1. ความคล้าย
ความหมายของรู ปทีคล้ ายกัน
่
นิยาม รู ปสองรู ปที่คล้ายกันก็ต่อเมื่อรู ปทั้งสองนั้นมีรูปร่ างเหมือนกัน แต่อาจจะมีขนาด
ที่แตกต่างกัน
รู ปที่คล้ายกัน รู ปทรงที่คล้ายกัน
ในรู ปทีคล้ ายกัน
่
1. มุมทีสมนัยกันมีขนาดเท่ ากัน
่
2. อัตราส่ วนของความยาวของด้ านทีสมนัยกันเท่ ากัน
่
สาหรับรู ปทีคล้ ายกันจะเขียนชื่ อของรู ปเรียงตามลาดับอักษรของมุมทีสมนัยกันเสมอ เพือให้ ง่ายต่ อการ
่ ่ ่
คานวณ และจะใช้ สัญลักษณ์  แทนคาว่า คล้ายกับ

2. ่
ตัวอย่าง สี่ เหลี่ยมคางหมู ABCD คล้ายกับ สี่ เหลี่ยมคางหมู PQRS เขียนได้วา
ABCD  PQRS
P Q
A B
D C S R

3. ความคล้าย
รู ปทีคล้ ายกัน
่
รู ปทีคล้ ายกัน
่
มุมทีสมนัยกันมีขนาดเท่ ากัน
่
อัตราส่ วนของความยาวของด้ านทีสมนัยกันเท่ากัน
่
สาหรับรู ปทีคล้ ายกันจะเขียนชื่ อของรู ปเรียงตามลาดับของตัวอักษรทีสมนัยกัน
่ ่
เสมอ เพือให้ ง่ายต่ อการคานวณและจะใช้ สัญลักษณ์
่
 แทนคาว่า คล้ายกับ
ตัวอย่างเช่ น
รู ปสี่ เหลียมคางหมู ABCD คล้ายกับ สี่ เหลียม PQRS เขียนได้ ว่า 
่ ่ ABCD  PQRS
A 10 cm B
110 70
24 cm P 5 cm Q
12 cm
70 110
D C S R
จากรู ป อักษรที่สมนัยกัน คือ A  P , B  Q , C R , D S
มุมที่เท่ากันคือ มุม A = มุม P = 110
มุม B = มุม Q = 70
มุม C = มุม R = 110
มุม D = มุม S = 70

4. อัตราส่ วนของด้านที่สมนัยกันที่เท่ากัน คือ
AB BC CD DA 1
   
PQ QR RS SP 2
รู ปที่คล้ายกันไม่จาเป็ นต้องเขียนไปทางเดียวกันก็ได้ รู ป PQRS  ABCD
อาจจะเขียนรู ปในลักษณะอื่นก็ได้ แต่มนก็คงคล้ายกันอยู่
ั
ในรู ปบางรู ปที่มีมุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันทุกมุมเพียงอย่างเดียว ก็ไม่อาจจะทาให้รูปนั้นคล้ายกัน
ได้ เช่น รู ปสี่ เหลี่ยมมุมฉาก มีมุมสมนัยกันเท่ากัน เพราะอัตราส่ วนของด้านที่สมนัยกันต่างกัน ดังรู ป

5. ความคล้าย
รู ปสามเหลียมทีคล้ ายกัน
่ ่
นิยาม รู ปสามเหลียมสองรู ปทีมีขนาดของมุมเท่ ากันสามคู่
่ ่
เรียกว่ า รู ปสามเหลียมทีคล้ ายกัน
่ ่
ถ้ าสามเหลียม 2 รู ปคล้ ายกันแล้ ว
่
มุมทั้งสามคู่ทสมนัยกันจะเท่ ากัน
ี่
อัตราส่ วนของด้ านทีสมนัยกันทั้งสามอัตราส่ วนเท่ากัน
่
ตัวอย่าง เช่น ABC  XYZ ดังรู ป
A
b
c X y
z
B a C Y x Z
ดังนั้น A = X , B = Y ,  C = Z
AB BC AC
และ  
XY YZ XZ

6. a b c
นั่นคือ  
x y z
อัตราส่ วนของด้ านทีอยู่ตรงกับมุมทีเ่ ท่ ากันของสามเหลียมคล้ ายย่ อมเท่ ากัน
่ ่
สามเหลี่ยมคล้าย เป็ นรู ปคล้ายที่มีลกษณะพิเศษ คือไม่จาเป็ นต้องทราบขนาดของมุมทั้งหมดและ
ั
่
ด้านทั้งหมดของสามเหลี่ยม 2 รู ป เพื่อเช็คดูวาสามเหลี่ยมทั้งนั้นคล้ายกันหรื อไม่

7. ความคล้าย
รู ปสามเหลียมทีคล้ ายกัน
่ ่
1
มุมทีสมนัยทั้งสามคู่ของสามเหลียม 2 รู ปใดเท่ ากัน แล้ วสามเหลียมทั้งสองนั้นเท่ ากัน
่ ่ ่
A
B X Y
C Z
จากรู ป ABC  XYZ เพราะว่าA = X
B =  Z
C =  Y
ความจริ งแล้ว ถ้าทราบว่า มุมที่สมนัยกันเท่ากันเพียง 2 คู่ ก็สามารถบอกได้วามุมที่สามต้อง
่
เท่ากันด้วย เพราะผลบวกของมุมภายในของ  ใดๆ มีค่า 180 เสมอ ดังนั้น ถ้ารู ้เพียงว่า A =
X
และ  B = Z เท่านั้นก็สามารถสรุ ปได้วาสามเหลี่ยม ABC  สามเหลี่ยม XZY เพราะมุมที่
่
เหลือคือ  C = Y แน่นอน
2

8. " อัตราส่ วนของด้ านทีสมนัยกันเท่ากันทั้งสามอัตราส่ วนแล้ว สามเหลียม 2 รู ปนั้นคล้ ายกัน "
่ ่
P
D
Q R E F
จากรู ป PQR จะคล้ายกับ DEF ถ้า PQ QR RP
 
DE EF FD
3
" ถ้ าอัตราส่ วนของด้ านทีสมนัยกันเท่ากันเพียง 2 คู่ และมุมทีอยู่ระหว่ างด้ านนั้น
่ ่
เท่ากันด้ วย แล้วสามเหลียม 2 รู ป จะคล้ ายกัน "
่
N
S
T R M O
จากรู ป MNO จะคล้ายกับ RST ถ้า N = S
MN NO
และ 
RS ST

9. ความคล้าย
รู ปสามเหลียมทีคล้ ายกัน
่ ่
1
มุมทีสมนัยทั้งสามคู่ของสามเหลียม 2 รู ปใดเท่ ากัน แล้ วสามเหลียมทั้งสองนั้นเท่ ากัน
่ ่ ่
A
B X Y
C Z
จากรู ป ABC  XYZ เพราะว่า A = X
B =  Z
C =  Y
ความจริ งแล้ว ถ้าทราบว่า มุมที่สมนัยกันเท่ากันเพียง 2 คู่ ก็สามารถบอกได้วามุมที่สามต้อง
่
เท่ากันด้วย เพราะผลบวกของมุมภายในของ  ใดๆ มีค่า 180 เสมอ ดังนั้น ถ้ารู ้เพียงว่า A =
X
และ  B = Z เท่านั้นก็สามารถสรุ ปได้วาสามเหลี่ยม ABC  สามเหลี่ยม XZY เพราะมุมที่
่
เหลือคือ  C = Y แน่นอน
2

10. " อัตราส่ วนของด้ านทีสมนัยกันเท่ากันทั้งสามอัตราส่ วนแล้ว สามเหลียม 2 รู ปนั้นคล้ ายกัน "
่ ่
P
D
Q R E F
จากรู ป PQR จะคล้ายกับ DEF ถ้า PQ QR RP
 
DE EF FD
3
" ถ้ าอัตราส่ วนของด้ านทีสมนัยกันเท่ากันเพียง 2 คู่ และมุมทีอยู่ระหว่ างด้ านนั้น
่ ่
เท่ากันด้ วย แล้วสามเหลียม 2 รู ป จะคล้ ายกัน "
่
N
S
T R M O
จากรู ป MNO จะคล้ายกับ RST ถ้า N = S
MN NO
และ 
RS ST
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ AB // DE จงหาว่า ABC กับ EDC คล้ายกันหรื อไม่
A B

11. C
D E
จะได้ เนื่องจาก
1) ABC = CDE ( เป็ นมุมแย้ง )
2) BAC = CED ( เป็ นมุมแย้ง )
3) ACB = DCE ( เป็ นมุมตรงข้าม )
ดังนั้น ABC  EDC
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ BC // DE จงหาว่า  ABC และ ADE คล้ายกัน
หรื อไม่
D
B
E C A
จะได้ เนื่องจาก
1) BAC = DAE ( เป็ นมุมร่ วม )
2) ABC =  ADE (เป็ นมุมภายในและมุมภายนอกข้างเดียวกัน
ของเส้นตัด )
3) BCA =  DEA (เป็ นมุมภายในและมุมภายนอกข้างเดียวกันของเส้นตัด )
ดังนั้น ABC  ADE

12. ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ PQR = PST จงหาว่า PQR และ PST คล้ายกันหรื อไม่
P
Q R
S T
จะได้ เนื่องจาก
1) PQR =  PST (กาหนดให้)
2) QPR =  SPT (เป็ นมุมร่ วม)
3)  PRQ =  PTS (ขนาดของมุมภายในของสามเหลี่ยมเป็ น 180
องศา)
ดังนั้น PQR  PST

13. ความคล้าย
สมบัติของรู ปสามเหลียมทีคล้ ายกัน
่ ่
ถ้ ารู ปสามเหลียมสองรู ปใดคล้ ายกัน อัตราส่ วนของความยาวของด้ านคู่ทอยู่ตรงข้ ามกับมุม
่ ี่
ทีมีขนาดเท่ากันจะเท่ากัน
่
กาหนดให้ ABC  DEF และ BAC = EDF , ABC =  DEF
A
D
B C E F
AB AC BC
จะได้  
DE DF EF
AB DE AC DF AB DE
และ  ,  , 
BC EF BC EF AC DF
และ พืนที่ ABC  พืนที่ DEF = ( AB )2  ( DE )2
้ ้

14. ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้  ABC = CED และ AB = 16 เซนติเมตร AC =
18 เซนติเมตร และ CD = 36 เซนติเมตร จงหาว่า ED ยาวเท่าไร
E
18
A C 36 D
16 B
จะได้ เนื่องจาก ABC  DEC (มีมุมเท่ากัน 3 คู่)
AC AB
ดังนั้น 
CD ED
แทนค่า AB = 16 , AC = 18 , และ CD = 36
18 16
จะได้ 
36 ED
คูณไขว้ 18 ED = 16 X 36
16 X 36
ED =
18
 ED = 32 เซนติเมตร ตอบ

15. ความคล้าย
สมบัติของรู ปสามเหลียมทีคล้ ายกัน
่ ่
ถ้ ารู ปสามเหลียมสองรู ปใดคล้ ายกันอัตราส่ วนของความยาวของด้ านคู่ทอยู่ตรง
่ ี่
ข้ ามกับมุมทีมีขนาดเท่ ากันจะเท่ ากัน
่
ตัวอย่าง กาหนดให้ ABCD เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมคางหมูรูปหนึ่ง AB  CD E และ F
่
เป็ นจุดอยูบนด้าน AD และ BC ตามลาดับ EF  DC และ BF

2
FC 1
ถ้าให้ AB = 7 หน่วย และ DC = 10 หน่วย จงหา EF
D C
E F
A B
จะได้ ลาก BN ให้ขนานกับ AD และตัด EF ที่ M ทาให้ EM = DN = AB = 7 หน่วย
และ NC = 10 - 7 = 3 หน่วย
D 7 N 3 C
E 7 M F
A 7 B

16. เนื่องจาก BMF  BNC และ BF

2
FC 1
BF MF BF 2
ดังนั้น  และ 
BC NC BC 3
 MF 2

NC 3
MF 2

3 3
MF = 2
จาก EF = EM + MF
= 7 + 2
= 9
ดังนั้น EF = 9 หน่วย ตอบ