sheet for pactices

1. 1
พหุนาม
2.1 เอกนาม (monomial)
โดยทั่วไปในการเขียนสัญลักษณ์แทนจานวนนั้นจะใช้ตัวเลข
แต่บางครั้งไม่สามารถเขียนแทนจานวนด้วยตัวเลขได้
และไม่ได้ระบุชัดว่าจานวนนั้นเป็นจานวนใด จึงนิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น a, b,
c, x, y เป็นต้น แทนคาว่าจานวนจานวนหนึ่ง เรียกตัวอักษรเหล่านี้ว่า ตัวแปร (variable)
ส่วนตัวเลขที่แทนจานวน เช่น 2, 4,
2
3
, –8 เป็นต้น เรียกว่า ค่าคงที่ (constant)
ข้อความในรูปสัญลักษณ์ เช่น 5, 7x, 8 + y,
2
a
, c – 5,
 2
3
x
, a + b + 4, … เรียกว่า
นิพจน์ (expression)
สาหรับการเขียนการคูณระหว่างค่าคงที่และตัวแปรหลาย ๆ ตัวแปร
สามารถเขียนได้หลายแบบ
โดยทั่วไปนิยมเขียนผลคูณระหว่างค่าคงที่และตัวแปรในรูปที่สั้นและกะทัดรัด เช่น
1. x  y เขียนในรูป xy
2. a  a a เขียนในรูป a3
3. m  n  n เขียนในรูป mn2
4. 5  c เขียนในรูป 5c
5. 1  b เขียนในรูป b
6. (–1)  x เขียนในรูป –x เป็นต้น
ข้อตกลงในการเขียนผลคูณระหว่างค่าคงที่และตัวแปร
1. ในกรณีที่มีค่าคงที่มากกว่าหนึ่งค่า ให้หาผลคูณของค่าคงที่ก่อน แล้วจึงเขียนในรูป
ผลคูณระหว่างค่างคงที่กับตัวแปร เช่น 4  3  x  y เขียนเป็น 12xy เป็นต้น
2. ให้เขียนค่าคงที่ไว้หน้าตัวแปร ในกรณีที่ค่าคงที่เป็น 1 ไม่ต้องเขียน ถ้าค่าคงที่เป็น –1
เขียนเฉพาะเครื่องหมายลบหน้าตัวแปรทั้งหมด
ส่วนตัวแปรนั้นเขียนเรียงตามลาดับตัวอักษรและเขียนเรียงชิดกัน เช่น (–1)  3  a  b
เขียนเป็น –3ab เป็นต้น
3. ใช้สัญลักษณ์เลขยกกาลังในกรณีที่เป็นไปได้ เช่น 2  5  a  b  b เขียนเป็น
10ab2 เป็นต้น

2. 2
เอกนาม (monomial) คือ
นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงที่กับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป
โดยที่เลขชี้กาลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจานวนเต็มบวก
ตัวอย่างเช่น 5x, –2x2y, 31
8
xy , 3xyz, 
1
3
, a2bc, 2 3 เป็นต้น
เอกนามประกอบด้วยสองส่วน คือ
1. ส่วนที่เป็นค่าคงที่ เรียกว่า สัมประสิทธิ์ (coefficient) ของเอกนาม
2. ส่วนที่อยู่ในรูปการคูณของตัวแปร โดยเลขชี้กาลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือ
จานวนเต็มบวกและเรียกผลบวกของเลขชี้กาลังของตัวแปรทั้งหมดในเอกนามว่า ดีกรี (degree)
ของเอกนาม
ตัวอย่าง จงบอกสัมประสิทธิ์ ตัวแปร และดีกรีของเอกนามต่อไปนี้
เอกนาม สัมประสิทธิ์ ตัวแปร ดีกรี
1. –5x
2. 0.12
3. 2xy
4.  21
3
x yz
5. 15xy2z2
0.12
2
อะไรก็ได้
x, y
0
2
ตัวอย่าง จงบอกว่าจานวนต่อไปนี้ จานวนใดไม่ใช่เอกนาม เพราะเหตุใด
1. 4x
2. 5x–1
3. 3xy2z3
4.
2
2
a
b
5. 3x – 5y
6. 3–2
7.  
 
 
2
1
x
8.
2
7
y
9.


a b
a b
ข้อสังเกต 1. นิพจน์ที่อยู่ในรูปตัวแปรเพียงอย่างเดียว
สามารถหาสัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนามได้ ดังนี้
a = 1a1 ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ a คือ 1 และดีกรีคือ 1

3. 3
ab = 1ab ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ ab คือ 1 และดีกรีคือ 1+1 = 2
abc = 1abcดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ abc คือ 1 และดีกรีคือ 1+1+1 = 3
2. ค่าคงที่ทุกตัวถือว่าเป็นเอกนาม
เพราะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณค่าคงที่กับตัวแปรได้ โดยที่เลขชี้กาลังของตัวแปรเป็นศูนย์
เช่น
-3 เขียนเป็น 3x0 , 7 เขียนเป็น 7 y0
1.5 เขียนเป็น 1.5a0 , 
5
8
เขียนเป็น 
5
8
a0b0 เป็นต้น
ข้อตกลง สาหรับเอกนาม 0 เราไม่สามารถบอกดีกรีได้แน่นอน เพราะ 0 = 0xn ไม่ว่า n
เป็นศูนย์ หรือจานวนเต็มบวกใด ๆ ดังนั้นจะไม่กล่าวถึงดีกรีของเอกนาม 0
2.2 การบวกและการลบเอกนาม
เอกนามบางเอกนามสามารถนามาบวกหรือลบกันแล้วทาให้ผลบวกหรือผลต่างเป็นเอกน
ามได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับว่าเอกนามทั้งสองเป็นเอกนามคล้ายกันหรือไม่
บทนิยาม เอกนามสองเอกนามคล้ายกันก็ต่อเมื่อ
1. เอกนามทั้งสองมีตัวแปรชุดเดียวกัน (ตัวแปรเหมือนกัน) และ
2. เลขชี้กาลังของตัวแปรเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน
เราจะพบว่าเอกนามเดียวกันไม่จาเป็นต้องมีสัมประสิทธิ์เท่ากัน
ขอให้ดูที่ตัวแปรแต่ละเอกนามเท่านั้นว่าสอดคล้องกับข้อ 1 และ 2 ตามบทนิยามหรือไม่
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าเอกนาม A และ B ต่อไปนี้คล้ายกันหรือไม่
A B คล้ายกัน/ไม่คล้ายกัน
5
–4x
10a2
3xy
–4xy2
5x3y4
3 01
2
a b
–6
10x
–10b2
xy
7x2y
05x3y4
32
3
a
คล้ายกัน
2.2.1 การบวกเอกนาม
การบวกของเอกนามต้องอาศัยสมบัติการแจกแจงของจานวน กล่าวคือ ถ้า a, b และ c
เป็นจานวนใด ๆ แล้ว
A1 : a(b + c) = ab + ac
A2 : (a + b)c = ac + bc

4. 4
เนื่องจากสัมประสิทธิ์และตัวแปรของเอกนามแทนจานวน ดังนั้น เราสามารถใช้สมบัติ A1
และ A2 แสดงการบวกของเอกนามคล้ายกันได้ดังต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. 5x + 13x = (5 + 13)x = 18x
2. –5x2y + 3yx2 =
3. 10a2bc + 6a2bc =
4. 7xy2z + (–6xy2z) =
5. –rst + (–4str) =
สาหรับเอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น 3x2y4 กับ x3y3
ไม่สามารถใช้สมบัติการแจกแจงหาผลบวกได้ จึงเขียนผลบวกดังนี้ 3x2y4 + x3y3 เป็นต้น
2.2.2 การลบเอกนาม
เนื่องจากเราทราบแล้วว่า ถ้า a และ b เป็นจานวนใด ๆ แล้ว
a – b = a + (–b)
เราสามารถใช้หลักการนี้พร้อมทั้งสมบัติการแจกแจงหาผลลบของเอกนามคล้ายกันได้ดังต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหาผลลบของเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. 4xy3 – 3xy3 = (4 – 3)xy3
2. (–2t2) – 4t2 =
3. 4ac – (–3ac) =
4. 4x2y – 8yx2 =
5. (–7st2) – (–2st2) =
2.3 การคูณและการหารเอกนาม
การคูณและการหารเอกนามใช้สมบัติของการคูณและการหารเลขยกกาลังที่กล่าวไปแล้วใน
บทที่ 1 พร้อมทั้งสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
2.3.1 การคูณเอกนาม
การคูณเอกนามสองเอกนามซึ่งไม่จาเป็นต้องเป็นเอกนามคล้ายกันจะให้ผลลัพธ์เป็นเอกนาม
โดยที่หลักการคูณเช่นเดียวกับการคูณเลขยกกาลัง ดังนี้
ผลคูณของเอกนาม = (ผลคูณของสัมประสิทธิ์)  (ผลคูณของตัวแปร)
ตัวอย่าง จงหาผลคูณของข้อต่อไปนี้
1. 5  12x = (5  12)x = 60x
2. 5x3  12x =

5. 5
3. –10a2b3  7abc =
4. –9r2s3t4  (–8r3s4t) =
5. 13p6q3  (–7pqrs) =
2.3.2 การหารเอกนาม
ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาการหารเอกนามด้วยเอกนาม
ซึ่งไม่เป็นศูนย์และให้ผลลัพธ์เป็นเอกนาม การหาผลหารดังกล่าวให้ใช้หลักการหารเลขยกกาลัง
โดยมีวิธีการหารดังนี้
ผลหารของเอกนาม = (ผลหารของสัมประสิทธิ์)  (ผลหารของตัวแปร)
ตัวอย่าง จงหาผลหารต่อไปนี้
1.
2
4
2
x
x
=
2
4
2
x
x
 = 2x
2.
2
10
3
x y
xy

3.
3 4
4
8
x yz
xyz
4.
6 4 7
2 3
15
3
a b c
a bc

แบบฝึกหัดชุดที่ 1
1. จงใส่เครื่องหมาย “” หน้านิพจน์ที่เป็นเอกนาม และ “” หน้านิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม
1. ……. 2.7 2. ……. 3-2a 3. …….5xy–2
4. …….
1
4
pq 5. …….7(c + d) 6. …….11x2yz
7. ……. 3
2 3
( )
a
bc 
8. …….–8.5x3y0 9. …….
2
x
y
;y  0
10. …….9(abc)–2 11. …….4-2xy2z3 12. …….
2
3
a
13. …….bc 
3
5
  
 
14. …….3x + 2y 15. …….15x0y–1z2
16. ……. 7 xy 17. …….13m–3n 18. …….x–2yz5
19. ……. 4
0.5
( )xyz 
20. ……. 3 3
5 ab a bg
2. จงบอกสัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนามต่อไปนี้
เอกนาม สัมประสิทธิ์ ดีกรี
1. x2y

6. 6
2. 2 52
3
a b
3. –7xy2z3
4. –6a0bc4
5. 5 5
2
1
3
x y
6.
3
7
x y
7. 2 0 3
2p q r
8. 2.5m5n7
9.
3 2
4
2
a b
ab
10.
2
1
x y
x 
11. –2a2bc3
12.
5 6 4
5
3
x y z
xyz
3. จงพิจารณาเอกนาม ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ว่าคล้ายกันหรือไม่
1. 2s3t2 กับ –3t2s3 2. 4ab0 กับ 2
3
a
3. –4x2y กับ 0.5xy2 4. 7m กับ 9n
5. –5x4 กับ 8x4 6. 12a0 กับ –7b0
7. 21
3
c d กับ 2
4d
c
8. 8x2y5 กับ 6x5y2
9. 7 s3t0 กับ
3
7
s
10. –2p2q กับ 21
5
qp
11. 2x4 กับ 10x4 12. 2 23
7
x yz กับ –5x2y0z2
13. –4a2b3 กับ 10a2b3 14. 2st กับ
5
st
15. –abc กับ
  1
2
abc
 16. x2y กับ –9x2y
17. x2y3z4 กับ6x2y3z 18. –2ab กับ 4ac2
19. 12abc กับ 5cba 20. –9bx กับ 10ax
4. จงหาผลบวกของเอกนามที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. 3xy + 5xy
2. –12x + 13x
3. 7x2 + (–3x2)
4. (–3ab2) + (–7ab2)
5. 5m2n4 + 6m2n4

7. 7
6. (–5x2y) + 3yx2
7. 4a2b2c2 + 16 a2b2c2
8. 2 21 1
4 4
x yz x yz       
   
9. (–12m3n) + (–8m3n)
10. 13xyz + 15yzx
11. –12x2 + 5x2 + 13x2 + (–6x2)
12. –5x2y + 3yx2 + 4x2y + (–8yx2)
5. จงหาผลลบของเอกนามที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. 5xy – 3xy
2. 7x2 – (–3x2)
3. (–8x2y) – 6x2y
4. 9x4yz – (–6 x4yz)
5. (–6a2b3) – (–1a2b3)
6. –12t2 – 5t2
7. 18b2c5 – 15b2c5
8. 6st – (–10ts)
9. (–10x2y2z2) – (–9 x2y2z2)
10. 7xy2 – (–3y2x)
11. –4xyz – 6xyz
12. –15xy3 – 8y3x
6. จงทาให้เป็นผลสาเร็จ
1. 7x + (–3x) + (–4x)
2. (3m2 – 4m2) + 5m2
3. 7ab3c – 4 ab3c – ab3c
4. 5m3n2 +
4
3
m3n2 +
5
3
m3n2
5. 11x2y + (–7 x2y) – 4 x2y
6. 8xyz – 13xyz + 3xyz
7. (–10s2t3) + 2s2t3 – 3s2t3
8. 1.5ab3c5 + 3.3ab3c5 – 2.2ab3c5
9. 17x4yz3 – (–5x4yz3) – 10x4yz3

8. 8
10.
1
15
xy2z +
4
3
xy2z –
7
5
xy2z
11. –11ab3c – (–5ab3c) + (–6ab3c)
12. 15x3y4z5 + (–10x3y4z5) – (–9 x3y4z5)
13. 3x2yz + 4xy2z2 – 5x2y2z2 – 6x2yz – 6xy2z2
14. 2 2 21 3 2 3 1
2 2 3 4 6
x x x x x    
15. 12 – 3x2y2 + 6xy2 + 7x2y2 – 9 – 5xy2
16. 3x3 – 3x2y + 4xy2 + 5 + 4x3 – 7xy2 – 9 + 5x2y – 4xy2
7. จงหาผลคูณของเอกนามต่อไปนี้
1. (3ab)  (–2ab) 2. (2x)  (–3y)
3. 21
2
xy 
 
 
 (2x) 4. (7ab)  (–3bc)
5. (–10m)  (–3mn) 6. (13x)  (13y)
7. (–5bc)  2ac 8. (7st)  (–2t2)
9. 2yz  (–3x2y) 10. (–3x2y2z2)  (–3xz)
11. –9r2s3t4  (–8r3s4t) 12. 13p6q3  (–7pqrs)
8. จงหาผลหารของเอกนามต่อไปนี้
1. 27a2b3  3ab 2. (–10pq3)  5p0q2
3. (–81x3y)  9x2 4. 56x3y4  (–7x2y3)
5. (–11a7b2)  (–11a2b2) 6. 32x6y6z5  4x5y5z5
7. 169m3n  (–13mn) 8. 45a3b4c2  3a2b3c
9.
4 4
5 5
abc abc       
   
10. (–60x3y4)  5x2y
11. –15a6b4c7  3a2bc3 12. –24r5s6t7  –4r4s5t7