1. ระบบจำนวนจริง

2. แผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวน จำนวนเชิงซ้อน จำนวนจริง จำนวนจินตภาพ จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ เศษส่วน จำนวนเต็ม จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก 1. จำนวนจริง

3. การบวกและการคูณจำนวนจริง เมื่อ a , b , c เป็นจำนวนจริง 2. สมบัติของระบบจำนวนจริง 11. a(b+c) = ab + ac แจกแจง 10. a.a -1 = a -1 .a = 1 5. a+(-a) = (-a)+a = 0 ตัวผกผัน 9. a x 1 = 1 x a = a 4. a+0 = 0+a = a เอกลักษณ์ 8. (ab)c = a(bc) 3. (a+b)+c = a+(b+c) เปลี่ยนกลุ่ม 7. ab = ba 2. a+b = b+a สลับที่ 6. a.b R 1. a+b R ปิด การคูณ การบวก สมบัติ

4. ทฤษฎีบทที่ 1 ( กฏการตัดออกสำหรับการบวก ) เมื่อ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า a+c = b+c แล้ว a = b พิสูจน์ 1. a+c = b+c ( กำหนดให้ ) 2. (a+c)+(-c) = (b+c)+(-c) ( บวกค้วยจำนวนเดียวกัน ) 3. a+(c+(-c)) = b+(c+(-c)) ( เปลี่ยนกลุ่มการบวก ) 4. a+0 = b+0 ( ตัวผกผันของการบวก ) 5. a = b ( เอกลักษณ์ของการบวก ) ทฤษฎีบทที่ 2 ( กฏการตัดออกสำหรับการคูณ ) เมื่อ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า a . c = b . c และ c แล้ว a = b

5. ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ a.0 = 0 ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ (-1)a = -a ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a , b เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. a(-b) = -ab 2. (-a)b = -ab 3. (-a)(-b) = ab พิสูจน์ 1. a(-b) = a[(-1)b] = [a(-1)]b

6. การลบและการหารจำนวนจริง บทนิยาม เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ a – b = a + (-b) บทนิยาม เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ , ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนจริง แล้ว 1. a(b-c) = ab – ac 2. (a-b)c = ac – bc 3. (-a)(b-c) = -ab + ac ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า จะได้

7. ทฤษฎีบทที่ 3 1. เมื่อ 2. เมื่อ 3. เมื่อ 4. เมื่อ 5. เมื่อ 6. เมื่อ 7. เมื่อ

8. 3. การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ x 3 -3x 2 -4x+12 = 0 วิธีทำ x 3 -3x 2 -4x+12 = 0 (x 3 -3x 2 ) - (4x-12) = 0 x 2 (x-3) – 4(x-3) = 0 (x-3)(x 2 -4) = 0 (x-3)(x-2)x+2) = 0 จะได้ x-3 = 0 หรือ x-2 = 0 หรือ x+2 = 0 x = 3 หรือ x = 2 หรือ x = -2 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการคือ {-2 , 2 , 3}

9. ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem) เมื่อ p(x) คือ พหุนาม a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 + … +a 1 x+a 0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก a n ,a n-1 ,a n-2 ,…,a 0 เป็นจำนวนจริง ซึ่ง ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วยพหุนาม x-c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงแล้ว เศษเหลือจะเท่ากับ p(c) ตัวอย่าง จงหาเศษจากการหาร x 3 -3x 2 +2x-15 ด้วย x -4 วิธีทำ ให้ p(x) = x 3 -3x 2 +2x-15 x-c = x-4 c = 4 จะได้เศษเหลือ คือ p(4) = 4 3 -3(4) 2 +2(4)-15 = 9 ดังนั้น x 3 -3x 2 +2x-15 หารด้วย x -4 จะเหลือเศษเท่ากับ 9

10. ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem) เมื่อ p(x) คือ พหุนาม a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 + … +a 1 x+a 0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก a n ,a n-1 ,a n-2 ,…,a 0 เป็นจำนวนจริง ซึ่ง พหุนาม p(x) จะมี x-c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ p(c) = 0 ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ x 3 -5x 2 +2x+8 วิธีทำ ให้ p(x) = x 3 -5x 2 +2x+8 เลือกค่า c = 2 จะได้ p(2) = 2 3 -5(2) 2 +2(2)+8 = 0 ดังนั้น x-2 เป็นตัวประกอบของ x 3 -5x 2 +2x+8

11. นำ x-2 ไปหาร x 3 -5x 2 +2x+8 โดยวิธีตั้งหาร ได้ผลลัพธ์เป็น x 2 -3x-4 ดังนั้น x 3 -5x 2 +2x+8 = (x-2)(x 2 -3x-4) = (x-2)(x-4)(x+1) การหารสังเคราะห์ ตัวอย่าง จงหาเศษจากการหาร x 3 -3x 2 +2x-15 ด้วย x -4 วิธีทำ 4 1 -3 2 -15 4 4 24 1 1 6 9 ดังนั้น x 3 -3x 2 +2x-15 หารด้วย x -4 จะเหลือเศษเท่ากับ 9

12. ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ x 3 -5x 2 +2x+8 วิธีทำ เลือก c = 2 เป็นตัวหาร 2 1 -5 2 8 2 -6 -8 1 -3 -4 0 ดังนั้น x 3 -5x 2 +2x+8 = (x-2)(x 2 -3x-4) = (x-2)(x-4)(x+1) ทฤษฎีบทจำนวนตรรกยะ เมื่อ p(x) คือ พหุนาม a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 + … +a 1 x+a 0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก a n ,a n-1 ,a n-2 ,…,a 0 เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง ถ้า เป็นตัวประกอบของ p(x) โดยที่ m, k เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง (m,k) = 1 แล้ว m จะเป็นตัวหารของ a n และ k จะเป็นตัวหารของ a 0

13. ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 12x 3 +16x 2 -5x-3 วิธีทำ เลือก เป็นตัวหาร 12 16 -5 -3 6 11 3 12 22 6 0 ดังนั้น 12x 3 +16x 2 -5x-3 = ( )(12x 2 +22x+6) = ( )(2)(6x 2 +11x+3) = (2x-1)(2x+3)(3x+1) ตัวอย่าง จงแก้สมการ 6x 3 -11x 2 +6x-1 = 0 วิธีทำ

14. 4. สมบัติของการไม่เท่ากัน สมบัติไตรวิภาค (trichotomy property) ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง แล้ว a = b , a < b และ a > b จะเป็นจริงเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง บทนิยาม หมายถึง น้อยกว่าหรือเท่ากับ หมายถึง มากกว่าหรือเท่ากับ หมายถึง และ หมายถึง และ หมายถึง และ หมายถึง และ

15. 5. ช่วงและการแก้อสมการ บทนิยาม เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง และ a < b 1. ช่วงเปิด (a,b) หมายถึง {x / a < x < b} 2. ช่วงปิด [a,b] หมายถึง 3. ช่วงครึ่งเปิด (a,b] หมายถึง 4. ช่วงครึ่งเปิด [a,b) หมายถึง 5. ช่วง (a, ) หมายถึง {x / x > a} 6. ช่วง [a, ) หมายถึง 7. ช่วง (- ,a) หมายถึง {x / x < a} 8. ช่วง (- ,a] หมายถึง 9. ช่วง (- , ) หมายถึง เซตของจำนวนจริง หรือ R

16. อสมการ อสมการใน x เป็นประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร และกล่าวถึงการไม่เท่ากัน เช่น เซตคำตอบของอสมการใน x หมายถึง เซตของจำนวนจริง โดยที่จำนวนจริงเหล่านี้ 2x < 5 , x 2 +2 > 0 , 3x-4 0 เมื่อนำมาแทน x แล้วทำให้อสมการเป็นจริง การแก้อสมการ คือ การหาเซตคำตอบของอสมการ โดยใช้สมบัติของการไม่เท่ากัน ตัวอย่าง จงแก้อสมการ 3x+5 < 5x-9 วิธีทำ จาก 3x+5 < 5x-9 -5 บวก 3x < 5x-14 -5x บวก -2 x < -14 คูณ x > 7 ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ {x / x > 7 } หรือ

17. ตัวอย่าง จงแก้อสมการ x 2 -5x-6 > 0 วิธีทำ จาก x 2 -5x-6 > 0 จะได้ (x+1)(x-6) > 0 กรณีที่ 1 x+1 > 0 และ x-6 > 0 นั่นคือ x > -1 และ x > 6 -1 6 คำตอบ คือ x > 6 กรณีที่ 2 x+1 < 0 และ x-6 < 0 นั่นคือ x < -1 และ x < 6 คำตอบ คือ x < -1 ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ

18. ตัวอย่าง จงหาคำตอบของอสมการ x 2 -5x-6 > 0 วิธีทำ จาก x 2 -5x-6 > 0 จะได้ (x+1)(x-6) > 0 ถ้า (x+1)(x-6) = 0 x = -1 , 6 + -1 - 6 + เนื่องจาก ผลคูณมีค่ามากกว่าศูนย์ ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ ตัวอย่าง จงแก้อสมการ

19. 6. ค่าสัมบูรณ์ บทนิยาม ให้ a เป็นจำนวนจริง ทฤษฎีบท เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง

20. 7. การแก้สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ ทฤษฎีบท เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า = a แล้ว x = a หรือ x = -a ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ วิธีทำ จาก จะได้ 2x-3 = 9 หรือ 2x-3 = -9 2x = 12 หรือ 2x = -6 x = 6 หรือ x = -3 ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ {-3 , 6}

21. ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ วิธีทำ 1) จาก จะได้ 3x+1 = x+7 หรือ 3x+1 = -(x+7) 2) จาก ยกกำลังสอง (3x+1 ) 2 = (x+7) 2 2x = 6 หรือ 4 x = -8 x = 3 หรือ x = -2 9x 2 +6x+1 = x 2 +14x+49 8x 2 -8x-48 = 0 x 2 -x-6 = 0 (x-3)(x+2) = 0 x = 3 , -2 ตรวจคำตอบ แทน x ด้วย 3 และ – 2 ได้สมการเป็นจริง ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ {-2 , 3}

22. ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ วิธีทำ จาก จะได้ 2x- 7 = 3x+2 หรือ 2x-7 = -(3x+2) -x = 9 หรือ 5x = 5 x = -9 หรือ x = 1 ตรวจคำตอบ แทน x ด้วย – 9 ทำให้สมการเป็นเท็จ ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ { 1 }

23. การแก้อสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ ทฤษฎีบท ให้ a เป็นจำนวนจริงบวก 1. หมายถึง 2. หมายถึง 3. หมายถึง หรือ 4. หมายถึง หรือ ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของอสมการ วิธีทำ จาก จะได้ -9 < 2x-5 < 9 5 บวก , -4 < 2x < 14 2 หาร , -2 < x < 7 ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ {x / -2 < x < 7}

24. ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของอสมการ วิธีทำ จาก จะได้ หรือ ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของอสมการ วิธีทำ จาก ยกกำลังสอง 4x 2 -4x+1 < 9(x 2 +4x+4) 4x 2 -4x+1 < 9x 2 +36x+36 -5x 2 -40x-35 < 0 x 2 +8x+7 > 0

25. (x+7)(x+1) > 0 ถ้า (x+7)(x+1) = 0 x = -7 , -1 + - + -7 -1 ดังนั้น คำตอบของอสมการคือ