การหารพหุนาม และการหาเศษการหาร

1. การหารพหุนาม
ครูจารุวรรณ บุญชลาลัย
โรงเรียนมหาวิชราวุธ จังหวัดสงขลา

2. การหารพหุนาม
การหารพหุนามด้วยพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์
กล่าวเฉพาะกรณีที่ตัวตั้งและตัวหารเป็นพหุนามที่มี
ตัวแปรหนึ่งตัวและเป็นตัวแปรตัวเดียวกัน โดยก่อน
การหารให้เขียนพหุนามทั้งตัวตั้งและตัวหารเรียง
พจน์ของพหุนามจากพจน์ที่มีดีกรีมากไปพจน์ที่มี
ดีกรีน้อย

3. ตัวอย่าง จงหาผลหารของพหุนามต่อไปนี้
1.
การหารพหุนาม
2 3 2
5 6) 5(9 (3 )x x xx x    
วิธีทา ขั้นที่ 1 เรียงดีกรีของพหุนามตั้วตั้และพหุนาม
ตัวหารจากพจน์ที่มีดีกรีมากไปหาพจน์ที่มีดีกรีน้อย
แล้วเขียนตัวหารดังนี้
2 3 2
5 5 63 9x x xx x   

4. ขั้นที่ 2 นาพจน์แรกของตัวหาร คือ ไปหารพจน์แรก
ของตัวตั้งในที่นี้คือ เขียนผลหารที่ได้คือ x ไว้
บรรทัดเหนือตัวตั้งตาแหน่งให้ตรงกับ ดังนี้
การหารพหุนาม
2
5x
3
5x
3
5x
2 3 2
5 5 63 9x x xx x   
x

5. ขั้นที่ 3 นาผลที่ได้จากขั้นที่ 2 ไปคูณตัวหาร
ได้ผลคูณเป็น แล้วเขียนผลคูณไว้บรรทัด
ใต้ตัวตั้ง ให้พจน์คล้ายตรงกันดังนี้
การหารพหุนาม
2
5 3x x 
2 3 2
5 5 63 9x x xx x   
x
3 2
5 3x x x 
3 2
5 3x x x 
2
10 2 6x x 


6. ขั้นที่ 4 นาผลคูณที่ได้ในขั้นที่ 3 คือ
ไปลบออกจากตัวตั้ง ได้
กลายเป็นตัวตั้งใหม่ แล้วดูว่าดีกรีของตัวตั้งใหม่
น้อยกว่าดีกรีของตัวหาร หรือยัง ถ้ายัง
ให้ทาต่อ ในที่นี้ นาพจน์แรกของตัวหาร คือ
ไปหารพจน์แรกของตัวตั้งใหม่คือ ได้ 2 แล้วทาซ้า
ตามขั้นที่ 3 และขั้นที่ 4 จนกว่าดีกรีของพจน์ตัวตั้ง
น้อยกว่าดีกรีของพจน์ตัวหาร ดังนี้
การหารพหุนาม
2
5 3x x 
3 2
5 3x x x 
3 2
5 9x xx  2
10 2 6x x 
2
5x
2
10x

7. ดังนั้น
การหารพหุนาม
2
(5 3)x x x 
2 3 2
5 5 63 9x x xx x   
2x 
3 2 2
5 9 6 (5 3)( 2)x x x x x x      
3 2
5 3x x x 
2
10 2 6x x 

2
10 2 6x x  2
2(5 3)x x 
ผลหารคือ 2x 

8. ตัวอย่าง จงหาผลหารของพหุนามต่อไปนี้
2.
การหารพหุนาม
3
1)( ( 1)y y  
3 2
(0) (0) 11 y yy y   
วิธีทา
2
1yy  
3
y  2
y 2
( 1)y y 
2
(0)y y
( 1)y y 2
y  y
1y 
1y  1( 1)y 
ผลหารคือ 2
1yy  

9. การหารพหุนาม
ตัวตั้ง = (ตัวหาร ผลหาร) เศษ
การหารพหุนามสามารถเขียนความสัมพันธ์ของตัวตั้ง
ตัวหาร ผลหาร และเศษได้ดังนี้
× ÷
เมื่อผลหารเป็นพหุนามและเศษเป็นศูนย์หรือเป็นพหุนาม
โดยที่ดีกรีของเศษน้อยกว่าดีกรีของตัวหาร นั่นคือพหุนาม
A หารด้วยพหุนาม B จะได้พหุนาม C เรียกว่า ผลหาร และ
พหุนาม D เรียกว่า เศษ
ถ้า D = 0 เรียกการหารนี้ว่า การหารลงตัว ถ้า D 0
เรียกการหารนี้ว่า การหารไม่ลงตัว


10. วิธีทา
การหารพหุนาม
6 5
3
2 4 2a a
a
 
ดังนั้นผลหารคือ เศษคือ 2
ตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษจากการหารพหุนาม
3.
6 5 6 5
3 3 3 3
2 4 2 2 4 2a a a a
a a a a
 
  
3 2
3
2
2 4a a
a
  
3 2
2 4a a
ตรวจสอบผลลัพธ์ 3 3 2 6 5
( )(2 4 ) 2 2 4 2a a a a a    

11. วิธีทา
การหารพหุนาม
2
(5 6 29 ) (6 )y y y   
ดังนั้นผลหารคือ เศษคือ 12
ตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษจากการหารพหุนาม
4.
ตรวจสอบผลลัพธ์
2 2
( 6)(5 1) 12 5 30 6 12 5 29 6y y y y y y y          
2
6 5 29 6y y y  
5 1y 
2
5 30y y
6y 
6y 
12
5 1y 

12. ตัวอย่าง จงหาผลหารของพหุนามต่อไปนี้
5.
การหารพหุนาม
3 2 2
10 19 25) 4 3( 12 (2 )y y yy y     
วิธีทา
ดังนั้นผลหารคือ เศษ
2 3 2
4 3 10 19 252 12y y yy y    
6 7y 
3 2
24 1812 y yy  
2
14 37 25y y 
2
14 28 21y y 
9 4y 
6 7y  9 4y 
ตรวจสอบผลลัพธ์
2 3 2 2
4 3)( 6 7) (9 4) 12 24 18 14 28 21 9 4(2 y y y y y y y y yy               
3 2
12 10 19 25y y y    

13. แบบฝึกหัด
จงหาผลหารของพหุนาม
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2
11 20) 6 5(42 ( )x xx    
3 2
12 18 27) 3(8 (2 )x x xx     
4 3 2 2
14 62 20 ) 4(40 (10 )x x x x xx     
4 3 2 2
41 70) 3 2 7(15 ( )m m m m mm       
4 2
10 9 10) 2 3(4 ( )x x xx     
3 2 2
7 13 18) 2 7(4 ( )x x x xx      

14. แบบฝึกหัด
จงหาผลหารและเศษของการหารพหุนาม
1.
2.
3.
4 3 2
26 3 1) 2 1(20 ( )a a ax     
4 3 2
4 2) 3 2(6 (2 )x x x xx      
3 2
2 175) 5( ( )x x x   

15. ที่มาของข้อมูล
หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 1
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2
สสวท