
ข้อที่ 23. (สพฐ 2/2554) ให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับ n โดยที่ n ≥ 3 ถ้า P(x)
หารด้วย x − 1, x − 2, x − 3 แล้วเหลือเศษ 1, 2, 3 ตามลำดับ ถ้า P(x) หารด้วย (x − 1)(x −
2)(x − 3) จะเหลือเศษเท่าใด
Created by Teraporn Thongsiri 16

17. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 24. (สพฐ 2/2554) ถ้าหาร x2010
−x2009
+(x+2)2
ด้วย x2
−1 แล้วจะเหลือเศษเท่าใด
ข้อที่ 25. (สพฐ 2/2556) กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ ถ้าพหุนาม p(x) =
x3
− ax2
+ bx − c มีตัวประกอบเป็น (x − a)(x − b)(x − c) แล้ว p(2) มีค่าเท่าใด
ข้อที่ 26. (สพฐ 2/2558) Find the number of positive integer n such that
n + 2n2
+ 3n3
+ · · · + 2015n2015
is divisible by n − 1
Created by Teraporn Thongsiri 17

18. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 27. (TMO 1st
) ให้ P(x) = x6
+ x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ x + 1 จงหาเศษเหลือจากการหาร
P(x7
) ด้วย f(x)
ข้อที่ 28. (TMO 2nd
) ให้ P(x) เป็นพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์ของ x4
เท่ากับ 1 และ x−k
หาร P(x) เหลือเศษ k เมื่อ k = 1, 2, 3 จงหาค่าของ P(4) + P(0)
Created by Teraporn Thongsiri 18

19. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
บทนิยาม 1. (ตัวประกอบของพหุนาม)
ให้ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามใดๆ เราจะกล่าวว่า Q(x) เป็น ตัวประกอบของ P(x)
เมือเราสามารถหา พหุนาม S(x) ซึ่งทำให้
P(x) = Q(x)S(x)
ข้อสังเกต
1. degP(x) = degQ(x) + degS(x)
2. ถ้าdegP(x) = n แล้วP(x) สามารถเขียนในรูปของผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่งได้ไม่เกิน
n ตัว
3. ถ้า x − a1, x − a2, x − a3, . . . , x − an เป็นตัวประกอบของ P(x) และ degP(x) = n
แล้ว
P(x) = a(x − a1)(x − a2)(x − a3) . . . (x − an)
เมื่อ a เป็นสัมประสิทธิ์นำของพหุนาม P(x)
ทฤษฎีบท 3. (ทฤษฎีตัวประกอบ)
กำหนดให้ P(x) เป็นพหุนามใดๆและ a เป็นจำนวนใดๆ
P(a) = 0 ก็ต่อเมื่อ x − a เป็นตัวประกอบของ P(x)
ข้อที่ 29. จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้
1. x − 1 เป็นตัวประกอบของ x7
− x5
+ x3
− 1
2. x + 1 เป็นตัวประกอบของ x6
+ x5
+ x4
+ x3
+ x2
− 1
Created by Teraporn Thongsiri 19

20. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
3. x + 2 เป็นตัวประกอบของ x6
+ 2x5
+ 4x4
+ 7x3
− 2x2
− 5x − 10
4. 2x − 3 เป็นตัวประกอบของ 2x7
− 3x6
− 8x5
+ 10x4
+ 3x3
+ 2x2
+ x − 6
5. 3x + 1 เป็นตัวประกอบของ 3x4
− 14x3
− 23x2
− 39x − 11
6. x2
− 1 เป็นตัวประกอบของ 2x6
− 5x4
+ 5x3
− 20x2
− 5x + 23
7. x2
− 4 เป็นตัวประกอบของ 3x5
+ 5x4
− 8x3
− 16x − 80
Created by Teraporn Thongsiri 20

21. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 30. จงหาค่าของ k ที่ทำให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง
1. x − 1 เป็นตัวประกอบของ x2
+ kx − 1
2. x + 3 เป็นตัวประกอบของ x2
+ 4x + k
3. x − 3 เป็นตัวประกอบของ x3
− kx − 12
4. x + 3 เป็นตัวประกอบของ 2x3
− kx2
− 8kx + 3
5. 2x − 5 เป็นตัวประกอบของ 4x3
+ kx2
+ 34x − 15
Created by Teraporn Thongsiri 21

22. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
6. 3x + 1 เป็นตัวประกอบของ 3kx3
+ 6x2
− 2kx + 10
ข้อที่ 31. จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้พหุนาม x2
− x − 2 เป็นตัวประกอบของ xn
+ (x −
1)n
+ (2x − 1)n
− (3n
+ 2n
+ 1)
Created by Teraporn Thongsiri 22

23. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 32. (สพฐ 1/2552) ถ้า
p(x) = (x + 1)3
− 2(x + 1)2
− 3(x + 1) − 5
และ
q(x) = a(x + 1)3
+ b(x + 1)2
+ c(x + 1) + d
โดยที่ p(2) = q(2), p(4) = q(4), p(7) = q(7), p(−3) = q(−3) แล้ว a2
+b2
+c2
+d2
มีค่าเท่าใด
ข้อที่ 33. (สพฐ 1/2557) ถ้า p(x) เป็นพหุนามดีกรีสามที่ p(−3) = p(−1) = p(2) = 0 และ
p(0) = 6 แล้ว p(1) มีค่าเท่าใด
Created by Teraporn Thongsiri 23

24. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 34. (สพฐ 2/2557) ให้ f(x) และ g(x) เป็นพหุนามดีกรีสองที่ต่างกัน มีสัมประสิทธิ์ของ
พจน์ที่มีดีกรีสูงสุดเป็น 1 เท่ากัและสอดคล้องกับสมการ
f(1) + f(3) + f(5) = g(1) + g(3) + g(5)
ถ้า f(a) = g(a) จงหาค่าของ a ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
ข้อที่ 35. จงหาจำนวนเต็ม a, b, c ซึ่งทำให้ (x − a)(x − 10) + 1 = (x + b)(x + c)
Created by Teraporn Thongsiri 24

25. เอกสารสำหรับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเศษเหลือ
ข้อที่ 36. (สพฐ 2/2551) กำหนดให้ P(x) = x6
+ ax5
+ bx4
+ cx3
+ dx2
+ ex + f เมื่อ
a, b, c, d, e, f เป็นค่าคงตัว ถ้า P(1) = 15, P(2) = 22, P(3) = 29, P(4) = 36, P(5) =
43, P(6) = 50 แล้ว P(7) มีค่าเท่าไร
Created by Teraporn Thongsiri 25